7.1 भूमिका

सुभाष ने कक्षा चार और पाँच में भिन्नों के बारे में सीखा था, इसलिए जब भी संभव होता वह भिन्नों का उपयोग करने की कोशिश करता था। एक अवसर तब आया जब वह अपना दोपहर का भोजन घर पर भूल गया। उसकी सहेली फ़रीदा ने उसे अपना भोजन साझा करने के लिए आमंत्रित किया। उसके लंच बॉक्स में पाँच पूरियाँ थीं। इसलिए, सुभाष और फ़रीदा ने दो-दो पूरियाँ लीं। फिर फ़रीदा ने पाँचवीं पूरी के दो बराबर हिस्से किए और एक आधा हिस्सा सुभाष को दे दिया और दूसरा आधा हिस्सा स्वयं ले लिया। इस प्रकार, सुभाष और फ़रीदा दोनों के पास 2 पूरी पूरियाँ और एक आधी पूरी थी।

2 पूरियाँ + आधी पूरी–सुभाष $\qquad$ $\qquad$ 2 पूरियाँ + आधी पूरी–फ़रीदा

आप अपने जीवन में भिन्नों वाले स्थितियों से कहाँ-कहाँ सामना करते हैं?

सुभाष जानता था कि एक आधा $\dfrac{1}{2}$ लिखा जाता है। खाते समय उसने अपनी आधी पूरी को और दो बराबर भागों में बाँटा और फ़रीदा से पूछा कि पूरी पूरी का वह टुकड़ा कितना भिन्न था? (चित्र 7.1)

बिना उत्तर दिए, फ़रीदा ने भी आधी पूरी के अपने हिस्से को दो बराबर भागों में बाँटा और उन्हें सुभाष के हिस्सों के पास रख दिया। उसने कहा कि ये चार बराबर भाग मिलकर एक पूरी बनाते हैं (चित्र 7.2)। इसलिए, प्रत्येक बराबर भाग एक पूरी पूरी का एक-चौथाई है और 4 भाग मिलकर $\dfrac{4}{4}$ या 1 पूरी पूरी होंगे।

जब उन्होंने खाया, तो उन्होंने चर्चा की कि उन्होंने पहले क्या सीखा था। 4 बराबर भागों में से तीन भाग $\dfrac{3}{4}$ है। इसी तरह, $\dfrac{3}{7}$ तब प्राप्त होता है जब हम एक पूरी को सात बराबर भागों में बाँटते हैं और तीन भाग लेते हैं (चित्र 7.3)। $\dfrac{1}{8}$ के लिए, हम एक पूरी को आठ बराबर भागों में बाँटते हैं और उसमें से एक भाग निकालते हैं (चित्र 7.4)।

फ़रीदा ने कहा कि हमने सीखा है कि एक भिन्न एक संख्या है जो एक पूर्ण के भाग का प्रतिनिधित्व करती है। पूर्ण एक वस्तु या वस्तुओं का समूह हो सकता है। सुभाष ने देखा कि भाग बराबर होने चाहिए।

7.2 एक भिन्न

आइए चर्चा को दोहराएँ।

एक भिन्न का अर्थ है एक समूह या एक क्षेत्र का भाग।

$\dfrac{5}{12}$ एक भिन्न है। हम इसे “पाँच-बारहवाँ” के रूप में पढ़ते हैं।

“12” क्या दर्शाता है? यह उन बराबर भागों की संख्या है जिनमें पूर्ण को बाँटा गया है।

“5” क्या दर्शाता है? यह उन बराबर भागों की संख्या है जिन्हें निकाला गया है।

यहाँ 5 को अंश कहा जाता है और 12 को हर कहा जाता है।

$\dfrac{3}{7}$ के अंश और $\dfrac{4}{15}$ के हर का नाम बताइए।

इस खेल को खेलिए

आप इस खेल को अपने दोस्तों के साथ खेल सकते हैं।

यहाँ दिखाए गए ग्रिड की कई प्रतियाँ लीजिए।

किसी भिन्न पर विचार कीजिए, मान लीजिए $\dfrac{1}{2}$।

आप में से प्रत्येक को ग्रिड का $\dfrac{1}{2}$ भाग रंगना चाहिए।

प्रश्नावली 7.1

1. छायांकित भाग को दर्शाने वाली भिन्न लिखिए।

2. दी गई भिन्न के अनुसार भाग को रंगिए।

3. त्रुटि, यदि कोई हो, तो पहचानिए।

4. 8 घंटे एक दिन का कितना भिन्न है?

5. 40 मिनट एक घंटे का कितना भिन्न है?

6. आर्य, अभिमन्यु और विवेक ने लंच साझा किया। आर्य दो सैंडविच लाया, एक सब्जी का बना हुआ और एक जैम का। अन्य दो लड़के अपना लंच लाना भूल गए। आर्य ने अपने सैंडविच साझा करने पर सहमति व्यक्त की ताकि प्रत्येक व्यक्ति को प्रत्येक सैंडविच का बराबर हिस्सा मिले।

(क) आर्य अपने सैंडविच को कैसे बाँटे कि प्रत्येक व्यक्ति को बराबर हिस्सा मिले?
(ख) प्रत्येक लड़के को एक सैंडविच का कितना भाग प्राप्त होगा?

7. कंचन ड्रेस रंगती है। उसे 30 ड्रेस रंगनी थीं। अब तक उसने 20 ड्रेस रंग ली हैं। उसने कितने भिन्न ड्रेस रंग ली हैं?

8. 2 से 12 तक की प्राकृत संख्याएँ लिखिए। उनमें से कितने भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं?

9. 102 से 113 तक की प्राकृत संख्याएँ लिखिए। उनमें से कितने भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं?

10. इन वृत्तों में से कितने भिन्न में X हैं?

11. क्रिस्टिन को अपने जन्मदिन पर एक CD प्लेयर मिला। उसने 3 CD खरीदे और 5 अन्य उपहार के रूप में प्राप्त किए। उसने अपने कुल CD का कितना भिन्न खरीदा और कितना भिन्न उपहार के रूप में प्राप्त किया?

7.3 संख्या रेखा पर भिन्न

आपने $0,1,2 \ldots$ जैसी पूर्ण संख्याओं को संख्या रेखा पर दिखाना सीखा है।

हम भिन्नों को भी संख्या रेखा पर दिखा सकते हैं। आइए एक संख्या रेखा खींचें और उस पर $\dfrac{1}{2}$ को अंकित करने का प्रयास करें।

हम जानते हैं कि $\dfrac{1}{2}$, 0 से बड़ा और 1 से छोटा है, इसलिए यह 0 और 1 के बीच में स्थित होना चाहिए।

चूँकि हमें $\dfrac{1}{2}$ दिखाना है, हम 0 और 1 के बीच के अंतराल को दो बराबर भागों में बाँटते हैं और 1 भाग को $\dfrac{1}{2}$ के रूप में दिखाते हैं (जैसा कि चित्र 7.5 में दिखाया गया है)।

मान लीजिए हम $\dfrac{1}{3}$ को संख्या रेखा पर दिखाना चाहते हैं। 0 और 1 के बीच की लंबाई को कितने बराबर भागों में बाँटा जाना चाहिए? हम 0 और 1 के बीच की लंबाई को 3 बराबर भागों में बाँटते हैं और एक भाग को $\dfrac{1}{3}$ के रूप में दिखाते हैं (जैसा कि चित्र 7.6 में दिखाया गया है)

क्या हम $\dfrac{2}{3}$ को इस संख्या रेखा पर दिखा सकते हैं? $\dfrac{2}{3}$ का अर्थ है 3 भागों में से 2 भाग जैसा कि दिखाया गया है (चित्र 7.7)।

इसी तरह, आप $\dfrac{0}{3}$ आजमाइए $C$ और $\dfrac{3}{3}$ को इस संख्या रेखा पर कैसे दिखाएँगे? 1. $\dfrac{3}{5}$ को संख्या रेखा पर दिखाइए।

$\dfrac{0}{3}$ बिंदु शून्य है जबकि चूँकि $\dfrac{3}{3}$ 1 पूर्ण है, इसे बिंदु 1 द्वारा दिखाया जा सकता है (जैसा कि चित्र 7.7 में दिखाया गया है)

इसलिए यदि हमें $\dfrac{3}{7}$ को संख्या रेखा पर दिखाना है, तो 0 और 1 के बीच की लंबाई को कितने बराबर भागों में बाँटा जाना चाहिए? यदि $P$ $\dfrac{3}{7}$ दिखाता है तो 0 और $P$ के बीच कितने बराबर विभाजन हैं? $\dfrac{0}{7}$ और $\dfrac{7}{7}$ कहाँ स्थित हैं?

आजमाइए

1. $\dfrac{3}{5}$ को संख्या रेखा पर दिखाइए।

2. $\dfrac{1}{10}, \dfrac{0}{10}, \dfrac{5}{10}$ और $\dfrac{10}{10}$ को संख्या रेखा पर दिखाइए।

3. क्या आप 0 और 1 के बीच कोई अन्य भिन्न दिखा सकते हैं? पाँच और भिन्न लिखिए जिन्हें आप दिखा सकते हैं और उन्हें संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए।

4. 0 और 1 के बीच कितने भिन्न स्थित हैं? सोचिए, चर्चा कीजिए और अपना उत्तर लिखिए।

7.4 उचित भिन्न

अब आपने सीख लिया है कि भिन्नों को संख्या रेखा पर कैसे स्थित किया जाता है। भिन्नों $\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{0}{3}, \dfrac{5}{8}$ को अलग-अलग संख्या रेखाओं पर स्थित कीजिए।

क्या इनमें से कोई भिन्न 1 से आगे स्थित है?

ये सभी भिन्न 1 के बाईं ओर स्थित हैं क्योंकि वे 1 से छोटे हैं।

वास्तव में, अब तक हमने जितने भी भिन्न सीखे हैं, वे सभी 1 से छोटे हैं। ये उचित भिन्न हैं। जैसा कि फ़रीदा ने कहा (अनुभाग 7.1), एक उचित भिन्न एक संख्या है जो एक पूर्ण के भाग का प्रतिनिधित्व करती है। एक उचित भिन्न में हर दर्शाता है कि पूर्ण को कितने भागों में बाँटा गया है और अंश दर्शाता है कि कितने भागों पर विचार किया गया है। इसलिए, एक उचित भिन्न में अंश हमेशा हर से छोटा होता है।

आजमाइए

1. एक उचित भिन्न दीजिए:

(क) जिसका अंश 5 और हर 7 है।

(ख) जिसका हर 9 और अंश 5 है।

(ग) जिसके अंश और हर का योग 10 है। इस प्रकार के आप कितने भिन्न बना सकते हैं?

(घ) जिसका हर अंश से 4 अधिक है।

(कोई पाँच दीजिए। आप और कितने बना सकते हैं?)

2. एक भिन्न दी गई है।

आप केवल देखकर कैसे तय करेंगे कि क्या भिन्न

(क) 1 से छोटी है?

(ख) 1 के बराबर है?

3. इनमें से एक का उपयोग करके रिक्त स्थान भरिए: ‘>’, ’ $<$ ’ या ‘=’

(क) $\dfrac{1}{2} \large\Box 1$

(ख) $\dfrac{3}{5} \large\Box 1$

(ग) $1 \large\Box \dfrac{7}{8}$

(घ) $\dfrac{4}{4} \large\Box 1$

(ङ) $\dfrac{2005}{2005} \large\Box 1$

7.5 अनुचित और मिश्रित भिन्न

आनघा, रवि, रेशमा और जॉन ने अपना टिफ़िन साझा किया। अपने भोजन के साथ, वे 5 सेब भी लाए थे। अन्य भोजन खाने के बाद, चारों दोस्त सेब खाना चाहते थे।

वे पाँच सेबों को चारों में कैसे बाँट सकते हैं?

आनघा ने कहा, ‘हम में से प्रत्येक को एक पूरा सेब और पाँचवें सेब का एक चौथाई हिस्सा मिले।’

रेशमा ने कहा, ‘यह ठीक है, लेकिन हम पाँचों सेबों में से प्रत्येक को 4 बराबर भागों में भी बाँट सकते हैं और प्रत्येक सेब से एक-चौथाई ले सकते हैं।’

रवि ने कहा, ‘बाँटने के दोनों तरीकों में हम में से प्रत्येक को समान हिस्सा मिलेगा, यानी 5 चौथाई। चूँकि 4 चौथाई एक पूर्ण बनाते हैं, हम यह भी कह सकते हैं कि हम में से प्रत्येक को 1 पूर्ण और एक चौथाई मिलेगा। प्रत्येक हिस्से का मान पाँच को चार से विभाजित करने पर प्राप्त होगा। क्या इसे $5 \div 4$ लिखा जाता है?’ जॉन ने कहा, ‘हाँ, वही जो $\dfrac{5}{4}$ है’। रेशमा ने जोड़ा कि $\dfrac{5}{4}$ में, अंश हर से बड़ा है। वे भिन्न, जिनमें अंश हर से बड़ा होता है, अनुचित भिन्न कहलाते हैं। इस प्रकार, $\dfrac{3}{2}, \dfrac{12}{7}, \dfrac{18}{5}$ जैसे भिन्न सभी अनुचित भिन्न हैं।

1. हर 7 वाले पाँच अनुचित भिन्न लिखिए।
2. अंश 11 वाले पाँच अनुचित भिन्न लिखिए।

रवि ने जॉन को याद दिलाया, ‘हिस्सा लिखने का दूसरा तरीका क्या है? क्या यह आनघा के पाँच सेब बाँटने के तरीके से मिलता है?’

जॉन ने सिर हिलाया, ‘हाँ, यह वास्तव में आनघा के तरीके से मिलता है। उसके तरीके में, प्रत्येक हिस्सा एक पूर्ण और एक चौथाई है। यह $1+\dfrac{1}{4}$ है और संक्षेप में $1 \dfrac{1}{4}$ लिखा जाता है। याद रखिए, $1 \dfrac{1}{4}$ $\dfrac{5}{4}$ के समान है।

फ़रीदा द्वारा खाई गई पूरियों को याद कीजिए। उसे $2 \dfrac{1}{2}$ पूरियाँ मिलीं (चित्र 7.9), अर्थात

$2 \dfrac{1}{2}$ में कितने छायांकित अर्धभाग हैं? 5 छायांकित अर्धभाग हैं।

इसलिए, भिन्न को $\dfrac{5}{2} .2 \dfrac{1}{2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है $\dfrac{5}{2}$ के समान है।

$1 \dfrac{1}{4}$ और $2 \dfrac{1}{2}$ जैसे भिन्नों को मिश्रित भिन्न कहा जाता है। एक मिश्रित भिन्न में एक पूर्ण और एक भाग का संयोजन होता है।

आप मिश्रित भिन्नों से कहाँ-कहाँ सामना करते हैं? कुछ उदाहरण दीजिए।

क्या आप जानते हैं?

टेनिस रैकेट के ग्रिप-साइज़ अक्सर मिश्रित संख्याओं में होते हैं। उदाहरण के लिए एक साइज़ ‘$3 \dfrac{7}{8}$ इंच’ है और ‘$4 \dfrac{3}{8}$ इंच’ दूसरी है।

उदाहरण 1 : निम्नलिखित को मिश्रित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(क) $\dfrac{17}{4}$

(ख) $\dfrac{11}{3}$

(ग) $\dfrac{27}{5}$

(घ) $\dfrac{7}{3}$

हल

(क) $\dfrac{17}{4}$

$4) \dfrac{\dfrac{4}{17}}{\dfrac{16}{1}}$

अर्थात 4 पूर्ण और $\dfrac{1}{4}$ अधिक, या $4\dfrac{1}{4}$

(ख) $\dfrac{11}{3}$

$4) \dfrac{\dfrac{3}{11}}{\dfrac{9}{2}}$

अर्थात 3 पूर्ण और $\dfrac{2}{3}$ अधिक, या $3 \dfrac{2}{3}$

$[$ वैकल्पिक रूप से, $.\dfrac{11}{3}=\dfrac{9+2}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{2}{3}=3+\dfrac{2}{3}=3 \dfrac{2}{3}]$

(ग) और (घ) को स्वयं दोनों विधियों का उपयोग करके आजमाइए।

इस प्रकार, हम एक अनुचित भिन्न को भागफल और शेषफल प्राप्त करने के लिए अंश को हर से विभाजित करके एक मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। तब मिश्रित भिन्न भागफल $\dfrac{\text{ Remainder }}{\text{ Divisor }}$ के रूप में लिखी जाएगी।

उदाहरण 2 : निम्नलिखित मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(क) $2 \dfrac{3}{4}$

(ख) $7 \dfrac{1}{9}$

(ग) $5 \dfrac{3}{7}$

हल : (क) $2 \dfrac{3}{4}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2 \times 4}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}$

(ख) $7 \dfrac{1}{9}=\dfrac{(7 \times 9)+1}{9}=\dfrac{64}{9}$

(ग) $5 \dfrac{3}{7}=\dfrac{(5 \times 7)+3}{7}=\dfrac{38}{7}$

इस प्रकार, हम एक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं

$\dfrac{(\text{Whole} \times \text{Denominator}) + \text{Numerator}} {\text{Denominator}}$

प्रश्नावली 7.2

1. संख्या रेखाएँ खींचिए और उन पर बिंदुओं को स्थित कीजिए:

(क) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{4}$

(ख) $\dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{7}{8}$

(ग) $\dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{4}{5}$

2. निम्नलिखित को मिश्रित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(क) $\dfrac{20}{3}$

(ख) $\dfrac{11}{5}$

(ग) $\dfrac{17}{7}$

(घ) $\dfrac{28}{5}$

(ङ) $\dfrac{19}{6}$

(च) $\dfrac{35}{9}$

3. निम्नलिखित को अनुचित भिन्नों के रूप में व्यक्त कीजिए:

(क) $7 \dfrac{3}{4}$

(ख) $5 \dfrac{6}{7}$

(ग) $2 \dfrac{5}{6}$

(घ) $10 \dfrac{3}{5}$

(ङ) $9 \dfrac{3}{7}$

(च) $8 \dfrac{4}{9}$

7.6 समतुल्य भिन्न

भिन्न के इन सभी निरूपणों को देखिए (चित्र 7.10)।

ये भिन्न $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}$ हैं, जो कुल भागों में से लिए गए भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि हम एक के चित्रात्मक निरूपण को दूसरे के ऊपर रखते हैं तो वे समान पाए जाते हैं। क्या आप सहमत हैं?

आजमाइए

1. क्या $\dfrac{1}{3}$ और $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{5}$ तथा $\dfrac{2}{7} ; \dfrac{2}{9}$ और $\dfrac{6}{27}$ समतुल्य हैं? कारण दीजिए।

2. चार समतुल्य भिन्नों के उदाहरण दीजिए।

3. प्रत्येक में भिन्नों की पहचान कीजिए। क्या ये भिन्न समतुल्य हैं?

इन भिन्नों को समतुल्य भिन्न कहा जाता है। उपरोक्त भिन्नों के समतुल्य तीन और भिन्नों के बारे में सोचिए।

समतुल्य भिन्नों को समझना

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \ldots, \dfrac{36}{72} \ldots$, सभी समतुल्य भिन्न हैं। वे एक पूर्ण के समान भाग का प्रतिनिधित्व करते हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

समतुल्य भिन्न एक पूर्ण के समान भाग का प्रतिनिधित्व क्यों करते हैं? हम एक को दूसरे से कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

हम ध्यान देते हैं $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}$। इसी तरह, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{1}{2}$ और $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1 \times 4}{2 \times 4}$

किसी दिए गए भिन्न का एक समतुल्य भिन्न ज्ञात करने के लिए, आप दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं।

रजनी कहती है कि $\dfrac{1}{3}$ के समतुल्य भिन्न हैं:

$\dfrac{1 \times 2}{3 \times 2}=\dfrac{2}{6}, \quad \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}, \quad \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{4}{12}$ और बहुत से और।

क्या आप उससे सहमत हैं? समझाइए।

आजमाइए

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक के पाँच समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए:

(i) $\dfrac{2}{3}$

(ii) $\dfrac{1}{5}$

(iii) $\dfrac{3}{5}$

(iv) $\dfrac{5}{9}$

दूसरा तरीका

क्या समतुल्य भिन्न प्राप्त करने का कोई अन्य तरीका है? चित्र 7.11 देखिए।

इनमें छायांकित वस्तुओं की समान संख्या शामिल है अर्थात $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2}$

एक समतुल्य भिन्न ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से विभाजित कर सकते हैं।

$\dfrac{12}{15}$ का एक समतुल्य भिन्न $\dfrac{12 \div 3}{15 \div 3}=\dfrac{4}{5}$ है

क्या आप $\dfrac{9}{15}$ का हर 5 वाला एक समतुल्य भिन्न ज्ञात कर सकते हैं?

उदाहरण 3 : $\dfrac{2}{5}$ का अंश 6 वाला समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल : हम जानते हैं $2 \times 3=6$। इसका अर्थ है कि समतुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए हमें अंश और हर दोनों को 3 से गुणा करना होगा।

अतः, $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}=\dfrac{6}{15} ; \dfrac{6}{15}$ अभीष्ट समतुल्य भिन्न है।

क्या आप इसे चित्रात्मक रूप से दिखा सकते हैं?

उदाहरण 4 : $\dfrac{15}{35}$ का हर 7 वाला समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल : हमारे पास $\dfrac{15}{35}=\dfrac{\large\Box}{7}$ है

हम हर देखते हैं और पाते हैं $35 \div 5=7$। इसलिए, हम $\dfrac{15}{35}$ के अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करते हैं।

इस प्रकार, $\dfrac{15}{35}=\dfrac{15 \div 5}{35 \div 5}=\dfrac{3}{7}$।

एक रोचक तथ्य

आइए अब समतुल्य भिन्नों के बारे में एक रोचक तथ्य नोट करें। इसके लिए, दी गई तालिका को पूरा कीजिए। पहली दो पंक्तियाँ आपके लिए पहले ही पूरी कर दी गई हैं।

हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? इन सभी मामलों में पहले के अंश और दूसरे के हर का गुणनफल पहले के हर और दूसरे के अंश के गुणनफल के बराबर है। इन दोनों गुणनफलों को वज्र-गुणन कहा जाता है। अन्य समतुल्य भिन्नों के जोड़े के लिए वज्र-गुणन कीजिए। क्या आपको कोई ऐसा भिन्नों का जोड़ा मिलता है जिसके लिए वज्र-गुणन समान नहीं हैं? यह नियम समतुल्य भिन्न ज्ञात करने में सहायक है।

उदाहरण 5 : $\dfrac{2}{9}$ का हर 63 वाला समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए।

हल : हमारे पास $\dfrac{2}{9}=\dfrac{\large\Box}{63}$ है

इसके लिए, हमारे पास होना चाहिए, $9 \times \large\Box=2 \times 63$।

लेकिन $63=7 \times 9$, इसलिए $9 \times \large\Box=2 \times 7 \times 9=14 \times 9=9 \times 14$

या $9 \times \large\Box=9 \times 14$

तुलना करने पर, $\large\Box=14$। इसलिए, $\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{63}$।

7.7 एक भिन्न का सरलतम रूप

भिन्न $\dfrac{36}{54}$ दिया गया है, आइए एक समतुल्य भिन्न प्राप्त करने का प्रयास करें जिसमें अंश और हर का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

हम यह कैसे करते हैं? हम देखते हैं कि 36 और 54 दोनों 2 से विभाज्य हैं।

$\dfrac{36}{54}=\dfrac{36 \div 2}{54 \div 2}=\dfrac{18}{27}$

लेकिन 18 और 27 का भी एक के अलावा अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं।

उभयनिष्ठ गुणनखंड $1,3,9$ हैं; सबसे बड़ा 9 है।

इसलिए, $\dfrac{18}{27}=\dfrac{18 \div 9}{27 \div 9}=\dfrac{2}{3}$

अब 2 और 3 का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है; हम कहते हैं कि भिन्न $\dfrac{2}{3}$ सरलतम रूप में है।

एक भिन्न को सरलतम (या निम्नतम) रूप में कहा जाता है यदि उसके अंश और हर का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

सबसे छोटा तरीका

सरलतम रूप में समतुल्य भिन्न ज्ञात करने का सबसे छोटा तरीका अंश और हर का $HCF$ ज्ञात करना है, और फिर दोनों को HCF से विभाजित करना है।

एक खेल

यहाँ दिए गए समतुल्य भिन्न काफी रोचक हैं। उनमें से प्रत्येक एक बार 1 से 9 तक के सभी अंकों का उपयोग करता है!

$\text{ }$ $ \begin{aligned} & \dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{58}{174} \\ \\ & \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{79}{158} \end{aligned} $

ऐसे दो और समतुल्य भिन्न ज्ञात करने का प्रयास कीजिए।

$\dfrac{36}{24}$ पर विचार कीजिए।

36 और 24 का HCF 12 है।

इसलिए, $\dfrac{36}{24}=\dfrac{36 \div 12}{24 \div 12}=\dfrac{3}{2}$।

भिन्न $\dfrac{3}{2}$ निम्नतम रूप में है।

इस प्रकार, HCF हमें एक भिन्न को उसके निम्नतम रूप में घटाने में मदद करता है।

आजमाइए

1. का सरलतम रूप लिखिए:

(i) $\dfrac{15}{75}$

(ii) $\dfrac{16}{72}$

(iii) $\dfrac{17}{51}$

(iv) $\dfrac{42}{28}$

(v) $\dfrac{80}{24}$

2. क्या $\dfrac{49}{64}$ अपने सरलतम रूप में