7.1 प्रस्तावना

सुभाषने चौथी आणि पाचवीत अपूर्णांकांबद्दल शिकले होते, म्हणून जेव्हा जेव्हा शक्य असेल तेव्हा तो अपूर्णांक वापरण्याचा प्रयत्न करेल. एक प्रसंग असा होता की जेव्हा त्याचा दुपारचा जेवणाचा डबा घरीच विसरला गेला. त्याची मैत्रीण फरीदाने त्याला आपल्या जेवणात सामील होण्यासाठी आमंत्रित केले. तिच्या जेवणाच्या डब्यात पाच पुर्या होत्या. म्हणून, सुभाष आणि फरीदा यांनी दोन दोन पुर्या घेतल्या. मग फरीदाने पाचवी पुरीचे दोन समान भाग केले आणि एक अर्धा भाग सुभाषला दिला आणि दुसरा अर्धा भाग स्वतः घेतला. अशाप्रकारे, सुभाष आणि फरीदा या दोघांकडेही २ पूर्ण पुर्या आणि अर्धी पुरी होती.

२ पुर्या + अर्धी पुरी–सुभाष $\qquad$ $\qquad$ २ पुर्या + अर्धी पुरी–फरीदा

तुम्हाला तुमच्या आयुष्यात अपूर्णांकांच्या परिस्थिती कोठे कोठे भेटतात?

सुभाषला माहित होते की अर्धा भाग $\dfrac{1}{2}$ असे लिहिले जाते. जेवताना त्याने आपली अर्धी पुरी पुन्हा दोन समान भागांत विभागली आणि फरीदाला विचारले की तो तुकडा संपूर्ण पुरीचा किती अंश आहे? (आकृती 7.1)

उत्तर न देता, फरीदानेही आपल्या अर्ध्या पुरीच्या भागाचे दोन समान भाग केले आणि ते सुभाषच्या वाट्याजवळ ठेवले. ती म्हणाली की हे चार समान भाग मिळून एक संपूर्ण बनतात (आकृती 7.2). म्हणून, प्रत्येक समान भाग हा एका संपूर्ण पुरीचा एक चतुर्थांश (एक चौथा) आहे आणि ४ भाग मिळून $\dfrac{4}{4}$ किंवा १ संपूर्ण पुरी होईल.

ते जेवत असताना, त्यांनी आधी काय शिकले होते ते चर्चा केली. चार समान भागांपैकी तीन भाग $\dfrac{3}{4}$ आहेत. त्याचप्रमाणे, जेव्हा आपण एका संपूर्णाचे सात समान भाग करून तीन भाग घेतो तेव्हा $\dfrac{3}{7}$ मिळतो (आकृती 7.3). $\dfrac{1}{8}$ साठी, आपण एका संपूर्णाचे आठ समान भाग करतो आणि त्यातून एक भाग घेतो (आकृती 7.4).

फरीदा म्हणाली की आपण शिकलो आहोत की अपूर्णांक ही एक संख्या आहे जी संपूर्णाचा एक भाग दर्शवते. संपूर्ण ही एक वस्तू किंवा वस्तूंचा एक समूह असू शकते. सुभाषने निरीक्षण केले की भाग समान असले पाहिजेत.

7.2 एक अपूर्णांक

चला चर्चेचा सारांश घेऊ.

अपूर्णांक म्हणजे समूहाचा किंवा प्रदेशाचा एक भाग.

$\dfrac{5}{12}$ हा एक अपूर्णांक आहे. आपण तो “पाच बारावा” म्हणून वाचतो.

“12” काय दर्शवते? ही त्या समान भागांची संख्या आहे ज्यामध्ये संपूर्ण भाग विभागला गेला आहे.

“5” काय दर्शवते? ही त्या समान भागांची संख्या आहे जे बाहेर काढले गेले आहेत.

येथे 5 ला अंश म्हणतात आणि 12 ला छेद म्हणतात.

$\dfrac{3}{7}$ चा अंश आणि $\dfrac{4}{15}$ चा छेद नाव द्या.

हा खेळ खेळा

तुम्ही हा खेळ तुमच्या मित्रांसोबत खेळू शकता.

येथे दाखवल्याप्रमाणे ग्रिडच्या अनेक प्रती घ्या.

कोणताही अपूर्णांक विचारात घ्या, उदाहरणार्थ $\dfrac{1}{2}$.

तुमच्यापैकी प्रत्येकाने ग्रिडचा $\dfrac{1}{2}$ भाग रंगवला पाहिजे.

उदाहरणे 7.1

1. छायांकित भाग दर्शवणारा अपूर्णांक लिहा.

2. दिलेल्या अपूर्णांकाप्रमाणे भाग रंगवा.

3. त्रुटी ओळखा, जर असेल तर.

4. 8 तास हे एका दिवसाचा किती अंश आहे?

5. 40 मिनिटे हे एका तासाचा किती अंश आहे?

6. आर्या, अभिमन्यू आणि विवेक यांनी दुपारचे जेवण वाटून घेतले. आर्याने दोन सँडविच आणले होते, एक भाजीपाला आणि एक जॅमचे. इतर दोन मुलांनी त्यांचे जेवण आणणे विसरलं. आर्याने आपले सँडविच वाटून घेण्यास सहमती दर्शवली जेणेकरून प्रत्येक व्यक्तीला प्रत्येक सँडविचचा समान वाटा मिळेल.

(अ) आर्याने आपले सँडविच कसे विभागले पाहिजेत जेणेकरून प्रत्येकाला समान वाटा मिळेल?
(ब) प्रत्येक मुलाला एका सँडविचचा किती भाग मिळेल?

7. कंचन फॅब्रिक रंगवते. तिला 30 फॅब्रिक रंगवायचे होते. तिने आतापर्यंत 20 फॅब्रिक रंगवली आहेत. तिने किती अंश फॅब्रिक रंगवली आहे?

8. 2 ते 12 पर्यंतची नैसर्गिक संख्या लिहा. त्यापैकी मूळ संख्या कोणत्या अंशात आहेत?

9. 102 ते 113 पर्यंतची नैसर्गिक संख्या लिहा. त्यापैकी मूळ संख्या कोणत्या अंशात आहेत?

10. यापैकी किती अंश वर्तुळांमध्ये X आहेत?

11. क्रिस्टिनला तिच्या वाढदिवसासाठी एक सीडी प्लेयर मिळाले. तिने 3 सीडी विकत घेतल्या आणि 5 इतर भेट म्हणून मिळाल्या. तिने विकत घेतलेल्या सीडी तिच्या एकूण सीडीच्या किती अंशात होत्या आणि भेट म्हणून तिला किती अंश मिळाल्या?

7.3 संख्या रेषेवरील अपूर्णांक

तुम्ही $0,1,2 \ldots$ सारख्या पूर्ण संख्या संख्या रेषेवर दाखवायला शिकलात आहात.

आपण अपूर्णांक देखील संख्या रेषेवर दाखवू शकतो. चला एक संख्या रेषा काढू आणि त्यावर $\dfrac{1}{2}$ चिन्हांकित करण्याचा प्रयत्न करू.

आपल्याला माहित आहे की $\dfrac{1}{2}$ हे 0 पेक्षा मोठे आणि 1 पेक्षा लहान आहे, म्हणून ते 0 आणि 1 च्या दरम्यान असले पाहिजे.

आपल्याला $\dfrac{1}{2}$ दाखवायचे असल्याने, आपण 0 आणि 1 मधील अंतर दोन समान भागांत विभागतो आणि 1 भाग $\dfrac{1}{2}$ म्हणून दाखवतो (आकृती 7.5 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे).

समजा आपल्याला संख्या रेषेवर $\dfrac{1}{3}$ दाखवायचे आहे. 0 आणि 1 यांच्यातील लांबी किती समान भागांत विभागली पाहिजे? आपण 0 आणि 1 यांच्यातील लांबी 3 समान भागांत विभागतो आणि एक भाग $\dfrac{1}{3}$ म्हणून दाखवतो (आकृती 7.6 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे)

आपण या संख्या रेषेवर $\dfrac{2}{3}$ दाखवू शकतो का? $\dfrac{2}{3}$ म्हणजे 3 भागांपैकी 2 भाग (आकृती 7.7 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे).

त्याचप्रमाणे, तुम्ही $\dfrac{0}{3}$ हे प्रयत्न करा $C$ आणि $\dfrac{3}{3}$ या संख्या रेषेवर कसे दाखवाल? 1 . $\dfrac{3}{5}$ संख्या रेषेवर दाखवा.

$\dfrac{0}{3}$ हा बिंदू शून्य आहे तर $\dfrac{3}{3}$ हा 1 संपूर्ण असल्याने, तो बिंदू 1 द्वारे दाखवला जाऊ शकतो (आकृती 7.7 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे)

म्हणून जर आपल्याला संख्या रेषेवर $\dfrac{3}{7}$ दाखवायचे असेल, तर 0 आणि 1 यांच्यातील लांबी किती समान भागांत विभागली पाहिजे? जर $P$ $\dfrac{3}{7}$ दाखवत असेल तर 0 आणि $P$ यांच्यात किती समान विभाग आहेत? $\dfrac{0}{7}$ आणि $\dfrac{7}{7}$ कुठे आहेत?

हे प्रयत्न करा

1. $\dfrac{3}{5}$ संख्या रेषेवर दाखवा.

2. $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ आणि $\dfrac{10}{10}$ संख्या रेषेवर दाखवा.

3. तुम्ही 0 आणि 1 यांच्यात इतर कोणताही अपूर्णांक दाखवू शकता का? तुम्ही दाखवू शकता असे आणखी पाच अपूर्णांक लिहा आणि त्यांना संख्या रेषेवर चित्रित करा.

4. 0 आणि 1 यांच्यात किती अपूर्णांक आहेत? विचार करा, चर्चा करा आणि तुमचे उत्तर लिहा.

7.4 योग्य अपूर्णांक

तुम्ही आता संख्या रेषेवर अपूर्णांक कसे शोधायचे ते शिकलात. $\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{0}{3}, \dfrac{5}{8}$ अपूर्णांक वेगवेगळ्या संख्या रेषांवर शोधा.

यापैकी कोणताही अपूर्णांक 1 च्या पलीकडे आहे का?

हे सर्व अपूर्णांक 1 च्या डावीकडे आहेत कारण ते 1 पेक्षा लहान आहेत.

खरं तर, आपण आतापर्यंत शिकलेले सर्व अपूर्णांक 1 पेक्षा कमी आहेत. हे योग्य अपूर्णांक आहेत. फरीदाने म्हटल्याप्रमाणे (कलम 7.1), योग्य अपूर्णांक ही एक संख्या आहे जी संपूर्णाचा एक भाग दर्शवते. योग्य अपूर्णांकात छेद ही त्या भागांची संख्या दर्शवतो ज्यामध्ये संपूर्ण भाग विभागला गेला आहे आणि अंश ही त्या भागांची संख्या दर्शवतो ज्यांचा विचार केला गेला आहे. म्हणून, योग्य अपूर्णांकात अंश नेहमी छेदापेक्षा कमी असतो.

हे प्रयत्न करा

1. एक योग्य अपूर्णांक द्या :

(अ) ज्याचा अंश 5 आहे आणि छेद 7 आहे.

(ब) ज्याचा छेद 9 आहे आणि अंश 5 आहे.

(क) ज्याचा अंश आणि छेद मिळून 10 होतात. तुम्ही अशा किती अपूर्णांक बनवू शकता?

(ड) ज्याचा छेद हा अंशापेक्षा 4 ने मोठा आहे.

(कोणतेही पाच द्या. तुम्ही आणखी किती बनवू शकता?)

2. एक अपूर्णांक दिला आहे.

फक्त पाहून तुम्ही कसे ठरवाल, की हा अपूर्णांक

(अ) 1 पेक्षा कमी आहे का?

(ब) 1 च्या बरोबरीचा आहे का?

3. यापैकी एक वापरून रिकाम्या जागा भरा : ‘>’, ’ $<$ ’ किंवा ‘=’

(अ) $\dfrac{1}{2} \large\Box 1$

(ब) $\dfrac{3}{5} \large\Box 1$

(क) $1 \large\Box \dfrac{7}{8}$

(ड) $\dfrac{4}{4} \large\Box 1$

(इ) $\dfrac{2005}{2005} \large\Box 1$

7.5 अयोग्य आणि मिश्र अपूर्णांक

आनघा, रवी, रेश्मा आणि जॉन यांनी त्यांचे टिफिन वाटून घेतले. त्यांच्या अन्नासोबत त्यांनी 5 सफरचंदही आणले होते. इतर अन्न खाल्यानंतर, चार मित्रांना सफरचंद खायचे होते.

ते चार जणांमध्ये पाच सफरचंद कसे वाटून घेतील?

आनघा म्हणाली, ‘आपण प्रत्येकी एक संपूर्ण सफरचंद आणि पाचव्या सफरचंदाचा एक चतुर्थांश घेऊ.’

रेश्मा म्हणाली, ‘ते ठीक आहे, पण आपण पाचही सफरचंदांचे प्रत्येकी 4 समान भाग करून प्रत्येक सफरचंदातून एक चतुर्थांश घेऊ शकतो.’

रवी म्हणाला, ‘वाटणीच्या दोन्ही पद्धतींमध्ये आपल्यापैकी प्रत्येकाला समान वाटा मिळेल, म्हणजे 5 चतुर्थांश. 4 चतुर्थांश मिळून एक संपूर्ण बनत असल्याने, आपण असेही म्हणू शकतो की आपल्यापैकी प्रत्येकाला 1 संपूर्ण आणि एक चतुर्थांश मिळेल. प्रत्येक वाट्याचे मूल्य पाच भागिले चार असेल. ते $5 \div 4$ असे लिहिले जाते का?’ जॉन म्हणाला, ‘होय, $\dfrac{5}{4}$ प्रमाणेच’. रेश्माने असे जोडले की $\dfrac{5}{4}$ मध्ये, अंश हा छेदापेक्षा मोठा आहे. जेथे अंश हा छेदापेक्षा मोठा असतो अशा अपूर्णांकांना अयोग्य अपूर्णांक म्हणतात. अशाप्रकारे, $\dfrac{3}{2}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{18}{5}$ सारखे अपूर्णांक हे सर्व अयोग्य अपूर्णांक आहेत.

1. छेद 7 असलेले पाच अयोग्य अपूर्णांक लिहा.
2. अंश 11 असलेले पाच अयोग्य अपूर्णांक लिहा.

रवीने जॉनला आठवण करून दिली, ‘वाटा लिहिण्याची दुसरी पद्धत काय आहे? ती आनघाच्या 5 सफरचंद विभागण्याच्या पद्धतीवरून येते का?’

जॉनने मान डोलावली, ‘होय, ती खरोखरच आनघाच्या पद्धतीवरून येते. तिच्या पद्धतीत, प्रत्येक वाटा हा एक संपूर्ण आणि एक चतुर्थांश आहे. तो $1+\dfrac{1}{4}$ आहे आणि लहान करून $1 \dfrac{1}{4}$ असे लिहिले जाते. लक्षात ठेवा, $1 \dfrac{1}{4}$ हे $\dfrac{5}{4}$ सारखेच आहे.

फरीदाने खाल्लेल्या पुर्या आठवा. तिला $2 \dfrac{1}{2}$ पुर्या मिळाल्या (आकृती 7.9), म्हणजे

$2 \dfrac{1}{2}$ मध्ये किती छायांकित अर्धे भाग आहेत? तेथे 5 छायांकित अर्धे भाग आहेत.

म्हणून, अपूर्णांक $\dfrac{5}{2} .2 \dfrac{1}{2}$ असेही लिहिता येईल जो $\dfrac{5}{2}$ सारखाच आहे.

$1 \dfrac{1}{4}$ आणि $2 \dfrac{1}{2}$ सारखे अपूर्णांकांना मिश्र अपूर्णांक म्हणतात. मिश्र अपूर्णांकामध्ये संपूर्ण आणि भाग यांचे मिश्रण असते.

तुम्हाला मिश्र अपूर्णांक कोठे कोठे भेटतात? काही उदाहरणे द्या.

तुम्हाला माहिती आहे का?

टेनिस रॅकेटच्या ग्रिप साइज बहुतेक वेळा मिश्र संख्यांमध्ये असतात. उदाहरणार्थ एक आकार ’ $3 \dfrac{7}{8}$ इंच’ आहे आणि ’ $4 \dfrac{3}{8}$ इंच’ हा दुसरा आहे.

उदाहरण 1 : खालील अपूर्णांक मिश्र अपूर्णांक म्हणून व्यक्त करा :

(अ) $\dfrac{17}{4}$

(ब) $\dfrac{11}{3}$

(क) $\dfrac{27}{5}$

(ड) $\dfrac{7}{3}$

उकल

(अ) $\dfrac{17}{4}$

$4) \dfrac{\dfrac{4}{17}}{\dfrac{16}{1}}$

म्हणजे 4 संपूर्ण आणि $\dfrac{1}{4}$ अधिक, किंवा $4\dfrac{1}{4}$

(ब) $\dfrac{11}{3}$

$4) \dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{2}}$

म्हणजे 3 संपूर्ण आणि $\dfrac{2}{3}$ अधिक, किंवा $3 \dfrac{2}{3}$

$[$ पर्यायाने, $.\dfrac{11}{3}=\dfrac{9+2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=3+\dfrac{2}{3}=3 \dfrac{2}{3}]$

(क) आणि (ड) स्वतः दोन्ही पद्धती वापरून करण्याचा प्रयत्न करा.

अशाप्रकारे, आपण अयोग्य अपूर्णांकाला भागाकार करून भागाकार आणि बाकी मिळवून मिश्र अपूर्णांक म्हणून व्यक्त करू शकतो. मग मिश्र अपूर्णांक भागाकार $\dfrac{\text{ Remainder }}{\text{ Divisor }}$ असे लिहिला जाईल.

उदाहरण 2 : खालील मिश्र अपूर्णांक अयोग्य अपूर्णांक म्हणून व्यक्त करा:

(अ) $2 \dfrac{3}{4}$

(ब) $7 \dfrac{1}{9}$

(क) $5 \dfrac{3}{7}$

उकल : (अ) $2 \dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \times 4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$

(ब) $7 \dfrac{1}{9}=\dfrac{(7 \times 9)+1}{9}=\dfrac{64}{9}$

(क) $5 \dfrac{3}{7}=\dfrac{(5 \times 7)+3}{7}=\dfrac{38}{7}$

अशाप्रकारे, आपण मिश्र अपूर्णांकाला अयोग्य अपूर्णांक म्हणून व्यक्त करू शकतो

$\dfrac{(\text{Whole} \times \text{Denominator}) + \text{Numerator}} {\text{Denominator}}$

उदाहरणे 7.2

1. संख्या रेषा काढा आणि त्यावरील बिंदू शोधा:

(अ) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{4}$

(ब) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{7}{8}$

(क) $\dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}$

2. खालील अपूर्णांक मिश्र अपूर्णांक म्हणून व्यक्त करा :

(अ) $\dfrac{20}{3}$

(ब) $\dfrac{11}{5}$

(क) $\dfrac{17}{7}$

(ड) $\dfrac{28}{5}$

(इ) $\dfrac{19}{6}$

(फ) $\dfrac{35}{9}$

3. खालील अपूर्णांक अयोग्य अपूर्णांक म्हणून व्यक्त करा :

(अ) $7 \dfrac{3}{4}$

(ब) $5 \dfrac{6}{7}$

(क) $2 \dfrac{5}{6}$

(ड) $10 \dfrac{3}{5}$

(इ) $9 \dfrac{3}{7}$

(फ) $8 \dfrac{4}{9}$

7.6 समभिन्न अपूर्णांक

अपूर्णांकाची ही सर्व प्रतिनिधित्वे पहा (आकृती 7.10).

हे अपूर्णांक $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}$ आहेत, जे एकूण भागांपैकी घेतलेले भाग दर्शवतात. जर आपण एकाचे चित्रात्मक प्रतिनिधित्व दुसऱ्यावर ठेवले तर ते समान आढळतात. तुम्ही सहमत आहात का?

हे प्रयत्न करा

1. $\dfrac{1}{3}$ आणि $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{5}$ आणि $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{9}$ आणि $\dfrac{6}{27}$ समभिन्न आहेत का? कारण द्या.

2. चार समभिन्न अपूर्णांकांचे उदाहरण द्या.

3. प्रत्येकातील अपूर्णांक ओळखा. हे अपूर्णांक समभिन्न आहेत का?

या अपूर्णांकांना समभिन्न अपूर्णांक म्हणतात. वरील अपूर्णांकांशी समभिन्न असलेले आणखी तीन अपूर्णांक विचारात घ्या.

समभिन्न अपूर्णांक समजून घेणे

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \ldots, \dfrac{36}{72} \ldots$, हे सर्व समभिन्न अपूर्णांक आहेत. ते संपूर्णाचा समान भाग दर्शवतात.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

समभिन्न अपूर्णांक संपूर्णाचा समान भाग का दर्शवतात? आपण एक दुसऱ्यापासून कसे मिळवू शकतो?

आपण लक्षात घेतो $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}$. त्याचप्रमाणे, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{1}{2}$ आणि $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}$

दिलेल्या अपूर्णांकाचा समभिन्न अपूर्णांक शोधण्यासाठी, तुम्ही दिलेल्या अपूर्णांकाचा अंश आणि छेद दोन्ही समान संख्येने गुणू शकता.

रजनी म्हणते की $\dfrac{1}{3}$ चे समभिन्न अपूर्णांक आहेत :

$\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2}=\dfrac{2}{6}, \quad \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}, \quad \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{4}{12}$ आणि आणखी अनेक.

तुम्ही तिच्याशी सहमत आहात का? स्पष्ट करा.

हे प्रयत्न करा

1. खालील प्रत्येकाचे पाच समभिन्न अपूर्णांक शोधा:

(i) $\dfrac{2}{3}$

(ii) $\dfrac{1}{5}$

(iii) $\dfrac{3}{5}$

(iv) $\dfrac{5}{9}$

दुसरा मार्ग

समभिन्न अपूर्णांक मिळवण्याचा दुसरा मार्ग आहे का? आकृती 7.11 पहा.

यामध्ये समान संख्येने छायांकित गोष्टी समाविष्ट आहेत म्हणजे $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2}$

समभिन्न अपूर्णांक शोधण्यासाठी, आपण अंश आणि छेद दोन्ही समान संख्येने भागू शकतो.

$\dfrac{12}{15}$ चा एक समभिन्न अपूर्णांक $\dfrac{12 \div 3}{15 \div 3}=\dfrac{4}{5}$ आहे

तुम्ही $\dfrac{9}{15}$ चा छेद 5 असलेला समभिन्न अपूर्णांक शोधू शकता का?

उदाहरण 3 : $\dfrac{2}{5}$ चा अंश 6 असलेला समभिन्न अपूर्णांक शोधा.

उकल : आपल्याला माहित आहे $2 \times 3=6$. याचा अर्थ समभिन्न अपूर्णांक मिळवण्यासाठी आपल्याला अंश आणि छेद दोन्ही 3 ने गुणावे लागतील.

म्हणून, $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}=\dfrac{6}{15} ; \dfrac{6}{15}$ हा आवश्यक समभिन्न अपूर्णांक आहे.

तुम्ही हे चित्रात्मकपणे दाखवू शकता का?

उदाहरण 4 : $\dfrac{15}{35}$ चा छेद 7 असलेला समभिन्न अपूर्णांक शोधा.

उकल : आपल्याकडे $\dfrac{15}{35}=\dfrac{\large\Box}{7}$ आहे

आपण छेदाकडे लक्ष देतो आणि शोधतो $35 \div 5=7$. म्हणून, आपण $\dfrac{15}{35}$ चा अंश आणि छेद दोन्ही 5 ने भागतो.

अशाप्रकारे, $\dfrac{15}{35}=\dfrac{15 \div 5}{35 \div 5}=\dfrac{3}{7}$.

एक मनोरंजक तथ्य

चला आता समभिन्न अपूर्णांकांबद्दल एक मनोरंजक तथ्य लक्षात घेऊ. यासाठी, दिलेली सारणी पूर्ण करा. पहिल्या दोन ओळी आधीच तुमच्यासाठी पूर्ण केल्या आहेत.

आपण काय अनुमान काढतो? या सर्व प्रकरणांमध्ये पहिल्याचा अंश आणि दुसऱ्याचा छेद यांचा गुणाकार हा पहिल्याचा छेद आणि दुसऱ्याचा अंश यांच्या गुणाकाराइतका आहे. या दोन गुणाकारांना क्रॉस गुणाकार म्हणतात. इतर समभिन्न अपूर्णांकांच्या जोड्यांसाठी क्रॉस गुणाकार काढा. तुम्हाला अशी काही अपूर्णांक जोडी सापडते का ज्यासाठी क्रॉस गुणाकार समान नाहीत? समभिन्न अपूर्णांक शोधण्यात हा नियम उपयुक्त ठरतो.

उदाहरण 5 : $\dfrac{2}{9}$ चा छेद 63 असलेला समभिन्न अपूर्णांक शोधा.

उकल : आपल्याकडे $\dfrac{2}{9}=\dfrac{\large\Box}{63}$ आहे

यासाठी, आपल्याकडे $9 \times \large\Box=2 \times 63$ असावे.

पण $63=7 \times 9$, म्हणून $9 \times \large\Box=2 \times 7 \times 9=14 \times 9=9 \times 14$

किंवा $9 \times \large\Box=9 \times 14$

तुलना करून, $\large\Box=14$. म्हणून, $\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{63}$.

7.7 अपूर्णांकाचे सर्वात सोपे रूप

$\dfrac{36}{54}$ हा अपूर्णांक दिला आहे, चला एक समभिन्न अपूर्णांक मिळवण्याचा प्रयत्न करूया ज्यामध्ये अंश आणि छेद यांचा 1 व्यतिरिक्त कोणताही सामाईक अवयव नाही.

आपण ते कसे करतो? आपण पाहतो की 36 आणि 54 दोन्ही 2 ने विभाज्य आहेत.

$\dfrac{36}{54}=\dfrac{36 \div 2}{54 \div 2}=\dfrac{18}{27}$

पण 18 आणि 27 यांचेही एक व्यतिरिक्त इतर सामाईक अवयव आहेत.

सामाईक अवयव $1,3,9$ आहेत; सर्वात मोठा 9 आहे.

म्हणून, $\dfrac{18}{27}=\dfrac{18 \div 9}{27 \div 9}=\dfrac{2}{3}$

आता 2 आणि 3 यांचा 1 व्यतिरिक्त कोणताही सामाईक अवयव नाही; आपण म्हणतो की अपूर्णांक $\dfrac{2}{3}$ सर्वात सोप्या स्वरूपात आहे.

जर अपू