४.१ प्रस्तावना

भूमितीचा इतिहास प्राचीन आणि समृद्ध आहे. ‘जिओमेट्री’ हा शब्द ग्रीक शब्द ‘जिओमेट्रॉन’ चा इंग्रजी समतुल्य आहे. ‘जिओ’ म्हणजे पृथ्वी आणि ‘मेट्रॉन’ म्हणजे मापन. इतिहासकारांच्या मते, भूमितीय संकल्पना प्राचीन काळात कला, वास्तुशास्त्र आणि मापन यांच्या गरजेमुळे आकाराला आल्या. यात अशी प्रसंगी समाविष्ट आहेत जेव्हा लागवडीच्या जमिनीच्या सीमा तक्रारी न देता चिन्हांकित कराव्या लागत. भव्य राजवाडे, मंदिरे, तलाव, धरणे आणि शहरे, कला आणि वास्तुकला यांच्या बांधकामाने या संकल्पनांना पाठिंबा दिला. आजही भूमितीय संकल्पना सर्व प्रकारच्या कलेत,

मापन, वास्तुकला, अभियांत्रिकी, कापड डिझाइनिंग इत्यादींमध्ये प्रतिबिंबित होतात. तुम्ही वेगवेगळ्या वस्तू पाहता आणि वापरता जसे की खोक्या, टेबले, पुस्तके, तुम्ही दुपारच्या जेवणासाठी शाळेत नेणारा टिफिन बॉक्स, ज्याच्याशी तुम्ही खेळता त्या चेंडू इत्यादी. अशा सर्व वस्तूंचे आकार वेगवेगळे असतात. तुम्ही वापरता ते रूलर, ज्याने तुम्ही लिहिता ती पेन्सिल सरळ असते. बांगडीचे चित्र, एक रुपयाचे नाणे किंवा चेंडू गोलाकार दिसतात.

येथे, तुम्ही काही मनोरंजक तथ्ये शिकाल जी तुम्हाला तुमच्या आजूबाजूला असलेल्या आकारांबद्दल अधिक जाणून घेण्यास मदत करतील.

४.२ बिंदू

पेन्सिलच्या तीक्ष्ण टोकाने कागदावर एक टिंब ठेवा. टोक जितके तीक्ष्ण तितके टिंब बारीक. हे जवळजवळ अदृश्य सूक्ष्म टिंब तुम्हाला बिंदूची कल्पना देईल.

एखादा बिंदू एक स्थान निश्चित करतो.

बिंदूसाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे :

जर तुम्ही कागदावर तीन बिंदू चिन्हांकित केले तर त्यांना वेगळे ओळखणे आवश्यक असेल. यासाठी त्यांना दर्शविले जाते

हे बिंदू बिंदू A, बिंदू B आणि बिंदू C असे वाचले जातील.

अर्थात, टिंब अदृश्यपणे बारीक असावीत.

हे करून पहा

१. पेन्सिलच्या तीक्ष्ण टोकाने कागदावर चार बिंदू चिन्हांकित करा आणि त्यांना A,C,P,H अक्षरांनी नावे द्या. या बिंदूंना वेगवेगळ्या प्रकारे नाव देण्याचा प्रयत्न करा. एक मार्ग असा असू शकतो

२. आकाशातील तारा देखील आपल्याला बिंदूची कल्पना देते. तुमच्या दैनंदिन जीवनात अशा किमान पाच परिस्थिती ओळखा.

४.३ रेषाखंड

कागदाचा तुकडा दुमडा आणि उघडा. तुम्हाला एक दुमड दिसते का? हे रेषाखंडाची कल्पना देते. त्याचे दोन टोकबिंदू A आणि B आहेत.

एक बारीक दोरा घ्या. त्याची दोन्ही टोके धरा आणि ताणा (सैल न करता). तो एक रेषाखंड दर्शवितो. हातांनी धरलेली टोके ही रेषाखंडाची टोकबिंदू आहेत.

रेषाखंडासाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे :

तुमच्या सभोवतालच्या वातावरणातून रेषाखंडांची आणखी उदाहरणे शोधण्याचा प्रयत्न करा.

कागदाच्या पत्र्यावर कोणतेही दोन बिंदू A आणि B चिन्हांकित करा. A ला B शी सर्व संभाव्य मार्गांनी जोडण्याचा प्रयत्न करा. (आकृती 4.1)

$A$ ते $B$ पर्यंतचा सर्वात लहान मार्ग कोणता?

बिंदू $A$ ते $B$ पर्यंतचा हा सर्वात लहान जोड ($A$ आणि $B$ यांचा समावेश करून) येथे दाखविल्याप्रमाणे एक रेषाखंड आहे. त्याला $\overline{AB}$ किंवा $\overline{BA}$ असे दर्शविले जाते. बिंदू $A$ आणि $B$ यांना खंडाचे टोकबिंदू म्हणतात.

हे करून पहा

१. आकृती 4.2 मधील रेषाखंडांची नावे द्या. $A$, प्रत्येक रेषाखंडाचा टोकबिंदू आहे का?

४.४ रेषा

कल्पना करा की $A$ ते $B$ पर्यंतचा रेषाखंड (म्हणजेच $\overline{AB}$ ) $A$ च्या पलीकडे एका दिशेने आणि $B$ च्या पलीकडे दुसऱ्या दिशेने कोणत्याही टोकाशिवाय वाढवला आहे (आकृती पहा). तुम्हाला आता एका रेषेचे आदर्श उदाहरण मिळते.

तुम्हाला वाटते तुम्ही रेषेचे संपूर्ण चित्र काढू शकाल का? नाही. (का?)

दोन बिंदू $A$ आणि $B$ मधून जाणारी रेषा $\overline{{}A B}$ असे लिहिली जाते. ती दोन्ही दिशांमध्ये अनिश्चित काळापर्यंत वाढते. म्हणून त्यात असंख्य बिंदू असतात. (याचा विचार करा).

एक रेषा निश्चित करण्यासाठी दोन बिंदू पुरेसे आहेत. आपण म्हणतो ‘दोन बिंदू एक रेषा निश्चित करतात’.

लगतची आकृती (आकृती 4.3) ही रेषा PQ ची आहे जी $\overline{PQ}$ असे लिहिली जाते. कधीकधी एका रेषेला $l, m$ सारख्या एका अक्षराने दर्शविले जाते.

४.५ छेदणाऱ्या रेषा

आकृती (आकृती 4.4) पहा. दोन रेषा $l_1$ आणि $l_2$ दाखवल्या आहेत. दोन्ही रेषा बिंदू $P$ मधून जातात. आपण म्हणतो $l_1$ आणि $l_2$ या रेषा $P$ येथे छेदतात. जर दोन रेषांना एक समान बिंदू असेल तर त्यांना छेदणाऱ्या रेषा म्हणतात.

छेदणाऱ्या रेषांच्या जोडीसाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे (आकृती 4.5):

छेदणाऱ्या रेषांच्या जोडीसाठी आणखी काही आदर्श उदाहरणे शोधण्याचा प्रयत्न करा.

हे करा

कागदाचा एक पत्रा घ्या. छेदणाऱ्या रेषांची जोडी दर्शविण्यासाठी दोन दुमडी (आणि त्यावर पट्ट्या) घाला आणि चर्चा करा :

(अ) दोन रेषा एकापेक्षा जास्त बिंदूत छेदू शकतात का?
(ब) एका बिंदूत दोनपेक्षा जास्त रेषा छेदू शकतात का?

४.६ समांतर रेषा

चला या टेबलकडे पाहूया (आकृती 4.6). वरचा भाग ABCD सपाट आहे. तुम्हाला काही बिंदू आणि रेषाखंड दिसतात का?

छेदणारे रेषाखंड आहेत का?

होय, AB आणि BC हे B बिंदूवर छेदतात.

कोणते रेषाखंड A वर छेदतात? C वर? D वर?

AD आणि CD रेषा छेदतात का?

$\overline{AD}$ आणि $\overline{BC}$ रेषा छेदतात का?

तुम्हाला असे आढळेल की टेबलाच्या पृष्ठभागावर असे रेषाखंड आहेत जे कितीही दूर वाढवले तरीही भेटणार नाहीत. $\overline{{}AD}$ आणि $\overline{BC}$ अशी एक जोडी बनवतात. तुम्ही टेबलच्या वरच्या बाजूस अशी रेषांची आणखी एक जोडी ओळखू शकता का (ज्या भेटत नाहीत)?

अशा रेषांना ज्या भेटत नाहीत त्यांना समांतर म्हटले जाते; आणि त्यांना समांतर रेषा म्हणतात.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

तुम्हाला समांतर रेषा आणखी कोठे दिसतात? दहा उदाहरणे शोधण्याचा प्रयत्न करा.

जर दोन रेषा $\overline{{}AB}$ आणि $\overline{{}CD}$ समांतर असतील तर आपण $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ असे लिहू.

जर दोन रेषा $l_1$ आणि $l_2$ समांतर असतील तर आपण $l_1 \| l_2$ असे लिहू.

तुम्ही खालील आकृत्यांमध्ये समांतर रेषा ओळखू शकता का?

४.७ किरण

किरणासाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे:

किरण हा रेषेचा एक भाग आहे. तो एका बिंदूपासून सुरू होतो (ज्याला प्रारंभ बिंदू किंवा आरंभ बिंदू म्हणतात) आणि एका दिशेने अंतहीनपणे जातो.

येथे दाखवलेल्या किरणाची आकृती (आकृती 4.7) पहा. किरणावर दोन बिंदू दाखवले आहेत. ते (अ) A, प्रारंभ बिंदू (ब) $P$, किरणाच्या मार्गावरील एक बिंदू.

आपण त्याला $\overline{{}AP}$ असे दर्शवितो.

हे करून पहा

१. या चित्रात (आकृती 4.8) दिलेल्या किरणांची नावे द्या.

२. $T$ या प्रत्येक किरणाचा प्रारंभ बिंदू आहे का?

आकृती 4.8

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

जर $\overline{{}PQ}$ हा किरण असेल,

(अ) त्याचा प्रारंभ बिंदू कोणता?

(ब) बिंदू $Q$ किरणावर कोठे आहे?

(क) आपण असे म्हणू शकतो की $Q$ हा या किरणाचा प्रारंभ बिंदू आहे?

येथे एक किरण $\overline{{}OA}$ आहे (आकृती 4.9). तो $O$ वर सुरू होतो आणि बिंदू $A$ मधून जातो. तो बिंदू $B$ मधून देखील जातो.

तुम्ही त्याला $\overline{{}OB}$ असेही नाव देऊ शकता का? का?

$\overline{{}OA}$ आणि $\overline{{}OB}$ येथे समान आहेत.

आपण $\overline{{}OA}$ ला $\overline{{}AO}$ असे लिहू शकतो का? का किंवा का नाही?

पाच किरण काढा आणि त्यांना योग्य नावे द्या.

या प्रत्येक किरणावरील बाण काय दर्शवतात?

उदाहरणे ४.१

१. आकृतीचा वापर करून नावे द्या :

(अ) पाच बिंदू
(ब) एक रेषा
(क) चार किरण
(ड) पाच रेषाखंड

२. दिलेल्या चार अक्षरांपैकी एकावेळी फक्त दोन अक्षरे निवडून, दिलेल्या रेषेची सर्व संभाव्य (बारा) नावे द्या.

३. आकृतीचा वापर करून नावे द्या :

(अ) बिंदू $E$ असलेली रेषा.
(ब) A मधून जाणारी रेषा.
(क) ज्या रेषेवर O आहे
(ड) छेदणाऱ्या रेषांच्या दोन जोड्या.

४. (अ) एक दिलेला बिंदू (ब) दोन दिलेले बिंदू यांमधून किती रेषा काढता येतील?

५. प्रत्येक खालील प्रकरणात एक उग्र आकृती काढा आणि योग्य रीतीने नावे द्या:

(अ) बिंदू $P$ हा $\overline{AB}$ वर आहे.
(ब) $\overline{XY}$ आणि $\overline{PQ}$ यांचा छेदनबिंदू $M$ आहे.
(क) रेषा $l$ मध्ये $E$ आणि $F$ आहेत पण $D$ नाही.
(ड) $\overline{OP}$ आणि $\overline{OQ}$ यांचा मिलाफ बिंदू $O$ आहे.

६. रेषा $\overline{{}MN}$ ची खालील आकृती विचारात घ्या. दिलेल्या आकृतीच्या संदर्भात खालील विधाने सत्य आहेत की असत्य ते सांगा.

(अ) Q, M, O, N, P हे बिंदू रेषा $\overline{{}MN}$ वर आहेत.
(ब) $M, O, N$ हे रेषाखंड $\overline{MN}$ वरील बिंदू आहेत.
(क) $M$ आणि $N$ हे रेषाखंड $\overline{MN}$ चे टोकबिंदू आहेत.
(ड) $O$ आणि $N$ हे रेषाखंड $\overline{OP}$ चे टोकबिंदू आहेत.
(इ) $M$ हा रेषाखंड $\overline{QO}$ चा एक टोकबिंदू आहे.
(फ) $M$ हा किरण $\overline{{}OP}$ वरचा एक बिंदू आहे.
(ग) किरण $\overline{{}OP}$ हा किरण $\overline{{}QP}$ पेक्षा वेगळा आहे.
(घ) किरण $\overline{{}OP}$ हा किरण $\overline{{}OM}$ सारखाच आहे.
(च) किरण $\overline{{}OM}$ हा किरण $\overline{{}OP}$ च्या विरुद्ध नाही.
(छ) $O$ हा $\overline{{}OP}$ चा आरंभ बिंदू नाही.
(ज) $N$ हा $\overline{{}NP}$ आणि $\overline{{}NM}$ चा आरंभ बिंदू आहे.

४.८ वक्र

तुम्ही कधी कागदाचा तुकडा घेऊन फक्त डूडल केले आहे का? तुमच्या डूडलिंगचे परिणाम म्हणून मिळालेली चित्रे यांना वक्र म्हणतात.

तुम्ही कागदावरून पेन्सिल न उचलता आणि रूलरचा वापर न करता यापैकी काही रेखाचित्रे काढू शकता. ही सर्व वक्रे आहेत (आकृती 4.10).

दैनंदिन वापरात ‘वक्र’ म्हणजे “सरळ नसलेले”. गणितामध्ये, एक वक्र आकृती 4.10 (iv) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे सरळ असू शकते.

लक्षात घ्या की आकृती 4.10 मधील वक्र (iii) आणि (vii) स्वतःला छेदतात, तर आकृती 4.10 मधील वक्र (i), (ii), (v) आणि (vi) स्वतःला छेदत नाहीत. जर एखादे वक्र स्वतःला छेदत नसेल तर त्याला साधे वक्र म्हणतात.

आणखी पाच साधी वक्रे आणि पाच अशी वक्रे काढा जी साधी नाहीत.

आता यांचा विचार करा (आकृती 4.11).

यात काय फरक आहे? पहिली म्हणजे आकृती 4.11 (i) हे एक उघडे वक्र आहे आणि दुसरी म्हणजे आकृती 4.11(ii) हे एक बंद वक्र आहे. तुम्ही आकृती 4.10 (i), (ii), (v), (vi) मधून काही बंद आणि उघडी वक्रे ओळखू शकता का? प्रत्येकी पाच अशी वक्रे काढा जी उघडी आणि बंद आहेत.

आकृतीतील स्थान

टेनिस कोर्टमधील कोर्ट लाइन तो तीन भागांमध्ये विभागते: रेषेच्या आत, रेषेवर आणि रेषेच्या बाहेर. रेषा ओलांडल्याशिवाय तुम्ही आत प्रवेश करू शकत नाही.

एक कंपाऊंड भिंत तुमचे घर रस्त्यापासून वेगळे करते. तुम्ही कंपाऊंडच्या ‘आत’, कंपाऊंडच्या सीमेवर ‘वर’ आणि कंपाऊंडच्या ‘बाहेर’ याबद्दल बोलता.

अशाप्रकारे, एका बंद वक्रात, तीन भाग असतात.

(i) वक्राचा आतील भाग (‘आत’)
(ii) वक्राची सीमा (‘वर’) आणि
(iii) वक्राचा बाह्य भाग (‘बाहेर’).

आकृती 4.12 मध्ये, A आतील भागात आहे, C बाह्य भागात आहे आणि B वक्रावर आहे.

वक्राचा आतील भाग आणि त्याची सीमा मिळून त्याचा “प्रदेश” म्हणतात.

४.९ बहुभुज

या आकृती 4.13 (i), (ii), (iii), (iv), (v) आणि (vi) कडे पहा.

तुम्ही काय म्हणू शकता? ते बंद आहेत का? त्या प्रत्येक एकमेकांपासून कशा प्रकारे वेगळ्या आहेत? (i), (ii), (iii), (iv) आणि (vi) विशेष आहेत कारण ती पूर्णपणे रेषाखंडांनी बनलेली आहेत. यापैकी (i), (ii), (iii) आणि (iv) ही साधी बंद वक्रे देखील आहेत. त्यांना बहुभुज म्हणतात.

म्हणून, जर एखादी आकृती पूर्णपणे रेषाखंडांनी बनलेली साधी बंद आकृती असेल तर ती बहुभुज आहे. दहा वेगवेगळ्या आकाराची बहुभुजे काढा.

हे करा

खालीलप्रमाणे बहुभुज तयार करण्याचा प्रयत्न करा

१. पाच काड्या.

२. चार काड्या.

३. तीन काड्या.

४. दोन काड्या.

कोणत्या प्रकरणात ते शक्य नव्हते? का?

बाजू, शिरोबिंदू आणि कर्ण

येथे दिलेली आकृती (आकृती 4.14) तपासा.

त्याला बहुभुज म्हणण्यासाठी समर्थन द्या.

बहुभुज बनवणार्या रेषाखंडांना त्याच्या बाजू म्हणतात.

बहुभुज ABCDE च्या बाजू कोणत्या आहेत? (लक्षात घ्या की कोपरे क्रमाने कशी नावे दिली आहेत.)

बाजू $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}$ आणि $\overline{EA}$ आहेत.

बाजूंच्या जोडीच्या मिळणाऱ्या बिंदूला त्याचा शिरोबिंदू म्हणतात.

बाजू $\overline{AE}$ आणि $\overline{ED}$ यांचा मिलाफ $E$ येथे होतो, म्हणून $E$ हा बहुभुज $ABCDE$ चा एक शिरोबिंदू आहे. बिंदू $B$ आणि $C$ त्याचे इतर शिरोबिंदू आहेत. या बिंदूंवर मिळणाऱ्या बाजूंची नावे देऊ शकता का?

वरील बहुभुज $A B C D E$ चे इतर शिरोबिंदू नाव देऊ शकता का?

एक समान टोकबिंदू असलेल्या कोणत्याही दोन बाजूंना बहुभुजाच्या लगतच्या बाजू म्हणतात.

बाजू $\overline{AB}$ आणि $\overline{BC}$ लगतच्या आहेत का? $\overline{AE}$ आणि $\overline{DC}$ बद्दल काय?

बहुभुजाच्या एकाच बाजूच्या टोकबिंदूंना लगतचे शिरोबिंदू म्हणतात. शिरोबिंदू E आणि D लगतचे आहेत, तर शिरोबिंदू $A$ आणि $D$ लगतचे शिरोबिंदू नाहीत. तुम्हाला समजते का का?

जे शिरोबिंदू लगतचे नाहीत अशा जोड्यांचा विचार करा. या शिरोबिंदूंच्या जोडणीला बहुभुजाचे कर्ण म्हणतात.

आकृती 4.15 मध्ये, $\overline{AC}, \overline{AD}, \overline{BD}, \overline{BE}$ आणि $\overline{CE}$ हे कर्ण आहेत.

$\overline{BC}$ हा कर्ण आहे का, का किंवा का नाही?

जर तुम्ही लगतचे शिरोबिंदू जोडण्याचा प्रयत्न केला तर परिणाम कर्ण असेल का?

आकृती ABCDE (आकृती 4.15) च्या सर्व बाजू, लगतच्या बाजू, लगतच्या शिरोबिंदू तसेच बहुभुजाच्या कर्णांची नावे द्या.

एक बहुभुज $ABCDEFGH$ काढा आणि बहुभुजाच्या सर्व बाजू, लगतच्या बाजू आणि शिरोबिंदू तसेच कर्णांची नावे द्या.

उदाहरणे ४.२

१. खालील वक्रांचे वर्गीकरण (i) उघडी किंवा (ii) बंद असे करा.

२. खालील गोष्टी स्पष्ट करण्यासाठी उग्र आकृत्या काढा:

(अ) उघडे वक्र
(ब) बंद वक्र.

३. कोणतेही बहुभुज काढा आणि त्याचा आतील भाग रंगवा.

४. दिलेली आकृती विचारात घ्या आणि प्रश्नांची उत्तरे द्या :

(अ) ते वक्र आहे का?
(ब) ते बंद आहे का?

५. शक्य असल्यास, खालील प्रत्येक गोष्ट एका उग्र आकृतीद्वारे स्पष्ट करा:

(अ) असे बंद वक्र जे बहुभुज नाही.
(ब) पूर्णपणे रेषाखंडांनी बनलेले उघडे वक्र.
(क) दोन बाजू असलेले बहुभुज.

४.१० कोन

कोपरे तयार झाल्यावर कोन बनतात.

येथे एक चित्र आहे (आकृती 4.16) जिथे बॉक्सचा वरचा भाग हिंग केलेल्या झाकणासारखा आहे. बॉक्सच्या कडा AD आणि दरवाजाच्या कडा AP यांची कल्पना दोन किरण $\overline{{}AD}$ आणि $\overline{{}AP}$ म्हणून करता येते. या दोन किरणांचा एक समान आरंभ बिंदू $A$ आहे. येथील दोन किरण मिळून एक कोन तयार करतात असे म्हटले जाते. एक कोन हा एका समान आरंभ बिंदूपासून सुरू होणाऱ्या दोन किरणांनी बनलेला असतो. कोन बनवणाऱ्या दोन किरणांना कोनाचे भुजा किंवा बाजू म्हणतात. समान आरंभ बिंदूला कोनाचा शिरोबिंदू म्हणतात.

हा किरण $\overline{{}OP}$ आणि $\overline{{}OQ}$ (आकृती 4.17) ने बनवलेला कोन आहे. हे दर्शवण्यासाठी आपण शिरोबिंदूवर एक लहान वक्र वापरतो. (आकृती 4.17 पहा). O हा शिरोबिंदू आहे. बाजू कोणत्या आहेत? त्या $\overline{{}OP}$ आणि $\overline{{}OQ}$ नाहीत का?

आपण या कोनाला कसे नाव देऊ शकतो? आपण साधेपणाने म्हणू शकतो की हा $O$ येथील कोन आहे. अधिक विशिष्ट होण्यासाठी आपण प्रत्येक बाजूला एक-एक बिंदू आणि शिरोबिंदू ओळखून कोनाला नाव देतो. कोन POQ हे कोनाला नाव देण्याचा एक चांगला मार्ग आहे. आपण हे $\angle POQ$ असे दर्शवितो.

**