1.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਸਰਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਮਿਲਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

ਹੱਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ $x=11$, ਕਿਉਂਕਿ $x$ ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹੱਲ 11 ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸਮੀਕਰਨ

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

ਦਾ ਹੱਲ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ 0 (ਜ਼ੀਰੋ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੀ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਨੂੰ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। (2) ਵਰਗੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆ ਜ਼ੀਰੋ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ। ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੀਆਂ

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ‘ਕਿਉਂ’? ਸਾਨੂੰ ਸੰਖਿਆ -13 ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਨੇ ਸਾਨੂੰ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ, (ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ) ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕੀਤਾ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਂਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਸੋਚ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਪਲਬਧ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਨਾਲ ਸਾਰੀਆਂ ਸਰਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕਾਫ਼ੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਹੁਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

ਜਿਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ। (ਇਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ) ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (4) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $\frac{3}{2}$ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ (5) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ $\frac{-7}{5}$ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇਖੇ ਗਏ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

1.2 ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ

1.2.1 ਸੰਵਰਧਨ ਗੁਣ (Closure)

(i) ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਆਓ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਲਈ ਸੰਵਰਧਨ ਗੁਣ ਦੀ ਦੁਬਾਰਾ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ।

ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਸਾਰੀਆਂ ਚਾਰਾਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧਨ ਗੁਣ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।

(ii) ਪੂਰਨਾਂਕ

ਆਓ ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੀਏ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਹੇਠ ਪੂਰਨਾਂਕ ਸੰਵਰਧ ਹਨ।

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਹਨ ਪਰ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਭਾਗ ਹੇਠ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪੂਰਨਾਂਕ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਹਨ ਪਰ ਭਾਗ ਹੇਠ ਨਹੀਂ ਹਨ।

(iii) ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸਨੂੰ ਰੂਪ $\frac{p}{q}$ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨਾਂਕ ਹਨ ਅਤੇ $q \neq 0$ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $0,-2,4$ ਨੂੰ ਰੂਪ $\frac{p}{q}$ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। (ਇਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ!)

(a) ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੀਏ।

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?} \end{aligned} $

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਫਿਰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਜੋੜਿਆਂ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋੜ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਹਨ। ਭਾਵ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a$ ਅਤੇ $b, a+b$ ਲਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

(b) ਕੀ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਫਿਰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ?

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? } \end{aligned} $

ਇਸ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਜੋੜਿਆਂ ਲਈ ਅਜ਼ਮਾਓ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਘਟਾਓ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਹਨ। ਭਾਵ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a$ ਅਤੇ $b, a-b$ ਲਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

(c) ਆਓ ਹੁਣ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ।

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? } \end{matrix} $

ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਜੋੜੇ ਲਓ ਅਤੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਫਿਰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਗੁਣਾ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਹਨ। ਭਾਵ $i s$, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a$ ਅਤੇ $b, a \times b$ ਲਈ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

(d) ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਭਾਗ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਹਨ?

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ $a, a \div 0$ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਭਾਗ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦੇਈਏ ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਭਾਗ ਹੇਠ ਸੰਵਰਧ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਦੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਖਾਲੀ ਥਾਂਵਾਂ ਭਰੋ।

1.2.2 ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯਤਾ (Commutativity)

(i) ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਭਰ ਕੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯਤਾ ਯਾਦ ਕਰੋ।

ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯਤਾ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

(ii) ਪੂਰਨਾਂਕ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਭਰੋ ਅਤੇ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ:

(iii) ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

(a) ਜੋੜ

ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੀਏ।

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ ਅਤੇ } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ ਇਸ ਲਈ, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ ਅਤੇ } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ ਕੀ } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $

ਕੀ $\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ ?

ਤੁਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹੋ ਕਿ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੋੜ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਹੈ। ਭਾਵ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a$ ਅਤੇ $b, a+b=b+a$ ਲਈ।

(b) ਘਟਾਓ

ਕੀ $\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ ?

ਕੀ $\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ ?

ਤੁਸੀਂ ਪਾਉਂਗੇ ਕਿ ਘਟਾਓ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਘਟਾਓ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਪੂਰਨਾਂਕ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਘਟਾਓ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਵੀ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।

(c) ਗੁਣਾ

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

ਕੀ

$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।

ਤੁਸੀਂ ਪਾਉਂਗੇ ਕਿ ਗੁਣਾ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਹੈ।

ਸਾਧਾਰਣ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $a \times b=b \times$ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a$ ਅਤੇ $b$ ਲਈ।

(d) ਭਾਗ

ਕੀ

$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

ਤੁਸੀਂ ਪਾਉਂਗੇ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ ਭਾਗ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਦੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਪੂਰੀ ਕਰੋ:

1.2.3 ਸਹਿਚਾਰਿਤਾ (Associativity)

(i) ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਰਾਹੀਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਚਾਰਾਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਹਿਚਾਰਿਤਾ ਯਾਦ ਕਰੋ:

ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਭਰੋ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਟਿੱਪਣੀਆਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।

ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਹਿਚਾਰਿਤਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।

(ii) ਪੂਰਨਾਂਕ

ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਲਈ ਚਾਰਾਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਹਿਚਾਰਿਤਾ ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਦੇਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ

(iii) ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

(a)

ਜੋੜ

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

ਇਸ ਲਈ, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ ਅਤੇ $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਦੋਵੇਂ ਜੋੜ ਬਰਾਬਰ ਹਨ?

ਕੁਝ ਹੋਰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਓ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਦੇਖੋ ਕਿ ਕੀ ਦੋਵੇਂ ਜੋੜ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੋੜ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਸਹਿਚਾਰੀ ਹੈ। ਭਾਵ $i$, ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿੰਨ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a, b$ ਅਤੇ $c, a+(b+c)=(a+b)+c$ ਲਈ।

(b) ਘਟਾਓ

ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਘਟਾਓ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਲਈ ਸਹਿਚਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਿਰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ?