7.1 ಪರಿಚಯ

ಸುಭಾಷ್ ತರಗತಿ IV ಮತ್ತು V ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದನು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಅವನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದನು. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭವೆಂದರೆ ಅವನು ಮನೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಊಟವನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದಾಗ. ಅವನ ಸ್ನೇಹಿತೆ ಫರೀದಾ ತನ್ನ ಊಟವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲು ಅವನನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಿದಳು. ಅವಳ ಊಟದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಐದು ಪೂರಿಗಳಿದ್ದವು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸುಭಾಷ್ ಮತ್ತು ಫರೀದಾ ಇಬ್ಬರೂ ಎರಡು ಪೂರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು. ನಂತರ ಫರೀದಾ ಐದನೇ ಪೂರಿಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಮಾಡಿ ಒಂದು ಅರ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಸುಭಾಷ್ಗೆ ಕೊಟ್ಟಳು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಅರ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ತಾನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಳು. ಹೀಗೆ, ಸುಭಾಷ್ ಮತ್ತು ಫರೀದಾ ಇಬ್ಬರೂ 2 ಪೂರ್ಣ ಪೂರಿಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅರ್ಧ ಪೂರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು.

2 ಪೂರಿಗಳು + ಅರ್ಧ-ಪೂರಿ–ಸುಭಾಷ್ $\qquad$ $\qquad$ 2 ಪೂರಿಗಳು + ಅರ್ಧ-ಪೂರಿ–ಫರೀದಾ

ನಿಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸುತ್ತೀರಿ?

ಸುಭಾಷ್ಗೆ ಒಂದು ಅರ್ಧವನ್ನು $\dfrac{1}{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿತ್ತು. ತಿನ್ನುವಾಗ ಅವನು ತನ್ನ ಅರ್ಧ ಪೂರಿಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ, ಆ ತುಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪೂರಿಯ ಯಾವ ಭಾಗ ಎಂದು ಫರೀದಳನ್ನು ಕೇಳಿದನು? (ಚಿತ್ರ 7.1)

ಉತ್ತರಿಸದೆ, ಫರೀದಳು ತನ್ನ ಅರ್ಧ ಪೂರಿಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಭಾಷ್ನ ಷೇರುಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದಳು. ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವಳು ಹೇಳಿದಳು (ಚಿತ್ರ 7.2). ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸಮಾನ ಭಾಗವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಪೂರಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗ ಮತ್ತು 4 ಭಾಗಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ $\dfrac{4}{4}$ ಅಥವಾ 1 ಪೂರ್ಣ ಪೂರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅವರು ತಿನ್ನುವಾಗ, ಅವರು ಮೊದಲು ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. 4 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಭಾಗಗಳು $\dfrac{3}{4}$ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ಏಳು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ $\dfrac{3}{7}$ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 7.3). $\dfrac{1}{8}$ ಗಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ಎಂಟು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 7.4).

ಫರೀದಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣದ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪೂರ್ಣವು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದಳು. ಸುಭಾಷ್ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದನು.

7.2 ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ

ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ.

ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಥವಾ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ.

$\dfrac{5}{12}$ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು “ಐದು-ಹನ್ನೆರಡನೇ” ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

“12” ಏನನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ? ಇದು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

“5” ಏನನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ? ಇದು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾದ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ 5 ಅನ್ನು ಅಂಶ ಎಂದು ಮತ್ತು 12 ಅನ್ನು ಛೇದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$\dfrac{3}{7}$ ನ ಅಂಶ ಮತ್ತು $\dfrac{4}{15}$ ನ ಛೇದವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಈ ಆಟವನ್ನು ಆಡಿ

ನೀವು ಇದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಆಡಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಗ್ರಿಡ್ನ ಅನೇಕ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\dfrac{1}{2}$.

ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಗ್ರಿಡ್ನ $\dfrac{1}{2}$ ಭಾಗವನ್ನು ಛಾಯಾವೃತ್ತ ಮಾಡಬೇಕು.

ಅಭ್ಯಾಸ 7.1

1. ಛಾಯಾವೃತ್ತ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

2. ನೀಡಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಭಾಗವನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಿ.

3. ದೋಷವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

4. 8 ಗಂಟೆಗಳು ಒಂದು ದಿನದ ಯಾವ ಭಾಗ?

5. 40 ನಿಮಿಷಗಳು ಒಂದು ಗಂಟೆಯ ಯಾವ ಭಾಗ?

6. ಆರ್ಯ, ಅಭಿಮನ್ಯು ಮತ್ತು ವಿವೇಕ್ ಊಟವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡರು. ಆರ್ಯ ಎರಡು ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ಗಳನ್ನು ತಂದಿದ್ದನು, ಒಂದು ತರಕಾರಿಯದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಜಾಮ್ನದು. ಇನ್ನೆರಡು ಹುಡುಗರು ತಮ್ಮ ಊಟವನ್ನು ತರಲು ಮರೆತಿದ್ದರು. ಪ್ರತಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗೂ ಪ್ರತಿ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ನ ಸಮಾನ ಷೇರು ಸಿಗುವಂತೆ ಆರ್ಯ ತನ್ನ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಪ್ಪಿದನು.

(ಎ) ಪ್ರತಿ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನ ಷೇರು ಸಿಗುವಂತೆ ಆರ್ಯ ತನ್ನ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು?
(ಬಿ) ಪ್ರತಿ ಹುಡುಗನಿಗೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ನ ಯಾವ ಭಾಗ ಸಿಗುತ್ತದೆ?

7. ಕಾಂಚನ್ ಉಡುಪುಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಹಾಕುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳು 30 ಉಡುಪುಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಹಾಕಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಅವಳು ಇದುವರೆಗೆ 20 ಉಡುಪುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದಾಳೆ. ಅವಳು ಉಡುಪುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದಾಳೆ?

8. 2 ರಿಂದ 12 ರವರೆಗಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಭಾಗವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು?

9. 102 ರಿಂದ 113 ರವರೆಗಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಭಾಗವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು?

10. ಈ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಭಾಗಕ್ಕೆ X ಗುರುತುಗಳಿವೆ?

11. ಕ್ರಿಸ್ಟಿನ್ಗೆ ಅವಳ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಿಡಿ ಪ್ಲೇಯರ್ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಅವಳು 3 ಸಿಡಿಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಿದಳು ಮತ್ತು 5 ಇತರ ಸಿಡಿಗಳನ್ನು ಉಡುಗೊರೆಯಾಗಿ ಪಡೆದಳು. ಅವಳ ಒಟ್ಟು ಸಿಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಅವಳು ಖರೀದಿಸಿದಳು ಮತ್ತು ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಉಡುಗೊರೆಯಾಗಿ ಪಡೆದಳು?

7.3 ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ

ನೀವು $0,1,2 \ldots$ ನಂತಹ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ.

ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ $\dfrac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

$\dfrac{1}{2}$ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕು.

ನಾವು $\dfrac{1}{2}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ 1 ಭಾಗವನ್ನು $\dfrac{1}{2}$ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 7.5 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ).

ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\dfrac{1}{3}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು? ನಾವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು 3 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು $\dfrac{1}{3}$ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 7.6 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ)

ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\dfrac{2}{3}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದೇ? $\dfrac{2}{3}$ ಎಂದರೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ 3 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ 2 ಭಾಗಗಳು (ಚಿತ್ರ 7.7).

ಅಂತೆಯೇ, ನೀವು $\dfrac{0}{3}$ ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ $C$ ಮತ್ತು $\dfrac{3}{3}$ ಅನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೀರಿ? 1 . ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\dfrac{3}{5}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

$\dfrac{0}{3}$ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಆದರೆ $\dfrac{3}{3}$ 1 ಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಬಿಂದು 1 ರಿಂದ ತೋರಿಸಬಹುದು 2. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ ಮತ್ತು $\dfrac{10}{10}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 7.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\dfrac{3}{7}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕಾದರೆ, 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು? $P$ $\dfrac{3}{7}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ 0 ಮತ್ತು $P$ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ಸಮಾನ ವಿಭಾಗಗಳು ಇರುತ್ತವೆ? $\dfrac{0}{7}$ ಮತ್ತು $\dfrac{7}{7}$ ಎಲ್ಲಿವೆ?

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\dfrac{3}{5}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

2. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ ಮತ್ತು $\dfrac{10}{10}$ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

3. ನೀವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದೇ? ನೀವು ತೋರಿಸಬಹುದಾದ ಐದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಿ.

4. 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿವೆ? ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ?

7.4 ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಈಗ ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ. $\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{0}{3}, \dfrac{5}{8}$ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು 1 ರಾಶಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆಯೇ?

ಇವೆಲ್ಲವೂ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ 1 ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಇದುವರೆಗೆ ಕಲಿತ ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿವೆ. ಇವು ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಫರೀದಳು ಹೇಳಿದಂತೆ (ವಿಭಾಗ 7.1), ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣದ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಛೇದವು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಒಂದು ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ನೀಡಿ:

(ಎ) ಅದರ ಅಂಶ 5 ಮತ್ತು ಛೇದ 7 ಆಗಿರುವ.

(ಬಿ) ಅದರ ಛೇದ 9 ಮತ್ತು ಅಂಶ 5 ಆಗಿರುವ.

(ಸಿ) ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಕೂಡಿದಾಗ 10 ಆಗುವ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

(ಡಿ) ಅದರ ಛೇದವು ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ 4 ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ.

(ಯಾವುದೇ ಐದನ್ನು ನೀಡಿ. ನೀವು ಇನ್ನಷ್ಟು ಎಷ್ಟು ಮಾಡಬಹುದು?)

2. ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಅದನ್ನು ನೋಡಿದಾಗಲೇ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು

(ಎ) 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯೇ ಎಂದು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ?

(ಬಿ) 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನೇ?

3. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿ ತುಂಬಿಸಿ: ‘>’, ’ $<$ ’ ಅಥವಾ ‘=’

(ಎ) $\dfrac{1}{2} \large\Box 1$

(ಬಿ) $\dfrac{3}{5} \large\Box 1$

(ಸಿ) $1 \large\Box \dfrac{7}{8}$

(ಡಿ) $\dfrac{4}{4} \large\Box 1$

(ಇ) $\dfrac{2005}{2005} \large\Box 1$

7.5 ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

ಅನಘಾ, ರವಿ, ರೇಷ್ಮಾ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ತಮ್ಮ ಟಿಫಿನ್ ಅನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡರು. ಅವರ ಆಹಾರದ ಜೊತೆಗೆ, ಅವರು 5 ಸೇಬುಗಳನ್ನು ತಂದಿದ್ದರು. ಇತರ ಆಹಾರವನ್ನು ತಿಂದ ನಂತರ, ನಾಲ್ಕು ಸ್ನೇಹಿತರು ಸೇಬುಗಳನ್ನು ತಿನ್ನಲು ಬಯಸಿದರು.

ನಾಲ್ಕು ಜನರಲ್ಲಿ ಐದು ಸೇಬುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು?

ಅನಘಾ ಹೇಳಿದಳು, ‘ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಸೇಬು ಮತ್ತು ಐದನೇ ಸೇಬಿನ ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ.’

ರೇಷ್ಮಾ ಹೇಳಿದಳು, ‘ಅದು ಸರಿ, ಆದರೆ ನಾವು ಐದು ಸೇಬುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು 4 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಸೇಬಿನಿಂದ ಒಂದು ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.’

ರವಿ ಹೇಳಿದನು, ‘ಹಂಚಿಕೆಯ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಒಂದೇ ಷೇರನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ 5 ಕಾಲು ಭಾಗಗಳು. 4 ಕಾಲು ಭಾಗಗಳು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ 1 ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಷೇರಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಐದನ್ನು ನಾಲ್ಕರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವುದು. ಅದನ್ನು $5 \div 4$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಯೇ?’ ಜಾನ್ ಹೇಳಿದನು, ‘ಹೌದು ಅದೇ $\dfrac{5}{4}$’. ರೇಷ್ಮಾ ಸೇರಿಸಿದಳು $\dfrac{5}{4}$ ನಲ್ಲಿ, ಅಂಶವು ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಅಂಶವು ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ, $\dfrac{3}{2}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{18}{5}$ ನಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ.

1. ಛೇದ 7 ಆಗಿರುವ ಐದು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
2. ಅಂಶ 11 ಆಗಿರುವ ಐದು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ರವಿ ಜಾನ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿದನು, ‘ಷೇರನ್ನು ಬರೆಯುವ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನ ಯಾವುದು? ಅದು ಅನಘಾ ಐದು ಸೇಬುಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆಯೇ?’

ಜಾನ್ ತಲೆಯಾಡಿಸಿದನು, ‘ಹೌದು, ಅದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅನಘಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಅವಳ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಷೇರ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾಲು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅದು $1+\dfrac{1}{4}$ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ $1 \dfrac{1}{4}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ನೆನಪಿಡಿ, $1 \dfrac{1}{4}$ ಯು $\dfrac{5}{4}$ ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ಫರೀದಳು ತಿಂದ ಪೂರಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅವಳು $2 \dfrac{1}{2}$ ಪೂರಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದಳು (ಚಿತ್ರ 7.9), ಅಂದರೆ

$2 \dfrac{1}{2}$ ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಛಾಯಾವೃತ್ತ ಅರ್ಧ ಭಾಗಗಳಿವೆ? 5 ಛಾಯಾವೃತ್ತ ಅರ್ಧ ಭಾಗಗಳಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು $\dfrac{5}{2} .2 \dfrac{1}{2}$ ಎಂದು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅದು $\dfrac{5}{2}$ ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

$1 \dfrac{1}{4}$ ಮತ್ತು $2 \dfrac{1}{2}$ ನಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ಭಾಗದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸುತ್ತೀರಿ? ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ?

ಟೆನ್ನಿಸ್ ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಗ್ರಿಪ್-ಗಾತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಗಾತ್ರ ‘$3 \dfrac{7}{8}$ ಇಂಚುಗಳು’ ಮತ್ತು ‘$4 \dfrac{3}{8}$ ಇಂಚುಗಳು’ ಇನ್ನೊಂದು ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(ಎ) $\dfrac{17}{4}$

(ಬಿ) $\dfrac{11}{3}$

(ಸಿ) $\dfrac{27}{5}$

(ಡಿ) $\dfrac{7}{3}$

ಪರಿಹಾರ

(ಎ) $\dfrac{17}{4}$

$4) \dfrac{\dfrac{4}{17}}{\dfrac{16}{1}}$

ಅಂದರೆ 4 ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು $\dfrac{1}{4}$ ಹೆಚ್ಚು, ಅಥವಾ $4\dfrac{1}{4}$

(ಬಿ) $\dfrac{11}{3}$

$4) \dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{2}}$

ಅಂದರೆ 3 ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು $\dfrac{2}{3}$ ಹೆಚ್ಚು, ಅಥವಾ $3 \dfrac{2}{3}$

$[$ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, $.\dfrac{11}{3}=\dfrac{9+2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=3+\dfrac{2}{3}=3 \dfrac{2}{3}]$

(ಸಿ) ಮತ್ತು (ಡಿ) ಗಳಿಗೆ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಹೀಗೆ, ನಾವು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ $\dfrac{\text{ Remainder }}{\text{ Divisor }}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಕೆಳಗಿನ ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(ಎ) $2 \dfrac{3}{4}$

(ಬಿ) $7 \dfrac{1}{9}$

(ಸಿ) $5 \dfrac{3}{7}$

ಪರಿಹಾರ : (ಎ) $2 \dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \times 4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$

(ಬಿ) $7 \dfrac{1}{9}=\dfrac{(7 \times 9)+1}{9}=\dfrac{64}{9}$

(ಸಿ) $5 \dfrac{3}{7}=\dfrac{(5 \times 7)+3}{7}=\dfrac{38}{7}$

ಹೀಗೆ, ನಾವು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು

$\dfrac{(\text{Whole} \times \text{Denominator}) + \text{Numerator}} {\text{Denominator}}$

ಅಭ್ಯಾಸ 7.2

1. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ:

(ಎ) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{4}$

(ಬಿ) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{7}{8}$

(ಸಿ) $\dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}$

2. ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(ಎ) $\dfrac{20}{3}$

(ಬಿ) $\dfrac{11}{5}$

(ಸಿ) $\dfrac{17}{7}$

(ಡಿ) $\dfrac{28}{5}$

(ಇ) $\dfrac{19}{6}$

(ಎಫ್) $\dfrac{35}{9}$

3. ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(ಎ) $7 \dfrac{3}{4}$

(ಬಿ) $5 \dfrac{6}{7}$

(ಸಿ) $2 \dfrac{5}{6}$

(ಡಿ) $10 \dfrac{3}{5}$

(ಇ) $9 \dfrac{3}{7}$

(ಎಫ್) $8 \dfrac{4}{9}$

7.6 ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿರೂಪಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (ಚಿತ್ರ 7.10).

ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}$, ಒಟ್ಟು ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಒಂದರ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ?

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. $\dfrac{1}{3}$ ಮತ್ತು $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{5}$ ಮತ್ತು $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{9}$ ಮತ್ತು $\dfrac{6}{27}$ ಸಮಾನವೇ? ಕಾರಣ ನೀಡಿ.

2. ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿ.

3. ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಮಾನವೇ?

ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೂರು ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ.

ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \ldots, \dfrac{36}{72} \ldots$, ಎಲ್ಲವೂ ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಒಂದೇ ಪೂರ್ಣದ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಒಂದೇ ಪೂರ್ಣದ ಭಾಗವನ್ನು ಏಕೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ? ನಾವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು?

ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}$. ಅಂತೆಯೇ, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{1}{2}$ ಮತ್ತು $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}$

_ನೀಡಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ನೀಡ