१३.१ ओळख

वृत्तपत्रे, दूरदर्शन, मासिके, पुस्तके इत्यादीमध्ये तुम्ही आलेख पाहिले आहेत का? आलेखाचा उद्देश संख्यात्मक तथ्ये दृष्यरूपात दाखवणे हा आहे, जेणेकरून ती पटकन, सहज आणि स्पष्टपणे समजू शकतील. अशाप्रकारे आलेख हे गोळा केलेल्या डेटाचे दृश्य प्रतिनिधित्व आहेत. डेटा टेबलच्या स्वरूपातही सादर केला जाऊ शकतो; तथापि, आलेखीय सादरीकरण समजणे सोपे असते. विशेषतः जेव्हा काही कल दाखवायचा किंवा तुलना करायची असते तेव्हा हे खरे आहे.

आपण काही प्रकारचे आलेख आधीच पाहिले आहेत. चला ते येथे पटकन आठवूया.

१३.१.१ रेषा आलेख

रेषा आलेख अशा डेटाचे प्रदर्शन करतो जो कालावधीत सतत बदलतो.

जेव्हा रेणू आजारी पडली, तेव्हा तिच्या डॉक्टरांनी दर चार तासांनी घेतलेल्या तिच्या शरीराच्या तापमानाची नोंद ठेवली. ती आलेखाच्या स्वरूपात होती (आकृती १३.१ आणि आकृती १३.२ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे).

आपण याला “काल-तापमान आलेख” म्हणू शकतो.

हे खालील डेटाचे चित्रात्मक प्रतिनिधित्व आहे, जे सारणी स्वरूपात दिले आहे.

आडवी रेषा (सामान्यतः $x$-अक्ष म्हणतात) त्या वेळा दाखवते जेव्हा तापमान नोंदवले गेले होते. उभ्या रेषेवर (सामान्यतः $y$-अक्ष म्हणतात) काय लेबल केले आहे?

आकृती १३.१

प्रत्येक डेटाचा तुकडा चौरस ग्रिडवरील एका बिंदूद्वारे दाखवला जातो.

वेळ $arrow$

आकृती १३.१

नंतर बिंदू रेषाखंडांनी जोडले जातात. परिणाम रेषा आलेख असतो.

हा आलेख तुम्हाला काय सांगतो? उदाहरणार्थ, तुम्ही तापमानाचा नमुना पाहू शकता; सकाळी १० वाजता जास्त (आकृती १३.३ पहा) आणि नंतर संध्याकाळी ६ पर्यंत कमी होत जाते. लक्षात घ्या की सकाळी ६ ते $10 a . m$ या कालावधीत तापमान $3^{\circ} C(=40^{\circ} C-37^{\circ} C)$ ने वाढले.

सकाळी ८ वाजता तापमानाची नोंद नव्हती, तथापि आलेख सूचित करतो की ते $37^{\circ} C$ पेक्षा जास्त होते (कसे?).

उदाहरण १ : (“कामगिरी” वरील आलेख)

दिलेला आलेख (आकृती १३.३) वर्ष २००७ मधील दहा वेगवेगळ्या सामन्यांदरम्यान दोन फलंदाज A आणि B यांनी केलेले एकूण धावा दर्शवतो. आलेखाचा अभ्यास करा आणि खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.

(i) दोन्ही अक्षांवर कोणती माहिती दिली आहे?

(ii) फलंदाज A ने केलेल्या धावा कोणती रेषा दाखवते?

(iii) २००७ मध्ये कोणत्याही सामन्यात त्यांच्या धावा सारख्याच होत्या का? जर होत्या, तर कोणत्या सामन्यात?

(iv) या दोन फलंदाजांपैकी, कोण अधिक स्थिर आहे? तुम्ही ते कसे ठरवाल?

उत्तर:

(i) आडवा अक्ष (किंवा $x$-अक्ष) वर्ष २००७ दरम्यान खेळलेले सामने दर्शवतो. उभा अक्ष (किंवा $y$-अक्ष) प्रत्येक सामन्यातील एकूण धावा दाखवतो.

(ii) ठिपकेवार रेषा फलंदाज A ने केलेल्या धावा दाखवते. (हे आलेखाच्या शीर्षस्थानी आधीच दर्शवले आहे). (iii) चौथ्या सामन्यादरम्यान, दोघांनीही ६० धावांची समान संख्या केली. (हे त्या बिंदूद्वारे दर्शवले आहे जिथे दोन्ही आलेख भेटतात).

(iv) फलंदाज A चा एक मोठा “शिखर” आहे पण अनेक खोल “दऱ्या” आहेत. तो सुसंगत दिसत नाही. $B$, दुसरीकडे, किमान ४० धावांच्या खाली कधीही गेला नाही, जरी त्याचा सर्वोच्च स्कोर फक्त १०० आहे तर A चा ११५ आहे. तसेच A ने दोन सामन्यांमध्ये शून्य धावा केल्या आहेत आणि एकूण ५ सामन्यांमध्ये त्याने ४० पेक्षा कमी धावा केल्या आहेत. A मध्ये बरेच चढ-उतार असल्याने, $B$ हा अधिक सुसंगत आणि विश्वासार्ह फलंदाज आहे.

उदाहरण २ : दिलेला आलेख (आकृती १३.४) शहर $P$ पासून कारचे वेगवेगळ्या वेळेस असलेले अंतर वर्णन करतो, जेव्हा ती शहर P ते शहर Q पर्यंत प्रवास करत असते, जी $350 km$ दूर आहेत. आलेखाचा अभ्यास करा आणि खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या:

(i) दोन्ही अक्षांवर कोणती माहिती दिली आहे?

(ii) कारने कोठून आणि केव्हा आपला प्रवास सुरू केला?

(iii) पहिल्या तासात कार किती दूर गेली?

आकृती १३.३

(iv) (i) दुसऱ्या तासात कार किती दूर गेली? (ii) तिसऱ्या तासात?

(v) पहिल्या तीन तासांदरम्यान गती समान होती का? तुम्हाला ते कसे कळते?

(vi) कार कोणत्याही ठिकाणी काही कालावधीसाठी थांबली का? तुमचे उत्तर स्पष्ट करा.

(vii) कार शहर Q ला केव्हा पोहोचली?

आकृती १३.४

उत्तर:

(i) आडवा $(x)$ अक्ष वेळ दर्शवतो. उभा $(y)$ अक्ष शहर $P$ पासून कारचे अंतर दर्शवतो.

(ii) कार सकाळी ८ वाजता शहर P वरून सुरू झाली.

(iii) कारने पहिल्या तासात $50 km$ प्रवास केला. [हे पुढीलप्रमाणे पाहिले जाऊ शकते. सकाळी ८ वाजता ती शहर P वरून नुकतीच सुरू झाली. सकाळी ९ वाजता ती ५०व्या किमीवर होती (आलेखावरून दिसते). म्हणून सकाळी ८ ते ९ दरम्यानच्या एका तासाच्या वेळेत कारने $50 km$ प्रवास केला].

(iv) कारने कापलेले अंतर

(a) $2 nd$ तासात (म्हणजे, सकाळी ९ ते $10 am)$) $100 km,(150-50)$ आहे.

(b) $3 rd$ तासात (म्हणजे, $10 am$ ते $11 am)$) $50 km(200-150)$ आहे.

(v) प्रश्न (iii) आणि (iv) च्या उत्तरांवरून, आपल्याला असे आढळते की कारची गती सर्व वेळ समान नव्हती. (खरेतर, आलेख गती कशी बदलली हे दर्शवते).

(vi) आपल्याला असे आढळते की सकाळी $11 a . m$ वाजता कार शहर $P$ पासून $200 km$ दूर होती. आणि दुपारी १२ वाजताही. हे दर्शवते की सकाळी ११ ते दुपारी १२ या कालावधीत कारने प्रवास केला नाही. या कालावधीतील “प्रवास” दर्शविणारा आडवा रेषाखंड ही वस्तुस्थिती स्पष्ट करतो.

(vii) कार दुपारी २ वाजता शहर $Q$ ला पोहोचली.

उदाहरणे १३.१

१. खालील आलेख रुग्णालयातील एका रुग्णाचे तापमान दर तासाने नोंदवलेले दाखवतो.

(a) दुपारी १ वाजता रुग्णाचे तापमान किती होते?

(b) रुग्णाचे तापमान $38.5^{\circ} C$ केव्हा होते?

वेळ $arrow$ (c) दिलेल्या कालावधीत रुग्णाचे तापमान दोन वेळा समान होते. ते दोन वेळा कोणत्या होत्या?

(d) दुपारी १.३० वाजता तापमान किती होते? तुम्ही तुमचे उत्तर कसे काढले?

(e) कोणत्या कालावधीत रुग्णाचे तापमान वाढीची कल दर्शवते?

२. खालील रेषा आलेख एका उत्पादन कंपनीची वार्षिक विक्री आकडेवारी दाखवतो.

(a) (i) २००२ मध्ये (ii) २००६ मध्ये विक्री किती होती?

(b) (i) २००३ मध्ये विक्री किती होती?

(ii) २००५ मध्ये?

(c) २००२ आणि २००६ मधील विक्रीतील फरक काढा.

(d) कोणत्या वर्षी त्याच्या मागील वर्षाच्या तुलनेत विक्रीत सर्वात मोठा फरक होता?

३. वनस्पतिशास्त्रातील एका प्रयोगासाठी, दोन वेगवेगळ्या वनस्पती, वनस्पती $A$ आणि वनस्पती $B$ यांना समान प्रयोगशाळा परिस्थितीत वाढवले गेले. तीन आठवड्यांसाठी प्रत्येक आठवड्याच्या शेवटी त्यांची उंची मोजली गेली. परिणाम खालील आलेखाद्वारे दाखवले आहेत.

(b) वनस्पती B (i) २ आठवड्यांनंतर (ii) ३ आठवड्यांनंतर किती उंच होती?

(c) तिसऱ्या आठवड्यात वनस्पती A किती वाढली?

(d) दुसऱ्या आठवड्याच्या शेवटापासून तिसऱ्या आठवड्याच्या शेवटापर्यंत वनस्पती B किती वाढली?

(e) कोणत्या आठवड्यात वनस्पती A सर्वात जास्त वाढली?

(f) कोणत्या आठवड्यात वनस्पती B सर्वात कमी वाढली?

(g) येथे दाखवलेल्या कोणत्याही आठवड्यात दोन्ही वनस्पती समान उंचीच्या होत्या का? नमूद करा.

४. खालील आलेख आठवड्याच्या प्रत्येक दिवसासाठी अंदाजित तापमान आणि वास्तविक तापमान दाखवतो.

(a) कोणत्या दिवशी अंदाजित तापमान वास्तविक तापमानासारखेच होते?

(b) आठवड्यात कमाल अंदाजित तापमान किती होते?

(c) आठवड्यात किमान वास्तविक तापमान किती होते?

(d) कोणत्या दिवशी वास्तविक तापमान अंदाजित तापमानापेक्षा सर्वात जास्त वेगळे होते?

५. खालील सारण्या वापरून रेषीय आलेख काढा.

(a) एका डोंगराळ शहराला वेगवेगळ्या वर्षांत बर्फ पडलेल्या दिवसांची संख्या.

(b) वेगवेगळ्या वर्षांतील एका गावातील पुरुष आणि महिलांची लोकसंख्या (हजारो मध्ये).

६. एक कुरियर-व्यक्ती एका शहरातून शेजारच्या उपनगरीय भागात एक पार्सल व्यापाऱ्याला वितरीत करण्यासाठी सायकल चालवतो. वेगवेगळ्या वेळेस शहरापासूनचे त्याचे अंतर खालील आलेखाद्वारे दाखवले आहे.

(a) वेळ अक्षासाठी कोणता प्रमाणित घेतला आहे?

(b) प्रवासासाठी त्या व्यक्तीने किती वेळ घेतला?

(c) व्यापाऱ्याचे ठिकाण शहरापासून किती दूर आहे?

(d) त्या व्यक्तीने वाटेत थांबले का? स्पष्ट करा.

(e) कोणत्या कालावधीत त्याने सर्वात वेगाने सायकल चालवली?

७. खालीलप्रमाणे काल-तापमान आलेख असू शकतो का? तुमचे उत्तर स्पष्ट करा.

१३.२ काही उपयोजन

दैनंदिन जीवनात, तुम्ही पाहिले असेल की जितकी अधिक सुविधा तुम्ही वापरता, तितके अधिक तुम्ही त्यासाठी पैसे द्याल. जास्त वीज वापरली तर बिल जास्त येणारच. कमी वीज वापरली तर बिल सहज व्यवस्थापित करता येईल. हे एक असे उदाहरण आहे जेथे एक राशी दुसऱ्यावर परिणाम करते. वीज बिलाची रक्कम वापरल्या गेलेल्या वीजेच्या प्रमाणावर अवलंबून असते. आपण असे म्हणतो की वीजेचे प्रमाण हे एक स्वतंत्र चल (किंवा काहीवेळा नियंत्रण चल) आहे आणि वीज बिलाची रक्कम हे अवलंबित चल आहे. अशा चलांमधील संबंध आलेखाद्वारे दाखवता येतो.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

कारची पेट्रोल टँक भरण्यासाठी तुम्ही खरेदी केलेल्या पेट्रोलच्या लिटरची संख्या तुम्हाला द्याव्या लागणाऱ्या रकमेचा निर्णय घेईल. येथे स्वतंत्र चल कोणते आहे? याचा विचार करा.

उदाहरण ३ : (प्रमाण आणि किंमत)

खालील सारणी पेट्रोलचे प्रमाण आणि त्याची किंमत देते.

डेटा दाखवण्यासाठी आलेख काढा.

उत्तर: (i) दोन्ही अक्षांवर योग्य प्रमाणित घेऊ (आकृती १३.५).

आकृती १३.५ (ii) आडव्या अक्षावर लिटरची संख्या चिन्हांकित करा.

(iii) उभ्या अक्षावर पेट्रोलची किंमत चिन्हांकित करा.

(iv) बिंदू प्लॉट करा: $(10,500),(15,750),(20,1000),(25,1250)$.

(v) बिंदू जोडा.

आपल्याला आढळते की आलेख एक रेषा आहे. (तो एक रेषीय आलेख आहे). हा आलेख मूळबिंदूतून का जातो? याचा विचार करा.

हा आलेख आपल्याला काही गोष्टी अंदाजे काढण्यास मदत करू शकतो. समजा आपल्याला १२ लिटर पेट्रोल खरेदी करण्यासाठी लागणारी रक्कम शोधायची आहे. आडव्या अक्षावर १२ शोधा.

१२ मधून उभी रेषा अनुसरा जोपर्यंत तुम्ही आलेखाला $P$ (समजा) येथे भेटत नाही.

$P$ पासून तुम्ही उभ्या अक्षाला भेटण्यासाठी आडवी रेषा घ्या. हा भेटण्याचा बिंदू उत्तर देतो.

ही एका अशा परिस्थितीचा आलेख आहे ज्यामध्ये दोन राशी, थेट प्रमाणात आहेत. (कसे?).

अशा परिस्थितीत, आलेख नेहमी रेषीय असतील.

हे करून पहा

वरील उदाहरणात, ₹ ८०० साठी किती पेट्रोल खरेदी करता येईल हे शोधण्यासाठी आलेख वापरा.

उदाहरण ४ : (मुद्दल आणि सरळ व्याज)

एक बँक वरिष्ठ नागरिकांकडून ठेवींवर $10 %$ सरळ व्याज (S.I.) देते. जमा केलेली रक्कम आणि मिळवलेले सरळ व्याज यांच्यातील संबंध दर्शविण्यासाठी आलेख काढा. तुमच्या आलेखावरून शोधा

(a) ₹ २५० च्या गुंतवणुकीसाठी मिळणारे वार्षिक व्याज.

(b) ₹ ७० चे वार्षिक सरळ व्याज मिळवण्यासाठी किती गुंतवणूक करावी लागेल.

उत्तर:

अनुसरण करण्याच्या पायऱ्या:

१. ठेव आणि सरळ व्याज म्हणून प्लॉट करायच्या राशी शोधा.

२. $x$-अक्षावर आणि $y$-अक्षावर घ्यायच्या राशी ठरवा.

३. एक प्रमाणित निवडा.

४. बिंदू प्लॉट करा.

५. बिंदू जोडा.

आपल्याला मूल्यांची सारणी मिळते.

(i) प्रमाणित : आडव्या अक्षावर १ एकक $=₹ 100$; उभ्या अक्षावर १ एकक $=₹ 10$.

(ii) आडव्या अक्षावर ठेवी चिन्हांकित करा.

(iii) उभ्या अक्षावर सरळ व्याज चिन्हांकित करा.

(iv) बिंदू प्लॉट करा : $(100,10),(200,20),(300,30),(500,50)$ इत्यादी.

(v) बिंदू जोडा. आपल्याला एक आलेख मिळतो जो एक रेषा आहे (आकृती १३.६).

(a) आडव्या अक्षावरील ₹ २५० शी संबंधित, आपल्याला उभ्या अक्षावर ₹ २५ व्याज मिळते.

हे करून पहा

उदाहरण ४ मध्ये, थेट प्रमाणाचे उदाहरण आहे का?

(b) उभ्या अक्षावरील ₹ ७० शी संबंधित, आपल्याला आडव्या अक्षावर $₹ 700$ रक्कम मिळते.

आकृती १३.६

उदाहरण ५ : (वेळ आणे अंतर)

अजित स्कूटर $30 kms / hour$ च्या स्थिर गतीने चालवू शकतो. या परिस्थितीसाठी काल-अंतर आलेख काढा. त्याचा वापर करून शोधा

(i) अजितला $75 km$ चालवण्यासाठी लागणारा वेळ. (ii) $3 \frac{1}{2}$ तासांत अजितने कापलेले अंतर.

उत्तर:

आपल्याला मूल्यांची सारणी मिळते.

(i) प्रमाणित: (आकृती १३.७)

आडवे: २ एकक $=1$ तास

उभे: १ एकक $=10 km$

(ii) आडव्या अक्षावर वेळ चिन्हांकित करा.

(iii) उभ्या अक्षावर अंतर चिन्हांकित करा.

(iv) बिंदू प्लॉट करा: $(1,30),(2,60),(3,90),(4,120)$.

आकृती १३.७ (v) बिंदू जोडा. आपल्याला एक रेषीय आलेख मिळतो.

(a) उभ्या अक्षावरील $75 km$ शी संबंधित, आपल्याला आडव्या अक्षावर २.५ तास वेळ मिळतो. अशाप्रकारे $75 km$ कापण्यासाठी २.५ तास लागतात.

(b) आडव्या अक्षावरील $3 \frac{1}{2}$ तासांशी संबंधित, कापलेले अंतर उभ्या अक्षावर $105 km$ आहे.

उदाहरणे १३.२

१. अक्षांवर योग्य प्रमाणित घेऊन खालील मूल्यांच्या सारण्यांसाठी आलेख काढा.

(a) सफरचंदांची किंमत

(b) कारने प्रवास केलेले अंतर

(i) सकाळी ७.३० ते सकाळी ८ या कालावधीत कारने किती अंतर कापले?

(ii) कारने सुरुवातीपासून $100 km$ अंतर कापले तेव्हा वेळ किती होती?

(c) एका वर्षासाठी ठेवींवरील व्याज.

(i) आलेख मूळबिंदूतून जातो का?

(ii) ₹ २५०० च्या वर्षासाठी व्याज शोधण्यासाठी आलेख वापरा.

(iii) ₹ २८० प्रतिवर्ष व्याज मिळवण्यासाठी किती पैसे जमा करावे लागतील?

२. खालील साठी आलेख काढा.

(i)

हे एक रेषीय आलेख आहे का? (ii)

हे एक रेषीय आलेख आहे का?

आपण काय चर्चा केली?

१. डेटाचे आलेखीय सादरीकरण समजणे सोपे आहे.

२. रेषा आलेख अशा डेटाचे प्रदर्शन करतो जो कालावधीत सतत बदलतो.

३. एक रेषा आलेख जो संपूर्ण अखंड रेषा असतो त्याला रेषीय आलेख म्हणतात.

४. आलेख पत्रकावर एक बिंदू निश्चित करण्यासाठी आपल्याला, $x$-निर्देशांक आणि $y$-निर्देशांक आवश्यक आहेत.

५.