13.1 పరిచయం

మీరు వార్తాపత్రికలు, టెలివిజన్, మ్యాగజైన్లు, పుస్తకాలు మొదలైన వాటిలో గ్రాఫ్లను చూశారా? సంఖ్యాపరమైన వాస్తవాలను వేగంగా, సులభంగా మరియు స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవడానికి దృశ్య రూపంలో చూపించడమే గ్రాఫ్ యొక్క ఉద్దేశ్యం. అందువల్ల, గ్రాఫ్లు సేకరించిన డేటా యొక్క దృశ్య ప్రాతినిధ్యాలు. డేటాను పట్టిక రూపంలో కూడా ప్రదర్శించవచ్చు; అయితే గ్రాఫికల్ ప్రదర్శనను అర్థం చేసుకోవడం సులభం. ప్రత్యేకించి ఒక ధోరణి లేదా పోలిక చూపించవలసి వచ్చినప్పుడు ఇది నిజం.

మేము ఇప్పటికే కొన్ని రకాల గ్రాఫ్లను చూశాము. వాటిని ఇక్కడ త్వరగా గుర్తుచేసుకుందాం.

13.1.1 రేఖా గ్రాఫ్

ఒక రేఖా గ్రాఫ్ కాలక్రమేణా నిరంతరం మారుతున్న డేటాను ప్రదర్శిస్తుంది.

రేణు అనారోగ్యంతో పడినప్పుడు, ఆమె వైద్యుడు ప్రతి నాలుగు గంటలకు తీసుకున్న ఆమె శరీర ఉష్ణోగ్రత యొక్క రికార్డును నిర్వహించాడు. ఇది గ్రాఫ్ రూపంలో ఉంది (Fig 13.1 మరియు Fig 13.2లో చూపబడింది).

మేము దీనిని “సమయ-ఉష్ణోగ్రత గ్రాఫ్” అని పిలుస్తాము.

ఇది టేబులర్ రూపంలో ఇచ్చిన క్రింది డేటా యొక్క చిత్రాత్మక ప్రాతినిధ్యం.

సమాంతర రేఖ (సాధారణంగా $x$-అక్షం అని పిలుస్తారు) ఉష్ణోగ్రతలు రికార్డు చేయబడిన సమయాలను చూపుతుంది. నిలువు రేఖపై (సాధారణంగా $y$-అక్షం అని పిలుస్తారు) ఏమి లేబుల్ చేయబడింది?

Fig 13.1

ప్రతి డేటా ముక్క చదరపు గ్రిడ్పై ఒక బిందువు ద్వారా చూపబడుతుంది.

సమయం $arrow$

Fig 13.1

బిందువులు తర్వాత రేఖా ఖండాల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడతాయి. ఫలితం రేఖా గ్రాఫ్.

ఈ గ్రాఫ్ మీకు ఏమి చెబుతుంది? ఉదాహరణకు మీరు ఉష్ణోగ్రత నమూనాను చూడవచ్చు; 10 a.m.కి ఎక్కువ (Fig 13.3 చూడండి) మరియు తర్వాత 6 p.m. వరకు తగ్గుతుంది. 6 a.m. నుండి $10 a . m$ వరకు ఉష్ణోగ్రత $3^{\circ} C(=40^{\circ} C-37^{\circ} C)$ పెరిగిందని గమనించండి.

8 a.m.కి ఉష్ణోగ్రత రికార్డింగ్ లేదు, అయితే గ్రాఫ్ అది $37^{\circ} C$ కంటే ఎక్కువగా ఉందని సూచిస్తుంది (ఎలా?).

ఉదాహరణ 1 : (“ప్రదర్శన"పై గ్రాఫ్)

ఇచ్చిన గ్రాఫ్ (Fig 13.3) 2007 సంవత్సరంలో పది వేర్వేరు మ్యాచ్లలో ప్రతిదానిలో రెండు బ్యాట్స్మెన్లు A మరియు B స్కోర్ చేసిన మొత్తం రన్లను సూచిస్తుంది. గ్రాఫ్ను అధ్యయనం చేసి క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి.

(i) రెండు అక్షాలపై ఏ సమాచారం ఇవ్వబడింది?

(ii) బ్యాట్స్మన్ A స్కోర్ చేసిన రన్లను ఏ రేఖ చూపుతుంది?

(iii) 2007లో ఏదైనా మ్యాచ్లో వారు స్కోర్ చేసిన రన్లు ఒకేలా ఉన్నాయా? అలా అయితే, ఏ మ్యాచ్లో?

(iii) ఈ రెండు బ్యాట్స్మెన్లలో, ఎవరు స్థిరంగా ఉన్నారు? మీరు దానిని ఎలా నిర్ణయిస్తారు?

పరిష్కారం:

(i) సమాంతర అక్షం (లేదా $x$-అక్షం) 2007 సంవత్సరంలో ఆడిన మ్యాచ్లను సూచిస్తుంది. నిలువు అక్షం (లేదా $y$-అక్షం) ప్రతి మ్యాచ్లో స్కోర్ చేసిన మొత్తం రన్లను చూపుతుంది.

(ii) చుక్కల రేఖ బ్యాట్స్మన్ A స్కోర్ చేసిన రన్లను చూపుతుంది. (ఇది ఇప్పటికే గ్రాఫ్ పైభాగంలో సూచించబడింది). (iii) 4వ మ్యాచ్ సమయంలో, ఇద్దరూ 60 రన్ల సమాన సంఖ్యను స్కోర్ చేశారు. (రెండు గ్రాఫ్లు కలిసే బిందువు ద్వారా ఇది సూచించబడుతుంది).

(iv) బ్యాట్స్మన్ Aకు ఒక గొప్ప “పీక్” ఉంది కానీ చాలా లోతైన “వ్యాలీలు” ఉన్నాయి. అతను స్థిరంగా లేడు. $B$, మరోవైపు, A యొక్క 115తో పోలిస్తే అతని అత్యధిక స్కోర్ కేవలం 100 అయినప్పటికీ, కనీసం 40 రన్ల కంటే తక్కువ స్కోర్ చేయలేదు. అలాగే A రెండు మ్యాచ్లలో జీరో స్కోర్ చేశాడు మరియు మొత్తం 5 మ్యాచ్లలో అతను 40 రన్ల కంటే తక్కువ స్కోర్ చేశాడు. Aకి చాలా ఎక్కువలు మరియు తగ్గుతుంటాయి కాబట్టి, $B$ మరింత స్థిరమైన మరియు నమ్మదగిన బ్యాట్స్మన్.

ఉదాహరణ 2 : ఇచ్చిన గ్రాఫ్ (Fig 13.4) సిటీ P నుండి సిటీ Qకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, వివిధ సమయాల్లో ఒక కారు నగరం $P$ నుండి ఉన్న దూరాలను వివరిస్తుంది, ఇవి $350 km$ దూరంలో ఉన్నాయి. గ్రాఫ్ను అధ్యయనం చేసి క్రింది వాటికి సమాధానం ఇవ్వండి:

(i) రెండు అక్షాలపై ఏ సమాచారం ఇవ్వబడింది?

(ii) కారు ఎక్కడ నుండి మరియు ఎప్పుడు తన ప్రయాణం ప్రారంభించింది?

(iii) మొదటి గంటలో కారు ఎంత దూరం వెళ్ళింది?

Fig 13.3

(iv) కారు (i) రెండవ గంటలో ఎంత దూరం వెళ్ళింది? (ii) మూడవ గంట?

(v) మొదటి మూడు గంటలపాటు వేగం ఒకేలా ఉందా? మీకు అది ఎలా తెలుసు?

(vi) కారు ఏదైనా ప్రదేశంలో కొంత సమయం పాటు ఆగిందా? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.

(vii) కారు సిటీ Qకి ఎప్పుడు చేరుకుంది?

Fig 13.4

పరిష్కారం:

(i) సమాంతర $(x)$ అక్షం సమయాన్ని చూపుతుంది. నిలువు $(y)$ అక్షం సిటీ $P$ నుండి కారు యొక్క దూరాన్ని చూపుతుంది.

(ii) కారు సిటీ P నుండి ఉదయం 8 గంటలకు ప్రారంభమైంది.

(iii) కారు మొదటి గంటలో $50 km$ ప్రయాణించింది. [దీన్ని ఈ క్రింది విధంగా చూడవచ్చు. ఉదయం 8 గంటలకు ఇది సిటీ P నుండి ప్రారంభమైంది. ఉదయం 9 గంటలకు ఇది 50వ కి.మీ.లో ఉంది (గ్రాఫ్ నుండి చూస్తే). అందువల్ల ఉదయం 8 గంటల నుండి ఉదయం 9 గంటల మధ్య ఒక గంట సమయంలో కారు $50 km$ ప్రయాణించింది].

(iv) కారు కవర్ చేసిన దూరం

(a) $2 nd$ గంట (అంటే, ఉదయం 9 నుండి $10 am)$ వరకు) $100 km,(150-50)$.

(b) $3 rd$ గంట (అంటే, $10 am$ నుండి $11 am)$ వరకు) $50 km(200-150)$.

(v) ప్రశ్నలు (iii) మరియు (iv)కి సమాధానాల నుండి, కారు వేగం అన్ని సమయాల్లో ఒకేలా లేదని మేము కనుగొంటాము. (వాస్తవానికి, వేగం ఎలా మారుతుందో గ్రాఫ్ వివరిస్తుంది).

(vi) సమయం $11 a . m$ ఉన్నప్పుడు కారు సిటీ $P$ నుండి $200 km$ దూరంలో ఉందని మేము కనుగొంటాము. మరియు మధ్యాహ్నం 12 గంటలకు కూడా. ఇది కారు ఉదయం 11 నుండి మధ్యాహ్నం 12 గంటల మధ్య ప్రయాణించలేదని చూపిస్తుంది. ఈ కాలంలో “ప్రయాణం"ని సూచించే సమాంతర రేఖా ఖండం ఈ వాస్తవాన్ని వివరిస్తుంది.

(vii) కారు సిటీ $Q$కి మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు చేరుకుంది.

అభ్యాసం 13.1

1. క్రింది గ్రాఫ్ ఒక ఆసుపత్రిలోని రోగి యొక్క ఉష్ణోగ్రతను, ప్రతి గంటకు రికార్డు చేస్తుంది.

(a) మధ్యాహ్నం 1 గంటలకు రోగి ఉష్ణోగ్రత ఎంత?

(b) రోగి ఉష్ణోగ్రత $38.5^{\circ} C$ ఎప్పుడు ఉంది?

సమయం $arrow$ (c) ఇచ్చిన కాలంలో రోగి ఉష్ణోగ్రత రెండు సార్లు ఒకేలా ఉంది. ఈ రెండు సమయాలు ఏవి?

(d) మధ్యాహ్నం 1.30 గంటలకు ఉష్ణోగ్రత ఎంత? మీరు మీ సమాధానానికి ఎలా వచ్చారు?

(e) ఏ కాలాల్లో రోగి ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతున్న ధోరణిని చూపించింది?

2. క్రింది రేఖా గ్రాఫ్ ఒక తయారీ కంపెనీకి సంవత్సరానికి అమ్మకాల సంఖ్యను చూపుతుంది.

(a) (i) 2002 (ii) 2006లో అమ్మకాలు ఎంత ఉన్నాయి?

(b) (i) 2003లో అమ్మకాలు ఎంత ఉన్నాయి

(ii) 2005 ?

(c) 2002 మరియు 2006లో అమ్మకాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి.

(d) ఏ సంవత్సరంలో దాని మునుపటి సంవత్సరంతో పోలిస్తే అమ్మకాలలో అత్యధిక వ్యత్యాసం ఉంది?

3. బోటనీలో ఒక ప్రయోగం కోసం, రెండు వేర్వేరు మొక్కలు, మొక్క $A$ మరియు మొక్క $B$ సారూప్య ప్రయోగశాల పరిస్థితుల్లో పెంచబడ్డాయి. వాటి ఎత్తులు 3 వారాల పాటు ప్రతి వారం చివరిలో కొలవబడ్డాయి. ఫలితాలు క్రింది గ్రాఫ్ ద్వారా చూపబడ్డాయి.

(b) మొక్క B (i) 2 వారాల తర్వాత (ii) 3 వారాల తర్వాత ఎంత ఎత్తులో ఉంది?

(c) మొక్క A 3వ వారంలో ఎంత పెరిగింది?

(d) 2వ వారం చివరి నుండి 3వ వారం చివరి వరకు మొక్క B ఎంత పెరిగింది?

(e) ఏ వారంలో మొక్క A అత్యధికంగా పెరిగింది?

(f) ఏ వారంలో మొక్క B తక్కువగా పెరిగింది?

(g) ఇక్కడ చూపబడిన ఏ వారంలోనైనా రెండు మొక్కలు ఒకే ఎత్తులో ఉన్నాయా? స్పష్టం చేయండి.

4. క్రింది గ్రాఫ్ ఒక వారంలో ప్రతి రోజు కోసం ఉష్ణోగ్రత పూర్వానుమానం మరియు వాస్తవ ఉష్ణోగ్రతను చూపుతుంది.

(a) ఏ రోజుల్లో పూర్వానుమాన ఉష్ణోగ్రత వాస్తవ ఉష్ణోగ్రతకు సమానంగా ఉంది?

(b) వారంలో గరిష్ట పూర్వానుమాన ఉష్ణోగ్రత ఎంత ఉంది?

(c) వారంలో కనిష్ట వాస్తవ ఉష్ణోగ్రత ఎంత ఉంది?

(d) ఏ రోజున వాస్తవ ఉష్ణోగ్రత పూర్వానుమాన ఉష్ణోగ్రత నుండి అత్యధికంగా భిన్నంగా ఉంది?

5. సరళ రేఖ గ్రాఫ్లను గీయడానికి క్రింది పట్టికలను ఉపయోగించండి.

(a) వివిధ సంవత్సరాల్లో ఒక కొండప్రాంత నగరం అందుకున్న మంచు రోజుల సంఖ్య.

(b) వివిధ సంవత్సరాల్లో ఒక గ్రామంలో పురుషులు మరియు మహిళల జనాభా (వేలల్లో).

6. ఒక కూరియర్-వ్యక్తి ఒక పార్సెల్ను వర్తకునికి అందించడానికి ఒక పట్టణం నుండి ప్రక్కనే ఉన్న ఉపనగర ప్రాంతానికి సైకిల్ తొక్కుతాడు. వివిధ సమయాల్లో పట్టణం నుండి అతని దూరం క్రింది గ్రాఫ్ ద్వారా చూపబడుతుంది.

(a) సమయ అక్షం కోసం ఎంత స్కేల్ తీసుకోబడింది?

(b) ఆ వ్యక్తి ప్రయాణానికి ఎంత సమయం తీసుకున్నాడు?

(c) వర్తకుని స్థలం పట్టణం నుండి ఎంత దూరంలో ఉంది?

(d) ఆ వ్యక్తి తన మార్గంలో ఆగాడా? వివరించండి.

(e) ఏ కాలంలో అతను వేగంగా సైకిల్ తొక్కాడు?

7. క్రింది విధంగా ఒక సమయ-ఉష్ణోగ్రత గ్రాఫ్ ఉండగలదా? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.

13.2 కొన్ని అనువర్తనాలు

రోజువారీ జీవితంలో, మీరు ఒక సౌకర్యాన్ని ఎంత ఎక్కువగా ఉపయోగిస్తే, దానికి మీరు ఎంత ఎక్కువ చెల్లించాలో గమనించి ఉండవచ్చు. ఎక్కువ విద్యుత్తు వినియోగించబడితే, బిల్లు ఎక్కువగా ఉండటం నిశ్చయం. తక్కువ విద్యుత్తు ఉపయోగించబడితే, అప్పుడు బిల్లు సులభంగా నిర్వహించదగినదిగా ఉంటుంది. ఇది ఒక పరిమాణం మరొకదానిని ప్రభావితం చేసే ఉదాహరణ. విద్యుత్ బిల్లు మొత్తం వినియోగించిన విద్యుత్ పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. విద్యుత్ పరిమాణం ఒక స్వతంత్ర చరరాశి (లేదా కొన్నిసార్లు నియంత్రణ చరరాశి) మరియు విద్యుత్ బిల్లు మొత్తం ఆధారిత చరరాశి అని మేము చెప్తాము. అటువంటి చరరాశుల మధ్య సంబంధం గ్రాఫ్ ద్వారా చూపబడుతుంది.

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

కారు పెట్రోల్ ట్యాంక్ను నింపడానికి మీరు కొనుగోలు చేసే పెట్రోల్ లీటర్ల సంఖ్య మీరు చెల్లించాల్సిన మొత్తాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. ఇక్కడ స్వతంత్ర చరరాశి ఏది? దాని గురించి ఆలోచించండి.

ఉదాహరణ 3 : (పరిమాణం మరియు ఖర్చు)

క్రింది పట్టిక పెట్రోల్ పరిమాణం మరియు దాని ఖర్చును ఇస్తుంది.

డేటాను చూపించడానికి గ్రాఫ్ గీయండి.

పరిష్కారం: (i) రెండు అక్షాలపై కూడా తగిన స్కేల్ తీసుకుందాం (Fig 13.5).

Fig 13.5 (ii) సమాంతర అక్షం వెంబడి లీటర్ల సంఖ్యను గుర్తించండి.

(iii) నిలువు అక్షం వెంబడి పెట్రోల్ ఖర్చును గుర్తించండి.

(iv) బిందువులను ప్లాట్ చేయండి: $(10,500),(15,750),(20,1000),(25,1250)$.

(v) బిందువులను కలపండి.

గ్రాఫ్ ఒక రేఖ అని మేము కనుగొంటాము. (ఇది సరళ రేఖ గ్రాఫ్). ఈ గ్రాఫ్ ఎందుకు మూలం గుండా వెళుతుంది? దాని గురించి ఆలోచించండి.

ఈ గ్రాఫ్ కొన్ని విషయాలను అంచనా వేయడంలో మాకు సహాయపడుతుంది. మనం 12 లీటర్ల పెట్రోల్ కొనుగోలు చేయడానికి అవసరమైన మొత్తాన్ని కనుగొనాలనుకుందాం. సమాంతర అక్షంపై 12ని గుర్తించండి.

$P$ వద్ద (అనుకోండి) మీరు గ్రాఫ్ను కలిసే వరకు నిలువు రేఖ ద్వారా 12 ద్వారా అనుసరించండి.

$P$ నుండి మీరు నిలువు అక్షాన్ని కలిసే వరకు ఒక సమాంతర రేఖను తీసుకోండి. ఈ మీటింగ్ పాయింట్ సమాధానాన్ని అందిస్తుంది.

ఇది రెండు పరిమాణాలు, నేరుగా వైవిధ్యంలో ఉన్న పరిస్థితి యొక్క గ్రాఫ్. (ఎలా?).

అటువంటి పరిస్థితుల్లో, గ్రాఫ్లు ఎల్లప్పుడూ సరళ రేఖలుగా ఉంటాయి.

దీన్ని ప్రయత్నించండి

పై ఉదాహరణలో, ₹ 800కి ఎంత పెట్రోల్ కొనుగోలు చేయవచ్చో కనుగొనడానికి గ్రాఫ్ను ఉపయోగించండి.

ఉదాహరణ 4 : (ప్రిన్సిపాల్ మరియు సాధారణ వడ్డీ)

ఒక బ్యాంకు సీనియర్ సిటిజన్ల డిపాజిట్లపై $10 %$ సాధారణ వడ్డీ (S.I.) ఇస్తుంది. జమ చేసిన మొత్తం మరియు సంపాదించిన సాధారణ వడ్డీ మధ్య సంబంధాన్ని వివరించడానికి గ్రాఫ్ గీయండి. మీ గ్రాఫ్ నుండి కనుగొనండి

(a) ₹ 250 పెట్టుబడికి లభించే వార్షిక వడ్డీ.

(b) ₹ 70 వార్షిక సాధారణ వడ్డీ పొందడానికి ఒకరు చేయవలసిన పెట్టుబడి.

పరిష్కారం:

అనుసరించాల్సిన దశలు:

1. డిపాజిట్ మరియు SIగా ప్లాట్ చేయవలసిన పరిమాణాలను కనుగొనండి.

2. $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షంపై తీసుకోవాల్సిన పరిమాణాలను నిర్ణయించండి.

3. స్కేల్ని ఎంచుకోండి.

4. బిందువులను ప్లాట్ చేయండి.

5. బిందువులను కలపండి.

మనకు విలువల పట్టిక లభిస్తుంది.

(i) స్కేల్ : సమాంతర అక్షంపై 1 యూనిట్ $=₹ 100$; నిలువు అక్షంపై 1 యూనిట్ $=₹ 10$.

(ii) సమాంతర అక్షం వెంబడి డిపాజిట్లను గుర్తించండి.

(iii) నిలువు అక్షం వెంబడి సాధారణ వడ్డీని గుర్తించండి.

(iv) బిందువులను ప్లాట్ చేయండి : $(100,10),(200,20),(300,30),(500,50)$ మొదలైనవి.

(v) బిందువులను కలపండి. మనకు ఒక రేఖ (Fig 13.6) అయిన గ్రాఫ్ ల