4.1 పరిచయం

జ్యామితికి ఒక సుదీర్ఘ మరియు సంపన్న చరిత్ర ఉంది. ‘జ్యామితి’ అనే పదం గ్రీకు పదమైన ‘జియోమెట్రాన్’కి ఆంగ్ల సమానార్థకం. ‘జియో’ అంటే భూమి మరియు ‘మెట్రాన్’ అంటే కొలత. చరిత్రకారుల ప్రకారం, ప్రాచీన కాలంలో జ్యామితీయ ఆలోచనలు రూపుదిద్దుకున్నాయి, బహుశా కళ, నిర్మాణం మరియు కొలతల అవసరం వల్ల. వ్యవసాయ భూముల సరిహద్దులను ఫిర్యాదులకు అవకాశం లేకుండా గుర్తించవలసిన సందర్భాలు ఇందులో ఉంటాయి. గొప్ప అరముల, దేవాలయాలు, సరస్సులు, ఆనకట్టలు మరియు నగరాల నిర్మాణం, కళ మరియు నిర్మాణ శాస్త్రం ఈ ఆలోచనలను ముందుకు నడిపించాయి. నేడు కూడా జ్యామితీయ ఆలోచనలు అన్ని రకాల కళలలో,

కొలతలు, నిర్మాణ శాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్, వస్త్ర నిర్మాణం మొదలైన వాటిలో ప్రతిబింబిస్తాయి. మీరు పెట్టెలు, బల్లలు, పుస్తకాలు, మీరు మధ్యాహ్న భోజనానికి మీ పాఠశాలకు తీసుకెళ్లే టిఫిన్ బాక్స్, మీరు ఆడుకునే బంతి మొదలైన వివిధ వస్తువులను గమనించి ఉపయోగిస్తారు. అటువంటి అన్ని వస్తువులకు వివిధ ఆకారాలు ఉంటాయి. మీరు ఉపయోగించే పాలకం, మీరు రాయడానికి ఉపయోగించే పెన్సిల్ సరళంగా ఉంటాయి. బంగిడీ, ఒక రూపాయి నాణెం లేదా బంతి యొక్క చిత్రాలు గుండ్రంగా కనిపిస్తాయి.

ఇక్కడ, మీరు చుట్టూ ఉన్న ఆకారాల గురించి మరింత తెలుసుకోవడానికి సహాయపడే కొన్ని ఆసక్తికరమైన వాస్తవాలను నేర్చుకుంటారు.

4.2 బిందువులు

పెన్సిల్ యొక్క పదునైన కొనతో కాగితంపై ఒక బిందువును గుర్తించండి. కొన ఎంత పదునుగా ఉంటే, బిందువు అంత సన్నగా ఉంటుంది. ఈ దాదాపు అదృశ్యమైన చిన్న బిందువు మీకు ఒక బిందువు యొక్క భావనను ఇస్తుంది.

ఒక బిందువు ఒక స్థానాన్ని నిర్ధారిస్తుంది.

ఇవి ఒక బిందువు కోసం కొన్ని నమూనాలు :

మీరు ఒక కాగితంపై మూడు బిందువులను గుర్తించినట్లయితే, వాటిని వేరు చేయవలసి ఉంటుంది. దీని కోసం అవి సూచించబడతాయి

ఈ బిందువులు బిందువు A, బిందువు B మరియు బిందువు C గా చదవబడతాయి.

వాస్తవానికి, బిందువులు అదృశ్యంగా సన్నగా ఉండాలి.

ఇవి చేయండి

1. పెన్సిల్ యొక్క పదునైన కొనతో, ఒక కాగితంపై నాలుగు బిందువులను గుర్తించి వాటికి A,C,P,H అక్షరాలతో పేరు పెట్టండి. ఈ బిందువులను వివిధ రకాలుగా పేరు పెట్టడానికి ప్రయత్నించండి. ఒక మార్గం ఇలా ఉండవచ్చు

2. ఆకాశంలోని ఒక నక్షత్రం కూడా మనకు ఒక బిందువు యొక్క భావనను ఇస్తుంది. మీ రోజువారీ జీవితంలో కనీసం ఐదు అటువంటి పరిస్థితులను గుర్తించండి.

4.3 ఒక రేఖాఖండం

కాగితం ముక్కను మడచి తెరవండి. మీకు ఒక మడత కనిపిస్తుందా? ఇది ఒక రేఖాఖండం యొక్క భావనను ఇస్తుంది. దీనికి A మరియు B అనే రెండు చివరి బిందువులు ఉంటాయి.

ఒక సన్నని దారాన్ని తీసుకోండి. దాని రెండు చివరలను పట్టుకొని సడలించకుండా లాగండి. ఇది ఒక రేఖాఖండాన్ని సూచిస్తుంది. చేతులతో పట్టుకున్న చివరలు రేఖాఖండం యొక్క చివరి బిందువులు.

కింది వాటిలో కొన్ని రేఖాఖండం కోసం నమూనాలు:

మీ చుట్టూ ఉన్న వాటి నుండి రేఖాఖండాలకు మరిన్ని ఉదాహరణలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

ఒక కాగితపు షీట్పై ఏవైనా రెండు బిందువులు A మరియు B ను గుర్తించండి. A ని B కి అన్ని సాధ్యమైన మార్గాల ద్వారా కలపడానికి ప్రయత్నించండి. (Fig 4.1)

$A$ నుండి $B$ కి అతి తక్కువ మార్గం ఏది?

బిందువు $A$ నుండి $B$ ($A$ మరియు $B$ లతో సహా) వరకు ఉన్న ఈ అతి తక్కువ కలయిక ఇక్కడ చూపబడినది ఒక రేఖాఖండం. దీనిని $\overline{AB}$ లేదా $\overline{BA}$ గా సూచిస్తారు. బిందువులు $A$ మరియు $B$ లను ఖండం యొక్క చివరి బిందువులు అంటారు.

ఇవి చేయండి

1. పటం 4.2 లోని రేఖాఖండాలను పేరు పెట్టండి. $A$, ప్రతి రేఖాఖండం యొక్క చివరి బిందువు ఉందా?

4.4 ఒక రేఖ

$A$ నుండి $B$ (అంటే $\overline{AB}$ ) వరకు ఉన్న రేఖాఖండం $A$ దాటి ఒక దిశలో మరియు $B$ దాటి మరొక దిశలో ఏ చివర లేకుండా విస్తరించబడిందని ఊహించండి (పటం చూడండి). ఇప్పుడు మీరు ఒక రేఖకు నమూనా పొందుతారు.

మీరు ఒక రేఖ యొక్క పూర్తి చిత్రాన్ని గీయగలరని మీరు అనుకుంటున్నారా? లేదు. (ఎందుకు?)

రెండు బిందువులు $A$ మరియు $B$ గుండా వెళ్ళే రేఖ $\overline{{}A B}$ గా రాయబడుతుంది. ఇది రెండు దిశలలోనూ అనంతంగా విస్తరించి ఉంటుంది. కాబట్టి ఇది అసంఖ్యాకమైన బిందువులను కలిగి ఉంటుంది. (దీని గురించి ఆలోచించండి).

ఒక రేఖను స్థిరపరచడానికి రెండు బిందువులు సరిపోతాయి. మనం ‘రెండు బిందువులు ఒక రేఖను నిర్ధారిస్తాయి’ అని చెప్తాము.

పక్క పటం (Fig 4.3) $\overline{PQ}$ గా రాయబడిన PQ రేఖ యొక్కది. కొన్నిసార్లు ఒక రేఖను $l, m$ వంటి ఒక అక్షరంతో సూచిస్తారు.

4.5 ఖండించే రేఖలు

పటం (Fig 4.4) చూడండి. రెండు రేఖలు $l_1$ మరియు $l_2$ చూపబడ్డాయి. రెండు రేఖలు బిందువు $P$ గుండా వెళతాయి. మనం $l_1$ మరియు $l_2$ లు $P$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి అని చెప్తాము. రెండు రేఖలకు ఒక సాధారణ బిందువు ఉంటే, వాటిని ఖండించే రేఖలు అంటారు.

కింది వాటిలో కొన్ని ఖండించే రేఖల జత యొక్క నమూనాలు (Fig 4.5):

ఖండించే రేఖల జతకు మరికొన్ని నమూనాలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

ఇది చేయండి

ఒక కాగితపు షీట్ తీసుకోండి. ఖండించే రేఖల జతను సూచించడానికి రెండు మడతలు వేసి (మరియు వాటిని ముడుచుకోండి) మరియు చర్చించండి:

(a) రెండు రేఖలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ బిందువుల వద్ద ఖండించుకోగలవా?
(b) ఒక బిందువు వద్ద రెండు కంటే ఎక్కువ రేఖలు ఖండించుకోగలవా?

4.6 సమాంతర రేఖలు

ఈ పట్టికను (Fig 4.6) చూద్దాం. పై భాగం ABCD సమతలంగా ఉంది. మీరు కొన్ని బిందువులు మరియు రేఖాఖండాలను చూడగలుగుతున్నారా?

ఖండించే రేఖాఖండాలు ఉన్నాయా?

అవును, AB మరియు BC లు B బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటాయి.

ఏ రేఖాఖండాలు A వద్ద ఖండించుకుంటాయి? C వద్ద? D వద్ద?

AD మరియు CD రేఖలు ఖండించుకుంటాయా?

$\overline{AD}$ మరియు $\overline{BC}$ రేఖలు ఖండించుకుంటాయా?

మీరు పట్టిక ఉపరితలంపై ఎంత దూరం విస్తరించినా కలవని రేఖాఖండాలు ఉన్నాయని గమనిస్తారు. $\overline{{}AD}$ మరియు $\overline{BC}$ లు అటువంటి ఒక జతను ఏర్పరుస్తాయి. మీరు పట్టిక పైభాగంపై మరో అటువంటి రేఖల జతను (కలవని వాటిని) గుర్తించగలరా?

ఇలా కలవని రేఖలను సమాంతరంగా ఉన్నవి అంటారు; మరియు వాటిని సమాంతర రేఖలు అంటారు.

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు రాయండి

మీరు సమాంతర రేఖలను మరెక్కడ చూస్తారు? పది ఉదాహరణలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

రెండు రేఖలు $\overline{{}AB}$ మరియు $\overline{{}CD}$ లు సమాంతరంగా ఉంటే, మనం $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ అని రాస్తాము.

రెండు రేఖలు $l_1$ మరియు $l_2$ లు సమాంతరంగా ఉంటే, మనం $l_1 \| l_2$ అని రాస్తాము.

కింది పటాలలో సమాంతర రేఖలను మీరు గుర్తించగలరా?

4.7 కిరణం

కిరణం కోసం కింది వాటిలో కొన్ని నమూనాలు:

కిరణం అనేది ఒక రేఖలోని ఒక భాగం. ఇది ఒక బిందువు వద్ద (ప్రారంభ బిందువు లేదా మూల బిందువు అని పిలుస్తారు) మొదలై ఒక దిశలో అనంతంగా వెళుతుంది.

ఇక్కడ చూపబడిన కిరణం యొక్క పటాన్ని (Fig 4.7) చూడండి. కిరణంపై రెండు బిందువులు చూపబడ్డాయి. అవి (a) A, ప్రారంభ బిందువు (b) $P$, కిరణం మార్గంలో ఒక బిందువు.

మేము దానిని $\overline{{}AP}$ గా సూచిస్తాము.

ఇవి చేయండి

1. ఈ చిత్రంలో (Fig 4.8) ఇవ్వబడిన కిరణాలను పేరు పెట్టండి.

2. $T$ ఈ కిరణాలలో ప్రతి ఒక్కదాని యొక్క ప్రారంభ బిందువు ఉందా?

Fig 4.8

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు రాయండి

$\overline{{}PQ}$ ఒక కిరణం అయితే,

(a) దాని ప్రారంభ బిందువు ఏది?

(b) బిందువు $Q$ కిరణంపై ఎక్కడ ఉంది?

(c) ఈ కిరణం యొక్క ప్రారంభ బిందువు $Q$ అని మనం చెప్పగలమా?

ఇక్కడ ఒక కిరణం $\overline{{}OA}$ (Fig 4.9) ఉంది. ఇది $O$ వద్ద మొదలై బిందువు $A$ గుండా వెళుతుంది. ఇది బిందువు $B$ గుండా కూడా వెళుతుంది.

మీరు దానిని $\overline{{}OB}$ గా కూడా పేరు పెట్టగలరా? ఎందుకు?

$\overline{{}OA}$ మరియు $\overline{{}OB}$ లు ఇక్కడ ఒకటే.

మనం $\overline{{}OA}$ ను $\overline{{}AO}$ గా రాయగలమా? ఎందుకు లేదా ఎందుకు కాదు?

ఐదు కిరణాలను గీయండి మరియు వాటికి తగిన పేర్లు రాయండి.

ఈ కిరణాలలో ప్రతి ఒక్కదానిపై ఉన్న బాణాలు ఏమి చూపిస్తాయి?

అభ్యాసం 4.1

1. పటాన్ని ఉపయోగించి పేరు పెట్టండి:

(a) ఐదు బిందువులు
(b) ఒక రేఖ
(c) నాలుగు కిరణాలు
(d) ఐదు రేఖాఖండాలు

2. ఇవ్వబడిన నాలుగు అక్షరాల నుండి ఒక సమయంలో కేవలం రెండు అక్షరాలను మాత్రమే ఎంచుకొని, అన్ని సాధ్యమైన (పన్నెండు) విధాలుగా రేఖకు పేరు పెట్టండి.

3. పటాన్ని ఉపయోగించి పేరు పెట్టండి:

(a) బిందువు $E$ ను కలిగి ఉన్న రేఖ.
(b) A గుండా వెళ్లే రేఖ.
(c) O ఉన్న రేఖ
(d) ఖండించే రేఖల యొక్క రెండు జతలు.

4. (a) ఒక ఇవ్వబడిన బిందువు గుండా ఎన్ని రేఖలు వెళ్లగలవు? (b) రెండు ఇవ్వబడిన బిందువులు గుండా ఎన్ని రేఖలు వెళ్లగలవు?

5. ఒక సుమారు పటాన్ని గీయండి మరియు క్రింది సందర్భాలలో ప్రతి ఒక్కదానికి తగిన విధంగా లేబుల్ చేయండి:

(a) బిందువు $P$, $\overline{AB}$ పై ఉంది.
(b) $\overline{XY}$ మరియు $\overline{PQ}$ లు $M$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
(c) రేఖ $l$, $E$ మరియు $F$ లను కలిగి ఉంది కానీ $D$ ను కలిగి లేదు.
(d) $\overline{OP}$ మరియు $\overline{OQ}$ లు $O$ వద్ద కలుసుకుంటాయి.

6. రేఖ $\overline{{}MN}$ యొక్క కింది పటాన్ని పరిగణించండి. ఇవ్వబడిన పటం సందర్భంలో కింది ప్రకటనలు సత్యమా లేదా అసత్యమా చెప్పండి.

(a) Q, M, O, N, P లు రేఖ $\overline{{}MN}$ పై బిందువులు.
(b) $M, O, N$ లు రేఖాఖండం $\overline{MN}$ పై బిందువులు.
(c) $M$ మరియు $N$ లు రేఖాఖండం $\overline{MN}$ యొక్క చివరి బిందువులు.
(d) $O$ మరియు $N$ లు రేఖాఖండం $\overline{OP}$ యొక్క చివరి బిందువులు.
(e) $M$ రేఖాఖండం $\overline{QO}$ యొక్క చివరి బిందువులలో ఒకటి.
(f) $M$ కిరణం $\overline{{}OP}$ పై ఒక బిందువు.
(g) కిరణం $\overline{{}OP}$, కిరణం $\overline{{}QP}$ నుండి భిన్నమైనది.
(h) కిరణం $\overline{{}OP}$, కిరణం $\overline{{}OM}$ తో సమానం.
(i) కిరణం $\overline{{}OM}$, కిరణం $\overline{{}OP}$ కు వ్యతిరేకం కాదు.
(j) $O$, $\overline{{}OP}$ యొక్క మూల బిందువు కాదు.
(k) $N$, $\overline{{}NP}$ మరియు $\overline{{}NM}$ ల యొక్క మూల బిందువు.

4.8 వక్రరేఖలు

మీరు ఎప్పుడైనా ఒక కాగితం ముక్కను తీసుకొని కేవలం డూడులింగ్ చేసారా? మీ డూడులింగ్ ఫలితంగా వచ్చే చిత్రాలను వక్రరేఖలు అంటారు.

మీరు కాగితం నుండి పెన్సిల్ను ఎత్తకుండా మరియు పాలకం ఉపయోగించకుండా ఈ చిత్రాలలో కొన్నింటిని గీయగలరు. ఇవన్నీ వక్రరేఖలు (Fig 4.10).

రోజువారీ వాడకంలో ‘వక్రరేఖ’ అంటే “సరళంగా లేనిది”. గణితంలో, ఒక వక్రరేఖ Fig 4.10 (iv) లో చూపినట్లు సరళంగా ఉండవచ్చు.

Fig 4.10 లోని వక్రరేఖలు (iii) మరియు (vii) తమను తాము దాటుకుంటాయని, Fig 4.10 లోని వక్రరేఖలు (i), (ii), (v) మరియు (vi) దాటుకోవని గమనించండి. ఒక వక్రరేఖ తనను తాను దాటుకోకపోతే, దానిని సాధారణ వక్రరేఖ అంటారు.

ఐదు సాధారణ వక్రరేఖలు మరియు సాధారణం కాని ఐదు వక్రరేఖలను గీయండి.

ఇప్పుడు ఇవి (Fig 4.11) పరిగణించండి.

ఈ రెండింటి మధ్య తేడా ఏమిటి? మొదటిది అంటే Fig 4.11 (i) ఒక తెరిచిన వక్రరేఖ మరియు రెండవది అంటే Fig 4.11(ii) ఒక మూసిన వక్రరేఖ. మీరు Fig 4.10 (i), (ii), (v), (vi) పటాల నుండి కొన్ని మూసిన మరియు తెరిచిన వక్రరేఖలను గుర్తించగలరా? తెరిచిన మరియు మూసిన ఐదు వక్రరేఖలను గీయండి.

ఒక పటంలో స్థానం

టెన్నిస్ కోర్టులోని ఒక కోర్టు రేఖ దానిని మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది: రేఖ లోపల, రేఖ పైన మరియు రేఖ వెలుపల. మీరు రేఖను దాటకుండా లోపల ప్రవేశించలేరు.

ఒక కంపౌండ్ గోడ మీ ఇంటిని రోడ్డు నుండి వేరు చేస్తుంది. మీరు కంపౌండ్ ‘లోపల’, కంపౌండ్ యొక్క సరిహద్దు ‘పైన’ మరియు కంపౌండ్ ‘వెలుపల’ గురించి మాట్లాడతారు.

అందువల్ల, ఒక మూసిన వక్రరేఖలో, మూడు భాగాలు ఉంటాయి.

(i) వక్రరేఖ యొక్క అంతర్భాగం (‘లోపల’)
(ii) వక్రరేఖ యొక్క సరిహద్దు (‘పైన’) మరియు
(iii) వక్రరేఖ యొక్క బాహ్య భాగం (‘వెలుపల’).

పటం 4.12 లో, A అంతర్భాగంలో ఉంది, C బాహ్య భాగంలో ఉంది మరియు B వక్రరేఖ పైన ఉంది.

ఒక వక్రరేఖ యొక్క అంతర్భాగం మరియు దాని సరిహద్దు కలిపి దాని “ప్రాంతం” అంటారు.

4.9 బహుభుజులు

ఈ పటాలు 4.13 (i), (ii), (iii), (iv), (v) మరియు (vi) లను చూడండి.

మీరు ఏమి చెప్పగలరు? అవి మూసినవా? అవి ఒకదాని నుండి మరొకటి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? (i), (ii), (iii), (iv) మరియు (vi) లు ప్రత్యేకమైనవి ఎందుకంటే అవి పూర్తిగా రేఖాఖండాలతో తయారు చేయబడ్డాయి. వీటిలో (i), (ii), (iii) మరియు (iv) లు కూడా సాధారణ మూసిన వక్రరేఖలు. వాటిని బహుభుజులు అంటారు.

కాబట్టి, ఒక పటం పూర్తిగా రేఖాఖండాలతో తయారు చేయబడిన సాధారణ మూసిన పటం అయితే, అది ఒక బహుభుజి. పది విభిన్న ఆకారాల బహుభుజులను గీయండి.

ఇది చేయండి

ఈ కింది వాటితో ఒక బహుభుజిని ఏర్పరచడానికి ప్రయత్నించండి

1. ఐదు అగ్గిపుల్లలు.

2. నాలుగు అగ్గిపుల్లలు.

3. మూడు అగ్గిపుల్లలు.

4. రెండు అగ్గిపుల్లలు.

ఏ సందర్భంలో ఇది సాధ్యం కాలేదు? ఎందుకు?

భుజాలు, శీర్షాలు మరియు కర్ణాలు

ఇక్కడ ఇవ్వబడిన పటాన్ని (Fig 4.14) పరిశీలించండి.

దానిని బహుభుజి అని పిలవడానికి