അദ്ധ്യായം 01 ഭിന്നക സംഖ്യകൾ
1.1 ആമുഖം
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ട ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പതിവായി കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം
$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$
എന്നത് $x=11$ ആകുമ്പോൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം $x$ ന്റെ ഈ മൂല്യം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. 11 എന്ന പരിഹാരം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. മറുവശത്ത്, സമവാക്യം
$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$
എന്നതിന്റെ പരിഹാരം പൂർണ്ണസംഖ്യ 0 (പൂജ്യം) നൽകുന്നു. നമ്മൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മാത്രം പരിഗണിച്ചാൽ, സമവാക്യം (2) പരിഹരിക്കാനാവില്ല. (2) പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിലേക്ക് പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ ചേർത്ത് നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ലഭിച്ചു. ഇനി തരം
$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$
എന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ പോലും പര്യാപ്തമായിരിക്കില്ല. ‘എന്തുകൊണ്ട്’ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകുന്നുണ്ടോ? നമുക്ക് -13 എന്ന സംഖ്യ ആവശ്യമാണ്, അതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. ഇത് നമ്മെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് (ധനാത്മകവും ഋണാത്മകവും) ചിന്തിക്കാൻ പ്രേരിപ്പിച്ചു. ധനാത്മക പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളോട് യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ലഭ്യമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാ ലളിത സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ മതിയായ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് ആരെങ്കിലും കരുതിയേക്കാം. ഇനി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക
$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$
ഇവയ്ക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരു പരിഹാരവും കണ്ടെത്താനാവില്ല. (ഇത് പരിശോധിക്കുക) സമവാക്യം (4) പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് $\frac{3}{2}$ എന്ന സംഖ്യകളും സമവാക്യം(5) പരിഹരിക്കാൻ $\frac{-7}{5}$ എന്ന സംഖ്യകളും ആവശ്യമാണ്. ഇത് നമ്മെ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
ഭിന്നക സംഖ്യകളിലെ അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നമ്മൾ ഇതിനകം കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ഇതുവരെ കണ്ട വിവിധ തരം സംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം.
1.2 ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകൾ
1.2.1 അടയ്ക്കൽ സവിശേഷത (Closure)
(i) പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ
പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലെ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുമുള്ള അടയ്ക്കൽ സവിശേഷത ചുരുക്കത്തിൽ വീണ്ടും പരിശോധിക്കാം.
| പ്രവർത്തനം | സംഖ്യകൾ | പരാമർശങ്ങൾ |
|---|---|---|
| സങ്കലനം | $0+5=5$, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ $4+7=\ldots$. ഇതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണോ? പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a$, $b$ എന്നിവയ്ക്ക് $a+b$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. |
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സങ്കലനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നു. |
| വ്യവകലനം | $5-7=-2$, അതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. |
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ വ്യവകലനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നില്ല. |
| ഗുണനം | $3 \times 3=0$, പൂർണ്ണസംഖ്യ പൊതുവേ, $a$, $b$ എന്നിവ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഗുണനഫലം $a b$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. |
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഗുണനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നു. |
| ഹരണം | $5 \div 8=\frac{5}{8}$, അതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. |
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഹരണത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നില്ല. |
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് എല്ലാ നാല് പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും കീഴിലുള്ള അടയ്ക്കൽ സവിശേഷത പരിശോധിക്കുക.
(ii) പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ (Integers)
പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ ഏത് പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ അടച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം.
| പ്രവർത്തനം | സംഖ്യകൾ | പരാമർശങ്ങൾ |
|---|---|---|
| സങ്കലനം | $-6+5=-1$, ഒരു പൂർണ്ണാങ്കം | പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ സങ്കലനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നു |
| $-7+(-5)$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണോ? $8+5$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണോ? പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ $a$, $b$ എന്നിവയ്ക്ക് $a+b$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണ്. |
||
| വ്യവകലനം | $7-5=2$, ഒരു പൂർണ്ണാങ്കം $5-7$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണോ? $-6-8=-14$, ഒരു പൂർണ്ണാങ്കം |
പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ വ്യവകലനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നു. |
| $-6-(-8)=2$, ഒരു പൂർണ്ണാങ്കം $8-(-6)$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണോ? പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ $a$, $b, a-b$ എന്നിവയ്ക്ക് വീണ്ടും ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണ്. $b-a$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. |
||
| ഗുണനം | $5 \times 8=40$, ഒരു പൂർണ്ണാങ്കം $-5 \times 8$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണോ? $-5 \times(-8)=40$, ഒരു പൂർണ്ണാങ്കം പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ $a$, $b, a \times b$ എന്നിവയ്ക്ക് വീണ്ടും ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമാണ്. |
പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ ഗുണനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നു. |
| ഹരണം | $5 \div 8=\frac{5}{8}$, അതൊരു പൂർണ്ണാങ്കമല്ല. |
പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ ഹരണത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നില്ല. |
പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സങ്കലനത്തിനും ഗുണനത്തിനും അടച്ചിരിക്കുന്നുവെങ്കിലും വ്യവകലനത്തിനും ഹരണത്തിനും അടച്ചിരിക്കുന്നില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ, പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ സങ്കലനത്തിനും വ്യവകലനത്തിനും ഗുണനത്തിനും അടച്ചിരിക്കുന്നുവെങ്കിലും ഹരണത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നില്ല.
(iii) ഭിന്നക സംഖ്യകൾ
$\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയെ ഭിന്നക സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എന്ന് ഓർക്കുക, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളാണ്, $q \neq 0$. ഉദാഹരണത്തിന്, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ എന്നിവയെല്ലാം ഭിന്നക സംഖ്യകളാണ്. $0,-2,4$ എന്നീ സംഖ്യകൾ $\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാനാകുന്നതിനാൽ, അവയും ഭിന്നക സംഖ്യകളാണ്. (ഇത് പരിശോധിക്കുക!)
(a) രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൂട്ടാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. നമുക്ക് കുറച്ച് ജോഡികൾ കൂട്ടാം.
$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യ)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{ഇതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണോ?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{ഇതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണോ?} \end{aligned} $
രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ തുക വീണ്ടും ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. കുറച്ച് കൂടുതൽ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ജോഡികൾക്കായി ഇത് പരിശോധിക്കുക.
ഭിന്നക സംഖ്യകൾ സങ്കലനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു. അതായത്, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ $a$, $b, a+b$ എന്നിവയ്ക്ക് $a$+$b, a+b$ എന്നതും ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണ്.
(b) രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം വീണ്ടും ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാകുമോ?
നമുക്കുള്ളത്,
$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യ) } $
$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{ഇതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണോ? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{ഇതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണോ? } \end{aligned} $
ഇത് കുറച്ച് കൂടുതൽ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ജോഡികൾക്കായി പരീക്ഷിക്കുക. ഭിന്നക സംഖ്യകൾ വ്യവകലനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതായത്, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ $a$, $b, a-b$ എന്നിവയ്ക്ക് $a$-$b, a-b$ എന്നതും ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണ്.
(c) ഇനി രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം നോക്കാം.
$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (രണ്ട് ഗുണനഫലങ്ങളും ഭിന്നക സംഖ്യകളാണ്) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ ഇതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണോ? } \end{matrix} $
കുറച്ച് കൂടുതൽ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ജോഡികൾ എടുത്ത് അവയുടെ ഗുണനഫലവും വീണ്ടും ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണെന്ന് പരിശോധിക്കുക.
ഭിന്നക സംഖ്യകൾ ഗുണനത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു. അതായത് $i s$, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ $a$, $b, a \times b$ എന്നിവയ്ക്ക് $a$×$b, a \times b$ എന്നതും ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണ്.
(d) $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$ എന്ന് നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു
(ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യ)
$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. ഇതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണോ? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. ഇതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണോ?
ഭിന്നക സംഖ്യകൾ ഹരണത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ?
ഏതെങ്കിലും ഭിന്നക സംഖ്യ $a, a \div 0$ ന് വേണ്ടി $a, a \div 0$÷0 നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
അതിനാൽ ഭിന്നക സംഖ്യകൾ ഹരണത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നില്ല.
എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ പൂജ്യം ഒഴിവാക്കിയാൽ, മറ്റെല്ലാ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെയും കൂട്ടം ഹരണത്തിന് അടച്ചിരിക്കുന്നു.
ഇവ ശ്രമിക്കുക
ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിലെ വിട്ടുപോയ ഭാഗങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കുക.
| സംഖ്യകൾ | അടച്ചിരിക്കുന്നത് | |||
|---|---|---|---|---|
| സങ്കലനം | വ്യവകലനം | ഗുണനം | ഹരണം | |
| ഭിന്നക സംഖ്യകൾ | അതെ | അതെ | $\ldots$ | അല്ല |
| പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ | $\ldots$ | അതെ | $\ldots$ | അല്ല |
| പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ | $\ldots$ | $\ldots$ | അതെ | $\ldots$ |
| സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ | $\ldots$ | അല്ല | $\ldots$ | $\ldots$ |
1.2.2 കമ്മ്യൂട്ടേറ്റിവിറ്റി (Commutativity)
(i) പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ
ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക പൂരിപ്പിച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കുള്ള വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റിവിറ്റി ഓർക്കുക.
| പ്രവർത്തനം | സംഖ്യകൾ | പരാമർശങ്ങൾ |
|---|---|---|
| സങ്കലനം | $0+7=7+0=7$ $2+3=\ldots+\ldots=\ldots$. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a$, $b$ എന്നിവയ്ക്ക്, $a+b=b+a$ |
സങ്കലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്. |
| വ്യവകലനം | $\ldots \ldots . .$. | |
| ഗുണനം | $\ldots \ldots .$. | വ്യവകലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല. |
| ഹരണം | $\ldots \ldots . .$. | ഹരണം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല. |
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റിവിറ്റി ബാധകമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
(ii) പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ
ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക പൂരിപ്പിച്ച് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾക്കുള്ള വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റിവിറ്റി പരിശോധിക്കുക:
| പ്രവർത്തനം | സംഖ്യകൾ | പരാമർശങ്ങൾ |
|---|---|---|
| സങ്കലനം | $\ldots \ldots .$. | സങ്കലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്. |
| വ്യവകലനം | $5-(-3)=-3-5 ?$ ആണോ? | വ്യവകലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല. |
| ഗുണനം | $\ldots \ldots .$. | ഗുണനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്. |
| ഹരണം | $\ldots . . .$. | ഹരണം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല. |
(iii) ഭിന്നക സംഖ്യകൾ
(a) സങ്കലനം
രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൂട്ടാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഇവിടെ കുറച്ച് ജോഡികൾ കൂട്ടാം.
$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ and } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ അതിനാൽ, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ കൂടാതെ, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ and } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) \text{ ആണോ? } \end{aligned} $
$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ ആണോ?
രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ ഏത് ക്രമത്തിലും കൂട്ടാമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഭിന്നക സംഖ്യകൾക്ക് സങ്കലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു. അതായത്, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ $a$, $b, a+b=b+a$ എന്നിവയ്ക്ക് $a$+$b, a+b=b+a$ = $b, a+b=b+a$+$a$.
(b) വ്യവകലനം
$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ ആണോ?
$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ ആണോ?
ഭിന്നക സംഖ്യകൾക്ക് വ്യവകലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ലെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.
പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾക്ക് വ്യവകലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ലെന്നും പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളും ഭിന്നക സംഖ്യകളാണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, ഭിന്നക സംഖ്യകൾക്കും വ്യവകലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല.
(c) ഗുണനം
നമുക്കുള്ളത്, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$
$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) \text{ ആണോ? } $
ഇതുപോലുള്ള കുറച്ച് കൂടുതൽ ഗുണനഫലങ്ങൾക്കായി പരിശോധിക്കുക.
ഭിന്നക സംഖ്യകൾക്ക് ഗുണനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.
പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ $a$, $b$ എന്നിവയ്ക്ക് $a \times b=b \times$.
(d) ഹരണം
$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) \text{ ആണോ? } $
രണ്ട് വശങ്ങളിലുമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ തുല്യമല്ലെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.
അതിനാൽ ഭിന്നക സംഖ്യകൾക്ക് ഹരണം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ല.
ഇവ ശ്രമിക്കുക
ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക പൂർത്തിയാക്കുക:
| സംഖ്യകൾ | കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആയത് | |||
|---|---|---|---|---|
| സങ്കലനം | വ്യവകലനം | ഗുണനം | ഹരണം | |
| ഭിന്നക സംഖ്യകൾ | അതെ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ | $\ldots$ | അല്ല | $\ldots$ | $\ldots$ |
| പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ | $\ldots$ | $\ldots$ | അതെ | $\ldots$ |
| സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | അല്ല |
1.2.3 അസോസിയേറ്റിവിറ്റി (Associativity)
(i) പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ
ഈ പട്ടിക വഴി പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കുള്ള നാല് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ഓർക്കുക:
| പ്രവർത്തനം | സംഖ്യകൾ | പരാമർശങ്ങൾ |
|---|---|---|
| സങ്കലനം | $\ldots \ldots .$. | സങ്കലനം അസോസിയേറ്റീവ് ആണ് |
| വ്യവകലനം | $\ldots \ldots \ldots$ | വ്യവകലനം അസോസിയേറ്റീവ് അല്ല |
| ഗുണനം | $7 \times(2 \times 5)=(7 \times 2) \times 5 ?$ ആണോ? $4 \times(6 \times 0)=(4 \times 6) \times 0 ?$ ആണോ? ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $a, b$, $c$ എന്നിവയ്ക്ക് $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ |
ഗുണനം അസോസിയേറ്റീവ് ആണ് |
| ഹരണം | $\ldots \ldots \ldots .$. | ഹരണം അസോസിയേറ്റീവ് അല്ല |
ഈ പട്ടിക പൂരിപ്പിച്ച് അവസാന കോളത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പരാമർശങ്ങൾ സ്ഥിരീകരിക്കുക.
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കുള്ള വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി നിങ്ങൾ സ്വയം പരിശോധിക്കുക.
(ii) പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ
പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾക്കുള്ള നാല് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ഈ പട്ടികയിൽ നിന്ന് കാണാം
| പ്രവർത്തനം | സംഖ്യകൾ | പരാമർശങ്ങൾ |
|---|---|---|
| സങ്കലനം | $(-2)+[3+(-4)]$ ആണോ? $=[(-2)+3)]+(-4) ?$ $(-6)+[(-4)+(-5)]$ ആണോ? $=[(-6)+(-4)]+(-5) ?$ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ $a, b$, $c$ എന്നിവയ്ക്ക് $a+(b+c)=(a+b)+c$ |
|
| വ്യവകലനം | $5-(7-3)=(5-7)-3 ?$ ആണോ? | വ്യവകലനം അസോസിയേറ്റീവ് അല്ല |
| ഗുണനം | $5 \times[(-7) \times(-8)$ ആണോ? $=[5 \times(-7)] \times(-8) ?$ $(-4) \times[(-8) \times(-5)]$ ആണോ? $=[(-4) \times(-8)] \times(-5) ?$ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ $a, b$, $c$ എന്നിവയ്ക്ക് $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ |
ഗുണനം അസോസിയ |
BETA
