4.1 ಪರಿಚಯ

ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಒಂದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಸಮೃದ್ಧ ಇತಿಹಾಸವಿದೆ. ‘ಜ್ಯಾಮಿತಿ’ ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯ ‘ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಾನ್’ ಎಂಬ ಪದದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿದೆ. ‘ಜಿಯೋ’ ಎಂದರೆ ಭೂಮಿ ಮತ್ತು ‘ಮೆಟ್ರಾನ್’ ಎಂದರೆ ಅಳತೆ. ಇತಿಹಾಸಕಾರರ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ರೂಪುಗೊಂಡವು, ಬಹುಶಃ ಕಲೆ, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ಅಗತ್ಯದಿಂದಾಗಿ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಗುವಳಿ ಭೂಮಿಯ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ದೂರುಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡದೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳೂ ಸೇರಿವೆ. ಭವ್ಯವಾದ ಅರಮನೆಗಳು, ದೇವಾಲಯಗಳು, ಸರೋವರಗಳು, ಅಣೆಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ನಗರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ, ಕಲೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪವು ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಿದವು. ಇಂದಿಗೂ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಕಲೆಗಳಲ್ಲಿ,

ಅಳತೆಗಳು, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಬಟ್ಟೆ ವಿನ್ಯಾಸ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿವೆ. ನೀವು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು, ಮೇಜುಗಳು, ಪುಸ್ತಕಗಳು, ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಗೆ ಊಟಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗುವ ಟಿಫಿನ್ ಬಾಕ್ಸ್, ನೀವು ಆಡುವ ಚೆಂಡು ಮುಂತಾದ ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಬಳಸುತ್ತೀರಿ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ವಿವಿಧ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನೀವು ಬಳಸುವ ರೂಲರ್, ನೀವು ಬರೆಯುವ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ನೇರವಾಗಿವೆ. ಬಳೆ, ಒಂದು ರೂಪಾಯಿ ನಾಣ್ಯ ಅಥವಾ ಚೆಂಡಿನ ಚಿತ್ರಗಳು ಗುಂಡಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ.

ಇಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಆಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ.

4.2 ಬಿಂದುಗಳು

ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ತೀಕ್ಷ್ಣ ತುದಿಯಿಂದ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ತುದಿಯು ಹೆಚ್ಚು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚುಕ್ಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ತೆಳ್ಳಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಬಹುತೇಕ ಅದೃಶ್ಯವಾದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಚುಕ್ಕೆಯು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಇವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳು:

ನೀವು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಿಂದು A, ಬಿಂದು B ಮತ್ತು ಬಿಂದು C ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಅದೃಶ್ಯವಾಗಿ ತೆಳ್ಳಗಿರಬೇಕು.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ತೀಕ್ಷ್ಣ ತುದಿಯಿಂದ, ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು A,C,P,H ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಹೆಸರಿಸಿ. ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಸರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಒಂದು ಅಂತಹ ವಿಧಾನವು ಈ ರೀತಿ ಇರಬಹುದು

2. ಆಕಾಶದಲ್ಲಿನ ನಕ್ಷತ್ರವು ನಮಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಐದು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

4.3 ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ

ಕಾಗದದ ತುಂಡನ್ನು ಮಡಿಸಿ ಅದನ್ನು ಬಿಚ್ಚಿ. ನೀವು ಮಡಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ಇದು ರೇಖಾಖಂಡದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು A ಮತ್ತು B ಎಂಬ ಎರಡು ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಒಂದು ತೆಳ್ಳಗಿನ ದಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ಎರಡು ತುದಿಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದು, ಅದನ್ನು ಸಡಿಲವಿಲ್ಲದೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಇದು ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕೈಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದಿರುವ ತುದಿಗಳು ರೇಖಾಖಂಡದ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ರೇಖಾಖಂಡಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ:

ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನಿಂದ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾದ A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. A ನಿಂದ B ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. (ಚಿತ್ರ 4.1)

$A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಇರುವ ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ಮಾರ್ಗ ಯಾವುದು?

ಬಿಂದು $A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಇರುವ ಈ ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ಸಂಪರ್ಕ ($A$ ಮತ್ತು $B$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು $\overline{AB}$ ಅಥವಾ $\overline{BA}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಅನ್ನು ಖಂಡದ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಚಿತ್ರ 4.2 ರಲ್ಲಿ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಹೆಸರಿಸಿ. $A$, ಪ್ರತಿ ರೇಖಾಖಂಡದ ತುದಿ ಬಿಂದುವೇ?

4.4 ಒಂದು ರೇಖೆ

$A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಇರುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು (ಅಂದರೆ $\overline{AB}$) $A$ ನಿಂದ ಮುಂದೆ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು $B$ ನಿಂದ ಮುಂದೆ ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಈಗ ನೀವು ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಮಾದರಿ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ನೀವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ಇಲ್ಲ. (ಏಕೆ?)

$A$ ಮತ್ತು $B$ ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯನ್ನು $\overline{{}A B}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. (ಈ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ).

ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಾಕು. ನಾವು ‘ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ’ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ (ಚಿತ್ರ 4.3) ಒಂದು ರೇಖೆ PQ ಯದ್ದಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು $\overline{PQ}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು $l, m$ ನಂತಹ ಒಂದು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4.5 ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು

ಚಿತ್ರ (ಚಿತ್ರ 4.4) ನೋಡಿ. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು $l_1$ ಮತ್ತು $l_2$ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ರೇಖೆಗಳು ಬಿಂದು $P$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ. ನಾವು $l_1$ ಮತ್ತು $l_2$ ರೇಖೆಗಳು $P$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 4.5):

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಎರಡು ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ (ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮಡಿಸಿ) ಮತ್ತು ಚರ್ಚಿಸಿ:

(ಎ) ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದೇ?
(ಬಿ) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದೇ?

4.6 ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು

ಈ ಟೇಬಲ್ (ಚಿತ್ರ 4.6) ನೋಡೋಣ. ಮೇಲ್ಭಾಗ ABCD ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾಖಂಡಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

ಛೇದಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಇವೆಯೇ?

ಹೌದು, AB ಮತ್ತು BC ರೇಖಾಖಂಡಗಳು B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಯಾವ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ? C ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ? D ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ?

AD ಮತ್ತು CD ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

$\overline{AD}$ ಮತ್ತು $\overline{BC}$ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

ಟೇಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಎಷ್ಟೇ ದೂರ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೂ ಸಹ, ಸಂಧಿಸದ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುತ್ತೀರಿ. $\overline{{}AD}$ ಮತ್ತು $\overline{BC}$ ಅಂತಹ ಒಂದು ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಟೇಬಲ್ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸದ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು (ಅಥವಾ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು) ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಹುದೇ?

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ಬೇರೆ ಎಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ? ಹತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು $\overline{{}AB}$ ಮತ್ತು $\overline{{}CD}$ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು $l_1$ ಮತ್ತು $l_2$ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು $l_1 \| l_2$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಹುದೇ?

4.7 ಕಿರಣ

ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಕಿರಣವು ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು ಅಥವಾ ಪ್ರಾರಂಭ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಕಿರಣದ ಚಿತ್ರ (ಚಿತ್ರ 4.7) ನೋಡಿ. ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವು (ಎ) A, ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು (ಬಿ) $P$, ಕಿರಣದ ಮಾರ್ಗದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು.

ನಾವು ಅದನ್ನು $\overline{{}AP}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 4.8) ನೀಡಲಾದ ಕಿರಣಗಳ ಹೆಸರಿಸಿ.

2. $T$ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಿರಣಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವೇ?

ಚಿತ್ರ 4.8

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

$\overline{{}PQ}$ ಒಂದು ಕಿರಣವಾಗಿದ್ದರೆ,

(ಎ) ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು ಯಾವುದು?

(ಬಿ) $Q$ ಬಿಂದುವು ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿದೆ?

(ಸಿ) ಈ ಕಿರಣದ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು $Q$ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಿರಣ $\overline{{}OA}$ (ಚಿತ್ರ 4.9) ಇದೆ. ಇದು $O$ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $A$ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದು $B$ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕವೂ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಅದನ್ನು $\overline{{}OB}$ ಎಂದೂ ಹೆಸರಿಸಬಹುದೇ? ಏಕೆ?

$\overline{{}OA}$ ಮತ್ತು $\overline{{}OB}$ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.

ನಾವು $\overline{{}OA}$ ಅನ್ನು $\overline{{}AO}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಏಕೆ ಅಥವಾ ಏಕೆ ಬರೆಯಬಾರದು?

ಐದು ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಿ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಿರಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಾಣಗಳು ಏನನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ?

ಅಭ್ಯಾಸ 4.1

1. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಹೆಸರಿಸಿ:

(ಎ) ಐದು ಬಿಂದುಗಳು
(ಬಿ) ಒಂದು ರೇಖೆ
(ಸಿ) ನಾಲ್ಕು ಕಿರಣಗಳು
(ಡಿ) ಐದು ರೇಖಾಖಂಡಗಳು

2. ನೀಡಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡು, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ (ಹನ್ನೆರಡು) ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಹೆಸರಿಸಿ.

3. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಹೆಸರಿಸಿ:

(ಎ) $E$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖೆ.
(ಬಿ) A ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆ.
(ಸಿ) O ಇರುವ ರೇಖೆ
(ಡಿ) ಎರಡು ಜೋಡಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು.

4. (ಎ) ಒಂದು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಷ್ಟು ರೇಖೆಗಳು ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು? (ಬಿ) ಎರಡು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಷ್ಟು ರೇಖೆಗಳು ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು?

5. ಒಂದು ಒರಟು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಿ:

(ಎ) ಬಿಂದು $P$ ರೇಖೆ $\overline{AB}$ ಮೇಲೆ ಇದೆ.
(ಬಿ) $\overline{XY}$ ಮತ್ತು $\overline{PQ}$ ರೇಖೆಗಳು $M$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.
(ಸಿ) ರೇಖೆ $l$ $E$ ಮತ್ತು $F$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಆದರೆ $D$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ.
(ಡಿ) $\overline{OP}$ ಮತ್ತು $\overline{OQ}$ ರೇಖೆಗಳು $O$ ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ.

6. ರೇಖೆ $\overline{{}MN}$ ನ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನೀಡಿದ ಚಿತ್ರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರಿಯೇ ತಪ್ಪೇ ಎಂದು ಹೇಳಿ.

(ಎ) Q, M, O, N, P ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖೆ $\overline{{}MN}$ ಮೇಲೆ ಇವೆ.
(ಬಿ) $M, O, N$ ಬಿಂದುಗಳು ರೇಖಾಖಂಡ $\overline{MN}$ ಮೇಲೆ ಇವೆ.
(ಸಿ) $M$ ಮತ್ತು $N$ ರೇಖಾಖಂಡ $\overline{MN}$ ನ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
(ಡಿ) $O$ ಮತ್ತು $N$ ರೇಖಾಖಂಡ $\overline{OP}$ ನ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
(ಇ) $M$ ರೇಖಾಖಂಡ $\overline{QO}$ ನ ಒಂದು ತುದಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
(ಎಫ್) $M$ ಕಿರಣ $\overline{{}OP}$ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
(ಜಿ) ಕಿರಣ $\overline{{}OP}$ ಕಿರಣ $\overline{{}QP}$ ನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.
(ಹೆಚ್) ಕಿರಣ $\overline{{}OP}$ ಕಿರಣ $\overline{{}OM}$ ನಂತೆಯೇ ಇದೆ.
(ಐ) ಕಿರಣ $\overline{{}OM}$ ಕಿರಣ $\overline{{}OP}$ ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ.
(ಜೆ) $O$ $\overline{{}OP}$ ನ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.
(ಕೆ) $N$ $\overline{{}NP}$ ಮತ್ತು $\overline{{}NM}$ ನ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

4.8 ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು

ನೀವು ಎಂದಾದರೂ ಕಾಗದದ ತುಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೇವಲ ಡೂಡಲ್ ಮಾಡಿದ್ದೀರಾ? ನಿಮ್ಮ ಡೂಡಲಿಂಗ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾಗಿರುವ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಕಾಗದದಿಂದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಎತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೂಲರ್ ಬಳಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ಈ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇವೆಲ್ಲವೂ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 4.10).

ದೈನಂದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ‘ವಕ್ರರೇಖೆ’ ಎಂದರೆ “ನೇರವಲ್ಲ”. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಚಿತ್ರ 4.10 (iv) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನೇರವಾಗಿರಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 4.10 ರಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು (iii) ಮತ್ತು (vii) ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರ 4.10 ರಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು (i), (ii), (v) ಮತ್ತು (vi) ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಐದು ಸರಳ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಐದು ಸರಳವಲ್ಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಈಗ ಇವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 4.11).

ಈ ಎರಡರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಏನು? ಮೊದಲನೆಯದು ಅಂದರೆ ಚಿತ್ರ 4.11 (i) ಒಂದು ಮುಕ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅಂದರೆ ಚಿತ್ರ 4.11(ii) ಒಂದು ಸಂವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆ. ಚಿತ್ರ 4.10 (i), (ii), (v), (vi) ಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಸಂವೃತ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಹುದೇ? ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಸಂವೃತವಾಗಿರುವ ಐದು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ

ಟೆನ್ನಿಸ್ ಕೋರ್ಟ್ನಲ್ಲಿನ ಕೋರ್ಟ್ ರೇಖೆಯು ಅದನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ: ರೇಖೆಯ ಒಳಭಾಗ, ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಹೊರಭಾಗ. ರೇಖೆಯನ್ನು ದಾಟದೆ ನೀವು ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ಗೋಡೆಯು ನಿಮ್ಮ ಮನೆಯನ್ನು ರಸ್ತೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಂಯುಕ್ತದ ‘ಒಳಭಾಗ’, ಸಂಯುಕ್ತದ ಗಡಿಯ ‘ಮೇಲೆ’ ಮತ್ತು ಸಂಯುಕ್ತದ ‘ಹೊರಭಾಗ’ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೀರಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಭಾಗಗಳಿವೆ.

(i) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಂತರಿಕ (‘ಒಳಭಾಗ’)
(ii) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗಡಿ (‘ಮೇಲೆ’) ಮತ್ತು
(iii) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಾಹ್ಯ (‘ಹೊರಭಾಗ’).

ಚಿತ್ರ 4.12 ರಲ್ಲಿ, A ಆಂತರಿಕದಲ್ಲಿದೆ, C ಬಾಹ್ಯದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು B ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿದೆ.

ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಂತರಿಕ ಭಾಗವು ಅದರ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿ ಅದರ “ಪ್ರದೇಶ” ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

4.9 ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು

ಈ ಚಿತ್ರಗಳು 4.13 (i), (ii), (iii), (iv), (v) ಮತ್ತು (vi) ಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಅವು ಸಂವೃತವಾಗಿವೆಯೇ? ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ? (i), (ii), (iii), (iv) ಮತ್ತು (vi) ವಿಶೇಷವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ (i), (ii), (iii) ಮತ್ತು (iv) ಸಹ ಸರಳ ಸಂವೃತ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಚಿತ್ರವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಸರಳ ಸಂವೃತ ಆಕೃತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

1. ಐದು ದಾರದಕಡ್ಡಿಗಳು.

2. ನಾಲ್ಕು ದಾರದಕಡ್ಡಿಗಳು.

3. ಮೂರು ದಾರದಕಡ್ಡಿಗಳು.

4. ಎರಡು ದಾರದಕಡ್ಡಿಗಳು.

ಯಾವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ? ಏಕೆ?

ಬಾಹುಗಳು, ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳು

ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು (ಚಿತ್ರ 4.14) ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಅದನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ನೀಡಿ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡಗಳನ್ನು ಅದರ ಬಾಹುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ABCDE ಯ ಬಾಹುಗಳು ಯಾವುವು? (ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸ