4.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਮਾ ਅਤੇ ਸਮ੍ਰਿਧ ਇਤਿਹਾਸ ਹੈ। ‘ਰੇਖਾਗਣਿਤ’ ਸ਼ਬਦ ਯੂਨਾਨੀ ਸ਼ਬਦ ‘ਜਿਓਮੇਟ੍ਰੋਨ’ ਦਾ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਸਮਾਨਾਰਥੀ ਹੈ। ‘ਜਿਓ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਧਰਤੀ ਅਤੇ ‘ਮੇਟ੍ਰੋਨ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਮਾਪ। ਇਤਿਹਾਸਕਾਰਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੇ ਆਕਾਰ ਲਿਆ, ਸੰਭਵ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਕਲਾ, ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਅਤੇ ਮਾਪ ਦੀ ਲੋੜ ਕਾਰਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹ ਮੌਕੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਜਦੋਂ ਖੇਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਜ਼ਮੀਨਾਂ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਿਕਾਇਤਾਂ ਲਈ ਜਗ੍ਹਾ ਦੇਣ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਸੀ। ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਮਹਿਲਾਂ, ਮੰਦਰਾਂ, ਝੀਲਾਂ, ਬੰਨ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਸ਼ਹਿਰਾਂ ਦੀ ਉਸਾਰੀ, ਕਲਾ ਅਤੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਨੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਮਜ਼ਬੂਤ ਕੀਤਾ। ਅੱਜ ਵੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵਿਚਾਰ ਕਲਾ ਦੇ ਸਾਰੇ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ,

ਮਾਪ, ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਕੱਪੜੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨਿੰਗ ਆਦਿ ਵਿੱਚ। ਤੁਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬਕਸੇ, ਮੇਜ਼, ਕਿਤਾਬਾਂ, ਟਿਫਿਨ ਬਾਕਸ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਲਈ ਸਕੂਲ ਲੈ ਕੇ ਜਾਂਦੇ ਹੋ, ਗੇਂਦ ਜਿਸ ਨਾਲ ਤੁਸੀਂ ਖੇਡਦੇ ਹੋ ਆਦਿ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਰੂਲਰ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਵਰਤਦੇ ਹੋ, ਪੈਂਸਿਲ ਜਿਸ ਨਾਲ ਤੁਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹੋ ਸਿੱਧੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚੂੜੀ, ਇੱਕ ਰੁਪਏ ਦਾ ਸਿੱਕਾ ਜਾਂ ਗੇਂਦ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਗੋਲ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇੱਥੇ, ਤੁਸੀਂ ਕੁਝ ਦਿਲਚਸਪ ਤੱਥ ਸਿੱਖੋਗੇ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਹਾਡੇ ਆਸ-ਪਾਸ ਦੇ ਆਕਾਰਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੇ।

4.2 ਬਿੰਦੂ

ਪੈਂਸਿਲ ਦੀ ਤਿੱਖੀ ਨੋਕ ਨਾਲ, ਕਾਗਜ਼ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਗਾਓ। ਨੋਕ ਜਿੰਨੀ ਤਿੱਖੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਬਿੰਦੂ ਓਨਾ ਹੀ ਪਤਲਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਲਗਭਗ ਅਦ੍ਰਿਸ਼ਟ ਛੋਟਾ ਬਿੰਦੂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਦੇਵੇਗਾ।

ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਕੁਝ ਮਾਡਲ ਹਨ :

ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਾਗਜ਼ ‘ਤੇ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਬਿੰਦੂ A, ਬਿੰਦੂ B ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ C ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੇ ਜਾਣਗੇ।

ਬੇਸ਼ਕ, ਬਿੰਦੂ ਅਦ੍ਰਿਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਤਲੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਪੈਂਸਿਲ ਦੀ ਤਿੱਖੀ ਨੋਕ ਨਾਲ, ਕਾਗਜ਼ ‘ਤੇ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ A, C, P, H ਅੱਖਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਾਮ ਦਿਓ। ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਨਾਮ ਦੇਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ

2. ਅਸਮਾਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਾਰਾ ਵੀ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਪੰਜ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।

4.3 ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ

ਕਾਗਜ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ ਮੋੜੋ ਅਤੇ ਖੋਲ੍ਹੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਮੋੜ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੇ ਦੋ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ A ਅਤੇ B ਹਨ।

ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਧਾਗਾ ਲਓ। ਇਸ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਸਿਰੇ ਫੜੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਢਿੱਲ ਦੇ ਬਿਨਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੱਥਾਂ ਨਾਲ ਫੜੇ ਗਏ ਸਿਰੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਲਈ ਕੁਝ ਮਾਡਲ ਹਨ :

ਆਪਣੇ ਆਸ-ਪਾਸ ਤੋਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।

ਕਾਗਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ A ਅਤੇ B ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ। A ਨੂੰ B ਨਾਲ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰਸਤਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਜੋੜਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। (ਚਿੱਤਰ 4.1)

$A$ ਤੋਂ $B$ ਤੱਕ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਰਸਤਾ ਕੀ ਹੈ?

ਬਿੰਦੂ $A$ ਤੋਂ $B$ ($A$ ਅਤੇ $B$ ਸਮੇਤ) ਤੱਕ ਦਾ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਜੋੜ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ $\overline{AB}$ ਜਾਂ $\overline{BA}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਨੂੰ ਖੰਡ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਚਿੱਤਰ 4.2 ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਦੱਸੋ। ਕੀ $A$, ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਾ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੈ?

4.4 ਇੱਕ ਰੇਖਾ

ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ $A$ ਤੋਂ $B$ (ਭਾਵ $\overline{AB}$) ਤੱਕ ਦਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ $A$ ਤੋਂ ਪਰੇ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ $B$ ਤੋਂ ਪਰੇ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਅੰਤ ਦੇ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ ਵੇਖੋ)। ਹੁਣ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਪੂਰੀ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਨਹੀਂ। (ਕਿਉਂ?)

ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ $\overline{{}A B}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਵਾਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੈਲਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਵਿੱਚ ਅਗਿਣਤ ਬਿੰਦੂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। (ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ)।

ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਕਾਫੀ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ‘ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ’।

ਨੇੜਲਾ ਚਿੱਤਰ (ਚਿੱਤਰ 4.3) ਇੱਕ ਰੇਖਾ PQ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $\overline{PQ}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ $l, m$ ਵਰਗੇ ਅੱਖਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

4.5 ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ

ਚਿੱਤਰ (ਚਿੱਤਰ 4.4) ਨੂੰ ਵੇਖੋ। ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ $l_1$ ਅਤੇ $l_2$ ਦਿਖਾਈ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਦੋਵੇਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਬਿੰਦੂ $P$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $l_1$ ਅਤੇ $l_2$, $P$ ‘ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਲਈ ਕੁਝ ਮਾਡਲ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 4.5):

ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਲਈ ਕੁਝ ਹੋਰ ਮਾਡਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।

ਇਹ ਕਰੋ

ਕਾਗਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ਲਓ। ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਮੋੜ ਬਣਾਓ (ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਰੀਸ ਕਰੋ) ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ :

(ਉ) ਕੀ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?
(ਅ) ਕੀ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੇਖਾਵਾਂ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?

4.6 ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ

ਆਓ ਇਸ ਟੇਬਲ (ਚਿੱਤਰ 4.6) ਨੂੰ ਵੇਖੀਏ। ਉੱਪਰਲਾ ਹਿੱਸਾ ABCD ਸਮਤਲ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਕੀ ਇੱਥੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹਨ?

ਹਾਂ, AB ਅਤੇ BC ਬਿੰਦੂ B ‘ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੇ ਹਨ।

ਕਿਹੜੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ A ‘ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੇ ਹਨ? C ‘ਤੇ? D ‘ਤੇ?

ਕੀ ਰੇਖਾਵਾਂ AD ਅਤੇ CD ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਹਨ?

ਕੀ ਰੇਖਾਵਾਂ $\overline{AD}$ ਅਤੇ $\overline{BC}$ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਹਨ?

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਟੇਬਲ ਦੀ ਸਤਹ ‘ਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹਨ ਜੋ ਮਿਲਣਗੇ ਨਹੀਂ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਹੀ ਦੂਰ ਤੱਕ ਵਧਾਏ ਗਏ ਹੋਣ। $\overline{{}AD}$ ਅਤੇ $\overline{BC}$ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਜੋੜੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਟੇਬਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਅਜਿਹੀ ਜੋੜੀ (ਜੋ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਜੋ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀਆਂ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਂਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸੋਚੋ, ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਿਖੋ

ਤੁਸੀਂ ਹੋਰ ਕਿੱਥੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਦਸ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।

ਜੇਕਰ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ $\overline{{}AB}$ ਅਤੇ $\overline{{}CD}$ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।

ਜੇਕਰ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ $l_1$ ਅਤੇ $l_2$ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $l_1 \| l_2$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?

4.7 ਕਿਰਨ

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਮਾਡਲ ਹਨ:

ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਸੀਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਕਿਰਨ ਦੇ ਚਿੱਤਰ (ਚਿੱਤਰ 4.7) ਨੂੰ ਵੇਖੋ। ਕਿਰਨ ‘ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਉਹ ਹਨ (ਉ) A, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ (ਅ) $P$, ਕਿਰਨ ਦੇ ਰਸਤੇ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ।

ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $\overline{{}AP}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਇਸ ਚਿੱਤਰ (ਚਿੱਤਰ 4.8) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਦੱਸੋ।

2. ਕੀ $T$ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ?

ਚਿੱਤਰ 4.8

ਸੋਚੋ, ਚਰਚਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲਿਖੋ

ਜੇਕਰ $\overline{{}PQ}$ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਹੈ,

(ਉ) ਇਸ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਕੀ ਹੈ?

(ਅ) ਕਿਰਨ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ $Q$ ਕਿੱਥੇ ਸਥਿਤ ਹੈ?

(ਇ) ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $Q$ ਇਸ ਕਿਰਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ?

ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਕਿਰਨ $\overline{{}OA}$ (ਚਿੱਤਰ 4.9) ਹੈ। ਇਹ $O$ ‘ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ $A$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ $B$ ਵਿੱਚੋਂ ਵੀ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $\overline{{}OB}$ ਵਜੋਂ ਵੀ ਨਾਮ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਕਿਉਂ?

$\overline{{}OA}$ ਅਤੇ $\overline{{}OB}$ ਇੱਥੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ।

ਕੀ ਅਸੀਂ $\overline{{}OA}$ ਨੂੰ $\overline{{}AO}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?

ਪੰਜ ਕਿਰਨਾਂ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਲਈ ਉਚਿਤ ਨਾਮ ਲਿਖੋ।

ਇਹਨਾਂ ਕਿਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ‘ਤੇ ਤੀਰ ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ?

ਅਭਿਆਸ 4.1

1. ਚਿੱਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਾਮ ਦੱਸੋ :

(ਉ) ਪੰਜ ਬਿੰਦੂ
(ਅ) ਇੱਕ ਰੇਖਾ
(ਇ) ਚਾਰ ਕਿਰਨਾਂ
(ਸ) ਪੰਜ ਰੇਖਾ ਖੰਡ

2. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚਾਰ ਅੱਖਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਸਿਰਫ ਦੋ ਅੱਖਰ ਚੁਣ ਕੇ, ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ (ਬਾਰਾਂ) ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਨਾਮ ਦਿਓ।

3. ਚਿੱਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਾਮ ਦੱਸੋ :

(ਉ) ਰੇਖਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $E$ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
(ਅ) ਰੇਖਾ ਜੋ A ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।
(ਇ) ਰੇਖਾ ਜਿਸ ‘ਤੇ O ਸਥਿਤ ਹੈ
(ਸ) ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਜੋੜੀਆਂ।

4. (ਉ) ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਘ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ? (ਅ) ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ?

5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੁਰਦਰੀ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ:

(ਉ) ਬਿੰਦੂ $P$, $\overline{AB}$ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
(ਅ) $\overline{XY}$ ਅਤੇ $\overline{PQ}$, $M$ ‘ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜ੍ਹਦੀਆਂ ਹਨ।
(ਇ) ਰੇਖਾ $l$ ਵਿੱਚ $E$ ਅਤੇ $F$ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਪਰ $D$ ਨਹੀਂ।
(ਸ) $\overline{OP}$ ਅਤੇ $\overline{OQ}$, $O$ ‘ਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ।

6. ਰੇਖਾ $\overline{{}MN}$ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚਿੱਤਰ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚਿੱਤਰ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਦੱਸੋ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹਨ ਜਾਂ ਝੂਠ।

(ਉ) Q, M, O, N, P ਰੇਖਾ $\overline{{}MN}$ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
(ਅ) $M, O, N$ ਰੇਖਾ ਖੰਡ $\overline{MN}$ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
(ਇ) $M$ ਅਤੇ $N$ ਰੇਖਾ ਖੰਡ $\overline{MN}$ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
(ਸ) $O$ ਅਤੇ $N$ ਰੇਖਾ ਖੰਡ $\overline{OP}$ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
(ਹ) $M$ ਰੇਖਾ ਖੰਡ $\overline{QO}$ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ।
(ਕ) $M$ ਕਿਰਨ $\overline{{}OP}$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
(ਖ) ਕਿਰਨ $\overline{{}OP}$, ਕਿਰਨ $\overline{{}QP}$ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੈ।
(ਗ) ਕਿਰਨ $\overline{{}OP}$, ਕਿਰਨ $\overline{{}OM}$ ਵਰਗੀ ਹੀ ਹੈ।
(ਘ) ਕਿਰਨ $\overline{{}OM}$, ਕਿਰਨ $\overline{{}OP}$ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਨਹੀਂ ਹੈ।
(ਙ) $O$, $\overline{{}OP}$ ਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
(ਚ) $N$, $\overline{{}NP}$ ਅਤੇ $\overline{{}NM}$ ਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।

4.8 ਵਕਰ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਦੇ ਕਾਗਜ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ ਲਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਡੂਡਲ ਕੀਤਾ ਹੈ? ਤੁਹਾਡੇ ਡੂਡਲਿੰਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਬਣੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਨੂੰ ਵਕਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਨੂੰ ਕਾਗਜ਼ ਤੋਂ ਪੈਂਸਿਲ ਨੂੰ ਉਠਾਏ ਬਿਨਾਂ ਅਤੇ ਰੂਲਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਸਾਰੇ ਵਕਰ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 4.10)।

ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ‘ਵਕਰ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ “ਸਿੱਧਾ ਨਹੀਂ”। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵਕਰ ਚਿੱਤਰ 4.10 (iv) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਵਾਂਗ ਸਿੱਧਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.10 ਵਿੱਚ ਵਕਰ (iii) ਅਤੇ (vii) ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਦਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.10 ਵਿੱਚ ਵਕਰ (i), (ii), (v) ਅਤੇ (vi) ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵਕਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਪਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਵਕਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪੰਜ ਹੋਰ ਸਧਾਰਨ ਵਕਰ ਅਤੇ ਪੰਜ ਵਕਰ ਬਣਾਓ ਜੋ ਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 4.11)।

ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਪਹਿਲਾ ਭਾਵ ਚਿੱਤਰ 4.11 (i) ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਵਕਰ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਭਾਵ ਚਿੱਤਰ 4.11(ii) ਇੱਕ ਬੰਦ ਵਕਰ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 4.10 (i), (ii), (v), (vi) ਤੋਂ ਕੁਝ ਬੰਦ ਅਤੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਪੰਜ-ਪੰਜ ਵਕਰ ਬਣਾਓ ਜੋ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅਤੇ ਬੰਦ ਹਨ।

ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ

ਟੈਨਿਸ ਕੋਰਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਰਟ ਲਾਈਨ ਇਸਨੂੰ ਤਿੰਨ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ: ਲਾਈਨ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਲਾਈਨ ਦੇ ਬਾਹਰ। ਤੁਸੀਂ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਅੰਦਰ ਦਾਖਲ ਨਹੀ