1.1 పరిచయం

గణితంలో, మనం తరచుగా సాధించవలసిన సరళ సమీకరణలను చూస్తుంటాం. ఉదాహరణకు, సమీకరణం

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

$x=11$ అయినప్పుడు సాధించబడుతుంది, ఎందుకంటే $x$ యొక్క ఈ విలువ ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. 11 అనే సాధన ఒక సహజ సంఖ్య. మరోవైపు, సమీకరణం

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

కు సాధన పూర్ణ సంఖ్య 0 (సున్నా) ని ఇస్తుంది. మనం సహజ సంఖ్యలను మాత్రమే పరిగణించినట్లయితే, సమీకరణం (2)ని సాధించలేము. (2) వంటి సమీకరణాలను సాధించడానికి, మనం సహజ సంఖ్యల సముదాయానికి సున్నా సంఖ్యను చేర్చి పూర్ణ సంఖ్యలను పొందాము. ఇంకా, పూర్ణ సంఖ్యలు కూడా

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

రకం సమీకరణాలను సాధించడానికి సరిపోవు.

మీరు ‘ఎందుకు’ అని చూశారా? మనకు -13 అనే సంఖ్య అవసరం, ఇది ఒక పూర్ణ సంఖ్య కాదు. ఇది మనల్ని పూర్ణాంకాల (ధనాత్మక మరియు ఋణాత్మక) గురించి ఆలోచించడానికి దారితీసింది. ధన పూర్ణాంకాలు సహజ సంఖ్యలకు అనుగుణంగా ఉంటాయని గమనించండి. అందుబాటులో ఉన్న పూర్ణాంకాల జాబితాతో అన్ని సరళ సమీకరణాలను సాధించడానికి మనకు సరిపోయే సంఖ్యలు ఉన్నాయని ఎవరైనా అనుకోవచ్చు. ఇప్పుడు సమీకరణాలను పరిగణించండి

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

దీనికి మనం పూర్ణాంకాల నుండి సాధనను కనుగొనలేము. (దీన్ని సరిచూడండి) సమీకరణం (4)ని సాధించడానికి మనకు $\frac{3}{2}$ సంఖ్యలు అవసరం మరియు సమీకరణం (5)ని సాధించడానికి $\frac{-7}{5}$ అవసరం. ఇది మనల్ని అకరణీయ సంఖ్యల సముదాయానికి తీసుకువెళుతుంది.

అకరణీయ సంఖ్యలపై ప్రాథమిక క్రియలను మనం ఇప్పటికే చూశాము. ఇప్పుడు మనం ఇప్పటివరకు చూసిన వివిధ రకాల సంఖ్యలపై క్రియల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను అన్వేషించడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

1.2 అకరణీయ సంఖ్యల లక్షణాలు

1.2.1 సంవృతత్వం (Closure)

(i) పూర్ణ సంఖ్యలు

పూర్ణ సంఖ్యలపై అన్ని క్రియలకు సంవృతత్వ లక్షణాన్ని సంక్షిప్తంగా మళ్లీ పరిశీలిద్దాం.

సహజ సంఖ్యల కోసం నాలుగు క్రియల క్రింద సంవృతత్వ లక్షణాన్ని సరిచూడండి.

(ii) పూర్ణాంకాలు

పూర్ణాంకాలు ఏ క్రియల క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయో ఇప్పుడు గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.

పూర్ణ సంఖ్యలు సంకలనం మరియు గుణకారం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయి కానీ వ్యవకలనం మరియు భాగహారం క్రింద సంవృతంగా ఉండవని మీరు చూశారు. అయితే, పూర్ణాంకాలు సంకలనం, వ్యవకలనం మరియు గుణకారం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయి కానీ భాగహారం క్రింద సంవృతంగా ఉండవు.

(iii) అకరణీయ సంఖ్యలు

$\frac{p}{q}$ రూపంలో వ్రాయగల సంఖ్యను అకరణీయ సంఖ్య అంటారు, ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ పూర్ణాంకాలు మరియు $q \neq 0$. ఉదాహరణకు, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ అన్నీ అకరణీయ సంఖ్యలు. సంఖ్యలు $0,-2,4$ ను $\frac{p}{q}$ రూపంలో వ్రాయగలిగినందున, అవి కూడా అకరణీయ సంఖ్యలే. (దీన్ని సరిచూడండి!)

(a) రెండు అకరణీయ సంఖ్యలను ఎలా కూడాలో మీకు తెలుసు. కొన్ని జతలను కలుపుదాం.

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(ఒక అకరణీయ సంఖ్య)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్యా?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్యా?} \end{aligned} $

రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మొత్తం మళ్లీ ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని మనం కనుగొంటాము. దీన్ని మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యల జతలకు సరిచూడండి.

అకరణీయ సంఖ్యలు సంకలనం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయని మనం చెప్పగలం. అంటే, ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు $a$ మరియు $b, a+b$ కు కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

(b) రెండు అకరణీయ సంఖ్యల భేదం మళ్లీ ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుందా?

మనకు ఉన్నది,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (ఒక అకరణీయ సంఖ్య) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్యా? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్యా? } \end{aligned} $

దీన్ని మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యల జతలకు ప్రయత్నించండి. అకరణీయ సంఖ్యలు వ్యవకలనం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయని మనం కనుగొంటాము. అంటే, ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు $a$ మరియు $b, a-b$ కు కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

(c) ఇప్పుడు రెండు అకరణీయ సంఖ్యల లబ్ధాన్ని చూద్దాం.

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (రెండు లబ్ధాలు అకరణీయ సంఖ్యలు) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్యా? } \end{matrix} $

మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యల జతలను తీసుకొని వాటి లబ్ధం మళ్లీ ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని సరిచూడండి.

అకరణీయ సంఖ్యలు గుణకారం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయని మనం చెప్పగలం. అంటే $i s$, ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు $a$ మరియు $b, a \times b$ కు కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

(d) మనం గమనించినది $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(ఒక అకరణీయ సంఖ్య)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్యా? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్యా?

అకరణీయ సంఖ్యలు భాగహారం క్రింద సంవృతంగా ఉంటాయని మీరు చెప్పగలరా?

ఏదైనా అకరణీయ సంఖ్య $a, a \div 0$ కు నిర్వచించబడలేదని మనం కనుగొంటాము.

కాబట్టి అకరణీయ సంఖ్యలు భాగహారం క్రింద సంవృతంగా ఉండవు.

అయితే, మనం సున్నాను మినహాయిస్తే, మిగిలిన అన్ని అకరణీయ సంఖ్యల సముదాయం భాగహారం క్రింద సంవృతంగా ఉంటుంది.

ఇవి చేయండి

కింది పట్టికలో ఖాళీలను పూరించండి.

1.2.2 వినిమయ న్యాయం (Commutativity)

(i) పూర్ణ సంఖ్యలు

కింది పట్టికను పూరించడం ద్వారా పూర్ణ సంఖ్యల కోసం వివిధ క్రియల వినిమయ న్యాయాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.

సహజ సంఖ్యల కోసం కూడా క్రియల వినిమయ న్యాయం ఉంటుందో లేదో సరిచూడండి.

(ii) పూర్ణాంకాలు

కింది పట్టికను పూరించండి మరియు పూర్ణాంకాల కోసం వివిధ క్రియల వినిమయ న్యాయాన్ని సరిచూడండి:

(iii) అకరణీయ సంఖ్యలు

(a) సంకలనం

రెండు అకరణీయ సంఖ్యలను ఎలా కూడాలో మీకు తెలుసు. ఇక్కడ కొన్ని జతలను కలుపుదాం.

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ మరియు } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ కాబట్టి, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ ఇంకా, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ మరియు } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) \text{ అవునా? } \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ అవునా?

రెండు అకరణీయ సంఖ్యలను ఏ క్రమంలోనైనా కూడవచ్చని మీరు కనుగొంటారు. అకరణీయ సంఖ్యల కోసం సంకలనం వినిమయ న్యాయాన్ని పాటిస్తుందని మనం చెప్తాము. అంటే, ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు $a$ మరియు $b, a+b=b+a$ కు.

(b) వ్యవకలనం

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ అవునా?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ అవునా?

వ్యవకలనం అకరణీయ సంఖ్యల కోసం వినిమయ న్యాయాన్ని పాటించదని మీరు కనుగొంటారు.

వ్యవకలనం పూర్ణాంకాల కోసం వినిమయ న్యాయాన్ని పాటించదని మరియు పూర్ణాంకాలు కూడా అకరణీయ సంఖ్యలే అని గమనించండి. కాబట్టి, వ్యవకలనం అకరణీయ సంఖ్యల కోసం కూడా వినిమయ న్యాయాన్ని పాటించదు.

(c) గుణకారం

మనకు ఉన్నది, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

అవునా

$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

ఇలాంటి మరికొన్ని లబ్ధాలకు సరిచూడండి.

గుణకారం అకరణీయ సంఖ్యల కోసం వినిమయ న్యాయాన్ని పాటిస్తుందని మీరు కనుగొంటారు.

సాధారణంగా, $a \times b=b \times$ ఏవైనా రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు $a$ మరియు $b$ కు.

(d) భాగహారం

అవునా

$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

రెండు వైపులా ఉన్న సమాసాలు సమానం కావని మీరు కనుగొంటారు.

కాబట్టి భాగహారం అకరణీయ సంఖ్యల కోసం వినిమయ న్యాయాన్ని పాటించదు.

ఇవి చేయండి

కింది పట్టికను పూరించండి:

1.2.3 సహచర న్యాయం (Associativity)

(i) పూర్ణ సంఖ్యలు

ఈ పట్టిక ద్వారా పూర్ణ సంఖ్యల కోసం నాలుగు క్రియల సహచర న్యాయాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం:

ఈ పట్టికను పూరించండి మరియు చివరి నిలువు వరుసలో ఇచ్చిన వ్యాఖ్యలను సరిచూడండి.

సహజ సంఖ్యల కోసం వివిధ క్రియల సహచర న్యాయాన్ని మీరే సరిచూడండి.

(ii) పూర్ణాంకాలు

పూర్ణాంకాల కోసం నాలుగు క్రియల సహచర న్యాయాన్ని ఈ పట్టిక నుండి చూడవచ్చు

(iii) అకరణీయ సంఖ్యలు

(a)

సంకలనం

మనకు ఉన్నది $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

కాబట్టి, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ మరియు $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ ను కనుగొనండి. రెండు మొత్తాలు సమానమా?

మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యలను తీసుకొని, పై విధంగా కూడి రెండు మొత్తాలు సమానమా అని చూడండి. అకరణీయ సంఖ్యల కోసం సంకలనం సహచర న్యాయాన్ని పాటిస్తుందని మనం కనుగొంటాము. అంటే $i$, ఏవైనా మూడు అకరణీయ సంఖ్యలు $a, b$ మరియు $c, a+(b+c)=(a+b)+c$ కు.

(b) వ్యవకలనం

వ్యవకలనం పూర్ణాంకాల కోసం సహచర న్యాయాన్ని పాటించదని మీకు ఇప్పటికే తెలుసు, అప్పుడు అకరణీయ సంఖ్యల విషయంలో ఎలా ఉంటుంది.

$\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$ అవునా?

మీరే సరిచూడండి.

వ్యవకలనం అకరణీయ సంఖ్యల కోసం సహచర న్యాయాన్ని పాటించదు.

(c) గుణకారం

గుణకారం కోసం సహచర న్యాయాన్ని సరిచూద్దాం.

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

$\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$ అని మనం కనుగొంటాము

అవునా

$ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $

మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యలను తీసుకొని మీరే సరిచూడండి.

గుణకారం అకరణీయ సంఖ్యల కోసం సహచర న్యాయాన్ని పాటిస్తుందని మనం గమనించాము. అంటే ఏవైనా మూడు అకరణీయ సంఖ్యల