7.1 அறிமுகம்

சுபாஷ் நான்காம் மற்றும் ஐந்தாம் வகுப்புகளில் பின்னங்களைப் பற்றி கற்றிருந்தார், எனவே எப்போது முடியுமோ அப்போது பின்னங்களைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்பார். ஒரு முறை அவர் வீட்டில் மதிய உணவை மறந்துவிட்டார். அவரது நண்பர் ஃபரிதா தனது மதிய உணவைப் பகிர்ந்து கொள்ள அழைத்தார். அவரது மதிய உணவுப் பெட்டியில் ஐந்து பூரிகள் இருந்தன. எனவே, சுபாஷும் ஃபரிதாவும் இருவரும் இரண்டு பூரிகள் வீதம் எடுத்துக்கொண்டனர். பின்னர் ஃபரிதா ஐந்தாவது பூரியை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரித்து ஒரு பாதியை சுபாஷுக்குக் கொடுத்து மற்றொரு பாதியைத் தானே எடுத்துக்கொண்டார். இவ்வாறு, சுபாஷும் ஃபரிதாவும் 2 முழு பூரிகளும் ஒரு அரை பூரியும் பெற்றனர்.

2 பூரிகள் + அரை பூரி–சுபாஷ் $\qquad$ $\qquad$ 2 பூரிகள் + அரை பூரி–ஃபரிதா

உங்கள் வாழ்க்கையில் பின்னங்களுடன் கூடிய சூழ்நிலைகளை எங்கு சந்திக்கிறீர்கள்?

சுபாஷுக்கு ஒரு அரை $\dfrac{1}{2}$ என்று எழுதப்படுவது தெரியும். சாப்பிடும்போது அவர் தனது அரை பூரியை மேலும் இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அந்த துண்டு முழு பூரியில் எந்தப் பின்னமாக இருக்கும் என்று ஃபரிதாவிடம் கேட்டார்? (படம் 7.1)

பதில் சொல்லாமல், ஃபரிதாவும் தனது அரை பூரியின் பகுதியை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரித்து சுபாஷின் பங்குகளுக்கு அடுத்ததாக வைத்தார். இந்த நான்கு சம பாகங்களும் சேர்ந்து ஒரு முழுமையாகும் என்றார் (படம் 7.2). எனவே, ஒவ்வொரு சம பாகமும் ஒரு முழு பூரியில் ஒரு கால் பகுதியாகும் மற்றும் 4 பாகங்கள் சேர்ந்து $\dfrac{4}{4}$ அல்லது 1 முழு பூரியாக இருக்கும்.

அவர்கள் சாப்பிடும்போது, முன்பு கற்றுக்கொண்டவற்றைப் பற்றி விவாதித்தனர். 4 சம பாகங்களில் மூன்று பாகங்கள் $\dfrac{3}{4}$ ஆகும். இதேபோல், ஒரு முழுமையை ஏழு சம பாகங்களாகப் பிரித்து மூன்று பாகங்களை எடுத்தால் $\dfrac{3}{7}$ கிடைக்கும் (படம் 7.3). $\dfrac{1}{8}$ க்கு, ஒரு முழுமையை எட்டு சம பாகங்களாகப் பிரித்து அதில் ஒரு பகுதியை எடுத்துக்கொள்கிறோம் (படம் 7.4).

ஃபரிதா, ஒரு பின்னம் என்பது ஒரு முழுமையின் பகுதியைக் குறிக்கும் எண். முழுமை ஒரு ஒற்றைப் பொருளாகவோ அல்லது பொருட்களின் குழுவாகவோ இருக்கலாம் என்று நாம் கற்றுக்கொண்டதாகக் கூறினார். சுபாஷ் பாகங்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் கவனித்தார்.

7.2 ஒரு பின்னம்

விவாதத்தை மீண்டும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

ஒரு பின்னம் என்பது ஒரு குழுவின் அல்லது ஒரு பகுதியின் பகுதியைக் குறிக்கிறது.

$\dfrac{5}{12}$ ஒரு பின்னம். இதை “ஐந்து-பன்னிரண்டில் ஒரு பங்கு” என்று படிக்கிறோம்.

“12” என்பது எதைக் குறிக்கிறது? இது முழுமை பிரிக்கப்பட்டுள்ள சம பாகங்களின் எண்ணிக்கையாகும்.

“5” என்பது எதைக் குறிக்கிறது? இது எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட சம பாகங்களின் எண்ணிக்கையாகும்.

இங்கே 5 என்பது தொகுதி என்றும் 12 என்பது பகுதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

$\dfrac{3}{7}$ இன் தொகுதியையும் $\dfrac{4}{15}$ இன் பகுதியையும் பெயரிடுங்கள்.

இந்த விளையாட்டை விளையாடுங்கள்

இங்கே காட்டப்பட்டுள்ள கட்டத்தின் பல நகல்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

எந்தப் பின்னத்தையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், $\dfrac{1}{2}$ என்று சொல்லுங்கள்.

உங்களில் ஒவ்வொருவரும் கட்டத்தில் $\dfrac{1}{2}$ பகுதியை நிழலிட வேண்டும்.

பயிற்சி 7.1

1. நிழலிடப்பட்ட பகுதியைக் குறிக்கும் பின்னத்தை எழுதுக.

2. கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்திற்கேற்ப பகுதியை வண்ணமிடுக.

3. பிழை இருந்தால், அதை அடையாளம் காண்க.

4. ஒரு நாளில் 8 மணிநேரம் எந்தப் பின்னம்?

5. ஒரு மணிநேரத்தில் 40 நிமிடங்கள் எந்தப் பின்னம்?

6. ஆரியா, அபிமன்யு மற்றும் விவேக் மதிய உணவைப் பகிர்ந்து கொண்டனர். ஆரியா இரண்டு சாண்ட்விச்களைக் கொண்டு வந்தார், ஒன்று காய்கறியால் செய்யப்பட்டது மற்றும் ஒன்று ஜாம். மற்ற இரண்டு சிறுவர்களும் தங்கள் மதிய உணவைக் கொண்டு வர மறந்துவிட்டனர். ஒவ்வொரு நபரும் ஒவ்வொரு சாண்ட்விச்சின் சம பங்கைப் பெறுவதற்காக ஆரியா தனது சாண்ட்விச்களைப் பகிர்ந்து கொள்ள ஒப்புக்கொண்டார்.

(அ) ஒவ்வொரு நபருக்கும் சம பங்கு கிடைக்கும் வகையில் ஆரியா தனது சாண்ட்விச்களை எவ்வாறு பிரிப்பார்?
(ஆ) ஒவ்வொரு சிறுவனும் ஒரு சாண்ட்விச்சின் எந்தப் பகுதியைப் பெறுவான்?

7. காஞ்சன் ஆடைகளை சாயமிடுகிறாள். அவள் 30 ஆடைகளை சாயமிட வேண்டியிருந்தது. இதுவரை 20 ஆடைகளை முடித்துவிட்டாள். அவள் எத்தனை பின்னம் ஆடைகளை முடித்துவிட்டாள்?

8. 2 முதல் 12 வரையிலான இயல் எண்களை எழுதுக. அவற்றில் எத்தனை பின்னம் பகா எண்கள்?

9. 102 முதல் 113 வரையிலான இயல் எண்களை எழுதுக. அவற்றில் எத்தனை பின்னம் பகா எண்கள்?

10. இந்த வட்டங்களில் எத்தனை பின்னத்தில் X குறிகள் உள்ளன?

11. கிறிஸ்டினுக்கு பிறந்தநாள் பரிசாக ஒரு சிடி பிளேயர் கிடைத்தது. அவள் 3 சிடிகளை வாங்கினாள் மற்றும் 5 சிடிகளை பரிசாகப் பெற்றாள். அவள் மொத்த சிடிகளில் எத்தனை பின்னத்தை வாங்கினாள் மற்றும் எத்தனை பின்னத்தை பரிசாகப் பெற்றாள்?

7.3 எண் கோட்டில் பின்னம்

$0,1,2 \ldots$ போன்ற முழு எண்களை எண் கோட்டில் காட்டுவது நீங்கள் கற்றுள்ளீர்கள்.

பின்னங்களையும் எண் கோட்டில் காட்டலாம். ஒரு எண் கோட்டை வரைந்து அதில் $\dfrac{1}{2}$ ஐக் குறிக்க முயற்சிப்போம்.

$\dfrac{1}{2}$ என்பது 0 ஐ விடப் பெரியது மற்றும் 1 ஐ விடச் சிறியது என்பது நமக்குத் தெரியும், எனவே அது 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருக்க வேண்டும்.

$\dfrac{1}{2}$ ஐக் காட்ட வேண்டும் என்பதால், 0 மற்றும் 1 க்கு இடையே உள்ள இடைவெளியை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரித்து 1 பகுதியை $\dfrac{1}{2}$ எனக் காட்டுகிறோம் (படம் 7.5 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது).

$\dfrac{1}{3}$ ஐ எண் கோட்டில் காட்ட விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். 0 மற்றும் 1 க்கு இடையே உள்ள நீளத்தை எத்தனை சம பாகங்களாகப் பிரிக்க வேண்டும்? 0 மற்றும் 1 க்கு இடையே உள்ள நீளத்தை 3 சம பாகங்களாகப் பிரித்து ஒரு பகுதியை $\dfrac{1}{3}$ எனக் காட்டுகிறோம் (படம் 7.6 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது)

$\dfrac{2}{3}$ ஐ இந்த எண் கோட்டில் காட்ட முடியுமா? $\dfrac{2}{3}$ என்பது 3 பாகங்களில் 2 பாகங்கள் எனக் காட்டுகிறது (படம் 7.7).

இதேபோல், $\dfrac{0}{3}$ முயற்சி செய்யுங்கள் $C$ மற்றும் $\dfrac{3}{3}$ ஐ இந்த எண் கோட்டில் எவ்வாறு காட்டுவீர்கள்? 1. $\dfrac{3}{5}$ ஐ எண் கோட்டில் காட்டுக.

$\dfrac{0}{3}$ என்பது பூஜ்ஜிய புள்ளியாகும், அதேசமயம் $\dfrac{3}{3}$ என்பது 1 முழுமையாக இருப்பதால், அதை புள்ளி 1 ஆல் காட்டலாம் 2. $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ மற்றும் $\dfrac{10}{10}$ ஐ காட்டுக (படம் 7.7 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது)

எனவே $\dfrac{3}{7}$ ஐ எண் கோட்டில் காட்ட வேண்டும் என்றால், 0 மற்றும் 1 க்கு இடையே உள்ள நீளத்தை எத்தனை சம பாகங்களாகப் பிரிக்க வேண்டும்? $P$ ஆனது $\dfrac{3}{7}$ ஐக் காட்டினால், 0 மற்றும் $P$ க்கு இடையே எத்தனை சம பிரிவுகள் உள்ளன? $\dfrac{0}{7}$ மற்றும் $\dfrac{7}{7}$ எங்கே உள்ளன?

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. $\dfrac{3}{5}$ ஐ எண் கோட்டில் காட்டுக.

2. $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ மற்றும் $\dfrac{10}{10}$ ஐ எண் கோட்டில் காட்டுக.

3. 0 மற்றும் 1 க்கு இடையே வேறு எந்தப் பின்னத்தையும் காட்ட முடியுமா? நீங்கள் காட்டக்கூடிய ஐந்து பின்னங்களை எழுதி அவற்றை எண் கோட்டில் சித்தரிக்கவும்.

4. 0 மற்றும் 1 க்கு இடையே எத்தனை பின்னங்கள் உள்ளன? சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் உங்கள் பதிலை எழுதுங்கள்?

7.4 தகு பின்னங்கள்

பின்னங்களை எண் கோட்டில் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை இப்போது நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்கள். $\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{0}{3}, \dfrac{5}{8}$ பின்னங்களை தனித்தனி எண் கோடுகளில் கண்டறியவும்.

இந்த பின்னங்களில் ஏதேனும் ஒன்று 1 க்கு அப்பால் உள்ளதா?

இவை அனைத்தும் 1 ஐ விடச் சிறியவை என்பதால் 1 க்கு இடதுபுறத்தில் உள்ளன.

உண்மையில், இதுவரை நாம் கற்றுக்கொண்ட அனைத்து பின்னங்களும் 1 ஐ விடச் சிறியவை. இவை தகு பின்னங்கள். ஃபரிதா கூறியது போல (பிரிவு 7.1), ஒரு தகு பின்னம் என்பது ஒரு முழுமையின் பகுதியைக் குறிக்கும் எண்ணாகும். ஒரு தகு பின்னத்தில், பகுதி முழுமை எத்தனை பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது மற்றும் தொகுதி கருதப்பட்ட பாகங்களின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகிறது. எனவே, ஒரு தகு பின்னத்தில் தொகுதி எப்போதும் பகுதியை விட சிறியதாக இருக்கும்.

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. ஒரு தகு பின்னத்தைக் கொடுக்கவும்:

(அ) அதன் தொகுதி 5 மற்றும் பகுதி 7.

(ஆ) அதன் பகுதி 9 மற்றும் தொகுதி 5.

(இ) அதன் தொகுதி மற்றும் பகுதி கூட்டுத்தொகை 10. இதுபோன்ற எத்தனை பின்னங்களை நீங்கள் உருவாக்க முடியும்?

(ஈ) அதன் பகுதி தொகுதியை விட 4 அதிகம்.

(ஏதேனும் ஐந்தைக் கொடுங்கள். இன்னும் எத்தனையை நீங்கள் உருவாக்க முடியும்?)

2. ஒரு பின்னம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

அதைப் பார்த்தவுடன், பின்னம்

(அ) 1 ஐ விடச் சிறியதா?

(ஆ) 1 க்குச் சமமா? என்பதை எவ்வாறு முடிவு செய்வீர்கள்?

3. இவற்றில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி நிரப்புக: ‘>’, ’ $<$ ’ அல்லது ‘=’

(அ) $\dfrac{1}{2} \large\Box 1$

(ஆ) $\dfrac{3}{5} \large\Box 1$

(இ) $1 \large\Box \dfrac{7}{8}$

(ஈ) $\dfrac{4}{4} \large\Box 1$

(உ) $\dfrac{2005}{2005} \large\Box 1$

7.5 தகா மற்றும் கலப்பு பின்னங்கள்

ஆனகா, ரவி, ரேஷ்மா மற்றும் ஜான் தங்கள் டிஃப்பினைப் பகிர்ந்து கொண்டனர். அவர்களின் உணவுடன், 5 ஆப்பிள்களையும் கொண்டு வந்திருந்தனர். மற்ற உணவை சாப்பிட்ட பிறகு, நான்கு நண்பர்களும் ஆப்பிள்களை சாப்பிட விரும்பினர்.

நான்கு பேருக்கு இடையே ஐந்து ஆப்பிள்களை எவ்வாறு பகிர்ந்து கொள்ள முடியும்?

ஆனகா, ‘ஒவ்வொருவரும் ஒரு முழு ஆப்பிளும், ஐந்தாவது ஆப்பிளின் கால் பகுதியும் வைத்துக்கொள்வோம்’ என்றார்.

ரேஷ்மா, ‘அது சரி, ஆனால் ஐந்து ஆப்பிள்களையும் ஒவ்வொன்றையும் 4 சம பாகங்களாகப் பிரித்து ஒவ்வொரு ஆப்பிளிலிருந்தும் ஒரு கால் பகுதியை எடுத்துக் கொள்ளலாம்’ என்றார்.

ரவி, ‘இரண்டு வழிகளிலும் பகிர்ந்து கொள்ளும் போது, ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரே பங்கு கிடைக்கும், அதாவது 5 கால் பகுதிகள். 4 கால் பகுதிகள் ஒரு முழுமையாக இருப்பதால், ஒவ்வொருவருக்கும் 1 முழுமையும் ஒரு காலும் கிடைக்கும் என்றும் சொல்லலாம். ஒவ்வொரு பங்கின் மதிப்பும் ஐந்தை நான்கால் வகுக்கப்படும். இது $5 \div 4$ என்று எழுதப்படுமா?’ ஜான், ‘ஆம், அதே $\dfrac{5}{4}$’ என்றார். ரேஷ்மா, $\dfrac{5}{4}$ இல், தொகுதி பகுதியை விட பெரியது என்று கூறினார். தொகுதி பகுதியை விட பெரிய பின்னங்கள் தகா பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே, $\dfrac{3}{2}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{18}{5}$ போன்ற பின்னங்கள் அனைத்தும் தகா பின்னங்கள்.

1. பகுதி 7 உடன் ஐந்து தகா பின்னங்களை எழுதுக.
2. தொகுதி 11 உடன் ஐந்து தகா பின்னங்களை எழுதுக.

ரவி ஜானிடம் நினைவூட்டினார், ‘பங்கை எழுத மற்றொரு வழி என்ன? இது ஆனகாவின் 5 ஆப்பிள்களைப் பிரிக்கும் முறையிலிருந்து வருகிறதா?’

ஜான் தலையசைத்து, ‘ஆம், இது உண்மையில் ஆனகாவின் முறையிலிருந்து வருகிறது. அவரது முறையில், ஒவ்வொரு பங்கும் ஒரு முழுமையும் ஒரு காலும் ஆகும். இது $1+\dfrac{1}{4}$ மற்றும் சுருக்கமாக $1 \dfrac{1}{4}$ என்று எழுதப்படுகிறது. நினைவில் கொள்ளுங்கள், $1 \dfrac{1}{4}$ என்பது $\dfrac{5}{4}$ போன்றதே.

ஃபரிதா சாப்பிட்ட பூரிகளை நினைவுகூருங்கள். அவர் $2 \dfrac{1}{2}$ பூரிகள் பெற்றார் (படம் 7.9), அதாவது

$2 \dfrac{1}{2}$ இல் எத்தனை நிழலிடப்பட்ட அரை பகுதிகள் உள்ளன? 5 நிழலிடப்பட்ட அரை பகுதிகள் உள்ளன.

எனவே, பின்னத்தை $\dfrac{5}{2} .2 \dfrac{1}{2}$ எனவும் எழுதலாம், இது $\dfrac{5}{2}$ போன்றதே.

$1 \dfrac{1}{4}$ மற்றும் $2 \dfrac{1}{2}$ போன்ற பின்னங்கள் கலப்பு பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு கலப்பு பின்னம் ஒரு முழுமை மற்றும் ஒரு பகுதியின் கலவையைக் கொண்டுள்ளது.

கலப்பு பின்னங்களை எங்கு சந்திக்கிறீர்கள்? சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுங்கள்.

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

டென்னிஸ் மட்டைகளின் பிடி அளவுகள் பெரும்பாலும் கலப்பு எண்களில் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு அளவு ‘$3 \dfrac{7}{8}$ அங்குலங்கள்’ மற்றும் ‘$4 \dfrac{3}{8}$ அங்குலங்கள்’ மற்றொரு அளவு.

எடுத்துக்காட்டு 1 : பின்வருவனவற்றை கலப்பு பின்னங்களாக வெளிப்படுத்துக:

(அ) $\dfrac{17}{4}$

(ஆ) $\dfrac{11}{3}$

(இ) $\dfrac{27}{5}$

(ஈ) $\dfrac{7}{3}$

தீர்வு

(அ) $\dfrac{17}{4}$

$4) \dfrac{\dfrac{4}{17}}{\dfrac{16}{1}}$

அதாவது 4 முழுமை மற்றும் $\dfrac{1}{4}$ மேலும், அல்லது $4\dfrac{1}{4}$

(ஆ) $\dfrac{11}{3}$

$4) \dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{2}}$

அதாவது 3 முழுமை மற்றும் $\dfrac{2}{3}$ மேலும், அல்லது $3 \dfrac{2}{3}$

$[$ மாற்று வழியாக, $.\dfrac{11}{3}=\dfrac{9+2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=3+\dfrac{2}{3}=3 \dfrac{2}{3}]$

(இ) மற்றும் (ஈ) ஆகியவற்றை இரண்டு முறைகளையும் பயன்படுத்தி நீங்களே முயற்சிக்கவும்.

எனவே, ஒரு தகா பின்னத்தை தொகுதியை பகுதியால் வகுத்து ஈவு மற்றும் மீதியைப் பெற்று கலப்பு பின்னமாக வெளிப்படுத்தலாம். பின்னர் கலப்பு பின்னம் ஈவு $\dfrac{\text{ Remainder }}{\text{ Divisor }}$ என்று எழுதப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : பின்வரும் கலப்பு பின்னங்களை தகா பின்னங்களாக வெளிப்படுத்துக:

(அ) $2 \dfrac{3}{4}$

(ஆ) $7 \dfrac{1}{9}$

(இ) $5 \dfrac{3}{7}$

தீர்வு : (அ) $2 \dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \times 4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$

(ஆ) $7 \dfrac{1}{9}=\dfrac{(7 \times 9)+1}{9}=\dfrac{64}{9}$

(இ) $5 \dfrac{3}{7}=\dfrac{(5 \times 7)+3}{7}=\dfrac{38}{7}$

எனவே, ஒரு கலப்பு பின்னத்தை தகா பின்னமாக பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்

$\dfrac{(\text{Whole} \times \text{Denominator}) + \text{Numerator}} {\text{Denominator}}$

பயிற்சி 7.2

1. எண் கோடுகளை வரைந்து அவற்றில் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்:

(அ) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{4}$

(ஆ) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{7}{8}$

(இ) $\dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}$

2. பின்வருவனவற்றை கலப்பு பின்னங்களாக வெளிப்படுத்துக :

(அ) $\dfrac{20}{3}$

(ஆ) $\dfrac{11}{5}$

(இ) $\dfrac{17}{7}$

(ஈ) $\dfrac{28}{5}$

(உ) $\dfrac{19}{6}$

(ஊ) $\dfrac{35}{9}$

3. பின்வருவனவற்றை தகா பின்னங்களாக வெளிப்படுத்துக :

(அ) $7 \dfrac{3}{4}$

(ஆ) $5 \dfrac{6}{7}$

(இ) $2 \dfrac{5}{6}$

(ஈ) $10 \dfrac{3}{5}$

(உ) $9 \dfrac{3}{7}$

(ஊ) $8 \dfrac{4}{9}$

7.6 சமான பின்னங்கள்

பின்னத்தின் இந்த அனைத்து பிரதிநிதித்துவங்களையும் பாருங்கள் (படம் 7.10).

இந்த பின்னங்கள் $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}$, மொத்த பாகங்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட பாகங்களைக் குறிக்கின்றன. ஒன்றின் பட விளக்கத்தை மற்றொன்றின் மேல் வைத்தால், அவை சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். நீங்கள் ஒப்புக்கொள்கிறீர்களா?

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. $\dfrac{1}{3}$ மற்றும் $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{5}$ மற்றும் $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{9}$ மற்றும் $\dfrac{6}{27}$ சமானமானவையா? காரணம் கூறுக.

2. நான்கு சமான பின்னங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டு கொடுக்கவும்.

3. ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள பின்னங்களை அடையாளம் காண்க. இந்த பின்னங்கள் சமானமானவையா?

இந்த பின்னங்கள் சமான பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலே உள்ள பின்னங்களுக்குச் சமமான மூன்று பின்னங்களைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்.

சமான பின்னங்களைப் புரிந்துகொள்வது

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \ldots, \dfrac{36}{72} \ldots$, அனைத்தும் சமான பின்னங்கள். அவை ஒரு முழுமையின் ஒரே பகுதியைக் குறிக்கின்றன.

சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் எழுதுங்கள்

சமான பின்னங்கள் ஒரே முழுமையின் ஒரே பகுதியை ஏன் குறிக்கின்றன? ஒன்றை மற்றொன்றிலிருந்து எவ்வாறு பெற முடியும்?

நாம் கவனிக்கிறோம் $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}$. இதேபோல், $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{1}{2}$ மற்றும் $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}$

கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் சமான பின்னத்தைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி இரண்டையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கலாம்.

$\dfrac{1}{3}$ இன் சமான பின்னங்கள்:

$\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2}=\dfrac{2}{6}, \quad \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}, \quad \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{4}{12}$ மற்றும் பல.

நீங்கள் அவருடன் ஒப்புக்கொள்கிறீர்களா? விளக்குக.

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. பின்வரும் ஒவ்வொன்றின் ஐந்து சமான பின்னங்களைக் கண்டறியவும்:

(i) $\dfrac{2}{3}$

(ii) $\dfrac{1}{5}$

(iii) $\dfrac{3}{5}$

(iv) $\dfrac{5}{9}$

மற்றொரு வழி

சமான பின்னங்களைப் பெற வேறு வழி உள்ளதா? படம் 7.11 ஐப் பாருங்கள்.

இவை சம எண்ணிக்கையிலான நிழலிடப்பட்ட விஷயங்களை உள்ளடக்கியது, அதாவது $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2}$

ஒரு சமான பின்னத்தைக் கண்டறிய, தொகுதி மற்றும் பகுதி இரண்டையும் ஒரே எண்ணால் வகுக்கலாம்.

$\dfrac{12}{15}$ இன் ஒரு சமான பின்னம் $\dfrac{12 \div 3}{15 \div 3}=\dfrac{4}{5}$ ஆகும்

பகுதி 5 உடன் $\dfrac{9}{15}$ இன் சமான பின்னத்தைக் கண்டறிய முடியுமா?

எடுத்துக்காட்டு 3 : தொகுதி 6 உடன் $\dfrac{2}{5}$ இன் சமான பின்னத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : நமக்குத் தெரியும் $2 \times 3=6$. இதன் பொருள் சமான பின்னத்தைப் பெற தொகுதி மற்றும் பகுதி இரண்டையும் 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.

எனவே, $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}=\dfrac{6}{15} ; \dfrac{6}{15}$ தேவையான சமான பின்னமாகும்.

இதை படவிளக்கமாக காட்ட முடியுமா?

எடுத்துக்காட்டு 4 : பகுதி 7 உடன் $\dfrac{15}{35}$ இன் சமான பின்னத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : நம்மிடம் உள்ளது $\dfrac{15}{35}=\dfrac{\large\Box}{7}$

பகுதியைக் கவனித்து $35 \div 5=7$ எனக் காண்கிறோம். எனவே, $\dfrac{15}{35}$ இன் தொகுதி மற்றும் பகுதி இரண்டையும் 5 ஆல் வகுக்கிறோம்.

எனவே, $\dfrac{15}{35}=\dfrac{15 \div 5}{35 \div 5}=\dfrac{3}{7}$.

ஒரு சுவாரஸ்யமான உண்மை

சமான பின்னங்கள் பற்றிய ஒரு சுவாரஸ்யமான உண்மையை இப்போது கவனிப்போம். இதற்காக, கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையை நிரப்பவும். முதல் இரண்டு வரிசைகள் ஏற்கனவே உங்களுக்காக நிரப்பப்பட்டுள்ளன.

நாம் என்ன உய்த்துணர்கிறோம்? முதல் பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் பகுதியின் பெருக்கற்பலன், இந்த எல்லா நிகழ்வுகளிலும் முதல் பின்னத்தின் பகுதி மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் தொகுதியின் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமம். இந்த இரண்டு பெருக்கற்பலன்களும் குறுக்குப் பெருக்கற்பலன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மற்ற சமான பின்னங்களின் இணைகளுக்கான குறுக்குப் பெருக்கற்பலன்களைக் கணக்கிடுங்கள். குறுக்குப் பெருக்கற்பலன்கள் சமமாக இல்லாத பின்னங்களின் இணைகள் ஏதேனும் உள்ளதா? சமான பின்னங்களைக் கண்டறிய இந்த விதி உதவுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5 : பகுதி 63 உடன் $\dfrac{2}{9}$ இன் சமான பின்னத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு : நம்மிடம் உள்ளது $\dfrac{2}{9}=\dfrac{\large\Box}{63}$

இதற்கு, $9 \times \large\Box=2 \times 63$ இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் $63=7 \times 9$, எனவே $9 \times \large\Box=2 \times 7 \times 9=14 \times 9=9 \times 14$

அல்லது $9 \times \large\Box=9 \times 14$

ஒப்பிடுவதன் மூலம், $\large\Box=14$. எனவே, $\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{63}$.

7.7 ஒரு பின்னத்தின் எளிய வடிவம்

$\dfrac{36}{54}$ என்ற பின்னம் கொ