4.1 تعارف

ہندسیات کی تاریخ بہت پرانی اور مالا مال ہے۔ ‘Geometry’ کی اصطلاح یونانی لفظ ‘Geometron’ کا انگریزی متبادل ہے۔ ‘Geo’ کا مطلب ہے زمین اور ‘metron’ کا مطلب ہے پیمائش۔ مورخین کے مطابق، ہندسی تصورات قدیم زمانے میں تشکیل پائے، شاید فن، تعمیرات اور پیمائش کی ضرورت کی وجہ سے۔ ان میں وہ مواقع بھی شامل ہیں جب کاشت شدہ زمینوں کی حدود کو شکایت کی گنجائش دیے بغیر نشان زد کرنا پڑتا تھا۔ شاندار محلات، مندروں، جھیلوں، بندوں اور شہروں کی تعمیر، فن اور تعمیرات نے ان تصورات کو پروان چڑھایا۔ آج بھی ہندسی تصورات فن کی تمام اقسام،

پیمائش، تعمیرات، انجینئرنگ، کپڑوں کی ڈیزائننگ وغیرہ میں جھلکتے ہیں۔ آپ مختلف اشیاء جیسے ڈبے، میزیں، کتابیں، وہ ٹفن باکس جسے آپ دوپہر کے کھانے کے لیے اپنے اسکول لے کر جاتے ہیں، وہ گیند جس سے آپ کھیلتے ہیں وغیرہ کو دیکھتے اور استعمال کرتے ہیں۔ ایسی تمام اشیاء کے مختلف اشکال ہوتے ہیں۔ وہ پیمانہ جو آپ استعمال کرتے ہیں، وہ پنسل جس سے آپ لکھتے ہیں سیدھی ہوتی ہیں۔ چوڑی، ایک روپے کا سکہ یا گیند کی تصویریں گول دکھائی دیتی ہیں۔

یہاں، آپ کچھ دلچسپ حقائق سیکھیں گے جو آپ کو اپنے اردگرد کی اشکال کے بارے میں مزید جاننے میں مدد کریں گے۔

4.2 نقطے

پنسل کی تیز نوک سے کاغذ پر ایک نقطہ لگائیں۔ نوک جتنی تیز ہوگی، نقطہ اتنا ہی باریک ہوگا۔ یہ تقریباً نظر نہ آنے والا چھوٹا سا نقطہ آپ کو ایک نقطے کا تصور دے گا۔

ایک نقطہ ایک مقام کا تعین کرتا ہے۔

یہ ایک نقطے کے لیے کچھ نمونے ہیں:

اگر آپ کاغذ پر تین نقطے نشان زد کریں، تو آپ کو ان میں فرق کرنا پڑے گا۔ اس کے لیے انہیں ظاہر کیا جاتا ہے

یہ نقطے نقطہ A، نقطہ B اور نقطہ C کے طور پر پڑھے جائیں گے۔

بلاشبہ، نقطے اتنے باریک ہونے چاہئیں کہ نظر نہ آئیں۔

یہ کریں

1. پنسل کی تیز نوک سے کاغذ پر چار نقطے لگائیں اور انہیں حروف A,C,P,H سے نام دیں۔ ان نقطوں کو مختلف طریقوں سے نام دینے کی کوشش کریں۔ ایک ایسا طریقہ یہ ہو سکتا ہے

2. آسمان کا ایک ستارہ بھی ہمیں ایک نقطے کا تصور دیتا ہے۔ اپنی روزمرہ زندگی میں کم از کم پانچ ایسے مواقع کی شناخت کریں۔

4.3 خطی قطعہ

کاغذ کا ایک ٹکڑا موڑیں اور پھر کھولیں۔ کیا آپ کو ایک تہ دکھائی دیتی ہے؟ یہ ایک خطی قطعے کا تصور دیتی ہے۔ اس کے دو سرے نقطے A اور B ہیں۔

ایک باریک دھاگہ لیں۔ اس کے دونوں سروں کو پکڑیں اور بغیر ڈھیلے کے کھینچیں۔ یہ ایک خطی قطعے کی نمائندگی کرتا ہے۔ ہاتھوں سے پکڑے گئے سروں کے نقطے خطی قطعے کے سرے نقطے ہیں۔

درج ذیل خطی قطعے کے لیے کچھ نمونے ہیں:

اپنے اردگرد سے خطی قطعوں کی مزید مثالیں تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

کاغذ کی شیٹ پر کوئی دو نقطے A اور B نشان زد کریں۔ A کو B سے تمام ممکنہ راستوں سے جوڑنے کی کوشش کریں۔ (شکل 4.1)

$A$ سے $B$ تک کا مختصر ترین راستہ کون سا ہے؟

نقطہ $A$ سے نقطہ $B$ تک ($A$ اور $B$ سمیت) یہاں دکھایا گیا یہ مختصر ترین جوڑ ایک خطی قطعہ ہے۔ اسے $\overline{AB}$ یا $\overline{BA}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ نقطے $A$ اور $B$ قطعے کے سرے نقطے کہلاتے ہیں۔

یہ کریں

1. شکل 4.2 میں خطی قطعوں کے نام بتائیں۔ کیا $A$، ہر خطی قطعے کا سرا نقطہ ہے؟

4.4 خط

تصور کریں کہ خطی قطعہ $A$ سے $B$ تک (یعنی $\overline{AB}$) کو $A$ سے آگے ایک سمت میں اور $B$ سے آگے دوسری سمت میں بغیر کسی اختتام کے بڑھا دیا جاتا ہے (شکل دیکھیں)۔ اب آپ کو ایک خط کا نمونہ ملتا ہے۔

کیا آپ کو لگتا ہے کہ آپ ایک خط کی مکمل تصویر بنا سکتے ہیں؟ نہیں۔ (کیوں؟)

دو نقطوں $A$ اور $B$ سے گزرنے والے خط کو $\overline{{}A B}$ لکھا جاتا ہے۔ یہ دونوں سمتوں میں لامحدود طور پر پھیلا ہوا ہے۔ اس لیے اس میں نقطوں کی ایک بے شمار تعداد ہوتی ہے۔ (اس کے بارے میں سوچیں)۔

ایک خط کو مقرر کرنے کے لیے دو نقطے کافی ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ ‘دو نقطے ایک خط کا تعین کرتے ہیں’۔

ملحقہ شکل (شکل 4.3) ایک خط PQ کی ہے جسے $\overline{PQ}$ لکھا جاتا ہے۔ کبھی کبھی ایک خط کو ایک حرف جیسے $l, m$ سے بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔

4.5 متقاطع خطوط

شکل (شکل 4.4) کو دیکھیں۔ دو خطوط $l_1$ اور $l_2$ دکھائے گئے ہیں۔ دونوں خطوط نقطہ $P$ سے گزرتے ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ $l_1$ اور $l_2$ نقطہ $P$ پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔ اگر دو خطوط کا ایک مشترکہ نقطہ ہو، تو انہیں متقاطع خطوط کہا جاتا ہے۔

درج ذیل متقاطع خطوط کے ایک جوڑے کے کچھ نمونے ہیں (شکل 4.5):

متقاطع خطوط کے ایک جوڑے کے لیے کچھ اور نمونے تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

یہ کریں

کاغذ کی ایک شیٹ لیں۔ متقاطع خطوط کے ایک جوڑے کی نمائندگی کرنے کے لیے دو تہیں بنائیں (اور انہیں دبا کر نشان ڈالیں) اور بحث کریں:

(الف) کیا دو خطوط ایک سے زیادہ نقطوں پر ایک دوسرے کو قطع کر سکتے ہیں؟
(ب) کیا ایک نقطے پر دو سے زیادہ خطوط ایک دوسرے کو قطع کر سکتے ہیں؟

4.6 متوازی خطوط

آئیے اس میز کو دیکھتے ہیں (شکل 4.6)۔ اوپر کا حصہ ABCD ہموار ہے۔ کیا آپ کچھ نقطے اور خطی قطعے دیکھنے کے قابل ہیں؟

کیا وہاں متقاطع خطی قطعے ہیں؟

ہاں، AB اور BC نقطہ B پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔

کون سے خطی قطعے نقطہ A پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں؟ نقطہ C پر؟ نقطہ D پر؟

کیا خطوط AD اور CD ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں؟

کیا خطوط $\overline{AD}$ اور $\overline{BC}$ ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں؟

آپ دیکھیں گے کہ میز کی سطح پر ایسے خطی قطعے ہیں جو ملتے نہیں ہیں، چاہے انہیں کتنا ہی بڑھا دیا جائے۔ $\overline{{}AD}$ اور $\overline{BC}$ ایسا ہی ایک جوڑا بناتے ہیں۔ کیا آپ میز کے اوپری حصے پر متوازی خطوط (جو نہیں ملتے) کا ایک اور ایسا جوڑا شناخت کر سکتے ہیں؟

ایسے خطوط جو نہیں ملتے انہیں متوازی کہا جاتا ہے؛ اور انہیں متوازی خطوط کہتے ہیں۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

آپ متوازی خطوط اور کہاں دیکھتے ہیں؟ دس مثالیں تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

اگر دو خطوط $\overline{{}AB}$ اور $\overline{{}CD}$ متوازی ہوں، تو ہم $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ لکھتے ہیں۔

اگر دو خطوط $l_1$ اور $l_2$ متوازی ہوں، تو ہم $l_1 \| l_2$ لکھتے ہیں۔

کیا آپ درج ذیل اشکال میں متوازی خطوط کی شناخت کر سکتے ہیں؟

4.7 شعاع

ایک شعاع کے لیے درج ذیل کچھ نمونے ہیں:

شعاع خط کا ایک حصہ ہوتی ہے۔ یہ ایک نقطے (جسے نقطہ آغاز یا ابتدائی نقطہ کہتے ہیں) سے شروع ہوتی ہے اور ایک سمت میں لامحدود طور پر جاتی ہے۔

یہاں دکھائی گئی شعاع کی شکل (شکل 4.7) کو دیکھیں۔ شعاع پر دو نقطے دکھائے گئے ہیں۔ وہ ہیں (الف) A، نقطہ آغاز (ب) $P$، شعاع کے راستے پر ایک نقطہ۔

ہم اسے $\overline{{}AP}$ سے ظاہر کرتے ہیں۔

یہ کریں

1. اس تصویر (شکل 4.8) میں دی گئی شعاعوں کے نام بتائیں۔

2. کیا $T$ ان میں سے ہر شعاع کا نقطہ آغاز ہے؟

شکل 4.8

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

اگر $\overline{{}PQ}$ ایک شعاع ہے،

(الف) اس کا نقطہ آغاز کیا ہے؟

(ب) نقطہ $Q$ شعاع پر کہاں واقع ہے؟

(ج) کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ $Q$ اس شعاع کا نقطہ آغاز ہے؟

یہاں ایک شعاع $\overline{{}OA}$ ہے (شکل 4.9)۔ یہ $O$ سے شروع ہوتی ہے اور نقطہ $A$ سے گزرتی ہے۔ یہ نقطہ $B$ سے بھی گزرتی ہے۔

کیا آپ اسے $\overline{{}OB}$ بھی کہہ سکتے ہیں؟ کیوں؟

$\overline{{}OA}$ اور $\overline{{}OB}$ یہاں ایک جیسی ہیں۔

کیا ہم $\overline{{}OA}$ کو $\overline{{}AO}$ لکھ سکتے ہیں؟ کیوں یا کیوں نہیں؟

پانچ شعاعیں بنائیں اور ان کے لیے مناسب نام لکھیں۔

ان میں سے ہر شعاع پر تیر کیا ظاہر کرتے ہیں؟

مشق 4.1

1. شکل کو استعمال کرتے ہوئے نام بتائیں:

(الف) پانچ نقطے
(ب) ایک خط
(ج) چار شعاعیں
(د) پانچ خطی قطعے

2. دیے گئے چار حروف میں سے ہر بار صرف دو حروف منتخب کرتے ہوئے، خط کو تمام ممکن (بارہ) طریقوں سے نام دیں۔

3. شکل کو استعمال کرتے ہوئے نام بتائیں:

(الف) وہ خط جس میں نقطہ $E$ ہو۔
(ب) وہ خط جو A سے گزرتا ہو۔
(ج) وہ خط جس پر O واقع ہو۔
(د) متقاطع خطوط کے دو جوڑے۔

4. کتنے خطوط (الف) ایک دیے گئے نقطے سے گزر سکتے ہیں؟ (ب) دو دیے گئے نقطوں سے گزر سکتے ہیں؟

5. ایک خاکہ بنائیں اور درج ذیل ہر صورت میں مناسب طور پر لیبل لگائیں:

(الف) نقطہ $P$ خط $\overline{AB}$ پر واقع ہے۔
(ب) $\overline{XY}$ اور $\overline{PQ}$ نقطہ $M$ پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔
(ج) خط $l$ میں $E$ اور $F$ شامل ہیں لیکن $D$ شامل نہیں ہے۔
(د) $\overline{OP}$ اور $\overline{OQ}$ نقطہ $O$ پر ملتے ہیں۔

6. خط $\overline{{}MN}$ کی درج ذیل شکل پر غور کریں۔ دیے گئے بیانات کو دی گئی شکل کے تناظر میں درست یا غلط بتائیں۔

(الف) Q, M, O, N, P خط $\overline{{}MN}$ پر واقع نقطے ہیں۔
(ب) $M, O, N$ خطی قطعہ $\overline{MN}$ پر واقع نقطے ہیں۔
(ج) $M$ اور $N$ خطی قطعہ $\overline{MN}$ کے سرے نقطے ہیں۔
(د) $O$ اور $N$ خطی قطعہ $\overline{OP}$ کے سرے نقطے ہیں۔
(ہ) $M$ خطی قطعہ $\overline{QO}$ کے سرے نقطوں میں سے ایک ہے۔
(و) $M$ شعاع $\overline{{}OP}$ پر واقع ایک نقطہ ہے۔
(ز) شعاع $\overline{{}OP}$ شعاع $\overline{{}QP}$ سے مختلف ہے۔
(ح) شعاع $\overline{{}OP}$ شعاع $\overline{{}OM}$ کے برابر ہے۔
(ط) شعاع $\overline{{}OM}$ شعاع $\overline{{}OP}$ کے مخالف نہیں ہے۔
(ی) $O$ شعاع $\overline{{}OP}$ کا نقطہ آغاز نہیں ہے۔
(ک) $N$ شعاع $\overline{{}NP}$ اور $\overline{{}NM}$ کا نقطہ آغاز ہے۔

4.8 منحنی خطوط

کیا آپ نے کبھی کاغذ کا ایک ٹکڑا لیا ہے اور صرف ڈوڈل بنائے ہیں؟ آپ کی ڈوڈلنگ کے نتیجے میں بننے والی تصویریں منحنی خطوط کہلاتی ہیں۔

آپ ان میں سے کچھ ڈرائنگز کو پنسل کو کاغذ سے اٹھائے بغیر اور پیمانے کے استعمال کے بغیر بنا سکتے ہیں۔ یہ سب منحنی خطوط ہیں (شکل 4.10)۔

روزمرہ کے استعمال میں ‘منحنی خط’ کا مطلب ہے “سیدھا نہیں”۔ ریاضی میں، ایک منحنی خط سیدھا بھی ہو سکتا ہے جیسا کہ شکل 4.10 (iv) میں دکھایا گیا ہے۔

غور کریں کہ شکل 4.10 میں منحنی خطوط (iii) اور (vii) ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں، جبکہ شکل 4.10 میں منحنی خطوط (i), (ii), (v) اور (vi) ایک دوسرے کو قطع نہیں کرتے۔ اگر ایک منحنی خط اپنے آپ کو قطع نہ کرے، تو اسے سادہ منحنی خط کہا جاتا ہے۔

پانچ مزید سادہ منحنی خطوط اور پانچ ایسے منحنی خطوط بنائیں جو سادہ نہ ہوں۔

اب ان پر غور کریں (شکل 4.11)۔

ان دونوں میں کیا فرق ہے؟ پہلا یعنی شکل 4.11 (i) ایک کھلا منحنی خط ہے اور دوسرا یعنی شکل 4.11(ii) ایک بند منحنی خط ہے۔ کیا آپ شکل 4.10 (i), (ii), (v), (vi) کی اشکال میں سے کچھ بند اور کھلے منحنی خطوط کی شناخت کر سکتے ہیں؟ پانچ پانچ ایسے منحنی خطوط بنائیں جو کھلے اور بند ہوں۔

شکل میں مقام

ٹینس کورٹ میں ایک کورٹ لائن اسے تین حصوں میں تقسیم کرتی ہے: لائن کے اندر، لائن پر اور لائن کے باہر۔ آپ لائن کو پار کیے بغیر اندر داخل نہیں ہو سکتے۔

ایک کمپاؤنڈ دیوار آپ کے گھر کو سڑک سے الگ کرتی ہے۔ آپ کمپاؤنڈ کے ‘اندر’، کمپاؤنڈ کی سرحد ‘پر’ اور کمپاؤنڈ کے ‘باہر’ کے بارے میں بات کرتے ہیں۔

اس طرح، ایک بند منحنی خط میں تین حصے ہوتے ہیں۔

(i) منحنی خط کا اندرونی حصہ (‘اندر’)
(ii) منحنی خط کی سرحد (‘پر’) اور
(iii) منحنی خط کا بیرونی حصہ (‘باہر’)۔

شکل 4.12 میں، A اندرونی حصے میں ہے، C بیرونی حصے میں ہے اور B منحنی خط پر ہے۔

منحنی خط کا اندرونی حصہ اس کی سرحد کے ساتھ مل کر اس کا “علاقہ” کہلاتا ہے۔

4.9 کثیرالاضلاع اشکال

ان اشکال 4.13 (i), (ii), (iii), (iv), (v) اور (vi) کو دیکھیں۔

آپ کیا کہہ سکتے ہیں؟ کیا یہ بند ہیں؟ ان میں سے ہر ایک دوسرے سے کیسے مختلف ہے؟ (i), (ii), (iii), (iv) اور (vi) خاص ہیں کیونکہ یہ مکمل طور پر خطی قطعوں سے بنے ہیں۔ ان میں سے (i), (ii), (iii) اور (iv) سادہ بند منحنی خطوط بھی ہیں۔ انہیں کثیرالاضلاع اشکال کہتے ہیں۔

لہذا، ایک شکل کثیرالاضلاع شکل ہے اگر وہ مکمل طور پر خطی قطعوں سے بنی ایک سادہ بند شکل ہو۔ دس مختلف شکلوں کے کثیرالاضلاع اشکال بنائیں۔

یہ کریں

کوشش کریں کہ درج ذیل سے ایک کثیرالاضلاع شکل بنائیں

1. پانچ ماچس کی تیلیوں سے۔

2. چار ماچس کی تیلیوں سے۔

3. تین ماچس کی تیلیوں سے۔

4. دو ماچس کی تیلیوں سے۔

کس صورت میں یہ ممکن نہیں تھا؟ کیوں؟

اضلاع، راس اور قطریں

یہاں دی گئی شکل (شکل 4.14) کا جائزہ لیں۔

اسے کثیرالاضلاع شکل کہنے کے لیے جواز پیش کریں۔

کثیرالاضلاع شکل بنانے والے خطی قطعے اس کی اضلاع کہلاتے ہیں۔

کثیرالاضلاع شکل ABCDE کی اضلاع کیا ہیں؟ (غور کریں کہ کونے ترتیب سے کیسے نامزد کیے گئے ہیں۔)

اضلاع ہیں $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}$ اور $\overline{EA}$۔

اضلاع کے ایک جوڑے کا ملنے والا نقطہ اس کا راس کہلاتا ہے۔

اضلاع $\overline{AE}$ اور $\overline{ED}$ نقطہ $E$ پر ملتی ہیں، لہذا $E$ کثیرالاضلاع شکل $ABCDE$ کا ایک راس ہے۔ نقطے $B$ اور $C$ اس کے دیگر راس ہیں۔ کیا آپ ان اضلاع کے نام بتا سکتے ہیں جو ان نقطوں پر ملتی ہیں؟

کیا آپ مذکورہ بالا کثیرالاضلاع شکل $A B C D E$ کے دیگر راس بتا سکتے ہیں؟

ایک مشترکہ سرے والی کوئی دو اضلاع کثیرالاضلاع شکل کی ملحقہ اضلاع کہلاتی ہیں۔

کیا اضلاع $\overline{AB}$ اور $\overline{BC}$ ملحقہ ہیں؟ $\overline{AE}$ اور $\overline{DC}$ کے بارے میں کیا خیال ہے؟

کثیرالاضلاع شکل کی ایک ہی ضلع کے سرے نقطے ملحقہ راس کہلاتے ہیں۔ راس E اور D ملحقہ ہیں، جبکہ راس $A$ اور $D$ ملحقہ راس نہیں ہیں۔ کیا آپ سمجھتے ہیں کیوں؟

ان راسوں کے جوڑوں پر غور کریں جو ملحقہ نہیں ہیں۔ ان راسوں کے جوڑ کثیرالاضلاع شکل کی قطریں کہلاتے ہیں۔

شکل 4.15 میں، $\overline{AC}, \overline{AD}, \overline{BD}, \overline{BE}$ اور $\overline{CE}$ قطریں ہیں۔

کیا $\overline{BC}$ ایک قطر ہے، کیوں یا کیوں نہیں؟

اگر آپ ملحقہ راسوں کو جوڑنے کی کوشش کریں گے، تو کیا نتیجہ ایک قطر ہوگا؟

شکل ABCDE (شکل 4.15) کی تمام اضلاع، ملحقہ اضلاع، ملحقہ راسوں کے نام بتائیں۔

ایک کثیرالاضلاع شکل $ABCDEFGH$ بنائیں اور تمام اضلاع، ملحقہ اضلاع اور راسوں کے ساتھ ساتھ کثیرالاضلاع شکل کی قطریں بھی نامزد کریں۔

مشق 4.2

1. درج ذیل منحنی خطوط کو درجہ بندی کریں (i) کھلے یا (ii) بند۔

2. درج ذیل کی وضاحت کے لیے خاکے بنائیں:

(الف) کھلا منحنی خط
(ب) بند منحنی خط۔

3. کوئی بھی کثیرالاضلاع شکل بنائیں اور اس کے اندرونی حصے پر رنگ بھریں۔

4. دی گئی شکل پر غور کریں اور سوالات کے جوابات دیں:

(الف) کیا یہ ایک منحنی خط ہے؟
(ب) کیا یہ بند ہے؟

5. اگر ممکن ہو تو، درج ذیل میں سے ہر ایک کی ایک خاکے کے ساتھ وضاحت کریں:

(الف) ایک بند منحنی خط جو کثیرالاضلاع شکل نہ ہو۔
(ب) ایک کھلا منحنی خط جو مکمل طور پر خطی قطعوں سے بنا ہو۔
(ج) دو اضلاع والی ایک کثیرالاضلاع شکل۔

4.10 زاویے

زاویے اس وقت بنتے ہیں جب کونے بنتے ہیں۔

یہاں ایک تصویر ہے (شکل 4.16) جہاں ایک ڈبے کا اوپری حصہ ہنگرے ہوئے ڈھکن کی طرح ہے۔ ڈبے کے کنارے AD اور دروازے کے کنارے AP کو دو شعاعوں $\overline{{}AD}$ اور $\overline{{}AP}$ کے طور پر تصور کیا جا سکتا ہے۔ ان دو شعاعوں کا ایک مشترکہ نقطہ آغاز $A$ ہے۔ یہاں یہ دو شعاعیں مل کر ایک زاویہ بناتی ہیں۔ ایک زاویہ ایک مشترکہ نقطہ آغاز سے شروع ہونے والی دو شعاعوں سے مل کر بنتا ہے۔ زاویہ بنانے والی دو شعاعیں زاویے کی بازوئیں یا اضلاع کہلاتی ہیں۔ مشترکہ نقطہ آغاز زاویے کا راس ہوتا ہے۔

یہ شعاعوں $\overline{{}OP}$ اور $\overline{{}OQ}$ سے بننے والا ایک زاویہ ہے (شکل 4.17)۔ اسے ظاہر کرنے کے لیے ہم راس پر ایک چھوٹا سا منحنی خط استعمال کرتے ہیں۔ (شکل 4.17 دیکھیں)۔ O راس ہے۔ اضلاع کیا ہیں؟ کیا یہ $\overline{{}OP}$ اور $\overline{{}OQ}$ نہیں ہیں؟

ہم اس زاویے کو کیسے نام دے سکتے ہیں؟ ہم صرف یہ کہہ سکتے ہیں کہ یہ نقطہ $O$ پر ایک زاویہ ہے۔ مزید مخصوص ہونے کے لیے ہم زاویے کو نام دینے کے لیے ہر ضلع پر ایک ایک نقطہ اور راس کی شناخت کرتے ہیں۔ زاویہ POQ اس طرح زاویے کو نام دینے کا ایک بہتر طریقہ ہے۔ ہم اسے $\angle POQ$ سے ظاہر کرتے ہیں۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

شکل (شکل 4.18) کو دیکھیں۔ زاویے کا نام کیا ہے؟ کیا ہم $\angle P$ کہیں گے؟ لیکن پھر ہماری مراد کون سا زاویہ ہے؟ $\angle P$ سے ہماری کیا مراد ہے؟ کیا راس کے ذریعے زاویے کو نام دینا یہاں مددگار ہے؟ کیوں نہیں؟

$\angle P$ سے ہماری مراد $\angle APB$ یا $\angle CPB$ یا یہاں تک کہ $\angle APC$ بھی ہو سکتا ہے! ہمیں مزید معلومات کی ضرورت ہے۔

غور کریں کہ زاویے کی وضاحت کرتے وقت، راس ہمیشہ درمیانی حرف کے طور پر لکھا جاتا ہے۔

یہ کریں

کوئی بھی زاویہ لیں، فرض کریں $\angle ABC$۔

کاغذ کے اس حصے پر رنگ بھریں جو $\overline{{}BA}$ سے ملحق ہے اور جہاں $\overline{{}BC}$ واقع ہے۔

اب کاغذ کے اس حصے پر مختلف رنگ سے رنگ بھریں جو $\overline{{}BC}$ سے ملحق ہے اور جہاں $\overline{{}BA}$ واقع ہے۔

دونوں رنگ بھرنے والے حصوں کا مشترکہ حصہ $\angle ABC$ کا اندرونی حصہ کہلاتا ہے (شکل 4.19)۔ (غور کریں کہ اندرونی حصہ ایک محدود علاقہ نہیں ہے؛ یہ لامحدود طور پر پھیلا ہوا ہے کیونکہ دونوں اضلاع لامحدود طور پر پھیلتی ہیں)۔

اس شکل (شکل 4.20) میں، $X$ زاویے کے اندرونی حصے میں ہے، $Z$ اندرونی حصے میں نہیں بلکہ زاویے کے بیرونی حصے میں ہے؛ اور $S$ زاویے $\angle PQR$ پر ہے۔ اس طرح، زاویے کے ساتھ بھی تین حصے وابستہ ہیں۔

مشق 4.3

1. دی گئی شکل میں زاویوں کے نام بتائیں۔

2. دی گئی شکل میں، نقطہ/نقطوں کے نام بتائیں

(الف) زاویہ $\angle DOE$ کے اندرونی حصے میں
(ب) زاویہ $\angle EOF$ کے بیرونی حصے میں
(ج) زاویہ $\angle EOF$ پر

3. دو زاویوں کے ایسے خاکے بنائیں کہ ان میں

(الف) ایک نقطہ مشترک ہو۔
(ب) دو نقطے مشترک ہوں۔
(ج) تین نقطے مشترک ہوں۔
(د) چار نقطے مشترک ہوں۔
(ہ) ایک شعاع مشترک ہو۔

ہم نے کیا بحث کی؟

1. ایک نقطہ ایک مقام کا تعین کرتا ہے۔ اسے عام طور پر ایک بڑے حرف سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

2. ایک خطی قطعہ دو نقطوں کے درمیان مختصر ترین فاصلے سے مطابقت رکھتا ہے۔ نقطوں