१.१ परिचय

गणितामध्ये, आपल्याला सोडवायची सोपी समीकरणे वारंवार भेटतात. उदाहरणार्थ, समीकरण

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

हे समीकरण सोडवले जाते जेव्हा $x=11$, कारण $x$ चे हे मूल्य दिलेल्या समीकरणाचे समाधान करते. हे समाधान 11 ही एक नैसर्गिक संख्या आहे. दुसरीकडे, समीकरण

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

साठी समाधान पूर्ण संख्या 0 (शून्य) देते. जर आपण केवळ नैसर्गिक संख्यांचा विचार केला, तर समीकरण (2) सोडवता येत नाही. समीकरण (2) सारखी समीकरणे सोडवण्यासाठी, आपण नैसर्गिक संख्यांच्या संचामध्ये शून्य संख्या मिळवली आणि पूर्ण संख्या मिळवल्या. पूर्ण संख्याही या प्रकारची समीकरणे सोडवण्यासाठी पुरेशा नाहीत.

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

तुम्हाला ‘का’ हे दिसत आहे का? आपल्याला -13 ही संख्या आवश्यक आहे जी पूर्ण संख्या नाही. यामुळे आपण पूर्णांक (धन आणि ऋण) विचारात घेण्यास प्रवृत्त झालो. लक्षात घ्या की धन पूर्णांक नैसर्गिक संख्यांशी संबंधित आहेत. एखाद्याला असे वाटू शकते की उपलब्ध पूर्णांकांच्या यादीने सर्व सोपी समीकरणे सोडवण्यासाठी आपल्याकडे पुरेशा संख्या आहेत. आता समीकरणे विचारात घ्या

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

ज्यासाठी आपल्याला पूर्णांकांमधून समाधान सापडत नाही. (हे तपासा) आपल्याला समीकरण (4) सोडवण्यासाठी $\frac{3}{2}$ संख्या आणि समीकरण(5) सोडवण्यासाठी $\frac{-7}{5}$ संख्या आवश्यक आहे. हे आपल्याला परिमेय संख्यांच्या संचाकडे घेऊन जाते.

आपण परिमेय संख्यांवरील मूलभूत क्रिया आधीच पाहिल्या आहेत. आता आपण आतापर्यंत पाहिलेल्या विविध प्रकारच्या संख्यांवरील क्रियांचे काही गुणधर्म शोधण्याचा प्रयत्न करू.

१.२ परिमेय संख्यांचे गुणधर्म

१.२.१ संवृत्तता (Closure)

(i) पूर्ण संख्या

चला, थोडक्यात पूर्ण संख्यांवरील सर्व क्रियांसाठी संवृत्तता गुणधर्म पुन्हा पाहू.

नैसर्गिक संख्यांसाठी सर्व चार क्रियांसाठी संवृत्तता गुणधर्म तपासा.

(ii) पूर्णांक

आता पूर्णांक कोणत्या क्रियांसाठी संवृत्त आहेत हे आठवूया.

तुम्ही पाहिले आहे की पूर्ण संख्या बेरीज आणि गुणाकारासाठी संवृत्त आहेत परंतु वजाबाकी आणि भागाकारासाठी नाहीत. तथापि, पूर्णांक बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकारासाठी संवृत्त आहेत परंतु भागाकारासाठी नाहीत.

(iii) परिमेय संख्या

आठवा की, जी संख्या $\frac{p}{q}$ या स्वरूपात लिहिता येते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$, तिला परिमेय संख्या म्हणतात. उदाहरणार्थ, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ ह्या सर्व परिमेय संख्या आहेत. संख्या $0,-2,4$ हे $\frac{p}{q}$ या स्वरूपात लिहिता येत असल्यामुळे, त्या देखील परिमेय संख्या आहेत. (हे तपासा!)

(a) तुम्हाला दोन परिमेय संख्यांची बेरीज कशी करायची हे माहित आहे. चला, काही जोड्यांची बेरीज करू.

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(एक परिमेय संख्या)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{ही परिमेय संख्या आहे का?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{ही परिमेय संख्या आहे का?} \end{aligned} $

आपल्याला आढळते की दोन परिमेय संख्यांची बेरीज पुन्हा एक परिमेय संख्या आहे. हे आणखी काही परिमेय संख्यांच्या जोड्यांसाठी तपासा.

आपण म्हणतो की परिमेय संख्या बेरजेसाठी संवृत्त आहेत. म्हणजेच, कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांसाठी $a$ आणि $b, a+b$ ही देखील एक परिमेय संख्या आहे.

(b) दोन परिमेय संख्यांची वजाबाकी पुन्हा एक परिमेय संख्या असेल का?

आपल्याकडे आहे,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (एक परिमेय संख्या) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{ही परिमेय संख्या आहे का? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{ही परिमेय संख्या आहे का? } \end{aligned} $

हे आणखी काही परिमेय संख्यांच्या जोड्यांसाठी करून पहा. आपल्याला आढळते की परिमेय संख्या वजाबाकीसाठी संवृत्त आहेत. म्हणजेच, कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांसाठी $a$ आणि $b, a-b$ ही देखील एक परिमेय संख्या आहे.

(c) आता दोन परिमेय संख्यांचा गुणाकार पाहू.

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (दोन्ही गुणाकार परिमेय संख्या आहेत) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ ही परिमेय संख्या आहे का? } \end{matrix} $

आणखी काही परिमेय संख्यांच्या जोड्या घ्या आणि तपासा की त्यांचा गुणाकार पुन्हा एक परिमेय संख्या आहे.

आपण म्हणतो की परिमेय संख्या गुणाकारासाठी संवृत्त आहेत. म्हणजेच $i s$, कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांसाठी $a$ आणि $b, a \times b$ ही देखील एक परिमेय संख्या आहे.

(d) आपण लक्षात घेतो की $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(एक परिमेय संख्या)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$. ही परिमेय संख्या आहे का? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$. ही परिमेय संख्या आहे का?

तुम्ही असे म्हणू शकता की परिमेय संख्या भागाकारासाठी संवृत्त आहेत का?

आपल्याला आढळते की कोणत्याही परिमेय संख्येसाठी $a, a \div 0$ हे परिभाषित नाही.

म्हणून परिमेय संख्या भागाकारासाठी संवृत्त नाहीत.

तथापि, जर आपण शून्य वगळले तर इतर सर्व परिमेय संख्यांचा संच भागाकारासाठी संवृत्त आहे.

हे करून पहा (TRY THESE)

खालील सारणीतील रिकाम्या जागा भरा.

१.२.२ विनिमेयता (Commutativity)

(i) पूर्ण संख्या

खालील सारणी भरून पूर्ण संख्यांसाठी विविध क्रियांची विनिमेयता आठवा.

नैसर्गिक संख्यांसाठीही क्रियांची विनिमेयता आहे का ते तपासा.

(ii) पूर्णांक

खालील सारणी भरा आणि पूर्णांकांसाठी विविध क्रियांची विनिमेयता तपासा:

(iii) परिमेय संख्या

(a) बेरीज

तुम्हाला दोन परिमेय संख्यांची बेरीज कशी करायची हे माहित आहे. चला, येथे काही जोड्यांची बेरीज करू.

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ आणि } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ म्हणून, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ तसेच, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ आणि } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) \text{ आहे का? } \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ आहे का ?

तुम्हाला आढळेल की दोन परिमेय संख्या कोणत्याही क्रमाने जोडता येतात. आपण म्हणतो की परिमेय संख्यांसाठी बेरीज ही विनिमेय आहे. म्हणजेच, कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांसाठी $a$ आणि $b, a+b=b+a$.

(b) वजाबाकी

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ आहे का ?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ आहे का ?

तुम्हाला आढळेल की परिमेय संख्यांसाठी वजाबाकी विनिमेय नाही.

लक्षात घ्या की पूर्णांकांसाठी वजाबाकी विनिमेय नाही आणि पूर्णांक देखील परिमेय संख्या आहेत. म्हणून, परिमेय संख्यांसाठी देखील वजाबाकी विनिमेय नसेल.

(c) गुणाकार

आपल्याकडे आहे, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

आहे का

$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

अशा आणखी काही गुणाकारांसाठी तपासा.

तुम्हाला आढळेल की परिमेय संख्यांसाठी गुणाकार हा विनिमेय आहे.

सर्वसाधारणपणे, $a \times b=b \times$ कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांसाठी $a$ आणि $b$.

(d) भागाकार

आहे का

$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

तुम्हाला आढळेल की दोन्ही बाजूंची पदावली समान नाहीत.

म्हणून परिमेय संख्यांसाठी भागाकार विनिमेय नाही.

हे करून पहा (TRY THESE)

खालील सारणी पूर्ण करा:

१.२.३ सहचारिता (Associativity)

(i) पूर्ण संख्या

या सारणीद्वारे पूर्ण संख्यांसाठी चार क्रियांची सहचारिता आठवा:

ही सारणी भरा आणि शेवटच्या स्तंभात दिलेल्या टिप्पण्या तपासा.

नैसर्गिक संख्यांसाठी विविध क्रियांची सहचारिता स्वतःसाठी तपासा.

(ii) पूर्णांक

पूर्णांकांसाठी चार क्रियांची सहचारिता या सारणीवरून पाहता येते

(iii) परिमेय संख्या

(a)

बेरीज

आपल्याकडे आहे $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

म्हणून, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ आणि $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ काढा. दोन्ही बेरीज समान आहेत का?

आणखी काही परिमेय संख्या घ्या, वरीलप्रमाणे त्यांची बेरीज करा आणि दोन्ही बेरीज समान आहेत का ते पहा. आपल्याला आढळते की परिमेय संख्यांसाठी बेरीज ही सहचारी आहे. म्हणजेच $i$, कोणत्याही तीन परिमेय संख्यांसाठी $a, b$ आणि $c, a+(b+c)=(a+b)+c$.

(b) वजाबाकी

तुम्हाला आधीच माहित आहे की पूर्णांकांसाठी वजाबाकी ही सहचारी नाही, तर परिमेय संख्यांसाठी काय?

$\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$ आहे का?

स्वतःसाठी तपासा.

परिमेय संख्यांसाठी वजाबाकी ही सहचारी नाही.

(c) गुणाकार

गुणाकारासाठी सहचारिता तपासूया.

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

आपल्याला आढळते की $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$

आहे का

$ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $

आणखी काही परिमेय संख्या घ्या आणि स्वतःसाठी तपासा.

आपण पाहतो की परिमेय संख्यांसाठी गुणाकार हा सहचारी आहे. म्हणजेच कोणत्याही तीन परिमेय संख्यांसाठी $a, b$ आणि $c, a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$. (d) भागाकार

आठवा की पूर्णांकांसाठी भागाकार हा सहचारी नाही, तर परिमेय संख्यांसाठी काय?

चला पाहूया $\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$ आहे का?

आपल्याकडे आहे, डावी बाजू (LHS) $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ चा व्यस्तक $\frac{2}{5}$ आहे $\frac{5}{2}$ )

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \\ \text{ उजवी बाजू (RHS) } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \\ & =(\frac{1}{2} \times \frac{-3}{1}) \div \frac{2}{5}=\frac{-3}{2} \div \frac{2}{5}=\ldots \end{aligned} $

डावी बाजू = उजवी बाजू आहे का? स्वतःसाठी तपासा. तुम्हाला आढळेल की परिमेय संख्यांसाठी भागाकार हा सहचारी नाही.

हे करून पहा (TRY THESE)

खालील सारणी पूर्ण करा:

उदाहरण 1 : $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$ काढा.

उकल: $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$

$=\frac{198}{462}+(\frac{-252}{462})+(\frac{-176}{462})+(\frac{105}{462})$ (लक्षात घ्या की 462 हा 7, 11, 21 आणि 22 चा लसावि आहे)

$=\frac{198-252-176+105}{462}=\frac{-125}{462}$

आपण हे असेही सोडवू शकतो.

$ \begin{aligned} & \frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+\frac{5}{22} \\ & =[\frac{3}{7}+(\frac{-8}{21})]+[\frac{-6}{11}+\frac{5}{22}] \quad \text{ (विनिमेयता आणि सहचारिता वापरून) } \\ & =[\frac{9+(-8)}{21}]+[\frac{-12+5}{22}] \quad \text{ (7 आणि 21 चा लसावि 21 आहे; 11 आणि 22 चा लसावि 22 आहे) } \\ & =\frac{1}{21}+(\frac{-7}{22})=\frac{22-147}{462}=\frac{-125}{462} \end{aligned} $

तुम्हाला असे वाटते का की विनिमेयता आणि सहचारिता या गुणधर्मांमुळे गणना सोपी झाली?

उदाहरण 2 : $\frac{-4}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9})$ काढा.

उकल: आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(-\frac{4 \times 3}{5 \times 7}) \times(\frac{15 \times(-14)}{16 \times 9}) \\ & =\frac{-12}{35} \times(\frac{-35}{24})=\frac{-12 \times(-35)}{35 \times 24}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

आपण हे असेही करू शकतो.

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(\frac{-4}{5} \times \frac{15}{16}) \times[\frac{3}{7} \times(\frac{-14}{9})] \text{ (विनिमेयता आणि सहचारिता वापरून) } \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-2}{3})=\frac{1}{2} \end{aligned} $

१.२.४ शून्य (0) ची भूमिका

खालील गोष्टी पहा.

$ \begin{aligned} 2+0 & =0+2=2 \\ -5+0 & =\ldots+\ldots=-5 \\ \frac{-2}{7}+\ldots & =0+(\frac{-2}{7})=\frac{-2}{7} \end{aligned} $

(पूर्ण संख्येमध्ये 0 ची बेरीज) (पूर्णांकामध्ये 0 ची बेरीज)

(परिमेय संख्येमध्ये 0 ची बेरीज)

तुम्ही अशा बेरीज आधीही केल्या आहेत. अशा आणखी काही बेरीज करा.

तुम्हाला काय आढळते? तुम्हाला आढळेल की जेव्हा तुम्ही पूर्ण संख्येमध्ये 0 ची बेरीज करता, तेव्हा बेरीज तीच पूर्ण संख्या असते. हे पूर्णांक आणि परिमेय संख्यांसाठीही घडते.

सर्वसाधारणपणे,

$ \begin{matrix} a+0 & =0+a=a, & \text{ जिथे } a \text{ ही पूर्ण संख्या आहे } \\ b+0 & =0+b=b, & \text{ जिथे } b \text{ हा पूर्णांक आहे } \\ c+0 & =0+c=c, & \text{ जिथे } c \text{ ही परिमेय संख्या आहे } \end{matrix} $

शून्याला परिमेय संख्यांच्या बेरजेसाठी तत्समक असे म्हणतात. हे पूर्णांक आणि पूर्ण संख्यांसाठीही बेरजेचे तत्समक आहे.

१.२.५ १ ची भूमिका

आपल्याकडे आहे,

$ \begin{aligned} & 5 \times 1=5=1 \times 5 \quad \text{ (पूर्ण संख्येसोबत 1 चा गुणाकार) } \\ & \frac{-2}{7} \times 1=\ldots \times \ldots=\frac{-2}{7} \\ & \frac{3}{8} \times \ldots=1 \times \frac{3}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned} $

तुम्हाला काय आढळते?

तुम्हाला आढळेल की जेव्हा तुम्ही कोणत्याही परिमेय संख्येचा 1 ने