1.1 ପରିଚୟ

ଗଣିତରେ, ଆମେ ବାରମ୍ବାର ସରଳ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ ପାଇଥାଉ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ସମୀକରଣ

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

ସମାଧାନ ହୁଏ ଯେତେବେଳେ $x=11$, କାରଣ $x$ ର ଏହି ମୂଲ୍ୟ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ । ସମାଧାନ 11 ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା । ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, ସମୀକରଣ

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

ପାଇଁ ସମାଧାନ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା 0 (ଶୂନ୍ୟ) ଦେଇଥାଏ । ଯଦି ଆମେ କେବଳ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ବିଚାର କରୁ, ସମୀକରଣ (2) ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ସମୀକରଣ (2) ପରି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମାହାରରେ ଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଯୋଡ଼ିଲୁ ଏବଂ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଲୁ । ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାରର ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ପାଇଁ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ହେବ ନାହିଁ

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

ତୁମେ ‘କାହିଁକି’ ଦେଖୁଛ କି? ଆମକୁ -13 ସଂଖ୍ୟାଟି ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ । ଏହା ଆମକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ) ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କରିବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦେଲା । ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ସମାନ । କେହି ଭାବିପାରନ୍ତି ଯେ ଉପଲବ୍ଧ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ତାଲିକା ସହିତ ସମସ୍ତ ସରଳ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଆମ ପାଖରେ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି । ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କର

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

ଯାହା ପାଇଁ ଆମେ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ସମାଧାନ ପାଇପାରିବା ନାହିଁ । (ଏହାକୁ ଯାଞ୍ଚ କର) ସମୀକରଣ (4) ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ $\frac{3}{2}$ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସମୀକରଣ(5) ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ $\frac{-7}{5}$ ସଂଖ୍ୟା ଆବଶ୍ୟକ । ଏହା ଆମକୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମାହାର ଆଡ଼କୁ ନେଇଯାଏ ।

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ମୌଳିକ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଦେଖିଛୁ । ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏଯାଏଁ ଦେଖାଯାଇଥିବା ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର କେତେକ ଗୁଣ ଅନୁସନ୍ଧାନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଛୁ ।

1.2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଧର୍ମ

1.2.1 ସଂବୃତ୍ତି

(i) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା

ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ସମସ୍ତ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସଂବୃତ୍ତି ଗୁଣଧର୍ମକୁ ସଂକ୍ଷେପରେ ପୁନର୍ବାର ଦେଖିବା ।

ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସମସ୍ତ ଚାରୋଟି କାର୍ଯ୍ୟ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତି ଗୁଣଧର୍ମ ଯାଞ୍ଚ କର ।

(ii) ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆସ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା କେଉଁ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ମରଣ କରିବା ।

ତୁମେ ଦେଖିଛ ଯେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଯୋଗ ଏବଂ ଗୁଣନ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ କିନ୍ତୁ ବିୟୋଗ ଏବଂ ଭାଗ ଅଧୀନରେ ନୁହନ୍ତି । ତଥାପି, ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଯୋଗ, ବିୟୋଗ ଏବଂ ଗୁଣନ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ କିନ୍ତୁ ଭାଗ ଅଧୀନରେ ନୁହନ୍ତି ।

(iii) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ସ୍ମରଣ କର ଯେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ $\frac{p}{q}$ ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ $p$ ଏବଂ $q$ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $q \neq 0$ ତାହାକୁ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ ସମସ୍ତେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ଯେହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ $0,-2,4$ କୁ $\frac{p}{q}$ ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇପାରେ, ସେଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । (ଏହାକୁ ଯାଞ୍ଚ କର!)

(a) ତୁମେ ଜାଣ କିପରି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରିବେ । ଆସ କିଛି ଯୋଡ଼ା ଯୋଗ କରିବା ।

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି?} \end{aligned} $

ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପୁଣି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ଏହାକୁ ଆଉ କିଛି ଯୋଡ଼ା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଯାଞ୍ଚ କର ।

ଆମେ କହୁ ଯେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଯୋଗ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ । ଅର୍ଥାତ୍, ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଏବଂ $b, a+b$ ମଧ୍ୟ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

(b) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ପାର୍ଥକ୍ୟ ପୁଣି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ କି?

ଆମ ପାଖରେ ଅଛି,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି? } \end{aligned} $

ଏହାକୁ ଆଉ କିଛି ଯୋଡ଼ା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଚେଷ୍ଟା କର । ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବିୟୋଗ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ । ଅର୍ଥାତ୍, ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଏବଂ $b, a-b$ ମଧ୍ୟ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

(c) ବର୍ତ୍ତମାନ ଆସ ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଦେଖିବା ।

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (ଉଭୟ ଗୁଣଫଳ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି? } \end{matrix} $

ଆଉ କିଛି ଯୋଡ଼ା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ ଏବଂ ଯାଞ୍ଚ କର ଯେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ପୁଣି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

ଆମେ କହୁ ଯେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୁଣନ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ । ଅର୍ଥାତ୍ $i s$, ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଏବଂ $b, a \times b$ ମଧ୍ୟ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

(d) ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କି?

ତୁମେ କହିପାରିବ କି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଭାଗ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ?

ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ଯେକୌଣସି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା $a, a \div 0$ ପାଇଁ ପରିଭାଷିତ ନୁହେଁ ।

ତେଣୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଭାଗ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ ନୁହନ୍ତି ।

ତଥାପି, ଯଦି ଆମେ ଶୂନ୍ୟକୁ ବାଦ ଦେଇଦେଉ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମାହାର ଭାଗ ଅଧୀନରେ ସଂବୃତ୍ତ ।

ଏହାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର

ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

1.2.2 ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟତା

(i) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା

ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ପୂରଣ କରି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ କାର୍ଯ୍ୟର ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟତା ସ୍ମରଣ କର ।

ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟତା ରହିଛି କି ନାହିଁ ଯାଞ୍ଚ କର ।

(ii) ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା

ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ପୂରଣ କର ଏବଂ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ କାର୍ଯ୍ୟର ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟତା ଯାଞ୍ଚ କର:

(iii) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

(a) ଯୋଗ

ତୁମେ ଜାଣ କିପରି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରିବେ । ଆସ ଏଠାରେ କିଛି ଯୋଡ଼ା ଯୋଗ କରିବା ।

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ ଏବଂ } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ ତେଣୁ, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ ଆଉ, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ ଏବଂ } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ କଣ } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ କି?

ତୁମେ ଦେଖୁଛ ଯେ ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କୌଣସି କ୍ରମରେ ଯୋଗ କରାଯାଇପାରିବ । ଆମେ କହୁ ଯେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଯୋଗ ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ । ଅର୍ଥାତ୍, ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଏବଂ $b, a+b=b+a$ ପାଇଁ ।

(b) ବିୟୋଗ

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ କି?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ କି?

ତୁମେ ଦେଖିବ ଯେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ବିୟୋଗ ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ ନୁହେଁ ।

ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ବିୟୋଗ ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ ନୁହେଁ ଏବଂ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ, ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ବିୟୋଗ ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ ହେବ ନାହିଁ ।

(c) ଗୁଣନ

ଆମ ପାଖରେ ଅ