৭.১ ভূমিকা

চতুৰ্থ আৰু পঞ্চম শ্ৰেণীত সুভাষে ভগ্নাংশৰ বিষয়ে শিকিছিল, গতিকে যেতিয়াই সম্ভৱ তেওঁ ভগ্নাংশ ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিছিল। এটা অনুষ্ঠান আছিল যেতিয়া তেওঁ ঘৰতে নিজৰ দুপৰীয়াৰ আহাৰ পাহৰি গৈছিল। তেওঁৰ বন্ধু ফৰিদাই তেওঁক নিজৰ আহাৰ ভাগ-বতৰা কৰিবলৈ নিমন্ত্ৰণ জনালে। তাইৰ লাঞ্চ বাকচত পাঁচটা পুৰী আছিল। গতিকে, সুভাষ আৰু ফৰিদাই দুটাকৈ পুৰী ল’লে। তাৰ পিছত ফৰিদাই পঞ্চম পুৰীটো দুটা সমান ভাগত ভাগ কৰি এটা ভাগ সুভাষক দিলে আৰু আনটো ভাগ নিজে ল’লে। এইদৰে সুভাষ আৰু ফৰিদা দুয়োৰে ২টা সম্পূৰ্ণ পুৰী আৰু আধা পুৰী আছিল।

২ পুৰী + আধা পুৰী–সুভাষ $\qquad$ $\qquad$ ২ পুৰী + আধা পুৰী–ফৰিদা

আপোনাৰ জীৱনত ভগ্নাংশৰ সৈতে পৰিস্থিতি ক’ত লগ পায়?

সুভাষে জানিছিল যে আধা লিখা হয় $\dfrac{1}{2}$। খোৱাৰ সময়ত তেওঁ নিজৰ আধা পুৰীটো আকৌ দুটা সমান ভাগত ভাগ কৰিলে আৰু ফৰিদাক সুধিলে যে সেই টুকুৰাটো সম্পূৰ্ণ পুৰীটোৰ কি ভগ্নাংশ আছিল? (চিত্ৰ ৭.১)

উত্তৰ নিদিয়াকৈ, ফৰিদাইও নিজৰ আধা পুৰীৰ অংশটো দুটা সমান ভাগত ভাগ কৰি সুভাষৰ অংশৰ কাষত ৰাখিলে। তাই ক’লে যে এই চাৰিটা সমান অংশ একেলগে এটা সম্পূৰ্ণ গঠন কৰে (চিত্ৰ ৭.২)। গতিকে, প্ৰতিটো সমান অংশ সম্পূৰ্ণ পুৰীটোৰ এক চতুৰ্থাংশ আৰু ৪টা অংশ একেলগে হ’ব $\dfrac{4}{4}$ বা ১টা সম্পূৰ্ণ পুৰী।

তেওঁলোকে খোৱাৰ সময়ত, তেওঁলোকে আগতে যি শিকিছিল সেই বিষয়ে আলোচনা কৰিলে। ৪টা সমান অংশৰ ভিতৰত তিনিটা অংশ হৈছে $\dfrac{3}{4}$। একেদৰে, $\dfrac{3}{7}$ পোৱা যায় যেতিয়া আমি এটা সম্পূৰ্ণক সাতটা সমান ভাগত ভাগ কৰি তিনিটা অংশ লওঁ (চিত্ৰ ৭.৩)। $\dfrac{1}{8}$ৰ বাবে, আমি এটা সম্পূৰ্ণক আঠটা সমান ভাগত ভাগ কৰি তাৰ ভিতৰৰ এটা অংশ লওঁ (চিত্ৰ ৭.৪)।

ফৰিদাই ক’লে যে আমি শিকিছোঁ যে এটা ভগ্নাংশ হৈছে এটা সংখ্যা যিয়ে সম্পূৰ্ণৰ এটা অংশক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। সম্পূৰ্ণটো এটা একক বস্তু বা বস্তুৰ এটা গোট হ’ব পাৰে। সুভাষে লক্ষ্য কৰিলে যে অংশবোৰ সমান হ’ব লাগিব।

৭.২ এটা ভগ্নাংশ

আলোচনাটো পুনৰ স্মৰণ কৰোঁ আহক।

এটা ভগ্নাংশৰ অৰ্থ হৈছে এটা গোট বা এটা অঞ্চলৰ এটা অংশ।

$\dfrac{5}{12}$ এটা ভগ্নাংশ। আমি ইয়াক “পাঁচ-বাৰ ভাগৰ এক” বুলি পঢ়োঁ।

“১২” ৰে কি বুজায়? ই হৈছে সমান অংশৰ সংখ্যা যিটোত সম্পূৰ্ণটো ভাগ কৰা হৈছে।

“৫” ৰে কি বুজায়? ই হৈছে সমান অংশৰ সংখ্যা যিবোৰ উলিয়াই অনা হৈছে।

ইয়াত ৫ ক লৱ আৰু ১২ ক হৰ বোলা হয়।

$\dfrac{3}{7}$ ৰ লৱ আৰু $\dfrac{4}{15}$ ৰ হৰৰ নাম লিখা।

এই খেলটো খেলক

আপুনি এই খেলটো বন্ধুবৰ্গৰ সৈতে খেলিব পাৰে।

ইয়াত দেখুওৱাৰ দৰে গ্ৰিডৰ বহুত কপি লওক।

যিকোনো ভগ্নাংশ বিবেচনা কৰক, যেনে $\dfrac{1}{2}$।

আপোনাৰ প্ৰতিজনে $\dfrac{1}{2}$ গ্ৰিড ছায়াবৃত কৰিব লাগিব।

অনুশীলনী ৭.১

১. ছায়াবৃত অংশটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰা ভগ্নাংশটো লিখা।

২. দিয়া ভগ্নাংশ অনুসৰি অংশটো ৰং কৰা।

৩. ত্ৰুটি চিনাক্ত কৰা, যদি থাকে।

৪. এদিনৰ ৮ ঘণ্টা কিমান ভগ্নাংশ?

৫. এঘণ্টাৰ ৪০ মিনিট কিমান ভগ্নাংশ?

৬. আৰ্য, অভিমন্যু, আৰু বিভেকে দুপৰীয়াৰ আহাৰ ভাগ-বতৰা কৰিলে। আৰ্যই দুটা চেণ্ডৱিচ আনিছিল, এটা শাক-পাচলিৰ আৰু এটা জেমৰ। আন দুটা ল’ৰাই নিজৰ আহাৰ আনিবলৈ পাহৰি গ’ল। আৰ্যই তেওঁৰ চেণ্ডৱিচবোৰ ভাগ-বতৰা কৰিবলৈ মান্তি হ’ল যাতে প্ৰতিজন ব্যক্তিয়ে প্ৰতিটো চেণ্ডৱিচৰ সমান অংশ পায়।

(ক) আৰ্যই কেনেকৈ তেওঁৰ চেণ্ডৱিচবোৰ ভাগ কৰিব পাৰে যাতে প্ৰতিজনৰ সমান অংশ থাকে?
(খ) প্ৰতিটো ল’ৰাই চেণ্ডৱিচৰ কিমান অংশ পাব?

৭. কাঞ্চনে কাপোৰ ৰং কৰে। তাই ৩০টা কাপোৰ ৰং কৰিব লাগিছিল। তাই এতিয়ালৈকে ২০টা কাপোৰ শেষ কৰিছে। তাই কাপোৰৰ কিমান ভগ্নাংশ শেষ কৰিছে?

৮. ২ ৰ পৰা ১২ লৈ স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰ লিখা। সেইবোৰৰ কিমান ভগ্নাংশ মৌলিক সংখ্যা?

৯. ১০২ ৰ পৰা ১১৩ লৈ স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰ লিখা। সেইবোৰৰ কিমান ভগ্নাংশ মৌলিক সংখ্যা?

১০. এই বৃত্তবোৰৰ কিমান ভগ্নাংশত X আছে?

১১. ক্ৰিষ্টিনে তেওঁৰ জন্মদিনত এটা চিডি প্লেয়াৰ পাইছিল। তাই ৩টা চিডি কিনিলে আৰু আন ৫টা উপহাৰ হিচাপে পালে। তাইৰ মুঠ চিডিৰ কিমান ভগ্নাংশ তাই কিনিলে আৰু কিমান ভগ্নাংশ উপহাৰ হিচাপে পালে?

৭.৩ সংখ্যা ৰেখাত ভগ্নাংশ

আপুনি $0,1,2 \ldots$ৰ দৰে স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰ সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাবলৈ শিকিছে।

আমি সংখ্যা ৰেখাত ভগ্নাংশবোৰও দেখুৱাব পাৰোঁ। এটা সংখ্যা ৰেখা আঁকোঁ আহক আৰু ইয়াত $\dfrac{1}{2}$ চিহ্নিত কৰিবলৈ চেষ্টা কৰোঁ।

আমি জানো যে $\dfrac{1}{2}$ ০ তকৈ ডাঙৰ আৰু ১ তকৈ সৰু, গতিকে ই ০ আৰু ১ৰ মাজত থাকিব লাগিব।

যিহেতু আমি $\dfrac{1}{2}$ দেখুৱাব লাগিব, আমি ০ আৰু ১ৰ মাজৰ খালী ঠাইটো দুটা সমান ভাগত ভাগ কৰোঁ আৰু ১টা অংশ $\dfrac{1}{2}$ হিচাপে দেখুৱাওঁ (চিত্ৰ ৭.৫ত দেখুওৱাৰ দৰে)।

ধৰি লওক আমি সংখ্যা ৰেখাত $\dfrac{1}{3}$ দেখুৱাব বিচাৰোঁ। ০ আৰু ১ৰ মাজৰ দৈৰ্ঘ্য কিমানটা সমান ভাগত ভাগ কৰিব লাগিব? আমি ০ আৰু ১ৰ মাজৰ দৈৰ্ঘ্য ৩টা সমান ভাগত ভাগ কৰোঁ আৰু এটা অংশ $\dfrac{1}{3}$ হিচাপে দেখুৱাওঁ (চিত্ৰ ৭.৬ত দেখুওৱাৰ দৰে)

আমি এই সংখ্যা ৰেখাত $\dfrac{2}{3}$ দেখুৱাব পাৰোনে? $\dfrac{2}{3}$ ৰ অৰ্থ হৈছে ৩টা অংশৰ ভিতৰত ২টা অংশ (চিত্ৰ ৭.৭ত দেখুওৱাৰ দৰে)।

একেদৰে, আপুনি কেনেকৈ $\dfrac{0}{3}$ দেখুৱাব চেষ্টা কৰক $C$ আৰু $\dfrac{3}{3}$ এই সংখ্যা ৰেখাত? ১. $\dfrac{3}{5}$ সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাওক।

$\dfrac{0}{3}$ হৈছে শূন্য বিন্দু আনহাতে $\dfrac{3}{3}$ হৈছে ১টা সম্পূৰ্ণ, ইয়াক ১ বিন্দুৰে দেখুৱাব পাৰি (চিত্ৰ ৭.৭ত দেখুওৱাৰ দৰে)

গতিকে যদি আমাক $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাব লাগে, তেন্তে, ০ আৰু ১ৰ মাজৰ দৈৰ্ঘ্য কিমানটা সমান ভাগত ভাগ কৰিব লাগিব? যদি $\dfrac{10}{10}$ য়ে $\dfrac{3}{7}$ দেখুৱায় তেন্তে ০ আৰু $P$ৰ মাজত কিমানটা সমান বিভাজন থাকে? $\dfrac{3}{7}$ আৰু $P$ ক’ত থাকে?

চেষ্টা কৰক

১. $\dfrac{0}{7}$ সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাওক।

২. $\dfrac{7}{7}$ আৰু $\dfrac{3}{5}$ সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাওক।

৩. আপুনি ০ আৰু ১ৰ মাজত আন কোনো ভগ্নাংশ দেখুৱাব পাৰেনে? আপুনি দেখুৱাব পৰা আৰু পাঁচটা ভগ্নাংশ লিখা আৰু সংখ্যা ৰেখাত সেয়া চিত্ৰিত কৰা।

৪. ০ আৰু ১ৰ মাজত কিমানটা ভগ্নাংশ থাকে? চিন্তা কৰক, আলোচনা কৰক আৰু উত্তৰ লিখক?

৭.৪ সৎ ভগ্নাংশ

আপুনি এতিয়া সংখ্যা ৰেখাত ভগ্নাংশবোৰ কেনেকৈ স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰিব লাগে শিকিলে। $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ ভগ্নাংশবোৰ পৃথক সংখ্যা ৰেখাত স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰক।

এই ভগ্নাংশবোৰৰ কোনোটোৱে ১ৰ বাহিৰত থাকে নেকি?

এই ভগ্নাংশবোৰ সকলোৱে ১ৰ বাওঁফালে থাকে কাৰণ ইবোৰ ১তকৈ সৰু।

প্ৰকৃততে, আমি এতিয়ালৈকে যিমানবোৰ ভগ্নাংশ শিকিলোঁ সেইবোৰ সকলোৱে ১তকৈ সৰু। এইবোৰ হৈছে সৎ ভগ্নাংশ। ফৰিদাই কোৱাৰ দৰে এটা সৎ ভগ্নাংশ (বিভাগ ৭.১), হৈছে এটা সংখ্যা যিয়ে সম্পূৰ্ণৰ এটা অংশক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। এটা সৎ ভগ্নাংশত হৰটোৱে অংশৰ সংখ্যা দেখুৱায় যিটোত সম্পূৰ্ণটো ভাগ কৰা হৈছে আৰু লৱটোৱে অংশৰ সংখ্যা দেখুৱায় যিবোৰ বিবেচনা কৰা হৈছে। গতিকে, এটা সৎ ভগ্নাংশত লৱটো সদায় হৰতকৈ সৰু হয়।

চেষ্টা কৰক

১. এটা সৎ ভগ্নাংশ দিয়া :

(ক) যাৰ লৱ ৫ আৰু হৰ ৭।

(খ) যাৰ হৰ ৯ আৰু লৱ ৫।

(গ) যাৰ লৱ আৰু হৰৰ যোগফল ১০। আপুনি এই ধৰণৰ কিমানটা ভগ্নাংশ বনাব পাৰে?

(ঘ) যাৰ হৰ লৱতকৈ ৪ বেছি।

(যিকোনো পাঁচটা দিয়া। আপুনি কিমান বেছি বনাব পাৰে?)

২. এটা ভগ্নাংশ দিয়া হৈছে।

আপুনি কেনেকৈ নিৰ্ধাৰণ কৰিব, কেৱল চাই চাই, ভগ্নাংশটো

(ক) ১তকৈ সৰু নেকি?

(খ) ১ৰ সমান নেকি?

৩. এইবোৰৰ এটা ব্যৱহাৰ কৰি পূৰণ কৰা: ‘>’, ’ $\dfrac{10}{10}$ ’ বা ‘=’

(ক) $\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{0}{3}, \dfrac{5}{8}$

(খ) $<$

(গ) $\dfrac{1}{2} \large\Box 1$

(ঘ) $\dfrac{3}{5} \large\Box 1$

(ঙ) $1 \large\Box \dfrac{7}{8}$

৭.৫ অযথাৰ্থ আৰু মিশ্ৰ ভগ্নাংশ

অনাঘা, ৰৱি, ৰেশমা আৰু জনে তেওঁলোকৰ টিফিন ভাগ-বতৰা কৰিলে। তেওঁলোকৰ খাদ্যৰ লগতে, তেওঁলোকে ৫টা আপেলও আনিছিল। আন খাদ্যবোৰ খোৱাৰ পিছত, চাৰিজন বন্ধুৱে আপেল খাবলৈ বিচাৰিলে।

তেওঁলোকে কেনেকৈ চাৰিজনৰ মাজত পাঁচটা আপেল ভাগ-বতৰা কৰিব পাৰে?

অনাঘাই ক’লে, ‘আমি প্ৰতিজনে এটা সম্পূৰ্ণ আপেল আৰু পঞ্চম আপেলটোৰ এক চতুৰ্থাংশ লওঁ।’

ৰেশমাই ক’লে, ‘সেয়া ভাল, কিন্তু আমি পাঁচটা আপেলৰ প্ৰতিটোকে ৪টা সমান ভাগত ভাগ কৰিও প্ৰতিটো আপেলৰ পৰা এক চতুৰ্থাংশ ল’ব পাৰোঁ।’

ৰৱিয়ে ক’লে, ‘ভাগ-বতৰা কৰাৰ দুয়োটা পদ্ধতিতে আমি প্ৰতিজনে একে অংশ পাম, অৰ্থাৎ ৫টা চতুৰ্থাংশ। যিহেতু ৪টা চতুৰ্থাংশে এটা সম্পূৰ্ণ গঠন কৰে, আমি ইয়াকো ক’ব পাৰোঁ যে প্ৰতিজনে ১টা সম্পূৰ্ণ আৰু এক চতুৰ্থাংশ পাব। প্ৰতিটো অংশৰ মান হ’ব পাঁচক চাৰিৰে হৰণ কৰিলে যি পোৱা যায়। ইয়াক $\dfrac{4}{4} \large\Box 1$ হিচাপে লিখা হয় নেকি?’ জনে ক’লে, ‘হয়, $\dfrac{2005}{2005} \large\Box 1$ ৰ দৰেই’। ৰেশমাই যোগ দিলে যে $5 \div 4$ ত, লৱটো হৰতকৈ ডাঙৰ। ভগ্নাংশবোৰ, য’ত লৱটো হৰতকৈ ডাঙৰ তাক অযথাৰ্থ ভগ্নাংশ বোলা হয়। গতিকে, $\dfrac{5}{4}$ৰ দৰে ভগ্নাংশবোৰ সকলোৱে অযথাৰ্থ ভগ্নাংশ।

১. হৰ ৭ থকা পাঁচটা অযথাৰ্থ ভগ্নাংশ লিখা।
২. লৱ ১১ থকা পাঁচটা অযথাৰ্থ ভগ্নাংশ লিখা।

ৰৱিয়ে জনক সোঁৱৰাই দিলে, ‘ভাগটো লিখাৰ আনটো পদ্ধতি কি? ই অনাঘাৰ ৫টা আপেল ভাগ কৰাৰ পদ্ধতিৰ পৰা আহে নেকি?’

জনে মূৰ দোঁৱালে, ‘হয়, ই সঁচাকৈয়ে অনাঘাৰ পদ্ধতিৰ পৰা আহে। তাইৰ পদ্ধতিত, প্ৰতিটো অংশ হৈছে এটা সম্পূৰ্ণ আৰু এক চতুৰ্থাংশ। ই হৈছে $\dfrac{5}{4}$ আৰু চমুকৈ $\dfrac{3}{2}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{18}{5}$ হিচাপে লিখা হয়। মনত ৰাখিব, $1+\dfrac{1}{4}$ হৈছে $1 \dfrac{1}{4}$ ৰ দৰেই।

ফৰিদাই খোৱা পুৰীবোৰ সোঁৱৰা। তাই $1 \dfrac{1}{4}$ পুৰী পালে (চিত্ৰ ৭.৯), অৰ্থাৎ

$\dfrac{5}{4}$ ত কিমানটা ছায়াবৃত আধা আছে? ৫টা ছায়াবৃত আধা আছে।

গতিকে, ভগ্নাংশটো $2 \dfrac{1}{2}$ হিচাপেও লিখিব পাৰি। $2 \dfrac{1}{2}$ হৈছে $\dfrac{5}{2} .2 \dfrac{1}{2}$ ৰ দৰেই।

$\dfrac{5}{2}$ আৰু $1 \dfrac{1}{4}$ৰ দৰে ভগ্নাংশবোৰক মিশ্ৰ ভগ্নাংশ বোলা হয়। এটা মিশ্ৰ ভগ্নাংশত এটা সম্পূৰ্ণ আৰু এটা অংশৰ সংমিশ্ৰণ থাকে।

আপুনি মিশ্ৰ ভগ্নাংশ ক’ত লগ পায়? কেইটামান উদাহৰণ দিয়া।

আপুনি জানেনে?

টেনিছ ৰেকেটৰ গ্ৰিপ-মাপবোৰ প্ৰায়ে মিশ্ৰ সংখ্যাত থাকে। উদাহৰণস্বৰূপে এটা মাপ হৈছে ‘$2 \dfrac{1}{2}$ ইঞ্চি’ আৰু ‘$3 \dfrac{7}{8}$ ইঞ্চি’ আন এটা।

উদাহৰণ ১ : তলত দিয়াবোৰ মিশ্ৰ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা :

(ক) $4 \dfrac{3}{8}$

(খ) $\dfrac{17}{4}$

(গ) $\dfrac{11}{3}$

(ঘ) $\dfrac{27}{5}$

সমাধান

(ক) $\dfrac{7}{3}$

$\dfrac{17}{4}$

অৰ্থাৎ ৪টা সম্পূৰ্ণ আৰু $4) \dfrac{\dfrac{4}{17}}{\dfrac{16}{1}}$ বেছি, বা $\dfrac{1}{4}$

(খ) $4\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{11}{3}$

অৰ্থাৎ ৩টা সম্পূৰ্ণ আৰু $4) \dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{2}}$ বেছি, বা $\dfrac{2}{3}$

$3 \dfrac{2}{3}$ বিকল্পভাৱে, $[$

(গ) আৰু (ঘ) নিজে দুয়োটা পদ্ধতিৰে চেষ্টা কৰক।

এইদৰে, আমি এটা অযথাৰ্থ ভগ্নাংশক লৱক হৰেৰে হৰণ কৰি ভাগফল আৰু ভাগশেষ পোৱাৰ দ্বাৰা এটা মিশ্ৰ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ। তেতিয়া মিশ্ৰ ভগ্নাংশটো ভাগফল $.\dfrac{11}{3}=\dfrac{9+2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=3+\dfrac{2}{3}=3 \dfrac{2}{3}]$ হিচাপে লিখা হ’ব।

উদাহৰণ ২ : তলত দিয়া মিশ্ৰ ভগ্নাংশবোৰ অযথাৰ্থ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা:

(ক) $\dfrac{\text{ Remainder }}{\text{ Divisor }}$

(খ) $2 \dfrac{3}{4}$

(গ) $7 \dfrac{1}{9}$

সমাধান : (ক) $5 \dfrac{3}{7}$

(খ) $2 \dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \times 4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$

(গ) $7 \dfrac{1}{9}=\dfrac{(7 \times 9)+1}{9}=\dfrac{64}{9}$

এইদৰে, আমি এটা মিশ্ৰ ভগ্নাংশক এটা অযথাৰ্থ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ

$5 \dfrac{3}{7}=\dfrac{(5 \times 7)+3}{7}=\dfrac{38}{7}$

অনুশীলনী ৭.২

১. সংখ্যা ৰেখা আঁকা আৰু তাত বিন্দুবোৰ স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰা:

(ক) $\dfrac{(\text{Whole} \times \text{Denominator}) + \text{Numerator}} {\text{Denominator}}$

(খ) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{4}$

(গ) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{7}{8}$

২. তলত দিয়াবোৰ মিশ্ৰ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা :

(ক) $\dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}$

(খ) $\dfrac{20}{3}$

(গ) $\dfrac{11}{5}$

(ঘ) $\dfrac{17}{7}$

(ঙ) $\dfrac{28}{5}$

(চ) $\dfrac{19}{6}$

৩. তলত দিয়াবোৰ অযথাৰ্থ ভগ্নাংশ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা :

(ক) $\dfrac{35}{9}$

(খ) $7 \dfrac{3}{4}$

(গ) $5 \dfrac{6}{7}$

(ঘ) $2 \dfrac{5}{6}$

(ঙ) $10 \dfrac{3}{5}$

(চ) $9 \dfrac{3}{7}$

৭.৬ সমতুল্য ভগ্নাংশ

ভগ্নাংশৰ এই সকলোবোৰ প্ৰতিনিধিত্বলৈ চাওঁ আহক (চিত্ৰ ৭.১০)।

এই ভগ্নাংশবোৰ হৈছে $8 \dfrac{4}{9}$, মুঠ অংশৰ সংখ্যাৰ পৰা লোৱা অংশবোৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিছে। যদি আমি এটাৰ চিত্ৰাত্মক প্ৰতিনিধিত্ব আনটোৰ ওপৰত ৰাখোঁ তেতিয়া দেখা যায় যে সিহঁত সমান। আপুনি মানে নে?

চেষ্টা কৰক

১. $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}$ আৰু $\dfrac{1}{3}$ আৰু $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{5}$ আৰু $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{9}$ সমতুল্য নেকি? কাৰণ দিয়া।

২. চাৰিটা সমতুল্য ভগ্নাংশৰ উদাহৰণ দিয়া।

৩. প্ৰতিটোত ভগ্নাংশবোৰ চিনাক্ত কৰা। এই ভগ্নাংশবোৰ সমতুল্য নেকি?

এই ভগ্নাংশবোৰক সমতুল্য ভগ্নাংশ বোলা হয়। ওপৰৰ ভগ্নাংশবোৰৰ সমতুল্য হোৱা আৰু তিনিটা ভগ্নাংশৰ কথা চিন্তা কৰক।

সমতুল্য ভগ্নাংশ বুজিবলৈ

$\dfrac{6}{27}$, সকলোৱে সমতুল্য ভগ্নাংশ। সিহঁতে সম্পূৰ্ণৰ একে অংশটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

চিন্তা কৰক, আলোচনা কৰক আৰু লিখক

সমতুল্য ভগ্নাংশবোৰে কিয় সম্পূৰ্ণৰ একে অংশটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰে? আমি কেনেকৈ এটাক আনটোৰ পৰা পাব পাৰোঁ?

আমি লক্ষ্য কৰোঁ $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \ldots, \dfrac{36}{72} \ldots$। একেদৰে, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}$ আৰু $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{1}{2}$

দিয়া ভগ্নাংশৰ এটা সমতুল্য ভগ্নাংশ পাবলৈ, আপুনি দিয়া ভগ্নাংশৰ লৱ আৰু হৰ দুয়োটাকে একে সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিব পাৰে।

ৰাজনীয়ে কয় যে $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}$ ৰ সমতুল্য ভগ্নাংশবোৰ হৈছে :

$\dfrac{1}{3}$ আৰু আৰু বহুত।

আপুনি তাইৰ সৈতে মানে নে? ব্যাখ্যা কৰা।

চেষ্টা কৰক

১. তলত দিয়া প্ৰতিটোৰ পাঁচটা সমতুল্য ভগ্নাংশ উলিওৱা:

(i) $\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2}=\dfrac{2}{6}, \quad \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}, \quad \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{4}{12}$

(ii) $\dfrac{2}{3}$

(iii) $\dfrac{1}{5}$

(iv) $\dfrac{3}{5}$

আন এটা পদ্ধতি

সমতুল্য ভগ্নাংশ পাবলৈ আন কোনো পদ্ধতি আছে নেকি? চিত্ৰ ৭.১১লৈ চাওক।

ইয়াত সমান সংখ্যক ছায়াবৃত বস্তু অন্তৰ্ভুক্ত কৰা হৈছে অৰ্থাৎ $\dfrac{5}{9}$

এটা সমতুল্য ভগ্নাংশ পাবলৈ, আমি লৱ আৰু হৰ দুয়োটাকে একে সংখ্যাৰে হৰণ কৰিব পাৰোঁ।

$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2}$ ৰ এটা সমতুল্য ভগ্নাংশ হৈছে $\dfrac{12}{15}$

আপুনি $\dfrac{12 \div 3}{15 \div 3}=\dfrac{4}{5}$ ৰ হৰ ৫ থকা এটা সমতুল্য ভগ্নাংশ পাব পাৰেনে?

উদাহৰণ ৩ : $\dfrac{9}{15}$ ৰ লৱ ৬ থকা সমতুল্য ভগ্নাংশটো উলিওৱা।

সমাধান : আমি জানো $\dfrac{2}{5}$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে আমি সমতুল্য ভগ্নাংশ পাবলৈ লৱ আৰু হৰ দুয়োটাকে ৩ ৰে পূৰণ কৰিব লাগিব।

গতিকে, $2 \times 3=6$ হৈছে প্ৰয়োজনীয় সমতুল্য ভগ্নাংশ।

আপুনি ইয়াক চিত্ৰাত্মকভাৱে দেখুৱাব পাৰেনে?

উদাহৰণ ৪ : $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}=\dfrac{6}{15} ; \dfrac{6}{15}$ ৰ হৰ ৭ থকা সমতুল্য ভগ্নাংশটো উলিওৱা।

সমাধান : আমি $\dfrac{15}{35}$

আমি হৰটোলৈ লক্ষ্য কৰোঁ আৰু পাইছো $\dfrac{15}{35}=\dfrac{\large\Box}{7}$। গতিকে, আমি $35 \div 5=7$ ৰ লৱ আৰু হৰ দুয়োটাকে ৫ ৰে হৰণ কৰোঁ।

এইদৰে, $\dfrac{15}{35}$।

এটা আকৰ্ষণীয় তথ্য

এতিয়া সমতুল্য ভগ্নাংশৰ বিষয়ে এটা আকৰ্ষণীয় তথ্য লক্ষ্য কৰোঁ আহক। ইয়াৰ বাবে, দিয়া তালিকাটো সম্পূৰ্ণ কৰক। প্ৰথম দুটা শাৰী আপোনাৰ বাবে ইতিমধ্যে সম্পূৰ্ণ কৰা হৈছে।

আমি কি অনুমান কৰোঁ? প্ৰথমটোৰ লৱ আৰু দ্বিতীয়টোৰ হৰৰ গুণফল এই সকলো ক্ষেত্ৰতে দ্বিতীয়টোৰ লৱ আৰু প্ৰথমটোৰ হৰৰ গুণফলৰ সমান। এই দুটা গুণফলক আড় গুণফল বোলা হয়। আন সমতুল্য ভগ্নাংশৰ যোৰাৰ বাবে আড় গুণফলবোৰ কৰক। আপুনি কোনো ভগ্নাংশৰ যোৰা পায় নেকি য’ৰ বাবে আড় গুণফলবোৰ সমান নহয়? এই নিয়মটোৱে সমতুল্য ভগ্নাংশ পোৱাত সহায় কৰে।

উদাহৰণ ৫ : $\dfrac{3}{7}=\dfrac{24}{56}$ ৰ হৰ ৬৩ থকা সমতুল্য ভগ্নাংশটো উলিওৱা।

সমাধান : আমি $\dfrac{2}{9}$

ইয়াৰ বাবে, আমাৰ হ’ব লাগিব, $\dfrac{2}{9}=\dfrac{\large\Box}{63}$।

কিন্তু $9 \times \large\Box=2 \times 63$, গতিকে $63=7 \times 9$

বা $9 \times \large\Box=2 \times 7 \times 9=14 \times 9=9 \times 14$

তুলনা কৰি, $9 \times \large\Box=9 \times 14$। গতিকে, $\large\Box=14$।

৭.৭ ভগ্নাংশৰ সৰলতম ৰূপ

$\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{63}$ ভগ্নাংশটো দিয়া হৈছে, আহক ইয়াৰ এটা সমতুল্য ভগ্নাংশ পাবলৈ চেষ্টা কৰোঁ য’ত লৱ আৰু হৰৰ ১ বাদে অন্য কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাথাকে।

আমি কেনেকৈ কৰোঁ? আমি দেখোঁ যে ৩৬ আৰু ৫৪ দুয়োটাই ২ ৰে হৰণযোগ্য।

$\dfrac{36}{54}$

কিন্তু ১৮ আৰু ২৭ ৰো এক বাদে আন সাধাৰণ উৎপাদক আছে।

সাধাৰণ উৎপাদকবোৰ হৈছে $\dfrac{36}{54}=\dfrac{36 \div 2}{54 \div 2}=\dfrac{18}{27}$; আটাইতকৈ ওখটো হৈছে ৯।

গতিকে, $1,3,9$

এতিয়া ২ আৰু ৩ ৰ ১ বাদে অন্য কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাই; আমি ক’ব পাৰোঁ যে ভগ্নাংশ $\dfrac{18}{27}=\dfrac{18 \div 9}{27 \div 9}=\dfrac{2}{3}$ সৰলতম ৰূপত আছে।

এটা ভগ্নাংশক সৰলতম (বা নিম্নতম) ৰূপত বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ লৱ আৰু হৰৰ ১ বাদে অন্য কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাথাকে।

সৰ্বনিম্ন পথ

সৰলতম ৰূপত সমতুল্য ভগ্নাংশ পোৱাৰ সৰ্বনিম্ন পথ হৈছে লৱ আৰু হৰৰ $\dfrac{2}{3}$ উলিওৱা, আৰু তাৰ পিছত দুয়োটাকে সেই গ.সা.উ. ৰে হৰণ কৰা।

এটা খেল

ইয়াত দিয়া সমতুল্য ভগ্নাংশবোৰ বৰ আকৰ্ষণীয়। প্ৰতিটোৱে ১ ৰ পৰা ৯ লৈ সকলো অংক এবাৰকৈ ব্যৱহাৰ কৰে!

$HCF$ $ \begin{aligned} & \dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{58}{174} \\ \\ & \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{79}{158} \end{aligned} $

আৰু দুটা এনে সমতুল্য ভগ্নাংশ পাবলৈ চেষ্টা কৰক।

$\text{ }$ বিবেচনা কৰক।

৩৬ আৰু ২৪ ৰ গ.সা.উ. হৈছে ১২।

গতিকে, $\dfrac{36}{24}$। ভগ্নাংশ $\dfrac{36}{24}=\dfrac{36 \div 12}{24 \div 12}=\dfrac{3}{2}$ নিম্নতম ৰূপত আছে।

এইদৰে, গ.সা.উ.য়ে এটা ভগ্নাংশক ইয়াৰ নিম্নতম ৰূপলৈ কমাবলৈ আমাক সহায় কৰে।

চেষ্টা কৰক

১. সৰলতম ৰূপ লিখা:

(i) $\dfrac{3}{2}$

(ii) $\dfrac{15}{75}$

(iii) $\dfrac{16}{72}$

(iv) $\dfrac{17}{51}$

(v) $\dfrac{42}{28}$

২. $\dfrac{80}{24}$ ইয়াৰ সৰলতম ৰূপত আছে নেকি?

অনুশীলনী ৭.৩

১. ভগ্নাংশবোৰ লিখা। এই ভগ্নাংশবো