৪.১ ভূমিকা

জ্যামিতির একটি দীর্ঘ ও সমৃদ্ধ ইতিহাস রয়েছে। ‘জ্যামিতি’ শব্দটি গ্রিক শব্দ ‘জিওমেট্রন’-এর ইংরেজি সমতুল্য। ‘জিও’ অর্থ পৃথিবী এবং ‘মেট্রন’ অর্থ পরিমাপ। ইতিহাসবিদদের মতে, প্রাচীনকালে শিল্প, স্থাপত্য এবং পরিমাপের প্রয়োজনে জ্যামিতিক ধারণাগুলির বিকাশ ঘটে। এর মধ্যে রয়েছে চাষের জমির সীমানা চিহ্নিত করার মতো ঘটনাগুলি, যাতে অভিযোগের কোনো অবকাশ না থাকে। মহিমান্বিত প্রাসাদ, মন্দির, হ্রদ, বাঁধ ও নগর নির্মাণ, শিল্প ও স্থাপত্য এই ধারণাগুলিকে আরও সুদৃঢ় করে। আজও জ্যামিতিক ধারণাগুলি শিল্পের সকল রূপে,

পরিমাপ, স্থাপত্য, প্রকৌশল, কাপড়ের নকশা ইত্যাদিতে প্রতিফলিত হয়। আপনি বিভিন্ন বস্তু যেমন বাক্স, টেবিল, বই, টিফিন বক্স যা আপনি স্কুলে লাঞ্চের জন্য নিয়ে যান, বল যেটা দিয়ে আপনি খেলেন ইত্যাদি পর্যবেক্ষণ ও ব্যবহার করেন। এই সমস্ত বস্তুর বিভিন্ন আকৃতি রয়েছে। আপনি যে স্কেল ব্যবহার করেন, যে পেন্সিল দিয়ে লেখেন তা সোজা। চুড়ি, এক টাকার মুদ্রা বা বলের ছবি গোলাকার দেখায়।

এখানে, আপনি কিছু আকর্ষণীয় তথ্য জানতে পারবেন যা আপনাকে আপনার চারপাশের আকৃতিগুলি সম্পর্কে আরও জানতে সাহায্য করবে।

৪.২ বিন্দু

পেন্সিলের একটি ধারালো ডগা দিয়ে কাগজে একটি বিন্দু চিহ্নিত করুন। ডগা যত ধারালো হবে, বিন্দুটি তত পাতলা হবে। এই প্রায় অদৃশ্য ক্ষুদ্র বিন্দুটি আপনাকে একটি বিন্দুর ধারণা দেবে।

একটি বিন্দু একটি অবস্থান নির্দেশ করে।

এগুলি একটি বিন্দুর কিছু মডেল:

যদি আপনি একটি কাগজে তিনটি বিন্দু চিহ্নিত করেন, তবে আপনাকে সেগুলিকে আলাদা করতে হবে। এর জন্য এগুলিকে নির্দেশ করা হয়

এই বিন্দুগুলিকে পড়া হবে বিন্দু A, বিন্দু B এবং বিন্দু C হিসাবে।

অবশ্যই, বিন্দুগুলি অদৃশ্যভাবে পাতলা হতে হবে।

চেষ্টা করুন

১. পেন্সিলের একটি ধারালো ডগা দিয়ে একটি কাগজে চারটি বিন্দু চিহ্নিত করুন এবং A, C, P, H অক্ষর দ্বারা তাদের নাম দিন। এই বিন্দুগুলিকে বিভিন্নভাবে নাম দেওয়ার চেষ্টা করুন। এরকম একটি উপায় হতে পারে এই

২. আকাশের একটি তারা আমাদেরও একটি বিন্দুর ধারণা দেয়। আপনার দৈনন্দিন জীবনে অন্তত পাঁচটি এমন পরিস্থিতি চিহ্নিত করুন।

৪.৩ একটি রেখাংশ

কাগজের একটি টুকরো ভাঁজ করুন এবং খুলে দিন। আপনি কি একটি ভাঁজ দেখতে পাচ্ছেন? এটি একটি রেখাংশের ধারণা দেয়। এর দুটি প্রান্তবিন্দু A এবং B রয়েছে।

একটি পাতলা সুতা নিন। এর দুটি প্রান্ত ধরে টান দিন যাতে কোনো ঢিলা না থাকে। এটি একটি রেখাংশকে নির্দেশ করে। হাত দ্বারা ধরা প্রান্তগুলি হল রেখাংশের প্রান্তবিন্দু।

নিম্নলিখিতগুলি একটি রেখাংশের কিছু মডেল:

আপনার চারপাশ থেকে রেখাংশের আরও উদাহরণ খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন।

একটি কাগজের উপর যেকোনো দুটি বিন্দু A এবং B চিহ্নিত করুন। A থেকে B পর্যন্ত সমস্ত সম্ভাব্য পথে সংযোগ স্থাপনের চেষ্টা করুন। (চিত্র ৪.১)

$A$ থেকে $B$ পর্যন্ত সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথটি কী?

বিন্দু $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত এই সংক্ষিপ্ত সংযোগটি ($A$ এবং $B$ সহ) এখানে দেখানো হয়েছে একটি রেখাংশ। এটি $\overline{AB}$ বা $\overline{BA}$ দ্বারা নির্দেশিত হয়। বিন্দুগুলি $A$ এবং $B$ কে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলা হয়।

চেষ্টা করুন

১. চিত্র ৪.২-এ রেখাংশগুলির নাম দিন। $A$ কি প্রতিটি রেখাংশের প্রান্তবিন্দু?

৪.৪ একটি রেখা

কল্পনা করুন যে $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত রেখাংশটি (অর্থাৎ $\overline{AB}$) $A$ এর বাইরে এক দিকে এবং $B$ এর বাইরে অন্য দিকে যেকোনো প্রান্ত ছাড়াই বর্ধিত করা হয়েছে (চিত্র দেখুন)। আপনি এখন একটি রেখার মডেল পেয়েছেন।

আপনি কি মনে করেন আপনি একটি রেখার সম্পূর্ণ ছবি আঁকতে পারবেন? না। (কেন?)

দুটি বিন্দু $A$ এবং $B$ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা $\overline{{}A B}$ হিসাবে লেখা হয়। এটি উভয় দিকেই অনির্দিষ্টভাবে বর্ধিত হয়। সুতরাং এতে অগণিত সংখ্যক বিন্দু রয়েছে। (এটি নিয়ে ভাবুন)।

একটি রেখা স্থির করার জন্য দুটি বিন্দুই যথেষ্ট। আমরা বলি ‘দুটি বিন্দু একটি রেখা নির্ধারণ করে’।

সংলগ্ন চিত্রটি (চিত্র ৪.৩) হল একটি রেখা PQ-এর, যা $\overline{PQ}$ হিসাবে লেখা হয়। কখনও কখনও একটি রেখাকে $l, m$ এর মতো একটি অক্ষর দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

৪.৫ ছেদকারী রেখা

চিত্রটি দেখুন (চিত্র ৪.৪)। দুটি রেখা $l_1$ এবং $l_2$ দেখানো হয়েছে। উভয় রেখাই $P$ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। আমরা বলি $l_1$ এবং $l_2$ $P$ বিন্দুতে ছেদ করে। যদি দুটি রেখার একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে তাদের ছেদকারী রেখা বলা হয়।

নিম্নলিখিতগুলি একটি জোড়া ছেদকারী রেখার কিছু মডেল (চিত্র ৪.৫):

এক জোড়া ছেদকারী রেখার আরও কিছু মডেল খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন।

এটি করুন

একটি কাগজের শীট নিন। একটি জোড়া ছেদকারী রেখা নির্দেশ করার জন্য দুটি ভাঁজ করুন (এবং সেগুলিকে চিরুন) এবং আলোচনা করুন:

(ক) দুটি রেখা একাধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে কি?
(খ) একাধিক রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে কি?

৪.৬ সমান্তরাল রেখা

আসুন এই টেবিলটি দেখি (চিত্র ৪.৬)। শীর্ষ ABCD সমতল। আপনি কি কিছু বিন্দু এবং রেখাংশ দেখতে পাচ্ছেন?

ছেদকারী রেখাংশ আছে কি?

হ্যাঁ, AB এবং BC বিন্দু B-তে ছেদ করে।

কোন রেখাংশগুলি A-তে ছেদ করে? C-তে? D-তে?

AD এবং CD রেখাগুলি কি ছেদ করে?

$\overline{AD}$ এবং $\overline{BC}$ রেখাগুলি কি ছেদ করে?

আপনি দেখতে পাবেন যে টেবিলের পৃষ্ঠে এমন রেখাংশ রয়েছে যা যতদূরই বর্ধিত করা হোক না কেন, মিলিত হবে না। $\overline{{}AD}$ এবং $\overline{BC}$ এমন একটি জোড়া গঠন করে। আপনি কি টেবিলের শীর্ষে এই ধরনের আরও একটি জোড়া রেখা (যেগুলি মিলিত হয় না) চিহ্নিত করতে পারেন?

এই ধরনের রেখাগুলি যা মিলিত হয় না তাদের সমান্তরাল বলা হয়; এবং এদের সমান্তরাল রেখা বলা হয়।

ভাবুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

আপনি আর কোথায় সমান্তরাল রেখা দেখেন? দশটি উদাহরণ খুঁজে বের করার চেষ্টা করুন।

যদি দুটি রেখা $\overline{{}AB}$ এবং $\overline{{}CD}$ সমান্তরাল হয়, আমরা লিখি $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$।

যদি দুটি রেখা $l_1$ এবং $l_2$ সমান্তরাল হয়, আমরা লিখি $l_1 \| l_2$।

আপনি কি নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে সমান্তরাল রেখা চিহ্নিত করতে পারেন?

৪.৭ রশ্মি

নিম্নলিখিতগুলি একটি রশ্মির কিছু মডেল:

একটি রশ্মি হল একটি রেখার একটি অংশ। এটি একটি বিন্দুতে শুরু হয় (যাকে প্রারম্ভিক বিন্দু বা আদি বিন্দু বলা হয়) এবং একটি দিকে অনন্ত পর্যন্ত চলে যায়।

এখানে দেখানো রশ্মির চিত্রটি দেখুন (চিত্র ৪.৭)। রশ্মির উপর দুটি বিন্দু দেখানো হয়েছে। সেগুলি হল (ক) A, প্রারম্ভিক বিন্দু (খ) $P$, রশ্মির পথের উপর একটি বিন্দু।

আমরা এটি $\overline{{}AP}$ দ্বারা নির্দেশ করি।

চেষ্টা করুন

১. এই ছবিতে দেওয়া রশ্মিগুলির নাম দিন (চিত্র ৪.৮)।

২. $T$ কি এই প্রতিটি রশ্মির প্রারম্ভিক বিন্দু?

চিত্র ৪.৮

ভাবুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

যদি $\overline{{}PQ}$ একটি রশ্মি হয়,

(ক) এর প্রারম্ভিক বিন্দু কী?

(খ) $Q$ বিন্দুটি রশ্মির উপর কোথায় অবস্থিত?

(গ) আমরা কি বলতে পারি যে $Q$ এই রশ্মির প্রারম্ভিক বিন্দু?

এখানে একটি রশ্মি $\overline{{}OA}$ (চিত্র ৪.৯)। এটি $O$ এ শুরু হয় এবং $A$ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এটি $B$ বিন্দুর মধ্য দিয়েও যায়।

আপনি কি এটিকে $\overline{{}OB}$ হিসাবেও নাম দিতে পারেন? কেন?

$\overline{{}OA}$ এবং $\overline{{}OB}$ এখানে একই।

আমরা কি $\overline{{}OA}$ কে $\overline{{}AO}$ হিসাবে লিখতে পারি? কেন বা কেন না?

পাঁচটি রশ্মি আঁকুন এবং তাদের জন্য উপযুক্ত নাম লিখুন।

এই প্রতিটি রশ্মির উপর তীরচিহ্নগুলি কী নির্দেশ করে?

অনুশীলনী ৪.১

১. চিত্রটি ব্যবহার করে নাম দিন:

(ক) পাঁচটি বিন্দু
(খ) একটি রেখা
(গ) চারটি রশ্মি
(ঘ) পাঁচটি রেখাংশ

২. প্রদত্ত চারটি অক্ষর থেকে একবারে শুধুমাত্র দুটি অক্ষর বেছে নিয়ে, সমস্ত সম্ভাব্য (বারোটি) উপায়ে রেখাটির নাম দিন।

৩. চিত্রটি ব্যবহার করে নাম দিন:

(ক) $E$ বিন্দুটি যেই রেখার উপর অবস্থিত।
(খ) A বিন্দু দিয়ে যে রেখাটি যায়।
(গ) যে রেখার উপর O বিন্দুটি অবস্থিত।
(ঘ) ছেদকারী রেখার দুটি জোড়া।

৪. (ক) একটি প্রদত্ত বিন্দু দিয়ে কতগুলি রেখা যেতে পারে? (খ) দুটি প্রদত্ত বিন্দু দিয়ে কতগুলি রেখা যেতে পারে?

৫. একটি রুক্ষ চিত্র আঁকুন এবং নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে উপযুক্তভাবে লেবেল দিন:

(ক) বিন্দু $P$ $\overline{AB}$ এর উপর অবস্থিত।
(খ) $\overline{XY}$ এবং $\overline{PQ}$ $M$ বিন্দুতে ছেদ করে।
(গ) রেখা $l$ $E$ এবং $F$ কে ধারণ করে কিন্তু $D$ কে ধারণ করে না।
(ঘ) $\overline{OP}$ এবং $\overline{OQ}$ $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়।

৬. $\overline{{}MN}$ রেখার নিম্নলিখিত চিত্রটি বিবেচনা করুন। প্রদত্ত চিত্রের প্রেক্ষিতে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা বলুন।

(ক) Q, M, O, N, P হল $\overline{{}MN}$ রেখার উপর অবস্থিত বিন্দু।
(খ) $M, O, N$ হল একটি রেখাংশ $\overline{MN}$ এর উপর অবস্থিত বিন্দু।
(গ) $M$ এবং $N$ হল রেখাংশ $\overline{MN}$ এর প্রান্তবিন্দু।
(ঘ) $O$ এবং $N$ হল রেখাংশ $\overline{OP}$ এর প্রান্তবিন্দু।
(ঙ) $M$ হল রেখাংশ $\overline{QO}$ এর একটি প্রান্তবিন্দু।
(চ) $M$ হল রশ্মি $\overline{{}OP}$ এর উপর অবস্থিত একটি বিন্দু।
(ছ) রশ্মি $\overline{{}OP}$ রশ্মি $\overline{{}QP}$ থেকে ভিন্ন।
(জ) রশ্মি $\overline{{}OP}$ রশ্মি $\overline{{}OM}$ এর সমান।
(ঝ) রশ্মি $\overline{{}OM}$ রশ্মি $\overline{{}OP}$ এর বিপরীত নয়।
(ঞ) $O$ হল $\overline{{}OP}$ এর প্রারম্ভিক বিন্দু নয়।
(ট) $N$ হল $\overline{{}NP}$ এবং $\overline{{}NM}$ এর প্রারম্ভিক বিন্দু।

৪.৮ বক্ররেখা

আপনি কি কখনও কাগজের একটি টুকরো নিয়ে শুধু আঁকিবুঁকি করেছেন? আপনার আঁকিবুঁকির ফলে যে ছবিগুলি হয় সেগুলিকে বক্ররেখা বলা হয়।

আপনি এই অঙ্কনগুলির কিছু পেন্সিল কাগজ থেকে না তুলে এবং স্কেল ব্যবহার না করেও আঁকতে পারেন। এগুলি সবই বক্ররেখা (চিত্র ৪.১০)।

দৈনন্দিন ব্যবহারে ‘বক্ররেখা’ বলতে “সোজা নয়” বোঝায়। গণিতে, একটি বক্ররেখা চিত্র ৪.১০ (iv)-এ দেখানোটির মতো সোজা হতে পারে।

লক্ষ্য করুন যে চিত্র ৪.১০-এর বক্ররেখা (iii) এবং (vii) নিজেদেরকে অতিক্রম করে, যেখানে চিত্র ৪.১০-এর বক্ররেখা (i), (ii), (v) এবং (vi) তা করে না। যদি একটি বক্ররেখা নিজেকে অতিক্রম না করে, তবে তাকে একটি সরল বক্ররেখা বলা হয়।

আরও পাঁচটি সরল বক্ররেখা এবং পাঁচটি বক্ররেখা আঁকুন যা সরল নয়।

এখন এগুলি বিবেচনা করুন (চিত্র ৪.১১)।

এই দুটির মধ্যে পার্থক্য কী? প্রথমটি অর্থাৎ চিত্র ৪.১১ (i) একটি উন্মুক্ত বক্ররেখা এবং দ্বিতীয়টি অর্থাৎ চিত্র ৪.১১(ii) একটি বদ্ধ বক্ররেখা। আপনি কি চিত্র ৪.১০ (i), (ii), (v), (vi) থেকে কিছু বদ্ধ ও উন্মুক্ত বক্ররেখা চিহ্নিত করতে পারেন? পাঁচটি করে বক্ররেখা আঁকুন যা উন্মুক্ত এবং বদ্ধ।

একটি চিত্রে অবস্থান

একটি টেনিস কোর্টের কোর্ট লাইন এটি তিনটি ভাগে বিভক্ত করে: লাইনের ভিতরে, লাইনের উপর এবং লাইনের বাইরে। আপনি লাইন অতিক্রম না করে ভিতরে প্রবেশ করতে পারবেন না।

একটি কম্পাউন্ড প্রাচীর আপনার বাড়িকে রাস্তা থেকে আলাদা করে। আপনি কম্পাউন্ডের ‘ভিতরে’, কম্পাউন্ডের সীমানার ‘উপর’ এবং কম্পাউন্ডের ‘বাইরে’ কথা বলেন।

একটি বদ্ধ বক্ররেখায়, এইভাবে, তিনটি অংশ রয়েছে।

(i) বক্ররেখার অভ্যন্তর (‘ভিতরে’)
(ii) বক্ররেখার সীমানা (‘উপর’) এবং
(iii) বক্ররেখার বহিঃস্থ (‘বাইরে’)।

চিত্র ৪.১২-এ, A অভ্যন্তরে অবস্থিত, C বহিঃস্থ অবস্থিত এবং B বক্ররেখার উপর অবস্থিত।

একটি বক্ররেখার অভ্যন্তর এবং তার সীমানা একত্রে এর “অঞ্চল” গঠন করে।

৪.৯ বহুভুজ

এই চিত্রগুলি ৪.১৩ (i), (ii), (iii), (iv), (v) এবং (vi) দেখুন।

আপনি কী বলতে পারেন? এগুলি কি বদ্ধ? এগুলির প্রতিটি একে অপর থেকে কীভাবে আলাদা? (i), (ii), (iii), (iv) এবং (vi) বিশেষ কারণ এগুলি সম্পূর্ণরূপে রেখাংশ দিয়ে গঠিত। এর মধ্যে (i), (ii), (iii) এবং (iv) হল সরল বদ্ধ বক্ররেখাও। এগুলিকে বহুভুজ বলা হয়।

সুতরাং, একটি চিত্র একটি বহুভুজ হবে যদি এটি সম্পূর্ণরূপে রেখাংশ দিয়ে গঠিত একটি সরল বদ্ধ চিত্র হয়। দশটি ভিন্ন আকৃতির বহুভুজ আঁকুন।

এটি করুন

চেষ্টা করুন একটি বহুভুজ গঠন করতে

১. পাঁচটি ম্যাচস্টিক দিয়ে।

২. চারটি ম্যাচস্টিক দিয়ে।

৩. তিনটি ম্যাচস্টিক দিয়ে।

৪. দুটি ম্যাচস্টিক দিয়ে।

কোন ক্ষেত্রে এটি সম্ভব ছিল না? কেন?

বাহু, শীর্ষবিন্দু এবং কর্ণ

এখানে দেওয়া চিত্রটি পরীক্ষা করুন (চিত্র ৪.১৪)।

এটিকে বহুভুজ বলার যৌক্তিকতা দিন।

একটি বহুভুজ গঠনকারী রেখাংশগুলিকে এর বাহু বলা হয়।

ABCDE বহুভুজের বাহুগুলি কী কী? (লক্ষ্য করুন কিভাবে কোণগুলিকে ক্রমানুসারে নাম দেওয়া হয়েছে।)

বাহুগুলি হল $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}$ এবং $\overline{EA}$।

এক জোড়া বাহুর মিলন বিন্দুকে এর শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

বাহু $\overline{AE}$ এবং $\overline{ED}$ $E$ এ মিলিত হয়, তাই $E$ হল বহুভুজ $ABCDE$ এর একটি শীর্ষবিন্দু। বিন্দুগুলি $B$ এবং $C$ এর অন্যান্য শীর্ষবিন্দু। আপনি কি সেই বাহুগুলির নাম বলতে পারেন যা এই বিন্দুগুলিতে মিলিত হয়?

উপরের বহুভুজ $A B C D E$ এর অন্যান্য শীর্ষবিন্দুগুলির নাম বলতে পারেন কি?

একটি সাধারণ প্রান্তবিন্দু সহ যেকোনো দুটি বাহুকে বহুভুজের সন্নিহিত বাহু বলা হয়।

$\overline{AB}$ এবং $\overline{BC}$ বাহুগুলি কি সন্নিহিত? $\overline{AE}$ এবং $\overline{DC}$ এর ব্যাপারে কী বলা যায়?

একটি বহুভুজের একই বাহুর প্রান্তবিন্দুগুলিকে সন্নিহিত শীর্ষবিন্দু বলা হয়। শীর্ষবিন্দু E এবং D সন্নিহিত, যেখানে শীর্ষবিন্দু $A$ এবং $D$ সন্নিহিত শীর্ষবিন্দু নয়। আপনি কি বুঝতে পারছেন কেন?

সন্নিহিত নয় এমন শীর্ষবিন্দুগুলির জোড়া বিবেচনা করুন। এই শীর্ষবিন্দুগুলির সংযোগগুলিকে বহুভুজের কর্ণ বলা হয়।

চিত্র ৪.১৫-এ, $\overline{AC}, \overline{AD}, \overline{BD}, \overline{BE}$ এবং $\overline{CE}$ কর্ণ।

$\overline{BC}$ কি একটি কর্ণ, কেন বা কেন না?

আপনি যদি সন্নিহিত শীর্ষবিন্দুগুলিকে যুক্ত করার চেষ্টা করেন, তাহলে ফলাফল কি একটি কর্ণ হবে?

ABCDE চিত্রের (চিত্র ৪.১৫) সমস্ত বাহু, সন্নিহিত বাহু, সন্নিহিত শীর্ষবিন্দুর নাম দিন।

একটি বহুভুজ $ABCDEFGH$ আঁকুন এবং বহুভুজটির সমস্ত বাহু, সন্নিহিত বাহু এবং শীর্ষবিন্দুর পাশাপাশি কর্ণগুলির নাম দিন।

অনুশীলনী ৪.২

১. নিম্নলিখিত বক্ররেখাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করুন (i) উন্মুক্ত বা (ii) বদ্ধ হিসাবে।

২. নিম্নলিখিতগুলিকে চিত্রিত করতে রুক্ষ চিত্র আঁকুন:

(ক) উন্মুক্ত বক্ররেখা
(খ) বদ্ধ বক্ররেখা।

৩. যেকোনো বহুভুজ আঁকুন এবং এর অভ্যন্তর অংশ ছায়াঘন করুন।

৪. প্রদত্ত চিত্রটি বিবেচনা করুন এবং প্রশ্নগুলির উত্তর দিন:

(ক) এটি কি একটি বক্ররেখা?
(খ) এটি কি বদ্ধ?

৫. সম্ভব হলে, নিম্নলিখিত প্রত্যেকটিকে একটি রুক্ষ চিত্র দিয়ে চিত্রিত করুন:

(ক) একটি বদ্ধ বক্ররেখা যা বহুভুজ নয়।
(খ) একটি উন্মুক্ত বক্ররেখা যা সম্পূর্ণরূপে রেখাংশ দিয়ে গঠিত।
(গ) দুটি বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজ।

৪.১০ কোণ

কোণ তৈরি হয় যখন কোণা গঠিত হয়।

এখানে একটি ছবি (চিত্র ৪.১৬) যেখানে একটি বাক্সের শীর্ষটি একটি কব্জাযুক্ত ঢাকনার মতো। বাক্সের AD প্রান্ত এবং দরজার AP প্রান্তকে দুটি রশ্মি $\overline{{}AD}$ এবং $\overline{{}AP}$ হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে। এই দুটি রশ্মির একটি সাধারণ প্রারম্ভিক বিন্দু $A$ রয়েছে। এখানে এই দুটি রশ্মিকে একত্রে একটি কোণ গঠন করেছে বলা হয়। একটি কোণ একটি সাধারণ প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে শুরু হওয়া দুটি রশ্মি দ্বারা গঠিত। কোণ গঠনকারী দুটি রশ্মিকে কোণের বাহু বলা হয়। সাধারণ প্রারম্ভিক বিন্দুটি কোণের শীর্ষবিন্দু।

এটি $\overline{{}OP}$ এবং $\overline{{}OQ}$ রশ্মি দ্বারা গঠিত একটি কোণ (চিত্র ৪.১৭)। এটি দেখানোর জন্য আমরা শীর্ষবিন্দুতে একটি ছোট বক্ররেখা ব্যবহার করি (চিত্র ৪.১৭ দেখুন)। O হল শীর্ষবিন্দু। বাহুগুলি কী কী? সেগুলি কি $\overline{{}OP}$ এবং $\overline{{}OQ}$ নয়?

আমরা এই কোণের নাম কীভাবে দিতে পারি? আমরা সহজেই বলতে পারি যে এটি $O$-এ একটি কোণ। আরও নির্দিষ্ট হতে আমরা প্রতিটি বাহুতে একটি করে মোট দুটি বিন্দু এবং শীর্ষবিন্দু চিহ্নিত করে কোণের নাম দিই। সুতরাং, কোণ POQ কোণের নাম দেওয়ার একটি ভাল উপায়। আমরা এটি $\angle POQ$ দ্বারা নির্দেশ করি।

ভাবুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

চিত্রটি দেখুন (চিত্র ৪.১৮)। কোণের নাম কী? আমরা কি $\angle P$ বলব? কিন্তু তাহলে আমরা কোনটি বোঝাচ্ছি? $\angle P$ দ্বারা আমরা কী বোঝাই? শীর্ষবিন্দু দ্বারা কোণের নামকরণ এখানে সহায়ক কি? কেন নয়?

$\angle P$ দ্বারা আমরা $\angle APB$ বা $\angle CPB$ বা এমনকি $\angle APC$ বোঝাতে পারি! আমাদের আরও তথ্যের প্রয়োজন।

লক্ষ্য করুন যে কোণটি নির্দিষ্ট করার সময়, শীর্ষবিন্দুটি সর্বদা মাঝের অক্ষর হিসাবে লেখা হয়।

এটি করুন

যেকোনো কোণ নিন, যেমন $\angle ABC$।

কাগজের যে অংশটি $\overline{{}BA}$ এবং যেখানে $\overline{{}BC}$ অবস্থিত তার সীমানা বরাবর ছায়াঘন করুন।

এখন একটি ভিন্ন রঙে কাগজের যে অংশটি $\overline{{}BC}$ এবং যেখানে $\overline{{}BA}$ অবস্থিত তার সীমানা বরাবর ছায়াঘন করুন।

উভয় ছায়াঘন অংশের সাধারণ অংশটিকে $\angle ABC$ এর অভ্যন্তর বলা হয় (চিত্র ৪.১৯)। (লক্ষ্য করুন যে অভ্যন্তর একটি সীমাবদ্ধ এলাকা নয়; এটি অনির্দিষ্টভাবে প্রসারিত হয় কারণ দুটি বাহু অনির্দিষ্টভাবে প্রসারিত)।

এই চিত্রে (চিত্র ৪.২০), $X$ কোণের অভ্যন্তরে অবস্থিত, $Z$ অভ্যন্তরে নয় বরং কোণের বহিঃস্থ অবস্থিত; এবং $S$ $\angle PQR$ এর উপর অবস্থিত। সুতরাং, কোণের সাথেও তিনটি অংশ যুক্ত রয়েছে।

অনুশীলনী ৪.৩

১. প্রদত্ত চিত্রে কোণগুলির নাম দিন।

২. প্রদত্ত চিত্রে, বিন্দু(গুলি) এর নাম দিন

(ক) $\angle DOE$ এর অভ্যন্তরে
(খ) $\angle EOF$ এর বহিঃস্থ
(গ) $\angle EOF$ এর উপর

৩. দুটি কোণের রুক্ষ চিত্র আঁকুন যাতে তাদের

(ক) একটি সাধারণ বিন্দু থাকে।
(খ) দুটি সাধারণ বিন্দু থাকে।
(গ) তিনটি সাধারণ বিন্দু থাকে।
(ঘ) চারটি সাধারণ বিন্দু থাকে।
(ঙ) একটি সাধারণ রশ্মি থাকে।

আমরা কী আলোচনা করেছি?

১. একটি বিন্দু একটি অবস্থান নির্ধারণ করে। এটি সাধারণত একটি বড় হাতের অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয়।

২. একটি রেখাংশ দুটি বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে কম দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত। $A$ এবং $B$ বিন্দুগুলিকে যুক্তকারী রেখাংশটি $\overline{AB}$ দ্বারা নির্দেশিত হয়।

৩. একটি রেখা পাওয়া যায় যখন একটি রেখাংশ যেমন $\overline{AB}$ কে উভয় দিকে অনির্দিষ্টভাবে বর্ধিত করা হয়; এটি $\overline{AB}$ দ্বারা বা কখনও কখনও $l$ এর মতো একটি একক ছোট অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয়।

৪. একটি বিন্দুতে মিলিত দুটি স্বতন্ত্র রেখাকে ছেদকারী রেখা বলা হয়।

৫. একটি সমতলে দুটি রেখাকে সমান্তরাল বলা হয় যদি তারা মিলিত না হয়।

৬. একটি রশ্মি হল একটি রেখার অংশ যা একটি বিন্দু থেকে শুরু হয়ে এক দিকে অনন্ত পর্যন্ত চলে।

৭. পেন্সিল না তুলে করা যেকোনো অঙ্কন (সোজা বা অসোজা) একটি বক্ররেখা বলা যেতে পারে। এই অর্থে, একটি রেখাও একটি বক্ররেখা।

৮. একটি সরল বক্ররেখা হল যে বক্ররেখা নিজেকে অতিক্রম করে না।

৯. একটি বক্ররেখাকে বদ্ধ বলা হয় যদি এর প্রান্তগুলি যুক্ত থাকে; অন্যথায় তাকে উন্মুক্ত বলা হয়।

১০. একটি বহুভুজ হল রেখাংশ দিয়ে গঠিত একটি সরল বদ্ধ বক্ররেখা। এখানে,

(i) রেখাংশগুলি হল বহুভুজের বাহু।
(ii) একটি সাধারণ প্রান্তবিন্দু সহ যেকোনো দুটি বাহু হল সন্নিহিত বাহু।
(iii) এক জোড়া বাহুর মিলন বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
(iv) একই বাহুর প্রান্তবিন্দুগুলি হল সন্নিহিত শীর্ষবিন্দু।
(v) যেকোনো দুটি অসন্নিহিত শীর্ষবিন্দুর সংযোগ হল একটি কর্ণ।

১১. একটি কোণ একটি সাধারণ প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে শুরু হওয়া দুটি রশ্মি দ্বারা গঠিত।

দুটি রশ্মি $\overline{{}OA}$ এবং $\overline{{}OB}$ $\angle AOB$ তৈরি করে (বা $\angle BOA$ ও বলা হয়)।

একটি কোণ একটি অঞ্চলের তিনটি বিভাগের দিকে নিয়ে যায়:

কোণের উপর, কোণের অভ্যন্তর এবং কোণের বহিঃস্থ।