अध्याय 13 ग्राफ़ का परिचय
13.1 परिचय
क्या आपने अखबारों, टेलीविज़न, पत्रिकाओं, पुस्तकों आदि में ग्राफ देखे हैं? ग्राफ का उद्देश्य संख्यात्मक तथ्यों को दृश्य रूप में दिखाना है ताकि उन्हें तेजी से, आसानी से और स्पष्ट रूप से समझा जा सके। इस प्रकार ग्राफ एकत्र किए गए डेटा की दृश्य प्रस्तुति होते हैं। डेटा को सारणी के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है; हालांकि एक ग्राफीय प्रस्तुति को समझना आसान होता है। यह विशेष रूप से सच है जब कोई प्रवृत्ति या तुलना दिखानी हो।
हम पहले से ही कुछ प्रकार के ग्राफ देख चुके हैं। आइए हम उन्हें यहाँ तेजी से याद करें।
13.1.1 एक रेखा ग्राफ
एक रेखा ग्राफ ऐसे डेटा को प्रदर्शित करता है जो समय की अवधि में लगातार बदलता रहता है।
जब रेनू बीमार पड़ी, तो उसके डॉक्टर ने हर चार घंटे में ली गई उसके शरीर के तापमान का एक रिकॉर्ड बनाए रखा। यह एक ग्राफ के रूप में था (जो कि आकृति 13.1 और आकृति 13.2 में दिखाया गया है)।
हम इसे “समय-तापमान ग्राफ” कह सकते हैं।
यह निम्नलिखित डेटा की चित्रात्मक प्रस्तुति है, जो सारणीबद्ध रूप में दिया गया है।
| समय | 6 पूर्वाह्न | 10 पूर्वाह्न | 2 अपराह्न | 6 अपराह्न |
|---|---|---|---|---|
| तापमान $({ }^{\circ} \mathbf{C})$ | 37 | 40 | 38 | 35 |
क्षैतिज रेखा (जिसे सामान्यतः $x$-अक्ष कहा जाता है) उन समयों को दर्शाती है जिन पर तापमान रिकॉर्ड किए गए थे। ऊर्ध्वाधर रेखा (जिसे सामान्यतः $y$-अक्ष कहा जाता है) पर क्या अंकित है?
आकृति 13.1
प्रत्येक डेटा-बिंदु को वर्गाकार जाली पर एक बिंदु दिखाया गया है।
समय $arrow$
आकृति 13.1
फिर बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ा जाता है। परिणाम एक रेखा-आलेख बनता है।
यह आलेख आपको क्या-क्या बताता है? उदाहरण के लिए आप तापमान का ढाँचा देख सकते हैं; सुबह 10 बजे अधिक (आकृति 13.3 देखें) और फिर शाम 6 बजे तक घटता जाता है। ध्यान दें कि सुबह 6 बजे से सुबह 10 बजे तक की अवधि में तापमान $3^{\circ} C(=40^{\circ} C-37^{\circ} C)$ बढ़ा।
सुबह 8 बजे तापमान दर्ज नहीं किया गया था, फिर भी आलेख बताता है कि यह $37^{\circ} C$ से अधिक था (कैसे?)।
उदाहरण 1 : (“प्रदर्शन” पर एक आलेख)
दिया गया आलेख (आकृति 13.3) वर्ष 2007 में दस अलग-अलग मैचों में दो बल्लेबाजों A और B द्वारा बनाए गए कुल रनों को दर्शाता है। आलेख का अध्ययन करें और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें।
(i) दोनों अक्षों पर कौन-सी सूचना दी गई है?
(ii) कौन-सी रेखा बल्लेबाज A द्वारा बनाए गए रनों को दिखाती है?
(iii) क्या 2007 में किसी मैच में उनके द्वारा बनाए गए रन समान थे? यदि हाँ, तो किस मैच में?
(iii) दोनों बल्लेबाजों में से कौन अधिक स्थिर है? आप इसे कैसे आंकते हैं?
हल:
(i) क्षैतिज अक्ष (या $x$-अक्ष) वर्ष 2007 के दौरान खेले गए मैचों को दर्शाता है। ऊर्ध्वाधर अक्ष (या $y$-अक्ष) प्रत्येक मैच में बनाए गए कुल रनों को दिखाता है।
(ii) बिंदीदार रेखा बल्लेबाज A द्वारा बनाए गए रनों को दर्शाती है। (यह ग्राफ के शीर्ष पर पहले ही दर्शाया गया है)। (iii) चौथे मैच के दौरान, दोनों ने समान 60 रन बनाए हैं। (यह उस बिंदु से स्पष्ट होता है जहाँ दोनों ग्राफ मिलते हैं)।
(iv) बल्लेबाज A के पास एक बड़ा “शिखर” है लेकिन कई गहरे “घाट” भी हैं। वह लगातार नहीं लगता। $B$, दूसरी ओर, कभी भी 40 रन से कम का स्कोर नहीं करता, यद्यपि उसका उच्चतम स्कोर केवल 100 है जबकि A का 115 है। साथ ही A ने दो मैचों में शून्य रन बनाए हैं और कुल 5 मैचों में उसने 40 से कम रन बनाए हैं। चूंकि A में बहुत उतार-चढ़ाव हैं, $B$ एक अधिक स्थिर और भरोसेमंद बल्लेबाज है।
उदाहरण 2 : दिया गया ग्राफ (चित्र 13.4) एक कार की विभिन्न समयों पर शहर $P$ से दूरी को दर्शाता है जब वह शहर P से शहर Q की ओर यात्रा कर रही है, जो $350 km$ दूर हैं। ग्राफ का अध्ययन कीजिए और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) दोनों अक्षों पर कौन-सी सूचना दी गई है?
(ii) कार ने कहाँ से और कब अपनी यात्रा प्रारंभ की?
(iii) कार ने पहले घंटे में कितनी दूरी तय की?
चित्र 13.3
(iv) कार ने (i) दूसरे घंटे के दौरान कितनी दूरी तय की? (ii) तीसरे घंटे के दौरान?
(v) क्या पहले तीन घंटों के दौरान गति समान थी? आपको यह कैसे पता चला?
(vi) क्या कार कहीं किसी अवधि के लिए रुकी? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
(vii) कार शहर Q कब पहुँची?
चित्र 13.4
हल:
(i) क्षैतिज $(x)$ अक्ष समय दिखाता है। ऊध्र्वाधर $(y)$ अक्ष कार की शहर $P$ से दूरी दिखाता है।
(ii) कार ने सुबह 8 बजे शहर P से प्रारंभ किया।
(iii) कार ने पहले घंटे के दौरान $50 km$ की दूरी तय की। [यह इस प्रकार देखा जा सकता है। सुबह 8 बजे यह शहर P से अभी प्रारंभ हुई थी। सुबह 9 बजे यह 50वें km पर थी (ग्राफ से देखा गया)। इसलिए सुबह 8 बजे और 9 बजे के बीच एक घंटे की अवधि में कार ने $50 km$ की दूरी तय की]।
(iv) कार द्वारा तय की गई दूरी
(a) दूसरे घंटे के दौरान (अर्थात् सुबह 9 am से $10 am)$ $100 km$ है, $(150-50)$।
(b) तीसरे घंटे के दौरान (अर्थात् $10 am$ से $11 am)$ $50 km$ है $(200-150)$।
(v) प्रश्न (iii) और (iv) के उत्तरों से हम पाते हैं कि कार की चाल हर समय समान नहीं थी। (वास्तव में ग्राफ दिखाता है कि चाल कैसे बदली)।
(vi) हम पाते हैं कि कार सुबह 11 बजे और दोपहर 12 बजे भी शहर P से 200 km दूर थी। इससे पता चलता है कि कार ने सुबह 11 बजे से दोपहर 12 बजे तक की अवधि में यात्रा नहीं की। इस अवधि के दौरान “यात्रा” को दर्शाने वाला क्षैतिज रेखाखंड इस तथ्य को दर्शाता है।
(vii) कार दोपहर 2 बजे शहर Q पहुँची।
प्रश्नावली 13.1
1. निम्नलिखित ग्राफ एक अस्पताल में मरीज़ के हर घंटे दर्ज किए गए तापमान को दर्शाता है।
(a) दोपहर 1 बजे मरीज़ का तापमान कितना था?
(b) मरीज़ का तापमान $38.5^{\circ} C$ कब था?
समय $arrow$ (c) दी गई अवधि के दौरान मरीज़ का तापमान दो बार समान था। ये दो समय क्या थे?
(d) दोपहर 1.30 बजे तापमान कितना था? आपने अपना उत्तर कैसे निकाला?
(e) किन अवधियों के दौरान मरीज़ के तापमान में ऊपर की ओर प्रवृत्ति दिखाई दी?
2. निम्नलिखित रेखा ग्राफ एक विनिर्माण कंपनी की वार्षिक बिक्री के आँकड़े दिखाता है।
(a) बिक्री कितनी थी (i) 2002 में (ii) 2006 में?
(b) बिक्री कितनी थी (i) 2003 में
(ii) 2005 में ?
(c) 2002 और 2006 की बिक्री के बीच अंतर की गणना कीजिए।
(d) किस वर्ष अपने पिछले वर्ष की तुलना में बिक्री में सबसे अधिक अंतर था?
3. वनस्पति विज्ञान में एक प्रयोग के लिए, दो अलग-अलग पौधे, पौधा $A$ और पौधा $B$ को समान प्रयोगशाला परिस्थितियों में उगाया गया। उनकी ऊँचाई प्रत्येक सप्ताह के अंत में 3 सप्ताह तक मापी गई। परिणाम निम्नलिखित ग्राफ द्वारा दिखाए गए हैं।
(a) पौधा A की ऊँचाई कितनी थी (i) 2 सप्ताह के बाद (ii) 3 सप्ताह के बाद?
(b) पौधा B की ऊँचाई कितनी थी (i) 2 सप्ताह के बाद (ii) 3 सप्ताह के बाद?
(c) पौधा A ने तीसरे सप्ताह के दौरान कितना विकास किया?
(d) पौधा B ने दूसरे सप्ताह के अंत से तीसरे सप्ताह के अंत तक कितना विकास किया?
(e) किस सप्ताह के दौरान पौधा A ने सबसे अधिक विकास किया?
(f) किस सप्ताह के दौरान पौधा B ने सबसे कम विकास किया?
(g) क्या दोनों पौधों की ऊँचाई यहाँ दिखाए गए किसी सप्ताह के दौरान समान थी? निर्दिष्ट कीजिए।
4. निम्नलिखित ग्राफ एक सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए तापमान पूर्वानुमान और वास्तविक तापमान को दिखाता है।
(a) किन दिनों पर पूर्वानुमानित तापमान वास्तविक तापमान के समान था?
(b) सप्ताह के दौरान अधिकतम पूर्वानुमानित तापमान क्या था?
(c) सप्ताह के दौरान न्यूनतम वास्तविक तापमान क्या था?
(d) किस दिन वास्तविक तापमान पूर्वानुमानित तापमान से सबसे अधिक भिन्न था?
5. नीचे दी गई सारणियों का उपयोग कर रैखिक ग्राफ बनाइए।
(a) एक पहाड़ी शहर में विभिन्न वर्षों में बर्फ़ गिरने के दिनों की संख्या।
| वर्ष | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|
| दिन | 8 | 10 | 5 | 12 |
(b) विभिन्न वर्षों में एक गाँव में पुरुषों और महिलाओं की जनसंख्या (हज़ार में)।
| वर्ष | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
|---|---|---|---|---|---|
| पुरुषों की संख्या | 12 | 12.5 | 13 | 13.2 | 13.5 |
| महिलाओं की संख्या | 11.3 | 11.9 | 13 | 13.6 | 12.8 |
6. एक कूरियर-व्यक्ति एक कस्बे से पड़ोसी उपनगरीय क्षेत्र में एक व्यापारी को पार्सल पहुँचाने के लिए साइकिल चलाता है। विभिन्न समयों पर कस्बे से उसकी दूरी निम्नलिखित ग्राफ द्वारा दिखाई गई है।
(a) समय अक्ष के लिए कौन-सा स्केल लिया गया है?
(b) व्यक्ति ने यात्रा में कितना समय लिया?
(c) व्यापारी का स्थान कस्बे से कितनी दूर है?
(d) क्या व्यक्ति ने रास्ते में रुकावट की? व्याख्या कीजिए।
(e) उसने किस अवधि में सबसे तेज़ साइकिल चलाई?
7. क्या कोई समय-तापमान ग्राफ इस प्रकार हो सकता है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
13.2 कुछ अनुप्रयोग
दैनंदिन जीवन में आपने देखा होगा कि जितना अधिक आप कोई सुविधा उपयोग करते हैं, उतना अधिक आपको उसके लिए भुगतान करना पड़ता है। यदि अधिक बिजली खर्च होती है, तो बिल अवश्य अधिक आएगा। यदि कम बिजली उपयोग की जाए, तो बिल आसानी से वहन किया जा सकेगा। यह एक उदाहरण है जहाँ एक मात्रा दूसरे को प्रभावित करती है। बिजली के बिल की राशि उपयोग की गई बिजली की मात्रा पर निर्भर करती है। हम कहते हैं कि बिजली की मात्रा एक स्वतंत्र चर (या कभी-कभी नियंत्रण चर) है और बिजली के बिल की राशि आश्रित चर है। ऐसे चरों के बीच संबंध को ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है।
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
कार का पेट्रोल टैंक भरने के लिए आप जितने लीटर पेट्रोल खरीदते हैं, उससे यह तय होगा कि आपको कितनी राशि चुकानी पड़ेगी। यहाँ स्वतंत्र चर कौन-सा है? इसके बारे में सोचिए।
उदाहरण 3 : (मात्रा और लागत)
निम्नलिखित सारणी पेट्रोल की मात्रा और उसकी लागत देती है।
| पेट्रोल के लीटर की संख्या | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| पेट्रोल की लागत ₹ में | 500 | 750 | 1000 | 1250 |
इस आँकड़े को दिखाने के लिए एक ग्राफ बनाइए।
हल: (i) आइए दोनों अक्षों पर एक उपयुक्त स्केल लें (चित्र 13.5)।
चित्र 13.5
(ii) क्षैतिज अक्ष पर लीटर की संख्या अंकित कीजिए।
(iii) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पेट्रोल की लागत अंकित कीजिए।
(iv) बिंदुओं को आलेखित कीजिए: $(10,500),(15,750),(20,1000),(25,1250)$।
(v) बिंदुओं को मिलाइए।
हम पाते हैं कि ग्राफ एक रेखा है। (यह एक रैखिक ग्राफ है)। यह ग्राफ मूल बिंदु से क्यों गुजरता है? इसके बारे में सोचिए।
यह ग्राफ हमें कुछ बातों का अनुमान लगाने में मदद कर सकता है। मान लीजिए हम 12 लीटर पेट्रोल खरीदने के लिए आवश्यक राशि ज्ञात करना चाहते हैं। क्षैतिज अक्ष पर 12 को स्थित कीजिए।
12 से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा को तब तक बढ़ाइए जब तक आप ग्राफ पर $P$ (मान लीजिए) से न मिलें।
$P$ से एक क्षैतिज रेखा खींचिए जो ऊर्ध्वाधर अक्ष से मिले। यह मिलन बिंदु उत्तर देता है।
यह उस स्थिति का ग्राफ है जिसमें दो मात्राएँ सीधे परिवर्तन में हैं। (कैसे?)
ऐसी स्थितियों में ग्राफ हमेशा रैखिक होंगे।
इन्हें आज़माइए
उपरोक्त उदाहरण में, ग्राफ का उपयोग करके बताइए कि ₹ 800 में कितना पेट्रोल खरीदा जा सकता है।
उदाहरण 4: (मूलधन और साधारण ब्याज)
एक बैंक वरिष्ठ नागरिकों की जमा राशि पर $10 %$ साधारण ब्याज (S.I.) देता है। जमा राशि और साधारण ब्याज के बीच संबंध को दर्शाने के लिए एक ग्राफ खींचें। अपने ग्राफ से ज्ञात कीजिए
(a) ₹ 250 के निवेश के लिए प्राप्त वार्षिक ब्याज।
(b) ₹ 70 वार्षिक साधारण ब्याज प्राप्त करने के लिए कितनी राशि निवेश करनी होगी।
हल:
| जमा राशि | एक वर्ष का साधारण ब्याज |
|---|---|
| $₹ 100$ | $₹ \frac{100 \times 1 \times 10}{100}=₹ 10$ |
| $₹ 200$ | $₹ \frac{200 \times 1 \times 10}{100}=₹ 20$ |
| $₹ 300$ | $₹ \frac{300 \times 1 \times 10}{100}=₹ 30$ |
| 500 | $₹ \frac{500 \times 1 \times 10}{100}=₹ 50$ |
| $₹ 1000$ | $₹ 100$ |
अनुसरण करने के चरण:
1. वे मात्राएँ ज्ञात करें जिन्हें जमा और साधारण ब्याज के रूप में प्लॉट किया जाना है।
2. यह तय करें कि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर कौन-सी मात्राएँ ली जाएँगी।
3. एक स्केल चुनें।
4. बिंदुओं को प्लॉट करें।
5. बिंदुओं को जोड़ें।
हमें मानों की एक सारणी मिलती है।
| जमा (₹ में) | 100 | 200 | 300 | 500 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|
| वार्षिक साधारण ब्याज (₹ में) | 10 | 20 | 30 | 50 | 100 |
(i) स्केल : क्षैतिज अक्ष पर 1 इकाई = ₹ 100; ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 1 इकाई = ₹ 10।
(ii) क्षैतिज अक्ष पर जमा को चिह्नित करें।
(iii) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर साधारण ब्याज को चिह्नित करें।
(iv) बिंदुओं को प्लॉट करें : $(100,10),(200,20),(300,30),(500,50)$ आदि।
(v) बिंदुओं को जोड़ें। हमें एक ग्राफ मिलता है जो एक रेखा है (चित्र 13.6)।
(a) क्षैतिज अक्ष पर ₹ 250 के अनुरूप, हमें ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ब्याज ₹ 25 प्राप्त होता है।
इन्हें आज़माएँ
क्या उदाहरण 4, सीधे परिवर्तन का एक मामला है?
(b) ऊध्र्वाधर अक्ष पर ₹ 70 के अनुरूप, हम क्षैतिज अक्ष पर योग ₹ 700 प्राप्त करते हैं।
आकृति 13.6
उदाहरण 5 : (समय और दूरी)
अजीत एक स्कूटर को निरंतर 30 किमी/घंटा की गति से चला सकता है। इस स्थिति के लिए एक समय-दूरी ग्राफ खींचिए। इसका उपयोग करके ज्ञात कीजिए
(i) अजीत द्वारा 75 किमी चलने में लगा समय। (ii) अजीत द्वारा $3 \frac{1}{2}$ घंटे में तय की गई दूरी।
हल:
| सवारी के घंटे | तय की गई दूरी |
|---|---|
| 1 घंटा | $30 किमी$ |
| 2 घंटे | $2 \times 30 किमी=60 किमी$ |
| 3 घंटे | $3 \times 30 किमी=90 किमी$ |
| 4 घंटे | $4 \times 30 किमी=120 किमी$ और आगे भी। |
हमें मानों की एक सारणी मिलती है।
| समय (घंटों में) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| तय की गई दूरी (किमी में) | 30 | 60 | 90 | 120 |
(i) स्केल: (आकृति 13.7)
क्षैतिज: 2 इकाई = 1 घंटा
ऊध्र्वाधर: 1 इकाई = 10 किमी
(ii) क्षैतिज अक्ष पर समय अंकित कीजिए।
(iii) ऊध्र्वाधर अक्ष पर दूरी अंकित कीजिए।
(iv) बिंदुओं को आलेखित कीजिए: $(1,30),(2,60),(3,90),(4,120)$।
आकृति 13.7
(v) बिंदुओं को मिलाइए। हमें एक रेखीय ग्राफ प्राप्त होता है।
(a) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 75 km के अनुरूप, हमें क्षैतिज अक्ष पर समय 2.5 घंटे प्राप्त होता है। इस प्रकार 75 km की दूरी तय करने के लिए 2.5 घंटे आवश्यक हैं।
(b) क्षैतिज अक्ष पर 3½ घंटे के अनुरूप, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर तय की गई दूरी 105 km है।
प्रश्नावली 13.2
1. निम्न मानों की सारणियों के लिए उपयुक्त पैमानों के साथ अक्षों पर ग्राफ खींचिए।
(a) सेबों की लागत
| सेबों की संख्या | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| लागत (₹ में) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
(b) एक कार द्वारा तय की गई दूरी
| समय (घंटों में) | 6 a.m. | 7 a.m. | 8 a.m. | 9 a.m. |
|---|---|---|---|---|
| दूरी (km में) | 40 | 80 | 120 | 160 |
(i) कार ने 7.30 a.m. से 8 a.m. की अवधि के दौरान कितनी दूरी तय की?
(ii) वह समय क्या था जब कार ने प्रारंभ होने के बाद से 100 km की दूरी तय कर ली थी?
(c) एक वर्ष के लिए जमा पर ब्याज
| जमा (₹ में) | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 | 5000 |
|---|---|---|---|---|---|
| साधारण ब्याज (₹ में) | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 |
(i) क्या ग्राफ मूल बिंदु से गुजरता है?
(ii) ग्राफ का उपयोग करके ₹ 2500 के लिए एक वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।
(iii) ₹ 280 प्रति वर्ष का ब्याज प्राप्त करने के लिए कितना धन जमा करना चाहिए?
2. निम्न के लिए एक ग्राफ खींचिए।
(i)
| वर्ग की भुजा (सेमी में) | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| परिमाप (सेमी में) | 8 | 12 | 14 | 20 | 24 |
क्या यह एक रेखीय ग्राफ है? (ii)
| वर्ग की भुजा (सेमी में) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| क्षेत्रफल ($\mathbf{c m}^{2}$ में) | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
क्या यह एक रेखीय ग्राफ है?
हमने क्या चर्चा की है?
1. आंकड़ों की ग्राफीय प्रस्तुति को समझना आसान होता है।
2. एक रेखा ग्राफ ऐसे आंकड़े प्रदर्शित करता है जो समय के साथ लगातार बदलते हैं।
3. एक रेखा ग्राफ जो पूरी तरह से अनbroken रेखा होती है, उसे रेखीय ग्राफ कहा जाता है।
4. ग्राफ शीट पर एक बिंदु तय करने के लिए हमें $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक की आवश्यकता होती है।
5. आश्रित चर और स्वतंत्र चर के बीच संबंध ग्राफ के माध्यम से दिखाया जाता है।
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