13.1 تعارف

کیا آپ نے اخبارات، ٹیلی ویژن، میگزین، کتابوں وغیرہ میں گراف دیکھے ہیں؟ گراف کا مقصد عددی حقائق کو بصری شکل میں پیش کرنا ہے تاکہ انہیں جلدی، آسانی اور واضح طور پر سمجھا جا سکے۔ اس طرح گراف جمع کردہ ڈیٹا کی بصری نمائندگی ہیں۔ ڈیٹا کو جدول کی شکل میں بھی پیش کیا جا سکتا ہے؛ تاہم، گرافیکل پیشکش کو سمجھنا آسان ہوتا ہے۔ یہ خاص طور پر اس وقت درست ہوتا ہے جب کوئی رجحان یا موازنہ دکھانا ہو۔

ہم پہلے ہی کچھ قسم کے گراف دیکھ چکے ہیں۔ آئیے انہیں یہاں جلدی سے یاد کرتے ہیں۔

13.1.1 لائن گراف

لائن گراف ایسے ڈیٹا کو ظاہر کرتا ہے جو وقت کے ادوار میں مسلسل تبدیل ہوتا رہتا ہے۔

جب رینو بیمار ہوئی، تو اس کے ڈاکٹر نے اس کے جسمانی درجہ حرارت کا ریکارڈ رکھا، جو ہر چار گھنٹے بعد لیا گیا۔ یہ ایک گراف کی شکل میں تھا (شکل 13.1 اور شکل 13.2 میں دکھایا گیا)۔

ہم اسے “ٹائم-ٹمپریچر گراف” کہہ سکتے ہیں۔

یہ مندرجہ ذیل ڈیٹا کی تصویری نمائندگی ہے، جو جدولی شکل میں دیا گیا ہے۔

افقی لکیر (جسے عام طور پر $x$-axis کہا جاتا ہے) وہ اوقات دکھاتی ہے جن پر درجہ حرارت ریکارڈ کیا گیا تھا۔ عمودی لکیر (جسے عام طور پر $y$-axis کہا جاتا ہے) پر کیا لیبل لگے ہیں؟

شکل 13.1

ڈیٹا کا ہر ٹکڑا مربع گرڈ پر ایک نقطے سے دکھایا گیا ہے۔

وقت $arrow$

شکل 13.1

پھر نقاط کو لائن سیگمنٹس سے جوڑا جاتا ہے۔ نتیجہ لائن گراف ہے۔

یہ گراف آپ کو کیا کچھ بتاتا ہے؟ مثال کے طور پر آپ درجہ حرارت کا نمونہ دیکھ سکتے ہیں؛ صبح 10 بجے زیادہ (شکل 13.3 دیکھیں) اور پھر شام 6 بجے تک کم ہوتا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ درجہ حرارت صبح 6 بجے سے $10 a . m$ تک کے عرصے کے دوران $3^{\circ} C(=40^{\circ} C-37^{\circ} C)$ بڑھ گیا۔

صبح 8 بجے درجہ حرارت کا کوئی ریکارڈ نہیں تھا، تاہم گراف سے پتہ چلتا ہے کہ یہ $37^{\circ} C$ سے زیادہ تھا (کیسے؟)۔

مثال 1: (“کارکردگی” پر ایک گراف)

دیے گئے گراف (شکل 13.3) سال 2007 کے دس مختلف میچوں کے دوران دو بلے بازوں A اور B کے بنائے گئے کل رنز کی نمائندگی کرتا ہے۔ گراف کا مطالعہ کریں اور مندرجہ ذیل سوالات کے جواب دیں۔

(i) دو محوروں پر کیا معلومات دی گئی ہیں؟ (ii) کون سی لائن بلے باز A کے بنائے ہوئے رنز دکھاتی ہے؟ (iii) کیا سال 2007 میں کسی بھی میچ میں ان کے بنائے ہوئے رنز ایک جیسے تھے؟ اگر ہاں، تو کس میچ میں؟ (iv) دونوں بلے بازوں میں سے، کون زیادہ مستحکم ہے؟ آپ اس کا فیصلہ کیسے کریں گے؟

حل: (i) افقی محور (یا $x$-axis) سال 2007 کے دوران کھیلے گئے میچوں کی نشاندہی کرتا ہے۔ عمودی محور (یا $y$-axis) ہر میچ میں بنائے گئے کل رنز دکھاتا ہے۔ (ii) نقطہ دار لائن بلے باز A کے بنائے ہوئے رنز دکھاتی ہے۔ (یہ پہلے ہی گراف کے اوپری حصے میں اشارہ کردیا گیا ہے)۔ (iii) چوتھے میچ کے دوران، دونوں نے 60 رنز کی ایک جیسی تعداد بنائی۔ (یہ اس نقطے سے ظاہر ہوتا ہے جہاں دونوں گراف ملتے ہیں)۔ (iv) بلے باز A کا ایک بڑا “پیک” ہے لیکن بہت سے گہرے “ویلی” ہیں۔ وہ مستقل نظر نہیں آتا۔ $B$، دوسری طرف، نے کبھی بھی 40 رنز سے کم کا اسکور نہیں کیا، حالانکہ اس کا سب سے زیادہ اسکور صرف 100 ہے جبکہ A کا 115 ہے۔ نیز A نے دو میچوں میں صفر اسکور کیا ہے اور کل 5 میچوں میں اس نے 40 سے کم رنز بنائے ہیں۔ چونکہ A میں بہت زیادہ اتار چڑھاؤ ہے، اس لیے $B$ زیادہ مستقل اور قابل اعتماد بلے باز ہے۔

مثال 2: دیا گیا گراف (شکل 13.4) شہر $P$ سے ایک کار کے مختلف اوقات پر فاصلے بیان کرتا ہے جب وہ شہر P سے شہر Q تک سفر کر رہی ہے، جو کہ $350 km$ دور ہیں۔ گراف کا مطالعہ کریں اور مندرجہ ذیل کے جواب دیں:

(i) دو محوروں پر کیا معلومات دی گئی ہیں؟ (ii) کار نے اپنا سفر کہاں سے اور کب شروع کیا؟ (iii) پہلے گھنٹے میں کار کتنی دور گئی؟ شکل 13.3 (iv) کار (i) دوسرے گھنٹے کے دوران کتنی دور گئی؟ (ii) تیسرے گھنٹے کے دوران؟ (v) کیا پہلے تین گھنٹوں کے دوران رفتار ایک جیسی تھی؟ آپ یہ کیسے جانتے ہیں؟ (vi) کیا کار نے کسی جگہ پر کچھ دیر کے لیے رکنا کھڑا کیا؟ اپنے جواب کی توجیح پیش کریں۔ (vii) کار شہر Q پر کب پہنچی؟ شکل 13.4

حل: (i) افقی $(x)$ محور وقت دکھاتا ہے۔ عمودی $(y)$ محور شہر $P$ سے کار کا فاصلہ دکھاتا ہے۔ (ii) کار نے شہر P سے صبح 8 بجے شروع کی۔ (iii) کار پہلے گھنٹے کے دوران $50 km$ سفر کر چکی تھی۔ [اسے اس طرح دیکھا جا سکتا ہے۔ صبح 8 بجے یہ ابھی شہر P سے شروع ہوئی تھی۔ صبح 9 بجے یہ 50 ویں کلومیٹر پر تھی (گراف سے دیکھا گیا)۔ لہذا صبح 8 بجے سے صبح 9 بجے کے درمیان ایک گھنٹے کے وقت میں کار نے $50 km$ سفر کیا]۔ (iv) کار کے ذریعے طے کردہ فاصلہ (a) $2 nd$ گھنٹے کے دوران (یعنی، صبح 9 بجے سے $10 am)$ تک) $100 km,(150-50)$ ہے۔ (b) $3 rd$ گھنٹے کے دوران (یعنی، $10 am$ سے $11 am)$ تک) $50 km(200-150)$ ہے۔ (v) سوالات (iii) اور (iv) کے جوابات سے، ہمیں پتہ چلتا ہے کہ کار کی رفتار ہر وقت ایک جیسی نہیں تھی۔ (درحقیقت گراف یہ بتاتا ہے کہ رفتار کیسے مختلف ہوئی)۔ (vi) ہمیں پتہ چلتا ہے کہ کار شہر $P$ سے $200 km$ دور تھی جب وقت $11 a . m$ تھا۔ اور دوپہر 12 بجے بھی۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ کار نے صبح 11 بجے سے دوپہر 12 بجے کے درمیان سفر نہیں کیا۔ اس مدت کے دوران “سفر” کی نمائندگی کرنے والا افقی لائن سیگمنٹ اس حقیقت کی وضاحت کرتا ہے۔ (vii) کار شہر $Q$ پر دوپہر 2 بجے پہنچی۔

مشق 13.1

1. مندرجہ ذیل گراف ایک ہسپتال میں ایک مریض کا درجہ حرارت دکھاتا ہے، جو ہر گھنٹے ریکارڈ کیا گیا۔

(a) دوپہر 1 بجے مریض کا درجہ حرارت کیا تھا؟ (b) مریض کا درجہ حرارت کب $38.5^{\circ} C$ تھا؟ وقت $arrow$ (c) دی گئی مدت کے دوران مریض کا درجہ حرارت دو بار ایک جیسا تھا۔ یہ دو اوقات کون سے تھے؟ (d) سہ پہر 1.30 بجے درجہ حرارت کیا تھا؟ آپ اپنے جواب پر کیسے پہنچے؟ (e) کن ادوار کے دوران مریض کے درجہ حرارت میں اضافے کا رجحان دکھائی دیا؟

2. مندرجہ ذیل لائن گراف ایک مینوفیکچرنگ کمپنی کی سالانہ فروخت کے اعداد و شمار دکھاتا ہے۔

(a) (i) 2002 (ii) 2006 میں فروخت کیا تھی؟ (b) (i) 2003 (ii) 2005 میں فروخت کیا تھی؟ (c) 2002 اور 2006 کی فروخت کے درمیان فرق کا حساب لگائیں۔ (d) کس سال میں اس کی پچھلے سال کے مقابلے میں فروخت میں سب سے زیادہ فرق تھا؟

3. بوٹنی کے ایک تجربے کے لیے، دو مختلف پودے، پودا $A$ اور پودا $B$، ایک جیسی لیبارٹری شرائط کے تحت اگائے گئے۔ 3 ہفتوں تک ہر ہفتے کے آخر میں ان کی اونچائی ناپی گئی۔ نتائج مندرجہ ذیل گراف کے ذریعے دکھائے گئے ہیں۔

4. مندرجہ ذیل گراف ہفتے کے ہر دن کے لیے درجہ حرارت کی پیشن گوئی اور اصل درجہ حرارت دکھاتا ہے۔

(a) کن دنوں پر پیشن گوئی کیا گیا درجہ حرارت اصل درجہ حرارت کے برابر تھا؟ (b) ہفتے کے دوران زیادہ سے زیادہ پیشن گوئی کیا گیا درجہ حرارت کیا تھا؟ (c) ہفتے کے دوران کم سے کم اصل درجہ حرارت کیا تھا؟ (d) کس دن اصل درجہ حرارت پیشن گوئی کردہ درجہ حرارت سے سب سے زیادہ مختلف تھا؟

5. لکیری گراف بنانے کے لیے نیچے دیے گئے جدولوں کا استعمال کریں۔

(a) ایک پہاڑی شہر کو مختلف سالوں میں برفباری کے دنوں کی تعداد۔

(b) مختلف سالوں میں ایک گاؤں میں مردوں اور عورتوں کی آبادی (ہزاروں میں)۔

6. ایک کورئیر شخص ایک شہر سے ایک پڑوسی مضافاتی علاقے تک ایک پارسل تاجر تک پہنچانے کے لیے سائیکل چلاتا ہے۔ مختلف اوقات پر شہر سے اس کا فاصلہ مندرجہ ذیل گراف کے ذریعے دکھایا گیا ہے۔

(a) وقت کے محور کے لیے کیا پیمانہ لیا گیا ہے؟ (b) سفر کے لیے شخص نے کتنا وقت لیا؟ (c) تاجر کی جگہ شہر سے کتنی دور ہے؟ (d) کیا شخص نے اپنے راستے میں رکنا کھڑا کیا؟ وضاحت کریں۔ (e) کس مدت کے دوران اس نے تیز ترین سواری کی؟

7. کیا وقت-درجہ حرارت گراف مندرجہ ذیل کے مطابق ہو سکتا ہے؟ اپنے جواب کی توجیح پیش کریں۔

13.2 کچھ اطلاقات

روزمرہ کی زندگی میں، آپ نے مشاہدہ کیا ہوگا کہ آپ کسی سہولت کا جتنا زیادہ استعمال کریں گے، آپ اس کے لیے اتنا ہی زیادہ ادائیگی کریں گے۔ اگر زیادہ بجلی استعمال ہوتی ہے، تو بل زیادہ ہونا یقینی ہے۔ اگر کم بجلی استعمال ہوتی ہے، تو بل آسانی سے قابل انتظام ہوگا۔ یہ ایک مثال ہے جہاں ایک مقدار دوسرے کو متاثر کرتی ہے۔ بجلی کے بل کی رقم استعمال ہونے والی بجلی کی مقدار پر منحصر ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ بجلی کی مقدار ایک آزاد متغیر (یا کبھی کبھی کنٹرول متغیر) ہے اور بجلی کے بل کی رقم منحصر متغیر ہے۔ ایسے متغیرات کے درمیان تعلق کو گراف کے ذریعے دکھایا جا سکتا ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

کار کے پیٹرول ٹینک کو بھرنے کے لیے آپ جو پیٹرول کے لیٹر خریدتے ہیں وہ آپ کی ادائیگی کی رقم کا فیصلہ کرے گا۔ یہاں آزاد متغیر کون سا ہے؟ اس کے بارے میں سوچیں۔

مثال 3: (مقدار اور قیمت)

مندرجہ ذیل جدول پیٹرول کی مقدار اور اس کی قیمت دیتا ہے۔

ڈیٹا دکھانے کے لیے ایک گراف بنائیں۔

حل: (i) آئیے دونوں محوروں پر ایک مناسب پیمانہ لیں (شکل 13.5)۔

شکل 13.5 (ii) افقی محور کے ساتھ لیٹر کی تعداد نشان زد کریں۔ (iii) عمودی محور کے ساتھ پیٹرول کی قیمت نشان زد کریں۔ (iv) نقاط کو پلاٹ کریں: $(10,500),(15,750),(20,1000),(25,1250)$۔ (v) نقاط کو جوڑیں۔

ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ گراف ایک لکیر ہے۔ (یہ ایک لکیری گراف ہے)۔ یہ گراف اصل نقطے سے کیوں گزرتا ہے؟ اس کے بارے میں سوچیں۔

یہ گراف ہمیں کچھ چیزوں کا تخمینہ لگانے میں مدد کر سکتا ہے۔ فرض کریں ہم 12 لیٹر پیٹرول خریدنے کے لیے درکار رقم معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ افقی محور پر 12 کو تلاش کریں۔

12 سے گزرنے والی عمودی لکیر کو اس وقت تک فالو کریں جب تک آپ گراف سے $P$ پر نہ مل جائیں (فرض کریں)۔

$P$ سے آپ عمودی محور سے ملنے کے لیے ایک افقی لکیر لیں۔ یہ ملنے والا نقطہ جواب فراہم کرتا ہے۔

یہ ایک ایسی صورت حال کا گراف ہے جس میں دو مقداریں، براہ راست تغیر میں ہیں۔ (کیسے؟)۔

ایسی صورت حال میں، گراف ہمیشہ لکیری ہوں گے۔

یہ کریں

اوپر والی مثال میں، ₹ 800 کے لیے کتنا پیٹرول خریدا جا سکتا ہے یہ معلوم کرنے کے لیے گراف کا استعمال کریں۔

مثال 4: (اصل رقم اور سادہ سود)

ایک بینک سینئر شہریوں کی جمع کرائیوں پر $10 %$ سادہ سود (S.I.) دیتا ہے۔ جمع کرائی گئی رقم اور حاصل ہونے والے سادہ سود کے درمیان تعلق کو واضح کرنے کے لیے ایک گراف بنائیں۔ اپنے گراف سے معلوم کریں

(a) ₹ 250 کی سرمایہ کاری کے لیے حاصل ہونے والا سالانہ سود۔ (b) ₹ 70 کا سالانہ سادہ سود حاصل کرنے کے لیے کتنی سرمایہ کاری کرنی ہوگی۔

حل:

عمل کرنے کے مراحل:

1. جمع اور سادہ سود کے طور پر پلاٹ کرنے کے لیے مقداریں معلوم کریں۔ 2. $x$-axis اور $y$-axis پر لی جانے والی مقداریں طے کریں۔ 3. ایک پیمانہ منتخب کریں۔ 4. نقاط پلاٹ کریں۔ 5. نقاط کو جوڑیں۔

ہمیں اقدار کا ایک جدول ملتا ہے۔

(i) پیمانہ: افقی محور پر 1 یونٹ $=₹ 100$؛ عمودی محور پر 1 یونٹ $=₹ 10$۔ (ii) افقی محور کے ساتھ جمع کی رقم نشان زد کریں۔ (iii) عمودی محور کے ساتھ سادہ سود نشان زد کریں۔ (iv) نقاط پلاٹ کریں: $(100,10),(200,20),(300,30),(500,50)$ وغیرہ۔ (v) نقاط کو جوڑیں۔ ہمیں ایک گراف ملتا ہے جو ایک لکیر ہے (شکل 13.6)۔ (a) افقی محور پر ₹ 250 کے مطابق، ہمیں عمودی محور پر سود ₹ 25 ملتا ہے۔

یہ کریں

کیا مثال 4، براہ راست تغیر کی ایک مثال ہے؟ (b) عمودی محور پر ₹ 70 کے مطابق، ہمیں افقی محور پر رقم $₹ 700$ ملتی ہے۔

شکل 13.6

مثال 5: (وقت اور فاصلہ)

اجیت مستقل طور پر $30 kms / hour$ کی رفتار سے اسکوٹر چلا سکتا ہے۔ اس صورت حال کے لیے ایک وقت-فاصلہ گراف بنائیں۔ اسے استعمال کرتے ہوئے معلوم کریں

(i) اجیت کے ذریعے $75 km$ سفر کرنے میں لگنے والا وقت۔ (ii) اجیت کے ذریعے $3 \frac{1}{2}$ گھنٹوں میں طے کردہ فاصلہ۔

حل:

ہمیں اقدار کا ایک جدول ملتا ہے۔

(i) پیمانہ: (شکل 13.7) افقی: 2 یونٹ $=1$ گھنٹہ عمودی: 1 یونٹ $=10 km$ (ii) افقی محور پر وقت نشان زد کریں۔ (iii) عمودی محور پر فاصلہ نشان زد کریں۔ (iv) نقاط پلاٹ کریں: $(1,30),(2,60),(3,90),(4,120)$۔

شکل 13.7 (v) نقاط کو جوڑیں۔ ہمیں ایک لکیری گراف ملتا ہے۔ (a) عمودی محور پر $75 km$ کے مطابق، ہمیں افقی محور پر وقت 2.5 گھنٹے ملتا ہے۔ اس طرح $75 km$ طے کرنے کے لیے 2.5 گھنٹے درکار ہیں۔ (b) افقی محور پر $3 \frac{1}{2}$ گھنٹوں کے مطابق، طے شدہ فاصلہ عمودی محور پر $105 km$ ہے۔

مشق 13.2

1. مندرجہ ذیل اقدار کے جدولوں کے لیے، محوروں پر مناسب پیمانوں کے ساتھ گراف بنائیں۔

(a) سیبوں کی قیمت

(b) کار کے ذریعے طے شدہ فاصلہ

(i) صبح 7.30 بجے سے صبح 8 بجے تک کے دوران کار نے کتنا فاصلہ طے کیا؟ (ii) وہ کون سا وقت تھا جب کار نے اپنے آغاز کے بعد سے $100 km$ کا فاصلہ طے کر لیا تھا؟

(c) ایک سال کے لیے جمع پر سود۔

(i) کیا گراف اصل نقطے سے گزرتا ہے؟ (ii) ₹ 2500 پر ایک سال کے لیے سود معلوم کرنے کے لیے گراف کا استعمال کریں۔ (iii) ₹ 280 فی سال کا سود حاصل کرنے کے لیے کتنی رقم جمع کرانی چاہیے؟

2. مندرجہ ذیل کے لیے ایک گراف بنائیں۔

(i)

کیا یہ ایک لکیری گراف ہے؟ (ii)

کیا یہ ایک لکیری گراف ہے؟

ہم نے کیا بحث کی؟

1. ڈیٹا کی گرافیکل پیشکش سمجھنے میں آسان ہوتی ہے۔ 2. لائن گراف ایسے ڈیٹا کو ظاہر کرتا ہے جو وقت کے ادوار میں مسلسل تبدیل ہوتا رہتا ہے۔ 3. لائن گراف جو ایک مکمل بے شکستہ لکیر ہوتی ہے اسے لکیری گراف کہتے ہیں۔ 4. گراف شیٹ پر ایک نقطہ مقرر کرنے کے لیے ہمیں، $x$-coordinate اور $y$-coordinate کی ضرورت ہوتی ہے۔ 5. منحصر متغیر اور آزاد متغیر کے درمیان تعلق کو گراف کے ذریعے دکھایا جاتا ہے۔