১.১ ভূমিকা

গণিতে, আমরা প্রায়শই সমাধান করতে হবে এমন সরল সমীকরণের সম্মুখীন হই। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

সমাধান হয় যখন $x=11$, কারণ $x$-এর এই মান প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে। সমাধান 11 একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। অন্যদিকে, সমীকরণটির জন্য

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

সমাধানটি দেয় পূর্ণসংখ্যা 0 (শূন্য)। আমরা যদি শুধুমাত্র স্বাভাবিক সংখ্যা বিবেচনা করি, তাহলে সমীকরণ (2) সমাধান করা যায় না। সমীকরণ (2)-এর মতো সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, আমরা স্বাভাবিক সংখ্যার সংগ্রহে শূন্য সংখ্যাটি যোগ করি এবং পূর্ণসংখ্যা পাই। এমনকি পূর্ণসংখ্যাও নিম্নলিখিত ধরণের সমীকরণ সমাধানের জন্য পর্যাপ্ত হবে না

$$ \begin{equation*} x+18=5 \tag{3} \end{equation*} $$

তুমি কি ‘কেন’ দেখতে পাচ্ছ? আমাদের প্রয়োজন -13 সংখ্যাটি, যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। এটি আমাদের পূর্ণসংখ্যা (ধনাত্মক ও ঋণাত্মক) চিন্তা করতে বাধ্য করে। লক্ষ্য করো যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে মিলে যায়। কেউ ভাবতে পারে যে, বিদ্যমান পূর্ণসংখ্যার তালিকা দিয়ে সমস্ত সরল সমীকরণ সমাধান করার জন্য আমাদের পর্যাপ্ত সংখ্যা রয়েছে। এখন নিচের সমীকরণগুলি বিবেচনা করো

$$ \begin{matrix} 2 x=3 \\ 5 x+7=0 \tag{5} \end{matrix} $$

যার জন্য আমরা পূর্ণসংখ্যা থেকে কোনো সমাধান খুঁজে পাই না। (এটি যাচাই করো) আমাদের $\frac{3}{2}$ সংখ্যাগুলির প্রয়োজন সমীকরণ (4) সমাধানের জন্য এবং $\frac{-7}{5}$ সংখ্যাগুলির প্রয়োজন সমীকরণ (5) সমাধানের জন্য। এটি আমাদের মূলদ সংখ্যার সংগ্রহের দিকে নিয়ে যায়।

আমরা ইতিমধ্যেই মূলদ সংখ্যার উপর মৌলিক ক্রিয়াকলাপ দেখেছি। আমরা এখন পর্যন্ত দেখা বিভিন্ন ধরণের সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপের কিছু ধর্ম অন্বেষণ করার চেষ্টা করব।

১.২ মূলদ সংখ্যার ধর্ম

১.২.১ আবদ্ধতা

(i) পূর্ণসংখ্যা

আসুন সংক্ষেপে পূর্ণসংখ্যার উপর সমস্ত ক্রিয়াকলাপের জন্য আবদ্ধতার ধর্মটি পুনরায় দেখি।

স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য সমস্ত চারটি ক্রিয়াকলাপের অধীনে আবদ্ধতার ধর্ম যাচাই করো।

(ii) পূর্ণসংখ্যা (ইন্টিজার)

আসুন এখন স্মরণ করি কোন কোন ক্রিয়াকলাপের অধীনে পূর্ণসংখ্যাগুলি আবদ্ধ।

তুমি দেখেছ যে পূর্ণসংখ্যাগুলি যোগ ও গুণের অধীনে আবদ্ধ কিন্তু বিয়োগ ও ভাগের অধীনে আবদ্ধ নয়। তবে, পূর্ণসংখ্যাগুলি যোগ, বিয়োগ ও গুণের অধীনে আবদ্ধ কিন্তু ভাগের অধীনে আবদ্ধ নয়।

(iii) মূলদ সংখ্যা

স্মরণ করো, একটি সংখ্যা যা $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$ তাকে একটি মূলদ সংখ্যা বলে। উদাহরণস্বরূপ, $-\frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{9}{-5}$ সবই মূলদ সংখ্যা। যেহেতু সংখ্যাগুলি $0,-2,4$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায়, সেগুলিও মূলদ সংখ্যা। (এটি যাচাই করো!)

(ক) তুমি জানো কীভাবে দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ করতে হয়। আসুন কয়েক জোড়া যোগ করি।

$ \begin{aligned} \frac{3}{8}+\frac{(-5)}{7} & =\frac{21+(-40)}{56}=\frac{-19}{56} \quad \quad \text{(একটি মূলদ সংখ্যা)}\\ \frac{-3}{8}+\frac{(-4)}{5} & =\frac{-15+(-32)}{40}= \ldots \quad\quad \text{এটি কি একটি মূলদ সংখ্যা?} \\ \frac{4}{7}+\frac{6}{11} & = \ldots\quad \quad\quad\quad \text{এটি কি একটি মূলদ সংখ্যা?} \end{aligned} $

আমরা দেখি যে দুটি মূলদ সংখ্যার যোগফল আবার একটি মূলদ সংখ্যা। আরও কয়েক জোড়া মূলদ সংখ্যার জন্য এটি যাচাই করো।

আমরা বলি যে মূলদ সংখ্যাগুলি যোগের অধীনে আবদ্ধ। অর্থাৎ, যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যা $a$ এবং $b, a+b$-ও একটি মূলদ সংখ্যা।

(খ) দুটি মূলদ সংখ্যার পার্থক্যও কি আবার একটি মূলদ সংখ্যা হবে?

আমাদের আছে,

$ \frac{-5}{7}-\frac{2}{3}=\frac{-5 \times 3-2 \times 7}{21}=\frac{-29}{21} \quad \text{ (একটি মূলদ সংখ্যা) } $

$ \begin{aligned} \frac{5}{8}-\frac{4}{5}=\frac{25-32}{40} & =\ldots \quad \text{এটি কি একটি মূলদ সংখ্যা? }\\ \frac{3}{7}-(\frac{-8}{5}) & =\ldots \quad \text{এটি কি একটি মূলদ সংখ্যা? } \end{aligned} $

আরও কিছু জোড়া মূলদ সংখ্যার জন্য এটি চেষ্টা করো। আমরা দেখি যে মূলদ সংখ্যাগুলি বিয়োগের অধীনে আবদ্ধ। অর্থাৎ, যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যা $a$ এবং $b, a-b$-ও একটি মূলদ সংখ্যা।

(গ) আসুন এখন দুটি মূলদ সংখ্যার গুণফল দেখি।

$ \begin{matrix} \frac{-2}{3} \times \frac{4}{5} & =\frac{-8}{15} ; \frac{3}{7} \times \frac{2}{5}=\frac{6}{35} & \text{ (উভয় গুণফলই মূলদ সংখ্যা) } \\ -\frac{4}{5} \times \frac{-6}{11} & =\ldots & \text{ এটি কি একটি মূলদ সংখ্যা? } \end{matrix} $

আরও কয়েক জোড়া মূলদ সংখ্যা নাও এবং যাচাই করো যে তাদের গুণফল আবার একটি মূলদ সংখ্যা।

আমরা বলি যে মূলদ সংখ্যাগুলি গুণের অধীনে আবদ্ধ। অর্থাৎ $i s$, যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যা $a$ এবং $b, a \times b$-ও একটি মূলদ সংখ্যা।

(ঘ) আমরা লক্ষ্য করি যে $\frac{-5}{3} \div \frac{2}{5}=\frac{-25}{6}$

(একটি মূলদ সংখ্যা)

$\frac{2}{7} \div \frac{5}{3}=\ldots$। এটি কি একটি মূলদ সংখ্যা? $\frac{-3}{8} \div \frac{-2}{9}=\ldots$। এটি কি একটি মূলদ সংখ্যা?

তুমি কি বলতে পারো যে মূলদ সংখ্যাগুলি ভাগের অধীনে আবদ্ধ?

আমরা দেখি যে যেকোনো মূলদ সংখ্যা $a, a \div 0$-এর জন্য সংজ্ঞায়িত নয়।

সুতরাং মূলদ সংখ্যাগুলি ভাগের অধীনে আবদ্ধ নয়।

তবে, যদি আমরা শূন্যকে বাদ দেই, তাহলে অন্যান্য সমস্ত মূলদ সংখ্যার সংগ্রহ ভাগের অধীনে আবদ্ধ।

চেষ্টা করো

নিচের সারণির শূন্যস্থান পূরণ করো।

১.২.২ বিনিময় ধর্ম

(i) পূর্ণসংখ্যা (হোল নাম্বার)

নিচের সারণিটি পূরণ করে পূর্ণসংখ্যার জন্য বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপের বিনিময় ধর্ম স্মরণ করো।

স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যও ক্রিয়াকলাপগুলির বিনিময় ধর্ম সত্য কিনা যাচাই করো।

(ii) পূর্ণসংখ্যা (ইন্টিজার)

নিচের সারণিটি পূরণ করো এবং পূর্ণসংখ্যার জন্য বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপের বিনিময় ধর্ম যাচাই করো:

(iii) মূলদ সংখ্যা

(ক) যোগ

তুমি জানো কীভাবে দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ করতে হয়। আসুন এখানে কয়েক জোড়া যোগ করি।

$ \begin{aligned} & \quad \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{1}{21} \text{ এবং } \frac{5}{7}+(\frac{-2}{3})=\frac{1}{21} \\ & \text{ সুতরাং, } \frac{-2}{3}+\frac{5}{7}=\frac{5}{7}+(\frac{-2}{3}) \\ & \text{ এছাড়াও, } \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=\ldots \text{ এবং } \frac{-8}{3}+(\frac{-6}{5})=\ldots \\ & \text{ কি } \quad \frac{-6}{5}+(\frac{-8}{3})=(\frac{-8}{3})+(\frac{-6}{5}) ? \end{aligned} $

$\quad \frac{-3}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{7}+(\frac{-3}{8})$ কি?

তুমি দেখবে যে দুটি মূলদ সংখ্যা যেকোনো ক্রমে যোগ করা যায়। আমরা বলি যে মূলদ সংখ্যার জন্য যোগ হল বিনিময়যোগ্য। অর্থাৎ, যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যা $a$ এবং $b, a+b=b+a$-এর জন্য।

(খ) বিয়োগ

$\quad \frac{2}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{4}-\frac{2}{3}$ কি?

$\quad \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$ কি?

তুমি দেখবে যে মূলদ সংখ্যার জন্য বিয়োগ বিনিময়যোগ্য নয়।

লক্ষ্য করো যে পূর্ণসংখ্যার জন্য বিয়োগ বিনিময়যোগ্য নয় এবং পূর্ণসংখ্যাগুলিও মূলদ সংখ্যা। সুতরাং, মূলদ সংখ্যার জন্যও বিয়োগ বিনিময়যোগ্য হবে না।

(গ) গুণ

আমাদের আছে, $\quad \frac{-7}{3} \times \frac{6}{5}=\frac{-42}{15}=\frac{6}{5} \times(\frac{-7}{3})$

কি

$ \frac{-8}{9} \times(\frac{-4}{7})=\frac{-4}{7} \times(\frac{-8}{9}) ? $

এমন আরও কিছু গুণফলের জন্য যাচাই করো।

তুমি দেখবে যে মূলদ সংখ্যার জন্য গুণ হল বিনিময়যোগ্য।

সাধারণভাবে, $a \times b=b \times$ যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যা $a$ এবং $b$-এর জন্য।

(ঘ) ভাগ

কি

$ \frac{-5}{4} \div \frac{3}{7}=\frac{3}{7} \div(\frac{-5}{4}) ? $

তুমি দেখবে যে উভয় পাশের রাশিগুলি সমান নয়।

সুতরাং মূলদ সংখ্যার জন্য ভাগ বিনিময়যোগ্য নয়।

চেষ্টা করো

নিচের সারণিটি সম্পূর্ণ করো:

১.২.৩ সংযোজন ধর্ম

(i) পূর্ণসংখ্যা (হোল নাম্বার)

এই সারণির মাধ্যমে পূর্ণসংখ্যার জন্য চারটি ক্রিয়াকলাপের সংযোজন ধর্ম স্মরণ করো:

এই সারণিটি পূরণ করো এবং শেষ কলামে দেওয়া মন্তব্যগুলি যাচাই করো।

স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপের সংযোজন ধর্ম নিজেই যাচাই করো।

(ii) পূর্ণসংখ্যা (ইন্টিজার)

পূর্ণসংখ্যার জন্য চারটি ক্রিয়াকলাপের সংযোজন ধর্ম এই সারণি থেকে দেখা যায়

(iii) মূলদ সংখ্যা

(ক)

যোগ

আমাদের আছে $\frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=\frac{-2}{3}+(\frac{-7}{30})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10}$

$ [\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})=\frac{-1}{15}+(\frac{-5}{6})=\frac{-27}{30}=\frac{-9}{10} $

সুতরাং, $\quad \frac{-2}{3}+[\frac{3}{5}+(\frac{-5}{6})]=[\frac{-2}{3}+\frac{3}{5}]+(\frac{-5}{6})$

$\frac{-1}{2}+[\frac{3}{7}+(\frac{-4}{3})]$ এবং $[\frac{-1}{2}+\frac{3}{7}]+(\frac{-4}{3})$ বের করো। দুটি যোগফল কি সমান?

আরও কিছু মূলদ সংখ্যা নাও, উপরের মতো যোগ করো এবং দেখো দুটি যোগফল সমান কিনা। আমরা দেখি যে মূলদ সংখ্যার জন্য যোগ হল সংযোজনযোগ্য। অর্থাৎ $i$, যেকোনো তিনটি মূলদ সংখ্যা $a, b$ এবং $c, a+(b+c)=(a+b)+c$-এর জন্য।

(খ) বিয়োগ

তুমি ইতিমধ্যেই জানো যে পূর্ণসংখ্যার জন্য বিয়োগ সংযোজনযোগ্য নয়, তাহলে মূলদ সংখ্যার জন্য কী?

$\quad \frac{-2}{3}-[\frac{-4}{5}-\frac{1}{2}]=[\frac{2}{3}-(\frac{-4}{5})]-\frac{1}{2} ?$ কি?

নিজে যাচাই করো।

মূলদ সংখ্যার জন্য বিয়োগ সংযোজনযোগ্য নয়।

(গ) গুণ

আসুন গুণের জন্য সংযোজন ধর্ম যাচাই করি।

$ \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=\frac{-7}{3} \times \frac{10}{36}=\frac{-70}{108}=\frac{-35}{54} $

$ (\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}=\ldots $

আমরা দেখি যে $\quad \frac{-7}{3} \times(\frac{5}{4} \times \frac{2}{9})=(\frac{-7}{3} \times \frac{5}{4}) \times \frac{2}{9}$

কি

$ \frac{2}{3} \times(\frac{-6}{7} \times \frac{4}{5})=(\frac{2}{3} \times \frac{-6}{7}) \times \frac{4}{5} ? $

আরও কিছু মূলদ সংখ্যা নিয়ে নিজে যাচাই করো।

আমরা পর্যবেক্ষণ করি যে মূলদ সংখ্যার জন্য গুণ হল সংযোজনযোগ্য। অর্থাৎ যেকোনো তিনটি মূলদ সংখ্যা $a, b$ এবং $c, a \times(b \times c)=(a \times b) \times c$-এর জন্য। (ঘ) ভাগ

স্মরণ করো যে পূর্ণসংখ্যার জন্য ভাগ সংযোজনযোগ্য নয়, তাহলে মূলদ সংখ্যার জন্য কী?

আসুন দেখি $\frac{1}{2} \div[\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5}]=[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5}$ কি?

আমাদের আছে, বামপক্ষ $=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \div \frac{2}{5})=\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3} \times \frac{5}{2}) \quad(.$ $\frac{2}{5}$-এর ব্যাস্তানুপাত হল $\frac{5}{2}$ )

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \div(-\frac{5}{6})=\ldots \\ \text{ ডানপক্ষ } & =[\frac{1}{2} \div(\frac{-1}{3})] \div \frac{2}{5} \\ & =(\frac{1}{2} \times \frac{-3}{1}) \div \frac{2}{5}=\frac{-3}{2} \div \frac{2}{5}=\ldots \end{aligned} $

বামপক্ষ = ডানপক্ষ কি? নিজে যাচাই করো। তুমি দেখবে যে মূলদ সংখ্যার জন্য ভাগ সংযোজনযোগ্য নয়।

চেষ্টা করো

নিচের সারণিটি সম্পূর্ণ করো:

উদাহরণ ১ : $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$ নির্ণয় করো

সমাধান: $\frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+(\frac{5}{22})$

$=\frac{198}{462}+(\frac{-252}{462})+(\frac{-176}{462})+(\frac{105}{462})$ (লক্ষ্য করো যে 462 হল 7, 11, 21 এবং 22-এর ল.সা.গু.)

$=\frac{198-252-176+105}{462}=\frac{-125}{462}$

আমরা এটিও এভাবে সমাধান করতে পারি।

$ \begin{aligned} & \frac{3}{7}+(\frac{-6}{11})+(\frac{-8}{21})+\frac{5}{22} \\ & =[\frac{3}{7}+(\frac{-8}{21})]+[\frac{-6}{11}+\frac{5}{22}] \quad \text{ (বিনিময় ও সংযোজন ধর্ম ব্যবহার করে) } \\ & =[\frac{9+(-8)}{21}]+[\frac{-12+5}{22}] \quad \text{ (7 এবং 21-এর ল.সা.গু. 21; 11 এবং 22-এর ল.সা.গু. 22) } \\ & =\frac{1}{21}+(\frac{-7}{22})=\frac{22-147}{462}=\frac{-125}{462} \end{aligned} $

তুমি কি মনে করো যে বিনিময় ও সংযোজন ধর্ম গণনাগুলি সহজ করেছে?

উদাহরণ ২ : $\frac{-4}{5} \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9})$ নির্ণয় করো

সমাধান: আমাদের আছে

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(-\frac{4 \times 3}{5 \times 7}) \times(\frac{15 \times(-14)}{16 \times 9}) \\ & =\frac{-12}{35} \times(\frac{-35}{24})=\frac{-12 \times(-35)}{35 \times 24}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

আমরা এটিও এভাবে করতে পারি।

$ \begin{aligned} \frac{-4}{5} & \times \frac{3}{7} \times \frac{15}{16} \times(\frac{-14}{9}) \\ & =(\frac{-4}{5} \times \frac{15}{16}) \times[\frac{3}{7} \times(\frac{-14}{9})] \text{ (বিনিময় ও সংযোজন ধর্ম ব্যবহার করে) } \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-2}{3})=\frac{1}{2} \end{aligned} $

১.২.৪ শূন্য (0)-এর ভূমিকা

নিচের দিকে দেখো।

$ \begin{aligned} 2+0 & =0+2=2 \\ -5+0 & =\ldots+\ldots=-5 \\ \frac{-2}{7}+\ldots & =0+(\frac{-2}{7})=\frac{-2}{7} \end{aligned} $

(একটি পূর্ণসংখ্যায় 0-এর যোগ) (একটি পূর্ণসংখ্যায় (ইন্টিজার) 0-এর যোগ)

(একটি মূলদ সংখ্যায় 0-এর যোগ)

তুমি এরকম যোগ আগেও করেছ। আরও কয়েকটি এরকম যোগ করো।

তুমি কী লক্ষ্য করো? তুমি দেখবে যে যখন তুমি একটি পূর্ণসংখ্যায় 0 যোগ করো, তখন যোগফল আবার সেই পূর্ণসংখ্যাটি হয়। এটি পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যার জন্যও ঘটে।

সাধারণভাবে,

$ \begin{matrix} a+0 & =0+a=a, & \text{ যেখানে } a \text{ একটি পূর্ণসংখ্যা (হোল নাম্বার) } \\ b+0 & =0+b=b, & \text{ যেখানে } b \text{ একটি পূর্ণসংখ্যা (ইন্টিজার) } \\ c+0 & =0+c=c, & \text{ যেখানে } c \text{ একটি মূলদ সংখ্যা } \end{matrix} $

শূন্যকে মূলদ সংখ্যার যোগের অভেদ বলা হয়। এটি পূর্ণসংখ্যা এবং পূর্ণসংখ্যার (হোল নাম্বার) জন্যও যোগাত্মক অভেদ।

১.২.৫ ১-এর ভূমিকা

আমাদের আছে,

$ \begin{aligned} & 5 \times 1=5=1 \times 5 \quad \text{ (একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে 1-এর গুণ) } \\ & \frac{-2}{7} \times 1=\ldots \times \ldots=\frac{-2}{7} \\ & \frac{3}{8} \times \ldots=1 \times \frac{3}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned} $

তুমি কী দেখছ?

তুমি দেখবে যে যখন তুমি যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে 1 দিয়ে গুণ করো, তখন তুমি গুণফল হিসাবে একই মূলদ সংখ্যাটি ফিরে পাও। আরও কয়েকটি মূলদ সংখ্যার জন্য এটি যাচাই করো। তুমি দেখবে যে, $a \times 1=1 \times a=a$ যেকোনো মূলদ সংখ্যা $a$-এর জন্য।

আমরা বলি যে 1 হল মূলদ সংখ্যার গুণাত্মক অভেদ।

1 কি পূর্ণসংখ্যার (ইন্টিজার) গুণাত্মক অভেদ? পূর্ণসংখ্যার (হোল নাম্বার) জন্য?

চিন্তা করো, আলোচনা করো এবং লেখো

যদি একটি ধর্ম মূলদ সংখ্যার জন্য সত্য হয়, তবে কি এটি পূর্ণসংখ্যার (ইন্টিজার) জন্যও সত্য হবে? পূর্ণসংখ্যার (হোল নাম্বার) জন্য? কোনটি হবে? কোনটি হবে না?

১.২.৬ মূলদ সংখ্যার জন্য যোগের উপর গুণের বণ্টন ধর্ম

এটি বুঝতে, মূলদ সংখ্যা $\frac{-3}{4}, \frac{2}{3}$ এবং $\frac{-5}{6}$ বিবেচনা করো।

$ \begin{aligned} \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+(\frac{-5}{6})} & =\frac{-3}{4} \times{\frac{(4)+(-5)}{6}} \\ & =\frac{-3}{4} \times(\frac{-1}{6})=\frac{3}{24}=\frac{1}{8} \end{aligned} $

এছাড়াও

$ \frac{-3}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{-3 \times 2}{4 \times 3}=\frac{-6}{12}=\frac{-1}{2} $

এবং

$ \frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}=\frac{5}{8} $

সুতরাং $(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6})=\frac{-1}{2}+\frac{5}{8}=\frac{1}{8}$

অতএব,

$ \frac{-3}{4} \times{\frac{2}{3}+\frac{-5}{6}}=(\frac{-3}{4} \times \frac{2}{3})+(\frac{-3}{4} \times \frac{-5}{6}) $

যোগ ও বিয়োগের উপর গুণের বণ্টন ধর্ম।

সমস্ত মূলদ সংখ্যা $a, b$ এবং $c$-এর জন্য, $a(b+c)=a b+a c$ $a(b-c)=a b-a c$

চেষ্টা করো

বণ্টন ধর্ম ব্যবহার করে নির্ণয় করো। (i) ${\frac{7}{5} \times(\frac{-3}{12})}+{\frac{7}{5} \times \frac{5}{12}}$

(ii) ${\frac{9}{16} \times \frac{4}{12}}+{\frac{9}{16} \times \frac{-3}{9}}$

উদাহরণ ৩ : $\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}$ নির্ণয় করো

সমাধান: $\quad \frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{1}{14}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}=\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}-\frac{3}{7} \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14}$ (বিনিময় ধর্ম দ্বারা)

$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \times \frac{-3}{7}+(\frac{-3}{7}) \times \frac{3}{5}-\frac{1}{14} \\ & =\frac{-3}{7}(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})-\frac{1}{14} \quad \text{ (বণ্টন ধর্ম দ্বারা) } \\ & =\frac{-3}{7} \times 1-\frac{1}{14}=\frac{-6-1}{14}=\frac{-1}{2} \end{aligned} $

অনুশীলনী ১.১

১. নিচের প্রতিটিতে ব্যবহৃত গুণের ধর্মের নাম লেখো। (i) $\frac{-4}{5} \times 1=1 \times \frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$ (ii) $-\frac{13}{17} \times \frac{-2}{7}=\frac{-2}{7} \times \frac{-13}{17}$ (iii) $\frac{-19}{29} \times \frac{29}{-19}=1$

২. কোন ধর্ম তোমাকে $\frac{1}{3} \times(6 \times \frac{4}{3})$ কে $(\frac{1}{3} \times 6) \times \frac{4}{3}$ হিসাবে গণনা করতে দেয়?

৩. দুটি মূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি

আমরা কী আলোচনা করলাম?

১. মূলদ সংখ্যাগুলি যোগ, বিয়োগ ও গুণের ক্রিয়াকলাপের অধীনে আবদ্ধ।

২. যোগ ও গুণের ক্রিয়াকলাপগুলি

(i) মূলদ সংখ্যার জন্য বিনিময়যোগ্য।

(ii) মূলদ সংখ্যার জন্য সংযোজনযোগ্য।

৩. মূলদ সংখ্যা 0 হল মূলদ সংখ্যার যোগাত্মক অভেদ।

৪. মূলদ সংখ্যা 1 হল মূলদ সংখ্যার গুণাত্মক অভেদ।

৫. মূলদ সংখ্যার বণ্টন ধর্ম: সমস্ত মূলদ সংখ্যা $a, b$ এবং $c$-এর জন্য, $a(b+c)=a b+a c$ এবং $a(b-c)=a b-a c$

৬. যেকোনো দুটি প্রদত্ত মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা থাকে। গড়ের ধারণা আমাদের দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে মূলদ সংখ্যা খুঁজে পেতে সাহায্য করে।