7.1 تعارف

سبھاش نے چوتھی اور پانچویں جماعت میں کسر کے بارے میں سیکھا تھا، اس لیے جب بھی ممکن ہوتا وہ کسر استعمال کرنے کی کوشش کرتا۔ ایک موقع وہ تھا جب وہ اپنا لنچ گھر پر بھول گیا۔ اس کی دوست فریدہ نے اسے اپنا لنچ شیئر کرنے کی دعوت دی۔ اس کے لنچ باکس میں پانچ پوریاں تھیں۔ چنانچہ، سبھاش اور فریدہ نے دو دو پوریاں لیں۔ پھر فریدہ نے پانچویں پوری کے دو برابر حصے کیے اور ایک آدھا حصہ سبھاش کو دے دیا اور دوسرا آدھا خود رکھ لیا۔ اس طرح، سبھاش اور فریدہ دونوں کے پاس 2 مکمل پوریاں اور ایک آدھی پوری تھی۔

2 پوریاں + آدھی پوری–سبھاش $\qquad$ $\qquad$ 2 پوریاں + آدھی پوری–فریدہ

آپ کو اپنی زندگی میں کسری صورت حال کہاں ملتی ہے؟

سبھاش جانتا تھا کہ آدھا کو $\dfrac{1}{2}$ لکھا جاتا ہے۔ کھاتے وقت اس نے اپنی آدھی پوری کو مزید دو برابر حصوں میں تقسیم کیا اور فریدہ سے پوچھا کہ پوری پوری کا وہ ٹکڑا کتنا حصہ ہے؟ (شکل 7.1)

بغیر جواب دیے، فریدہ نے بھی آدھی پوری کے اپنے حصے کو دو برابر حصوں میں تقسیم کیا اور انہیں سبھاش کے حصوں کے پاس رکھ دیا۔ اس نے کہا کہ یہ چار برابر حصے مل کر ایک مکمل بناتے ہیں (شکل 7.2)۔ تو، ہر برابر حصہ ایک مکمل پوری کا ایک چوتھائی ہے اور 4 حصے مل کر $\dfrac{4}{4}$ یا 1 مکمل پوری بنائیں گے۔

جب انہوں نے کھایا، تو انہوں نے پہلے سیکھی ہوئی باتوں پر بات چیت کی۔ 4 برابر حصوں میں سے تین حصے $\dfrac{3}{4}$ ہیں۔ اسی طرح، $\dfrac{3}{7}$ اس وقت حاصل ہوتا ہے جب ہم ایک مکمل کو سات برابر حصوں میں تقسیم کرتے ہیں اور تین حصے لیتے ہیں (شکل 7.3)۔ $\dfrac{1}{8}$ کے لیے، ہم ایک مکمل کو آٹھ برابر حصوں میں تقسیم کرتے ہیں اور اس میں سے ایک حصہ نکال لیتے ہیں (شکل 7.4)۔

فریدہ نے کہا کہ ہم نے سیکھا ہے کہ کسر ایک ایسا عدد ہے جو کسی کل کے حصے کو ظاہر کرتا ہے۔ کل ایک واحد شے یا اشیاء کا گروپ ہو سکتا ہے۔ سبھاش نے مشاہدہ کیا کہ حصے برابر ہونے چاہئیں۔

7.2 ایک کسر

آئیے بحث کا احاطہ کریں۔

کسر کا مطلب ہے کسی گروپ یا خطے کا ایک حصہ۔

$\dfrac{5}{12}$ ایک کسر ہے۔ ہم اسے “پانچ بارہواں” کے طور پر پڑھتے ہیں۔

“12” کس چیز کی نمائندگی کرتا ہے؟ یہ ان برابر حصوں کی تعداد ہے جن میں کل کو تقسیم کیا گیا ہے۔

“5” کس چیز کی نمائندگی کرتا ہے؟ یہ ان برابر حصوں کی تعداد ہے جو نکالے گئے ہیں۔

یہاں 5 کو عدد کہتے ہیں اور 12 کو مخرج کہتے ہیں۔

$\dfrac{3}{7}$ کے عدد اور $\dfrac{4}{15}$ کے مخرج کا نام بتائیں۔

یہ کھیل کھیلیں

آپ یہ کھیل اپنے دوستوں کے ساتھ کھیل سکتے ہیں۔

یہاں دکھائی گئی گرڈ کی کئی کاپیاں لیں۔

کوئی بھی کسر لیں، مثلاً $\dfrac{1}{2}$۔

آپ میں سے ہر ایک کو گرڈ کا $\dfrac{1}{2}$ حصہ رنگنا چاہیے۔

مشق 7.1

1. سایہ دار حصے کی نمائندگی کرنے والی کسر لکھیں۔

2. دی گئی کسر کے مطابق حصہ رنگ دیں۔

3. غلطی کی نشاندہی کریں، اگر کوئی ہو۔

4. ایک دن کا کتنا حصہ 8 گھنٹے ہیں؟

5. ایک گھنٹے کا کتنا حصہ 40 منٹ ہیں؟

6. آریہ، ابھیمنیو، اور وویک نے لنچ شیئر کیا۔ آریہ دو سینڈوچ لے کر آیا تھا، ایک سبزی والا اور ایک جام والا۔ دوسرے دو لڑکے اپنا لنچ لانا بھول گئے۔ آریہ نے اپنے سینڈوچ شیئر کرنے پر رضامندی ظاہر کی تاکہ ہر شخص کو ہر سینڈوچ کا برابر حصہ ملے۔

(الف) آریہ اپنے سینڈوچ کس طرح تقسیم کرے تاکہ ہر شخص کا برابر حصہ ہو؟
(ب) ہر لڑکے کو ایک سینڈوچ کا کتنا حصہ ملے گا؟

7. کنچن کپڑے رنگتی ہے۔ اسے 30 کپڑے رنگنے تھے۔ اس نے اب تک 20 کپڑے رنگے ہیں۔ اس نے کتنے حصے کے کپڑے رنگے ہیں؟

8. 2 سے 12 تک قدرتی اعداد لکھیں۔ ان میں سے کتنے حصے کی اعداد اول ہیں؟

9. 102 سے 113 تک قدرتی اعداد لکھیں۔ ان میں سے کتنے حصے کی اعداد اول ہیں؟

10. ان دائرے میں سے کتنے حصے میں X ہیں؟

11. کرسٹن کو اپنی سالگرہ پر ایک سی ڈی پلیئر ملا۔ اس نے 3 سی ڈیز خریدیں اور 5 دوسری تحفے کے طور پر ملیں۔ اس نے اپنی کل سی ڈیز کا کتنا حصہ خریدا اور کتنا حصہ تحفے کے طور پر ملا؟

7.3 عدد لکیر پر کسر

آپ نے سیکھا ہے کہ $0,1,2 \ldots$ جیسے مکمل اعداد کو عدد لکیر پر کیسے دکھایا جاتا ہے۔

ہم عدد لکیر پر کسر بھی دکھا سکتے ہیں۔ آئیے ایک عدد لکیر بنائیں اور اس پر $\dfrac{1}{2}$ کو نشان زد کرنے کی کوشش کریں۔

ہم جانتے ہیں کہ $\dfrac{1}{2}$ 0 سے بڑا اور 1 سے چھوٹا ہے، لہذا یہ 0 اور 1 کے درمیان ہونا چاہیے۔

چونکہ ہمیں $\dfrac{1}{2}$ دکھانا ہے، ہم 0 اور 1 کے درمیان کے فاصلے کو دو برابر حصوں میں تقسیم کرتے ہیں اور 1 حصے کو $\dfrac{1}{2}$ کے طور پر دکھاتے ہیں (جیسا کہ شکل 7.5 میں دکھایا گیا ہے)۔

فرض کریں کہ ہم عدد لکیر پر $\dfrac{1}{3}$ دکھانا چاہتے ہیں۔ 0 اور 1 کے درمیان کی لمبائی کو کتنے برابر حصوں میں تقسیم کیا جانا چاہیے؟ ہم 0 اور 1 کے درمیان کی لمبائی کو 3 برابر حصوں میں تقسیم کرتے ہیں اور ایک حصے کو $\dfrac{1}{3}$ کے طور پر دکھاتے ہیں (جیسا کہ شکل 7.6 میں دکھایا گیا ہے)

کیا ہم اس عدد لکیر پر $\dfrac{2}{3}$ دکھا سکتے ہیں؟ $\dfrac{2}{3}$ کا مطلب ہے 3 حصوں میں سے 2 حصے جیسا کہ دکھایا گیا ہے (شکل 7.7)۔

اسی طرح، آپ $\dfrac{0}{3}$ کوشش کریں $C$ اور $\dfrac{3}{3}$ کو اس عدد لکیر پر کیسے دکھائیں گے؟ 1 . $\dfrac{3}{5}$ کو عدد لکیر پر دکھائیں۔

$\dfrac{0}{3}$ نقطہ صفر ہے جبکہ چونکہ $\dfrac{3}{3}$ 1 مکمل ہے، اسے نقطہ 1 سے دکھایا جا سکتا ہے 2. $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ اور $\dfrac{10}{10}$ کو دکھائیں (جیسا کہ شکل 7.7 میں دکھایا گیا ہے)

تو اگر ہمیں عدد لکیر پر $\dfrac{3}{7}$ دکھانا ہے، تو پھر، 0 اور 1 کے درمیان کی لمبائی کو کتنے برابر حصوں میں تقسیم کیا جانا چاہیے؟ اگر $P$ $\dfrac{3}{7}$ دکھاتا ہے تو پھر 0 اور $P$ کے درمیان کتنے برابر تقسیم ہیں؟ $\dfrac{0}{7}$ اور $\dfrac{7}{7}$ کہاں واقع ہیں؟

کوشش کریں

1. $\dfrac{3}{5}$ کو عدد لکیر پر دکھائیں۔

2. $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ اور $\dfrac{10}{10}$ کو عدد لکیر پر دکھائیں۔

3. کیا آپ 0 اور 1 کے درمیان کوئی اور کسر دکھا سکتے ہیں؟ پانچ مزید کسر لکھیں جو آپ دکھا سکتے ہیں اور انہیں عدد لکیر پر ظاہر کریں۔

4. 0 اور 1 کے درمیان کتنی کسر ہیں؟ سوچیں، بحث کریں اور اپنا جواب لکھیں؟

7.4 صحیح کسر

آپ نے اب سیکھ لیا ہے کہ عدد لکیر پر کسر کو کیسے ڈھونڈا جاتا ہے۔ کسر $\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{0}{3}, \dfrac{5}{8}$ کو الگ الگ عدد لکیروں پر ڈھونڈیں۔

کیا ان کسر میں سے کوئی ایک 1 سے آگے ہے؟

یہ تمام کسر 1 کے بائیں طرف ہیں کیونکہ وہ 1 سے چھوٹی ہیں۔

درحقیقت، اب تک ہم نے جو تمام کسر سیکھی ہیں وہ 1 سے چھوٹی ہیں۔ یہ صحیح کسر ہیں۔ جیسا کہ فریدہ نے کہا (سیکشن 7.1)، صحیح کسر ایک ایسا عدد ہے جو کل کے ایک حصے کی نمائندگی کرتا ہے۔ صحیح کسر میں مخرج ان حصوں کی تعداد دکھاتا ہے جن میں کل کو تقسیم کیا گیا ہے اور عدد ان حصوں کی تعداد دکھاتا ہے جن پر غور کیا گیا ہے۔ لہذا، صحیح کسر میں عدد ہمیشہ مخرج سے چھوٹا ہوتا ہے۔

کوشش کریں

1. ایک صحیح کسر دیں:

(الف) جس کا عدد 5 ہے اور مخرج 7 ہے۔

(ب) جس کا مخرج 9 ہے اور عدد 5 ہے۔

(ج) جس کے عدد اور مخرج کا مجموعہ 10 ہے۔ آپ اس قسم کی کتنی کسر بنا سکتے ہیں؟

(د) جس کا مخرج عدد سے 4 زیادہ ہے۔

(کوئی پانچ دیں۔ آپ اور کتنی بنا سکتے ہیں؟)

2. ایک کسر دی گئی ہے۔

آپ کیسے فیصلہ کریں گے، صرف اسے دیکھ کر، کہ کیا کسر

(الف) 1 سے چھوٹی ہے؟

(ب) 1 کے برابر ہے؟

3. ان میں سے ایک استعمال کرتے ہوئے خالی جگہ پر کریں: ‘>’, ’ $<$ ’ یا ‘=’

(الف) $\dfrac{1}{2} \large\Box 1$

(ب) $\dfrac{3}{5} \large\Box 1$

(ج) $1 \large\Box \dfrac{7}{8}$

(د) $\dfrac{4}{4} \large\Box 1$

(ہ) $\dfrac{2005}{2005} \large\Box 1$

7.5 نا مناسب اور مخلوط کسر

اناغا، روی، ریشما اور جان نے اپنا ٹفن شیئر کیا۔ اپنے کھانے کے ساتھ، وہ 5 سیب بھی لائے تھے۔ دوسرا کھانا کھانے کے بعد، چاروں دوست سیب کھانا چاہتے تھے۔

وہ پانچ سیب چاروں میں کیسے تقسیم کر سکتے ہیں؟

اناغا نے کہا، ‘ہم میں سے ہر ایک کو ایک مکمل سیب اور پانچویں سیب کا ایک چوتھائی حصہ ملے۔’

ریشما نے کہا، ‘یہ ٹھیک ہے، لیکن ہم پانچوں سیبوں میں سے ہر ایک کو 4 برابر حصوں میں تقسیم کر سکتے ہیں اور ہر سیب سے ایک چوتھائی حصہ لے سکتے ہیں۔’

روی نے کہا، ‘بانٹنے کے دونوں طریقوں میں ہم میں سے ہر ایک کو ایک جیسا حصہ ملے گا، یعنی 5 چوتھائی۔ چونکہ 4 چوتھائی ایک مکمل بناتے ہیں، ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ ہم میں سے ہر ایک کو 1 مکمل اور ایک چوتھائی ملے گا۔ ہر حصے کی قیمت پانچ کو چار سے تقسیم کرنے پر ہوگی۔ کیا یہ $5 \div 4$ لکھا جاتا ہے؟’ جان نے کہا، ‘ہاں وہی جو $\dfrac{5}{4}$ ہے’۔ ریشما نے اضافہ کیا کہ $\dfrac{5}{4}$ میں، عدد مخرج سے بڑا ہے۔ وہ کسر، جہاں عدد مخرج سے بڑا ہو، نا مناسب کسر کہلاتی ہیں۔ اس طرح، $\dfrac{3}{2}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{18}{5}$ جیسی کسر تمام نا مناسب کسر ہیں۔

1. مخرج 7 کے ساتھ پانچ نا مناسب کسر لکھیں۔
2. عدد 11 کے ساتھ پانچ نا مناسب کسر لکھیں۔

روی نے جان کو یاد دلایا، ‘حصہ لکھنے کا دوسرا طریقہ کیا ہے؟ کیا یہ اناغا کے پانچ سیب تقسیم کرنے کے طریقے سے ملتا ہے؟’

جان نے سر ہلایا، ‘ہاں، یہ واقعی اناغا کے طریقے سے ملتا ہے۔ اس کے طریقے میں، ہر حصہ ایک مکمل اور ایک چوتھائی ہے۔ یہ $1+\dfrac{1}{4}$ ہے اور مختصراً $1 \dfrac{1}{4}$ لکھا جاتا ہے۔ یاد رکھیں، $1 \dfrac{1}{4}$ وہی ہے جو $\dfrac{5}{4}$ ہے۔

فریدہ کے کھائے ہوئے پوریوں کو یاد کریں۔ اسے $2 \dfrac{1}{2}$ پوریاں ملیں (شکل 7.9)، یعنی

$2 \dfrac{1}{2}$ میں کتنے سایہ دار آدھے ہیں؟ 5 سایہ دار آدھے ہیں۔

تو، کسر کو $\dfrac{5}{2} .2 \dfrac{1}{2}$ کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے جو $\dfrac{5}{2}$ کے برابر ہے۔

$1 \dfrac{1}{4}$ اور $2 \dfrac{1}{2}$ جیسی کسر کو مخلوط کسر کہتے ہیں۔ مخلوط کسر میں ایک مکمل اور ایک حصے کا مجموعہ ہوتا ہے۔

آپ کو مخلوط کسر کہاں ملتی ہیں؟ کچھ مثالیں دیں۔

کیا آپ جانتے ہیں؟

ٹینس ریکیٹ کے گرفت کے سائز اکثر مخلوط اعداد میں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر ایک سائز ‘$3 \dfrac{7}{8}$ انچ’ ہے اور ‘$4 \dfrac{3}{8}$ انچ’ ایک اور ہے۔

مثال 1 : درج ذیل کو مخلوط کسر کے طور پر ظاہر کریں:

(الف) $\dfrac{17}{4}$

(ب) $\dfrac{11}{3}$

(ج) $\dfrac{27}{5}$

(د) $\dfrac{7}{3}$

حل

(الف) $\dfrac{17}{4}$

$4) \dfrac{\dfrac{4}{17}}{\dfrac{16}{1}}$

یعنی 4 مکمل اور $\dfrac{1}{4}$ مزید، یا $4\dfrac{1}{4}$

(ب) $\dfrac{11}{3}$

$4) \dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{2}}$

یعنی 3 مکمل اور $\dfrac{2}{3}$ مزید، یا $3 \dfrac{2}{3}$

$[$ متبادل طور پر، $.\dfrac{11}{3}=\dfrac{9+2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=3+\dfrac{2}{3}=3 \dfrac{2}{3}]$

(ج) اور (د) دونوں طریقوں سے خود کوشش کریں۔

اس طرح، ہم ایک نا مناسب کسر کو مخلوط کسر کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں بذریعہ عدد کو مخرج سے تقسیم کر کے خارج قسمت اور باقی حاصل کرتے ہوئے۔ پھر مخلوط کسر کو خارج قسمت $\dfrac{\text{ Remainder }}{\text{ Divisor }}$ کے طور پر لکھا جائے گا۔

مثال 2 : درج ذیل مخلوط کسر کو نا مناسب کسر کے طور پر ظاہر کریں:

(الف) $2 \dfrac{3}{4}$

(ب) $7 \dfrac{1}{9}$

(ج) $5 \dfrac{3}{7}$

حل : (الف) $2 \dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \times 4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$

(ب) $7 \dfrac{1}{9}=\dfrac{(7 \times 9)+1}{9}=\dfrac{64}{9}$

(ج) $5 \dfrac{3}{7}=\dfrac{(5 \times 7)+3}{7}=\dfrac{38}{7}$

اس طرح، ہم ایک مخلوط کسر کو نا مناسب کسر کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں جیسے

$\dfrac{(\text{Whole} \times \text{Denominator}) + \text{Numerator}} {\text{Denominator}}$

مشق 7.2

1. عدد لکیریں بنائیں اور ان پر نقاط ڈھونڈیں:

(الف) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{4}$

(ب) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{7}{8}$

(ج) $\dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}$

2. درج ذیل کو مخلوط کسر کے طور پر ظاہر کریں:

(الف) $\dfrac{20}{3}$

(ب) $\dfrac{11}{5}$

(ج) $\dfrac{17}{7}$

(د) $\dfrac{28}{5}$

(ہ) $\dfrac{19}{6}$

(و) $\dfrac{35}{9}$

3. درج ذیل کو نا مناسب کسر کے طور پر ظاہر کریں:

(الف) $7 \dfrac{3}{4}$

(ب) $5 \dfrac{6}{7}$

(ج) $2 \dfrac{5}{6}$

(د) $10 \dfrac{3}{5}$

(ہ) $9 \dfrac{3}{7}$

(و) $8 \dfrac{4}{9}$

7.6 مساوی کسر

کسر کی ان تمام نمائندگیوں کو دیکھیں (شکل 7.10)۔

یہ کسر $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}$ ہیں، جو کل حصوں میں سے لیے گئے حصوں کی نمائندگی کرتی ہیں۔ اگر ہم ان کی تصویری نمائندگی ایک دوسرے کے اوپر رکھیں تو وہ برابر پائی جاتی ہیں۔ کیا آپ متفق ہیں؟

کوشش کریں

1. کیا $\dfrac{1}{3}$ اور $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{5}$ اور $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{9}$ اور $\dfrac{6}{27}$ مساوی ہیں؟ وجہ دیں۔

2. چار مساوی کسر کی مثال دیں۔

3. ہر ایک میں کسر کی نشاندہی کریں۔ کیا یہ کسر مساوی ہیں؟

یہ کسر مساوی کسر کہلاتی ہیں۔ ان کسر کے مساوی تین مزید کسر کے بارے میں سوچیں۔

مساوی کسر کی سمجھ

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \ldots, \dfrac{36}{72} \ldots$، سب مساوی کسر ہیں۔ وہ ایک کل کے ایک ہی حصے کی نمائندگی کرتی ہیں۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

مساوی کسر ایک کل کے ایک ہی حصے کی نمائندگی کیوں کرتی ہیں؟ ہم ایک کو دوسرے سے کیسے حاصل کر سکتے ہیں؟

ہم نوٹ کرتے ہیں $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}$۔ اسی طرح، $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{1}{2}$ اور $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}$

کسی دی گئی کسر کا مساوی کسر تلاش کرنے کے لیے، آپ دی گئی کسر کے عدد اور مخرج دونوں کو ایک ہی عدد سے ضرب دے سکتے ہیں۔

راجنی کہتی ہے کہ $\dfrac{1}{3}$ کے مساوی کسر ہیں:

$\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2}=\dfrac{2}{6}, \quad \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}, \quad \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{4}{12}$ اور بہت سی مزید۔

کیا آپ اس سے متفق ہیں؟ وضاحت کریں۔

کوشش کریں

1. درج ذیل میں سے ہر ایک کے پانچ مساوی کسر تلاش کریں:

(i) $\dfrac{2}{3}$

(ii) $\dfrac{1}{5}$

(iii) $\dfrac{3}{5}$

(iv) $\dfrac{5}{9}$

ایک اور طریقہ

کیا مساوی کسر حاصل کرنے کا کوئی اور طریقہ ہے؟ شکل 7.11 دیکھیں۔

ان میں سایہ دار چیزوں کی برابر تعداد شامل ہے یعنی $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2}$

مساوی کسر تلاش کرنے کے لیے، ہم عدد اور مخرج دونوں کو ایک ہی عدد سے تقسیم کر سکتے ہیں۔

$\dfrac{12}{15}$ کا ایک مساوی کسر $\dfrac{12 \div 3}{15 \div 3}=\dfrac{4}{5}$ ہے

کیا آپ $\dfrac{9}{15}$ کا مخرج 5 والا مساوی کسر تلاش کر سکتے ہیں؟

مثال 3 : $\dfrac{2}{5}$ کا عدد 6 والا مساوی کسر تلاش کریں۔

حل : ہم جانتے ہیں $2 \times 3=6$۔ اس کا مطلب ہے کہ مساوی کسر حاصل کرنے کے لیے ہمیں عدد اور مخرج دونوں کو 3 سے ضرب دینا ہوگا۔

لہذا، $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}=\dfrac{6}{15} ; \dfrac{6}{15}$ مطلوبہ مساوی کسر ہے۔

کیا آپ اسے تصویری طور پر دکھا سکتے ہیں؟

مثال 4 : $\dfrac{15}{35}$ کا مخرج 7 والا مساوی کسر تلاش کریں۔

حل : ہمارے پاس $\dfrac{15}{35}=\dfrac{\large\Box}{7}$ ہے

ہم مخرج کا مشاہدہ کرتے ہیں اور پاتے ہیں $35 \div 5=7$۔ لہذا، ہم $\dfrac{15}{35}$ کے عدد اور مخرج دونوں کو 5 سے تقسیم کرتے ہیں۔

اس طرح، $\dfrac{15}{35}=\dfrac{15 \div 5}{35 \div 5}=\dfrac{3}{7}$۔

ایک دلچسپ حقیقت

آئیے اب مساوی کسر کے بارے میں ایک دلچسپ حقیقت نوٹ کریں۔ اس کے لیے، دی گئی جدول کو مکمل کریں۔ پہلی دو قطاریں آپ کے لیے پہلے ہی مکمل کر دی گئی ہیں۔

ہم کیا نتیجہ اخذ کرتے ہیں؟ پہلی کسر کے عدد اور دوسری کسر کے مخرج کا حاصل ضرب، دوسری کسر کے عدد اور پہلی کسر کے مخرج کے حاصل ضرب کے برابر ہے ان تمام صورتوں میں۔ یہ دونوں حاصل ضرب کراس پراڈکٹ کہلاتے ہیں۔ مساوی کسر کے دوسرے جوڑوں کے لیے کراس پراڈکٹ نکالیں۔ کیا آپ کو کوئی ایسا کسر کا جوڑا ملتا ہے جس کے لیے کراس پراڈکٹ برابر نہیں ہیں؟ یہ قاعدہ مساوی کسر تلاش کرنے میں مددگار ہے۔

مثال 5 : $\dfrac{2}{9}$ کا مخرج 63 والا مساوی کسر تلاش کریں۔

حل : ہمارے پاس $\dfrac{2}{9}=\dfrac{\large\Box}{63}$ ہے

اس کے لیے، ہمارے پاس ہونا چاہیے، $9 \times \large\Box=2 \times 63$۔

لیکن $63=7 \times 9$، لہذا $9 \times \large\Box=2 \times 7 \times 9=14 \times 9=9 \times 14$

یا $9 \times \large\Box=9 \times 14$

موازنہ کرنے پر، $\large\Box=14$۔ لہذا، $\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{63}$۔

7.7 کسر کی سادہ ترین شکل

کسر $\dfrac{36}{54}$ دی گئی ہے، آئیے ایک ایسا مساوی کسر حاصل کرنے کی کوشش کریں جس میں عدد اور مخرج کا 1 کے علاوہ کوئی مشترک عامل نہ ہو۔

ہم یہ کیسے کرتے ہیں؟ ہم دیکھتے ہیں کہ 36 اور 54 دونوں 2 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

$\dfrac{36}{54}=\dfrac{36 \div 2}{54 \div 2}=\dfrac{18}{27}$

لیکن 18 اور 27 کا بھی ایک کے علاوہ مشترک عوامل ہیں۔

مشترک عوامل $1,3,9$ ہیں؛ سب سے بڑا 9 ہے۔

لہذا، $\dfrac{18}{27}=\dfrac{18 \div 9}{27 \div 9}=\dfrac{2}{3}$

اب 2 اور 3 کا 1 کے علاوہ کوئی مشترک عامل نہیں ہے؛ ہم کہتے ہیں کہ کسر $\dfrac{2}{3}$ سادہ ترین شکل میں ہے۔

ایک کسر کو سادہ ترین (یا کم ترین) شکل میں کہا جاتا ہے اگر اس کے عدد اور مخرج کا 1 کے علاوہ کوئی مشترک عامل نہ ہو۔

سب سے مختصر راستہ

سادہ ترین شکل میں مساوی کسر تلاش کرنے کا سب سے مختصر راستہ یہ ہے کہ عدد اور مخرج کا $HCF$ تلاش کریں، اور پھر دونوں کو HCF سے تقسیم کریں۔

ایک کھیل

یہاں دی گئی مساوی کسر بہت دلچسپ ہیں۔ ان میں سے ہر ایک 1 سے 9 تک کے تمام ہندسے ایک بار استعمال کرتی ہے!

$\text{ }$ $ \begin{aligned} & \dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{58}{174} \\ \\ & \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{79}{158} \end{aligned} $

ایسی دو مزید مساوی کسر تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

$\dfrac{36}{24}$ پر غور کریں۔

36 اور 24 کا HCF 12 ہے۔

لہذا، $\dfrac{36}{24}=\dfrac{36 \div 12}{24 \div 12}=\dfrac{3}{2}$۔

کسر $\dfrac{3}{2}$ کم ترین شکل میں ہے۔

اس طرح، HCF ہمیں کسر کو اس کی کم ترین شکل میں کم کرنے میں مدد کرتا ہے۔

کوشش کریں

1. کی سادہ ترین شکل لکھیں:

(i) $\dfrac{15}{75}$

(ii) $\dfrac{16}{72}$

(iii) $\dfrac{17}{51}$

(iv) $\dfrac{42}{28}$

(v) $\dfrac{80}{24}$

2. کیا $\dfrac{49}{64}$ اپنی سادہ ترین شکل میں ہے؟

مشق 7.3

1. کسر لکھیں۔ کیا یہ تمام کسر مساوی ہیں؟

2. کسر لکھیں اور ہر قطار سے مساوی کسر کا جوڑا بنائیں۔

3. درج ذیل میں سے ہر ایک میں $\large\Box$ کو صحیح عدد سے بدلیں:

(الف) $\dfrac{2}{7}=\dfrac{8}{\large\Box}$

(ب) $\dfrac{5}{8}=\dfrac{10}{\large\Box}$

(ج) $\dfrac{3}{5}=\dfrac{\large\Box}{20}$

(د) $\dfrac{45}{60}=\dfrac{15}{\large\Box}$

(ہ) $\dfrac{18}{24}=\dfrac{\large\Box}{4}$

4. $\dfrac{3}{5}$ کا مساوی کسر تلاش کریں جس کا

(الف) مخرج 20 ہو

(ب) عدد 9 ہو

(ج) مخرج 30 ہو

(د) عدد 27 ہو

5. $\dfrac{36}{48}$ کا مساوی کسر تلاش کریں جس کا

(الف) عدد 9 ہو

(ب) مخرج 4 ہو

6. چیک کریں کہ دی گئی کسر مساوی ہیں یا نہیں:

(الف) $\dfrac{5}{9}, \dfrac{30}{54}$

(ب) $\dfrac{3}{10}, \dfrac{12}{50}$

(ج) $\dfrac{7}{13}, \dfrac{5}{11}$

7. درج ذیل کسر کو سادہ ترین شکل میں کم کریں:

(الف) $\dfrac{48}{60}$

(ب) $\dfrac{150}{60}$

(ج) $\dfrac{84}{98}$

(د) $\dfrac{12}{52}$

(ہ) $\dfrac{7}{28}$

8. رمیس کے پاس 20 پنسلیں تھیں، شیلو کے پاس 50 پنسلیں تھیں اور جمال کے پاس 80 پنسلیں تھیں۔ 4 مہینے بعد، رمیس نے 10 پنسلیں استعمال کر لیں، شیلو نے 25 پنسلیں استعمال کر لیں اور جمال نے 40 پنسلیں استعمال کر لیں۔ ہر ایک نے کتنا حصہ استعمال کیا؟ چیک کریں کہ کیا ہر ایک نے اپنی پنسلوں کا برابر حصہ استعمال کیا ہے؟

9. مساوی کسر کو ملائیں اور ہر ایک کے لیے دو مزید لکھیں۔

(i) $\dfrac{250}{400}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (الف) $\dfrac{2}{3}$

(ii) $\dfrac{180}{200}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ب) $\dfrac{2}{5}$

(iii) $\dfrac{660}{990}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ج) $\dfrac{1}{2}$

(iv) $\dfrac{180}{360}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (د) $\dfrac{5}{8}$

(v) $\dfrac{220}{550}$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$