1.1 تعارف

ریاضی میں، ہم اکثر حل کرنے کے لیے سادہ مساواتوں کا سامنا کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مساوات

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

اس وقت حل ہوتی ہے جب $x=11$، کیونکہ $x$ کی یہ قیمت دی گئی مساوات کو پورا کرتی ہے۔ حل 11 ایک قدرتی عدد ہے۔ دوسری طرف، مساوات

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

کا حل عدد صحیح 0 (صفر) دیتا ہے۔ اگر ہم صرف قدرتی اعداد پر غور کریں، تو مساوات (2) حل نہیں ہو سکتی۔ اس قسم کی مساواتوں کو حل کرنے کے لیے، ہم نے قدرتی اعداد کے مجموعے میں عدد صفر شامل کیا اور اعداد صحیح حاصل کیے۔ یہاں تک کہ اعداد صحیح بھی اس قسم کی مساواتوں کو حل کرنے کے لیے کافی نہیں ہوں گے

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

کیا آپ ‘وجہ’ دیکھتے ہیں؟ ہمیں عدد -13 کی ضرورت ہے جو ایک عدد صحیح نہیں ہے۔ اس نے ہمیں صحیح اعداد (مثبت اور منفی) کے بارے میں سوچنے پر مجبور کیا۔ نوٹ کریں کہ مثبت صحیح اعداد قدرتی اعداد سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کوئی سوچ سکتا ہے کہ ہمارے پاس دستیاب صحیح اعداد کی فہرست کے ساتھ تمام سادہ مساواتوں کو حل کرنے کے لیے کافی اعداد ہیں۔ اب مساواتوں پر غور کریں

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

جن کا حل ہم صحیح اعداد میں سے نہیں نکال سکتے۔ (اس کی جانچ کریں) ہمیں مساوات (4) کو حل کرنے کے لیے اعداد $\frac{3}{2}$ اور مساوات (5) کو حل کرنے کے لیے $\frac{-7}{5}$ کی ضرورت ہے۔ یہ ہمیں ناطق اعداد کے مجموعے کی طرف لے جاتا ہے۔

ہم پہلے ہی ناطق اعداد پر بنیادی عملیات دیکھ چکے ہیں۔ اب ہم اب تک دیکھے گئے مختلف قسم کے اعداد پر عملیات کی کچھ خصوصیات کو دریافت کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔

1.2 ناطق اعداد کی خصوصیات

1.2.1 تکمیلیت (Closure)

(i) اعداد صحیح (Whole numbers)

آئیے مختصراً اعداد صحیح پر تمام عملیات کے لیے تکمیلیت کی خصوصیت کا جائزہ لیں۔

قدرتی اعداد کے لیے تمام چاروں عملیات کے تحت تکمیلیت کی خصوصیت کی جانچ کریں۔

(ii) صحیح اعداد (Integers)

آئیے اب ان عملیات کو یاد کریں جن کے تحت صحیح اعداد تکمیلی ہیں۔

آپ نے دیکھا ہے کہ اعداد صحیح جمع اور ضرب کے تحت تکمیلی ہیں لیکن تفریق اور تقسیم کے تحت نہیں ہیں۔ تاہم، صحیح اعداد جمع، تفریق اور ضرب کے تحت تکمیلی ہیں لیکن تقسیم کے تحت نہیں ہیں۔

(iii) ناطق اعداد

یاد رکھیں کہ وہ عدد جو $\frac{p}{q}$ کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے، جہاں $p$ اور $q$ صحیح اعداد ہوں اور $q \neq 0$، ناطق عدد کہلاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ سب ناطق اعداد ہیں۔ چونکہ اعداد $0,-2,4$ کو $\frac{p}{q}$ کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے، یہ بھی ناطق اعداد ہیں۔ (اس کی جانچ کریں!)

(a) آپ جانتے ہیں کہ دو ناطق اعداد کو کیسے جمع کرنا ہے۔ آئیے کچھ جوڑے جمع کرتے ہیں۔

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(ایک ناطق عدد)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{کیا یہ ایک ناطق عدد ہے؟} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{کیا یہ ایک ناطق عدد ہے؟} \end{aligned} $

ہم پاتے ہیں کہ دو ناطق اعداد کا مجموعہ پھر سے ایک ناطق عدد ہے۔ اسے ناطق اعداد کے کچھ اور جوڑوں کے لیے چیک کریں۔

ہم کہتے ہیں کہ ناطق اعداد جمع کے تحت تکمیلی ہیں۔ یعنی، کسی بھی دو ناطق اعداد $a$ اور $b, a+b$ کے لیے بھی ایک ناطق عدد ہے۔

(b) کیا دو ناطق اعداد کا فرق پھر سے ایک ناطق عدد ہوگا؟

ہمارے پاس ہے،

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (ایک ناطق عدد) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{کیا یہ ایک ناطق عدد ہے؟ }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{کیا یہ ایک ناطق عدد ہے؟ } \end{aligned} $

اسے ناطق اعداد کے کچھ اور جوڑوں کے لیے آزمائیں۔ ہم پاتے ہیں کہ ناطق اعداد تفریق کے تحت تکمیلی ہیں۔ یعنی، کسی بھی دو ناطق اعداد $a$ اور $b, a-b$ کے لیے بھی ایک ناطق عدد ہے۔

(c) آئیے اب دو ناطق اعداد کے حاصل ضرب کو دیکھتے ہیں۔

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (دونوں حاصل ضرب ناطق اعداد ہیں) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ کیا یہ ایک ناطق عدد ہے؟ } \end{matrix} $

ناطق اعداد کے کچھ اور جوڑے لیں اور چیک کریں کہ ان کا حاصل ضرب پھر سے ایک ناطق عدد ہے۔

ہم کہتے ہیں کہ ناطق اعداد ضرب کے تحت تکمیلی ہیں۔ یعنی $i s$، کسی بھی دو ناطق اعداد $a$ اور $b, a \times b$ کے لیے بھی ایک ناطق عدد ہے۔

(d) ہم نوٹ کرتے ہیں کہ $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(ایک ناطق عدد)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$۔ کیا یہ ایک ناطق عدد ہے؟ $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$۔ کیا یہ ایک ناطق عدد ہے؟

کیا آپ کہہ سکتے ہیں کہ ناطق اعداد تقسیم کے تحت تکمیلی ہیں؟

ہم پاتے ہیں کہ کسی بھی ناطق عدد $a, a \div 0$ کے لیے تعریف شدہ نہیں ہے۔

لہذا ناطق اعداد تقسیم کے تحت تکمیلی نہیں ہیں۔

تاہم، اگر ہم صفر کو خارج کر دیں تو باقی تمام ناطق اعداد کا مجموعہ تقسیم کے تحت تکمیلی ہے۔

یہ آزمائیں

درج ذیل جدول میں خالی جگہیں بھریں۔

1.2.2 مبادلہ پذیری (Commutativity)

(i) اعداد صحیح (Whole numbers)

درج ذیل جدول کو بھر کر اعداد صحیح کے لیے مختلف عملیات کی مبادلہ پذیری کو یاد کریں۔

چیک کریں کہ کیا قدرتی اعداد کے لیے بھی عملیات کی مبادلہ پذیری برقرار رہتی ہے۔

(ii) صحیح اعداد (Integers)

درج ذیل جدول کو بھریں اور صحیح اعداد کے لیے مختلف عملیات کی مبادلہ پذیری چیک کریں:

(iii) ناطق اعداد

(a) جمع

آپ جانتے ہیں کہ دو ناطق اعداد کو کیسے جمع کرنا ہے۔ آئیے یہاں کچھ جوڑے جمع کرتے ہیں۔

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ اور } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ لہذا، } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ نیز، } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ اور } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ کیا } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $

کیا $\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ ؟

آپ پاتے ہیں کہ دو ناطق اعداد کو کسی بھی ترتیب میں جمع کیا جا سکتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ ناطق اعداد کے لیے جمع مبادلہ پذیر ہے۔ یعنی، کسی بھی دو ناطق اعداد $a$ اور $b, a+b=b+a$ کے لیے۔

(b) تفریق

کیا $\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ ؟

کیا $\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ ؟

آپ پائیں گے کہ ناطق اعداد کے لیے تفریق مبادلہ پذیر نہیں ہے۔

نوٹ کریں کہ صحیح اعداد کے لیے تفریق مبادلہ پذیر نہیں ہے اور صحیح اعداد بھی ناطق اعداد ہیں۔ لہذا، ناطق اعداد کے لیے بھی تفریق مبادلہ پذیر نہیں ہوگی۔

(c) ضرب

ہمارے پاس ہے، $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

کیا

$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

ایسے کچھ اور حاصل ضرب کے لیے چیک کریں۔

آپ پائیں گے کہ ناطق اعداد کے لیے ضرب مبادلہ پذیر ہے۔

عام طور پر، $a \times b=b \times$ کسی بھی دو ناطق اعداد $a$ اور $b$ کے لیے۔

(d) تقسیم

کیا

$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

آپ پائیں گے کہ دونوں اطراف کے اظہار برابر نہیں ہیں۔

لہذا ناطق اعداد کے لیے تقسیم مبادلہ پذیر نہیں ہے۔

یہ آزمائیں

درج ذیل جدول مکمل کریں:

1.2.3 اجتماعیت (Associativity)

(i) اعداد صحیح (Whole numbers)

اس جدول کے ذریعے اعداد صحیح کے لیے چار عملیات کی اجتماعیت کو یاد کریں:

اس جدول کو بھریں اور آخری کالم میں دیے گئے تبصروں کی تصدیق کریں۔

قدرتی اعداد کے لیے مختلف عملیات کی اجتماعیت اپنے لیے چیک کریں۔

(ii) صحیح اعداد (Integers)

صحیح اعداد کے لیے چار عملیات کی اجتماعیت اس جدول سے دیکھی جا سکتی ہے

(iii) ناطق اعداد

(a)

جمع

ہمارے پاس ہے $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

لہذا، $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ اور $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ تلاش کریں۔ کیا دونوں مجموعے برابر ہیں؟

کچھ اور ناطق اعداد لیں، انہیں اوپر کی طرح جمع کریں اور دیکھیں کہ کیا دونوں مجموعے برابر ہیں۔ ہم پاتے ہیں کہ ناطق اعداد کے لیے جمع اجتماعیتی ہے۔ یعنی $i$، کسی بھی تین ناطق اعداد $a, b$ اور $c, a+(b+c)=(a+b)+c$ کے لیے۔

(b) تفریق

آپ پہلے ہی جانتے ہیں کہ صحیح اعداد کے لیے تفریق اجتماعیتی نہیں ہے، پھر ناطق اعداد کے بارے میں کیا خیال ہے۔

کیا $\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$

اپنے لیے چیک کریں۔

ناطق اعداد کے لیے تفریق اجتماعیتی نہیں ہے۔

(c) ضرب

آئیے ضرب کے لیے اجتماعیت چیک کرتے ہیں۔

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

ہم پاتے ہیں کہ $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$

کیا

$ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $

کچھ اور ناطق اعداد لیں اور اپنے لیے چیک کریں۔

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ ناطق اعداد کے لیے ضرب اجتماعیتی ہے۔ یعنی کسی بھی تین ناطق اعداد $a, b$ اور $c, a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ کے لیے۔ (d) تقسیم

یاد رکھیں کہ صحیح اعداد کے لیے تقسیم اجتماعیتی نہیں ہے، پھر ناطق اعداد کے بارے میں کیا خیال ہے؟

آئیے دیکھتے ہیں کہ کیا $\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$

ہمارے پاس ہے، بائیں ہاتھ کی طرف (LHS) $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ $\frac{2}{5}$ کا معکوس $\frac{5}{2}$ ہے )

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \\ \text{ دائیں ہاتھ کی طرف (RHS) } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \\ & =(\frac{1}{2} \times \frac{-3}{1}) \div \frac{2}{5}=\frac{-3}{2} \div \frac{2}{5}=\ldots \end{aligned} $

کیا LHS = RHS ہے؟ اپنے لیے چیک کریں۔ آپ پائیں گے کہ ناطق اعداد کے لیے تقسیم اجتماعیتی نہیں ہے۔

یہ آزمائیں

درج ذیل جدول مکمل کریں:

مثال 1 : $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$ تلاش کریں

حل: $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$

$=\frac{198}{462}+(\frac{-252}{462})+(\frac{-176}{462})+(\frac{105}{462})$ (نوٹ کریں کہ 7، 11، 21 اور 22 کا LCM 462 ہے)

$=\frac{198-252-176+105}{462}=\frac{-125}{462}$

ہم اسے اس طرح بھی حل کر سکتے ہیں۔

$ \begin{aligned} & \frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+\frac{5}{22} \\ & =[\frac{3}{7}+(\frac{-8}{21})]+[\frac{-6}{11}+\frac{5}{22}] \quad \text{ (مبادلہ پذیری اور اجتماعیت کا استعمال کرتے ہوئے) } \\ & =[\frac{9+(-8)}{21}]+[\frac{-12+5}{22}] \quad \text{ (7 اور 21 کا LCM 21 ہے؛ 11 اور 22 کا LCM 22 ہے) } \\ & =\frac{1}{21}+(\frac{-7}{22})=\frac{22-147}{462}=\frac{-125}{462} \end{aligned} $

کیا آپ کے خیال میں مبادلہ پذیری اور اجتماعیت کی خصوصیات نے حساب کتاب آسان بنا دیے؟

مثال 2 : $\frac{-4}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9})$ تلاش کریں

حل: ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(-\frac{4 \times 3}{5 \times 7}) \times(\frac{15 \times(-14)}{16 \times 9}) \\ & =\frac{-12}{35} \times(\frac{-35}{24})=\frac{-12 \times(-35)}{35 \times 24}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

ہم اسے اس طرح بھی کر سکتے ہیں۔

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(\frac{-4}{5} \times \frac{15}{16}) \times[\frac{3}{7} \times(\frac{-14}{9})] \text{ (مبادلہ پذیری اور اجتماعیت کا استعمال کرتے ہوئے) } \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-2}{3})=\frac{1}{2} \end{aligned} $

1.2.4 صفر (0) کا کردار

درج ذیل کو دیکھیں۔

$ \begin{aligned} 2+0 & =0+2=2 \\ -5+0 & =\ldots+\ldots=-5 \\ \frac{-2}{7}+\ldots & =0+(\frac{-2}{7})=\frac{-2}{7} \end{aligned} $

(عدد صحیح میں 0 کا جمع) (صحیح عدد میں 0 کا جمع)

(ناطق عدد میں 0 کا جمع)

آپ نے ایسے جمع پہلے بھی کیے ہیں۔ ایسے کچھ اور جمع کریں۔

آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ آپ پائیں گے کہ جب آپ کسی عدد صحیح میں 0 جمع کرتے ہیں، تو مجموعہ پھر وہی عدد صحیح ہوتا ہے۔ یہ صحیح اعداد اور ناطق اعداد کے لیے بھی ہوتا ہے۔

عام طور پر،

$ \begin{matrix} a+0 & =0+a=a, & \text{ جہاں } a \text{ ایک عدد صحیح ہے } \\ b+0 & =0+b=b, & \text{ جہاں } b \text{ ایک صحیح عدد ہے } \\ c+0 & =0+c=c, & \text{ جہاں } c \text{ ایک ناطق عدد ہے } \end{matrix} $

صفر کو ناطق اعداد کی جمع کے لیے شناختی عنصر (identity) کہا جاتا ہے۔ یہ صحیح اعداد اور اعداد صحیح کے لیے بھی جمعی شناختی عنصر ہے۔

1.2.5 1 کا کردار

ہمارے پاس ہے،

$ \begin{aligned} & 5 \times 1=5=1 \times 5 \quad \text{ (کسی عدد صحیح کے ساتھ 1 کا ضرب) } \\ & \frac{-2}{7} \times 1=\ldots \times \ldots=\frac{-2}{7} \\ & \frac{3}{8} \times \ldots=1 \times \frac{3}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned} $

آپ کیا پاتے ہیں؟

آپ پائیں گے کہ جب آپ کسی بھی ناطق عدد کو 1 سے ضرب دیتے ہیں، تو آپ کو وہی ناطق عدد حاصل ضرب کے طور پر واپس ملتا ہے۔ اسے کچھ اور ناطق اعداد کے لیے چیک کریں۔ آپ پائیں گے کہ، $a \times 1=1 \times a=a$ کسی بھی ناطق عدد $a$ کے لیے۔

ہم کہتے ہیں کہ 1 ناطق اعداد کے لیے ضربی شناختی عنصر ہے۔

کیا 1 صحیح اعداد کے لیے ضربی شناختی عنصر ہے؟ کیا اعداد صحیح کے لیے؟

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

اگر کوئی خصوصیت ناطق اعداد کے لیے برقرار رہتی ہے، تو کیا یہ صحیح اعداد کے لیے بھی برقرار رہے گی؟ کیا اعداد صحیح کے لیے؟ کون سی برقرار رہے گی؟ کون سی نہیں رہے گی؟

1.2.6 ناطق اعداد کے لیے جمع پر ضرب کی تقسیمیت (Distributivity)

اسے سمجھنے کے لیے، ناطق اعداد $\frac{-3}{4}, \frac{2}{3}$ اور $\frac{-5}{6}$ پر غور کریں۔

$ \begin{aligned} \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+(\frac{-5}{6})} & =\frac{-3}{4} \times{\frac{(4)+(-5)}{6}} \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-1}{6})=\frac{3}{24}=\frac{1}{8} \end{aligned} $

اور

$ \frac{-3}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{-3 \times 2}{4 \times 3}=\frac{-6}{12}=\frac{-1}{2} $

اور

$ \frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}=\frac{5}{8} $

لہذا $(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6})=\frac{-1}{2}+\frac{5}{8}=\frac{1}{8}$

اس طرح،

$ \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+\frac{-5}{6}}=(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}) $

جمع اور تفریق پر ضرب کی تقسیمیت۔

تمام ناطق اعداد $a, b$ اور $c$ کے لیے، $a(b+c)=a b+a c$ $a(b-c)=a b-a c$

یہ آزمائیں

تقسیمیت کا استعمال کرتے ہوئے تلاش کریں۔ (i) ${\frac{7}{5} \times(\frac{-3}{12})}+{\frac{7}{5} \times \frac{5}{12}}$

(ii) ${\frac{9}{16} \times \frac{4}{12}}+{\frac{9}{16} \times \frac{-3}{9}}$

مثال 3 : $\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}$ تلاش کریں

حل: $\quad \frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}=\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14}$ (مبادلہ پذیری سے)

$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}+(\frac{-3}{7}) \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14} \\ & =\frac{-3}{7}(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})-\frac{1}{14} \quad \text{ (تقسیمیت سے) } \\ & =\frac{-3}{7} \times 1-\frac{1}{14}=\frac{-6-1}{14}=\frac{-1}{2} \end{aligned} $

مشق 1.1

1. درج ذیل میں سے ہر ایک میں استعمال ہونے والی ضرب کی خصوصیت کا نام بتائیں۔ (i) $\frac{-4}{5} \times 1=1 \times \frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$ (ii) $-\frac{13}{17} \times \frac{-2}{7}=\frac{-2}{7} \times \frac{-13}{17}$ (iii) $\frac{-19}{29} \times \frac{29}{-19}=1$

2. بتائیں کہ کون سی خصوصیت آپ کو $\frac{1}{3} \times(6 \times \frac{4}{3})$ کو $(\frac{1}{3} \times 6) \times \frac{4}{3}$ کے طور پر حساب کرنے کی اجازت دیتی ہے۔

3. دو ناطق اعداد کا حاصل ضرب ہمیشہ ایک

ہم نے کیا بحث کی ہے؟

1. ناطق اعداد جمع، تفریق اور ضرب کی عملیات کے تحت تکمیلی ہیں۔

2. عملیات جمع اور ضرب

(i) ناطق اعداد کے لیے مبادلہ پذیر ہیں۔

(ii) ناطق اعداد کے لیے اجتماعیتی ہیں۔

3. ناطق عدد 0 ناطق اعداد کے لیے جمعی شناختی عنصر ہے۔

4. ناطق عدد 1 ناطق اعداد کے لیے ضربی شناختی عنصر ہے۔

5. ناطق اعداد کی تقسیمیت: تمام ناطق اعداد $a, b$ اور $c$ کے لیے، $a(b+c)=a b+a c$ اور $a(b-c)=a b-a c$

6. کسی بھی دو دیے گئے ناطق اعداد کے درمیان لاتعداد ناطق اعداد ہوتے ہیں۔ اوسط (mean) کا تصور ہمیں دو ناطق اعداد کے درمیان ناطق اعداد تلاش کرنے میں مدد کرتا ہے۔