પ્રકરણ 01 પરિમેય સંખ્યાઓ
1.1 પ્રસ્તાવના
ગણિતમાં, આપણે ઘણીવાર સરળ સમીકરણોને ઉકેલવાનો સામનો કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ
$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$
ઉકેલાય છે જ્યારે $x=11$, કારણ કે $x$ ની આ કિંમત આપેલ સમીકરણને સંતોષે છે. ઉકેલ 11 એ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. બીજી તરફ, સમીકરણ
$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$
માટે ઉકેલ પૂર્ણ સંખ્યા 0 (શૂન્ય) આપે છે. જો આપણે માત્ર પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ, તો સમીકરણ (2) ઉકેલી શકાતું નથી. સમીકરણો જેવા કે (2) ને ઉકેલવા માટે, આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સંગ્રહમાં સંખ્યા શૂન્ય ઉમેરી અને પૂર્ણ સંખ્યાઓ મેળવી. પૂર્ણ સંખ્યાઓ પણ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવા માટે પર્યાપ્ત નહીં હોય
$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$
શું તમે ‘શા માટે’ જોઈ શકો છો? આપણને -13 નંબરની જરૂર છે જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી. આ આપણને પૂર્ણાંકો (ધન અને ઋણ) વિશે વિચારવા પ્રેરિત કરે છે. નોંધ કરો કે ધન પૂર્ણાંકો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે. કોઈ વિચારી શકે છે કે ઉપલબ્ધ પૂર્ણાંકોની સૂચિ સાથેના તમામ સરળ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે આપણી પાસે પૂરતી સંખ્યાઓ છે. હવે સમીકરણો ધ્યાનમાં લો
$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$
જેના માટે આપણે પૂર્ણાંકોમાંથી ઉકેલ શોધી શકતા નથી. (આ તપાસો) આપણને સમીકરણ (4) ઉકેલવા માટે $\frac{3}{2}$ સંખ્યાઓની અને સમીકરણ(5) ઉકેલવા માટે $\frac{-7}{5}$ સંખ્યાઓની જરૂર છે. આ આપણને પરિમેય સંખ્યાઓના સંગ્રહ તરફ દોરી જાય છે.
આપણે પહેલેથી જ પરિમેય સંખ્યાઓ પરના મૂળભૂત ક્રિયાઓ જોઈ લીધી છે. હવે આપણે અત્યાર સુધી જોયેલા વિવિધ પ્રકારની સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના કેટલાક ગુણધર્મોની શોધ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ.
1.2 પરિમેય સંખ્યાઓના ગુણધર્મો
1.2.1 સંવૃત્તિ (Closure)
(i) પૂર્ણ સંખ્યાઓ
ચાલો સંક્ષેપમાં પૂર્ણ સંખ્યાઓ પરની તમામ ક્રિયાઓ માટે સંવૃત્તિ ગુણધર્મની પુનરાવર્તન કરીએ.
| ક્રિયા | સંખ્યાઓ | ટિપ્પણીઓ |
|---|---|---|
| સરવાળો | $0+5=5$, એક પૂર્ણ સંખ્યા $4+7=\ldots$. શું તે પૂર્ણ સંખ્યા છે? સામાન્ય રીતે, $a+b$ એ કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે પૂર્ણ સંખ્યા છે. |
પૂર્ણ સંખ્યાઓ સરવાળા હેઠળ સંવૃત્ત છે. |
| બાદબાકી | $5-7=-2$, જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી. |
પૂર્ણ સંખ્યાઓ બાદબાકી હેઠળ સંવૃત્ત નથી. |
| ગુણાકાર | $3 \times 3=0$, પૂર્ણ સંખ્યા સામાન્ય રીતે, જો $a$ અને $b$ કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓ હોય, તો તેમનો ગુણાકાર $a b$ એ પૂર્ણ સંખ્યા છે. |
પૂર્ણ સંખ્યાઓ ગુણાકાર હેઠળ સંવૃત્ત છે. |
| ભાગાકાર | $5 \div 8=\frac{5}{8}$, જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી. |
પૂર્ણ સંખ્યાઓ ભાગાકાર હેઠળ સંવૃત્ત નથી. |
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે તમામ ચાર ક્રિયાઓ હેઠળ સંવૃત્તિ ગુણધર્મ તપાસો.
(ii) પૂર્ણાંકો
ચાલો હવે યાદ કરીએ કે કઈ ક્રિયાઓ હેઠળ પૂર્ણાંકો સંવૃત્ત છે.
| ક્રિયા | સંખ્યાઓ | ટિપ્પણીઓ |
|---|---|---|
| સરવાળો | $-6+5=-1$, એક પૂર્ણાંક | પૂર્ણાંકો સરવાળા હેઠળ સંવૃત્ત છે |
| શું $-7+(-5)$ પૂર્ણાંક છે? શું $8+5$ પૂર્ણાંક છે? સામાન્ય રીતે, કોઈ પણ બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે $a+b$ એ પૂર્ણાંક છે. |
||
| બાદબાકી | $7-5=2$, એક પૂર્ણાંક શું $5-7$ પૂર્ણાંક છે? $-6-8=-14$, એક પૂર્ણાંક |
પૂર્ણાંકો બાદબાકી હેઠળ સંવૃત્ત છે. |
| $-6-(-8)=2$, એક પૂર્ણાંક શું $8-(-6)$ પૂર્ણાંક છે? સામાન્ય રીતે, કોઈ પણ બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b, a-b$ માટે પણ પૂર્ણાંક છે. તપાસો કે શું $b-a$ પણ પૂર્ણાંક છે. |
||
| ગુણાકાર | $5 \times 8=40$, એક પૂર્ણાંક શું $-5 \times 8$ પૂર્ણાંક છે? $-5 \times(-8)=40$, એક પૂર્ણાંક સામાન્ય રીતે, કોઈ પણ બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b, a \times b$ માટે પણ પૂર્ણાંક છે. |
પૂર્ણાંકો ગુણાકાર હેઠળ સંવૃત્ત છે. |
| ભાગાકાર | $5 \div 8=\frac{5}{8}$, જે પૂર્ણાંક નથી. |
પૂર્ણાંકો ભાગાકાર હેઠળ સંવૃત્ત નથી. |
તમે જોયું છે કે પૂર્ણ સંખ્યાઓ સરવાળા અને ગુણાકાર હેઠળ સંવૃત્ત છે પરંતુ બાદબાકી અને ભાગાકાર હેઠળ નથી. જોકે, પૂર્ણાંકો સરવાળા, બાદબાકી અને ગુણાકાર હેઠળ સંવૃત્ત છે પરંતુ ભાગાકાર હેઠળ નથી.
(iii) પરિમેય સંખ્યાઓ
યાદ કરો કે એવી સંખ્યા જે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$ ને પરિમેય સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ બધી પરિમેય સંખ્યાઓ છે. કારણ કે સંખ્યાઓ $0,-2,4$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, તેઓ પણ પરિમેય સંખ્યાઓ છે. (તે તપાસો!)
(a) તમે જાણો છો કે બે પરિમેય સંખ્યાઓ કેવી રીતે ઉમેરવી. ચાલો કેટલાક જોડી ઉમેરીએ.
$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(એક પરિમેય સંખ્યા)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{શું તે પરિમેય સંખ્યા છે?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{શું તે પરિમેય સંખ્યા છે?} \end{aligned} $
આપણે જોઈએ છીએ કે બે પરિમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો ફરીથી એક પરિમેય સંખ્યા છે. પરિમેય સંખ્યાઓની વધુ કેટલીક જોડી માટે તે તપાસો.
આપણે કહીએ છીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓ સરવાળા હેઠળ સંવૃત્ત છે. એટલે કે, કોઈ પણ બે પરિમેય સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a+b$ માટે પણ પરિમેય સંખ્યા છે.
(b) શું બે પરિમેય સંખ્યાઓનો તફાવત ફરીથી પરિમેય સંખ્યા હશે?
આપણી પાસે છે,
$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (એક પરિમેય સંખ્યા) } $
$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{શું તે પરિમેય સંખ્યા છે? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{શું તે પરિમેય સંખ્યા છે? } \end{aligned} $
પરિમેય સંખ્યાઓની વધુ કેટલીક જોડી માટે આ પ્રયાસ કરો. આપણે જોઈએ છીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓ બાદબાકી હેઠળ સંવૃત્ત છે. એટલે કે, કોઈ પણ બે પરિમેય સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a-b$ માટે પણ પરિમેય સંખ્યા છે.
(c) ચાલો હવે બે પરિમેય સંખ્યાઓના ગુણાકારને જોઈએ.
$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (બંને ગુણાકાર પરિમેય સંખ્યાઓ છે) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ શું તે પરિમેય સંખ્યા છે? } \end{matrix} $
પરિમેય સંખ્યાઓની વધુ કેટલીક જોડી લો અને તપાસો કે તેમનો ગુણાકાર ફરીથી પરિમેય સંખ્યા છે.
આપણે કહીએ છીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓ ગુણાકાર હેઠળ સંવૃત્ત છે. એટલે કે $i s$, કોઈ પણ બે પરિમેય સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a \times b$ માટે પણ પરિમેય સંખ્યા છે.
(d) આપણે નોંધીએ છીએ કે $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$
(એક પરિમેય સંખ્યા)
$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. શું તે પરિમેય સંખ્યા છે? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. શું તે પરિમેય સંખ્યા છે?
શું તમે કહી શકો છો કે પરિમેય સંખ્યાઓ ભાગાકાર હેઠળ સંવૃત્ત છે?
આપણે જોઈએ છીએ કે કોઈ પણ પરિમેય સંખ્યા $a, a \div 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી પરિમેય સંખ્યાઓ ભાગાકાર હેઠળ સંવૃત્ત નથી.
જોકે, જો આપણે શૂન્યને બાદ કરીએ તો અન્ય તમામ પરિમેય સંખ્યાઓનો સંગ્રહ ભાગાકાર હેઠળ સંવૃત્ત છે.
પ્રયાસ કરો (TRY THESE)
નીચેની કોષ્ટકમાં ખાલી જગ્યા પૂરો.
| સંખ્યાઓ | હેઠળ સંવૃત્ત | |||
|---|---|---|---|---|
| સરવાળો | બાદબાકી | ગુણાકાર | ભાગાકાર | |
| પરિમેય સંખ્યાઓ | હા | હા | $\ldots$ | ના |
| પૂર્ણાંકો | $\ldots$ | હા | $\ldots$ | ના |
| પૂર્ણ સંખ્યાઓ | $\ldots$ | $\ldots$ | હા | $\ldots$ |
| પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ | $\ldots$ | ના | $\ldots$ | $\ldots$ |
1.2.2 ક્રમનિરપેક્ષતા (Commutativity)
(i) પૂર્ણ સંખ્યાઓ
નીચેની કોષ્ટક ભરીને પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે વિવિધ ક્રિયાઓની ક્રમનિરપેક્ષતા યાદ કરો.
| ક્રિયા | સંખ્યાઓ | ટિપ્પણીઓ |
|---|---|---|
| સરવાળો | $0+7=7+0=7$ $2+3=\ldots+\ldots=\ldots$. કોઈ પણ બે પૂર્ણ સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે, $a+b=b+a$ |
સરવાળો ક્રમનિરપેક્ષ છે. |
| બાદબાકી | $\ldots \ldots . .$. | |
| ગુણાકાર | $\ldots \ldots .$. | બાદબાકી ક્રમનિરપેક્ષ નથી. |
| ભાગાકાર | $\ldots \ldots . .$. | ભાગાકાર ક્રમનિરપેક્ષ નથી. |
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પણ ક્રિયાઓની ક્રમનિરપેક્ષતા ધરાવે છે કે કેમ તે તપાસો.
(ii) પૂર્ણાંકો
નીચેની કોષ્ટક ભરો અને પૂર્ણાંકો માટે વિવિધ ક્રિયાઓની ક્રમનિરપેક્ષતા તપાસો:
| ક્રિયા | સંખ્યાઓ | ટિપ્પણીઓ |
|---|---|---|
| સરવાળો | $\ldots \ldots .$. | સરવાળો ક્રમનિરપેક્ષ છે. |
| બાદબાકી | શું $5-(-3)=-3-5 ?$ | બાદબાકી ક્રમનિરપેક્ષ નથી. |
| ગુણાકાર | $\ldots \ldots .$. | ગુણાકાર ક્રમનિરપેક્ષ છે. |
| ભાગાકાર | $\ldots . . .$. | ભાગાકાર ક્રમનિરપેક્ષ નથી. |
(iii) પરિમેય સંખ્યાઓ
(a) સરવાળો
તમે જાણો છો કે બે પરિમેય સંખ્યાઓ કેવી રીતે ઉમેરવી. ચાલો અહીં કેટલીક જોડી ઉમેરીએ.
$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ અને } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ તેથી, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ એટલે, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ અને } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ શું } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $
શું $\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ ?
તમે જોશો કે બે પરિમેય સંખ્યાઓ કોઈ પણ ક્રમમાં ઉમેરી શકાય છે. આપણે કહીએ છીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓ માટે સરવાળો ક્રમનિરપેક્ષ છે. એટલે કે, કોઈ પણ બે પરિમેય સંખ્યાઓ $a$ અને $b, a+b=b+a$ માટે.
(b) બાદબાકી
શું $\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ ?
શું $\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ ?
તમે જોશો કે પરિમેય સંખ્યાઓ માટે બાદબાકી ક્રમનિરપેક્ષ નથી.
નોંધ કરો કે પૂર્ણાંકો માટે બાદબાકી ક્રમનિરપેક્ષ નથી અને પૂર્ણાંકો પણ પરિમેય સંખ્યાઓ છે. તેથી, પરિમેય સંખ્યાઓ માટે પણ બાદબાકી ક્રમનિરપેક્ષ નહીં હોય.
(c) ગુણાકાર
આપણી પાસે છે, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$
શું
$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $
વધુ કેટલાક આવા ગુણાકાર માટે તપાસો.
તમે જોશો કે પરિમેય સંખ્યાઓ માટે ગુણાકાર ક્રમનિરપેક્ષ છે.
સામાન્ય રીતે, $a \times b=b \times$ કોઈ પણ બે પરિમેય સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે.
(d) ભાગાકાર
શું
$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $
તમે જોશો કે બંને બાજુના સમીકરણો સમાન નથી.
તેથી પરિમેય સંખ્યાઓ માટે ભાગાકાર ક્રમનિરપેક્ષ નથી.
પ્રયાસ કરો (TRY THESE)
નીચેની કોષ્ટક પૂર્ણ કરો:
| સંખ્યાઓ | માટે ક્રમનિરપેક્ષ | |||
|---|---|---|---|---|
| સરવાળો | બાદબાકી | ગુણાકાર | ભાગાકાર | |
| પરિમેય સંખ્યાઓ | હા | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| પૂર્ણાંકો | $\ldots$ | ના | $\ldots$ | $\ldots$ |
| પૂર્ણ સંખ્યાઓ | $\ldots$ | $\ldots$ | હા | $\ldots$ |
| પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | ના |
1.2.3 સહયોગિતા (Associativity)
(i) પૂર્ણ સંખ્યાઓ
આ કોષ્ટક દ્વારા પૂર્ણ સંખ્યાઓ માટે ચાર ક્રિયાઓની સહયોગિતા યાદ કરો:
| ક્રિયા | સંખ્યાઓ | ટિપ્પણીઓ |
|---|---|---|
| સરવાળો | $\ldots \ldots .$. | સરવાળો સહયોગી છે |
| બાદબાકી | $\ldots \ldots \ldots$ | બાદબાકી સહયોગી નથી |
| ગુણાકાર | શું $7 \times(2 \times 5)=(7 \times 2) \times 5 ?$ શું $4 \times(6 \times 0)=(4 \times 6) \times 0 ?$ કોઈ પણ ત્રણ પૂર્ણ સંખ્યાઓ $a, b$ અને $c$ માટે $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ |
ગુણાકાર સહયોગી છે |
| ભાગાકાર | $\ldots \ldots \ldots .$. | ભાગાકાર સહયોગી નથી |
આ કોષ્ટક ભરો અને છેલ્લા સ્તંભમાં આપેલ ટિપ્પણીઓ ચકાસો.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે વિવિધ ક્રિયાઓની સહયોગિતા તમારા માટે તપાસો.
(ii) પૂર્ણાંકો
પૂર્ણાંકો માટે ચાર ક્રિયાઓની સહયોગિતા આ કોષ્ટકમાંથી જોઈ શકાય છે
| ક્રિયા | સંખ્યાઓ | ટિપ્પણીઓ |
|---|---|---|
| સરવાળો | શું $(-2)+[3+(-4)]$ $=[(-2)+3)]+(-4) ?$ શું $(-6)+[(-4)+(-5)]$ $=[(-6)+(-4)]+(-5) ?$ કોઈ પણ ત્રણ પૂર્ણાંકો $a, b$ અને $c$ માટે $a+(b+c)=(a+b)+c$ |
|
| બાદબાકી | શું $5-(7-3)=(5-7)-3 ?$ | બાદબાકી સહયોગી નથી |
| ગુણાકાર | શું $5 \times[(-7) \times(-8)$ $=[5 \times(-7)] \times(-8) ?$ શું $(-4) \times[(-8) \times(-5)]$ $=[(-4) \times(-8)] \times(-5) ?$ કોઈ પણ ત્રણ પૂર્ણાંકો $a, b$ અને $c$ માટે $a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ |
ગુણાકાર સહયોગી છે |
| શું $[(-10) \div 2] \div(-5)$ $=(-10) \div[2 \div(-5)]$ |
ભાગાકાર સહયોગી નથી | |
| ભાગાકાર |
(iii) પરિમેય સંખ્યાઓ
(a)
સરવાળો
આપણી પાસે છે $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$
$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $
તેથી, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$
$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ અને $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ શોધો. શું બંને સરવાળા સમાન છે?
વધુ કેટલીક પરિમેય સંખ્યાઓ લો, તેમને ઉપર મુજબ ઉમેરો અને જુઓ કે બંને સરવાળા સમાન છે કે નહીં. આપણે જોઈએ છીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓ માટે સરવાળો સહયોગી છે. એટલે કે $i$, કોઈ પણ ત્રણ પરિમેય સંખ્યાઓ $a, b$ અને $c, a+(b+c)=(a+b)+c$ માટે.
(b) બાદબાકી
તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે પૂર્ણાંકો માટે બાદબાકી સહયોગી નથી, તો પછી પરિમેય સંખ્યાઓ માટે શું?
શું $\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$
તમારા માટે તપાસો.
પરિમેય સંખ્યાઓ માટે બાદબાકી સહયોગી નથી.
(c) ગુણાકાર
ચાલો ગુણાકાર માટે સહયોગિતા તપાસીએ.
$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $
$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $
આપણે જોઈએ છીએ કે $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$
શું
$ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $
વધુ કેટલીક પરિમેય સંખ્યાઓ લો અને તમારા માટે તપાસો.
આપણે નિરીક્ષણ કરીએ છીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓ માટે ગુણાકાર સહયોગી છે. એટલે કે કોઈ પણ ત્રણ પરિમેય સંખ્યાઓ $a, b$ અને $c, a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$ માટે. (d) ભાગાકાર
યાદ કરો કે પૂર્ણાંકો માટે ભાગાકાર સહયોગી નથી, તો પછી પરિમેય સંખ્યાઓ માટે શું?
ચાલો જોઈએ કે શું $\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$
આપણી પાસે છે, ડાબી બાજુ (LHS) $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ નો વ્યસ્ત $\frac{2}{5}$ છે $\frac{5}{2}$ )
$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \\ \text{ જમણી બાજુ (RHS) } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \\ & =(\frac{1}{2} \times
BETA
