4.1 ആമുഖം

ജ്യാമിതിക്ക് ഒരു ദീർഘവും സമ്പന്നവുമായ ചരിത്രമുണ്ട്. ‘ജ്യാമിതി’ എന്ന പദം ഗ്രീക്ക് പദമായ ‘ജിയോമെട്രോൺ’ എന്നതിന്റെ ഇംഗ്ലീഷ് തത്തുല്യമാണ്. ‘ജിയോ’ എന്നാൽ ഭൂമി എന്നും ‘മെട്രോൺ’ എന്നാൽ അളവ് എന്നും അർത്ഥം. ചരിത്രകാരന്മാരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, പുരാതന കാലത്ത് കല, വാസ്തുവിദ്യ, അളവുകൾ എന്നിവയുടെ ആവശ്യം കാരണം ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങൾ രൂപം കൊണ്ടു. കൃഷിഭൂമികളുടെ അതിരുകൾ പരാതിയില്ലാതെ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടിവന്ന സന്ദർഭങ്ങളും ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ശ്രീമന്മായ കൊട്ടാരങ്ങൾ, ക്ഷേത്രങ്ങൾ, തടാകങ്ങൾ, അണക്കെട്ടുകൾ, നഗരങ്ങൾ എന്നിവയുടെ നിർമ്മാണം, കല, വാസ്തുവിദ്യ എന്നിവ ഈ ആശയങ്ങളെ പിന്തുണച്ചു. ഇന്നും എല്ലാ തരത്തിലുള്ള കലകളിലും ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങൾ പ്രതിഫലിക്കുന്നു,

അളവുകൾ, വാസ്തുവിദ്യ, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, വസ്ത്ര രൂപകല്പന എന്നിവയിലും. നിങ്ങൾ പെട്ടികൾ, മേശകൾ, പുസ്തകങ്ങൾ, ഉച്ചഭക്ഷണത്തിനായി സ്കൂളിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്ന ടിഫിൻ ബോക്സ്, നിങ്ങൾ കളിക്കുന്ന പന്ത് തുടങ്ങിയ വിവിധ വസ്തുക്കൾ നിരീക്ഷിക്കുകയും ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത്തരം എല്ലാ വസ്തുക്കൾക്കും വ്യത്യസ്ത ആകൃതികളുണ്ട്. നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന റൂളർ, നിങ്ങൾ എഴുതുന്ന പെൻസിൽ എന്നിവ നേർരേഖയാണ്. ഒരു വളയം, ഒരു രൂപ നാണയം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പന്ത് എന്നിവയുടെ ചിത്രങ്ങൾ വൃത്താകൃതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

ഇവിടെ, നിങ്ങളുടെ ചുറ്റുമുള്ള ആകൃതികളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ അറിയാൻ സഹായിക്കുന്ന ചില രസകരമായ വസ്തുതകൾ നിങ്ങൾ പഠിക്കും.

4.2 ബിന്ദുക്കൾ

പെൻസിലിന്റെ മൂർച്ചയുള്ള അറ്റം ഉപയോഗിച്ച് കടലാസിൽ ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. അറ്റം കൂടുതൽ മൂർച്ചയുള്ളതാകുമ്പോൾ, ബിന്ദു കൂടുതൽ നേർത്തതായിരിക്കും. ഈ ഏതാണ്ട് അദൃശ്യമായ ചെറിയ ബിന്ദു നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ആശയം നൽകും.

ഒരു ബിന്ദു ഒരു സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു ബിന്ദുവിനുള്ള ചില മാതൃകകൾ ഇവയാണ്:

നിങ്ങൾ ഒരു കടലാസിൽ മൂന്ന് ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, അവ വേർതിരിച്ചറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഇതിനായി അവ സൂചിപ്പിക്കുന്നു

ഈ ബിന്ദുക്കൾ ബിന്ദു A, ബിന്ദു B, ബിന്ദു C എന്നിങ്ങനെ വായിക്കപ്പെടും.

തീർച്ചയായും, ബിന്ദുക്കൾ അദൃശ്യമായി നേർത്തതായിരിക്കണം.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. ഒരു പെൻസിലിന്റെ മൂർച്ചയുള്ള അറ്റം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു കടലാസിൽ നാല് ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തി A, C, P, H എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയ്ക്ക് പേരിടുക. ഈ ബിന്ദുക്കൾക്ക് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ പേരിടാൻ ശ്രമിക്കുക. ഇതുപോലൊരു രീതി ഇതായിരിക്കാം

2. ആകാശത്തെ ഒരു നക്ഷത്രം നമുക്ക് ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ആശയം നൽകുന്നു. നിങ്ങളുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ അഞ്ചെണ്ണം വരെ അത്തരം സാഹചര്യങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുക.

4.3 ഒരു രേഖാഖണ്ഡം

ഒരു കടലാസ് മടക്കി തുറക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മടക്ക് കാണാമോ? ഇത് ഒരു രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ ആശയം നൽകുന്നു. ഇതിന് A, B എന്നീ രണ്ട് അറ്റബിന്ദുക്കളുണ്ട്.

ഒരു നേർത്ത നൂൽ എടുക്കുക. അതിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങൾ പിടിച്ച് അത് തളരാതെ നീട്ടുക. ഇത് ഒരു രേഖാഖണ്ഡത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. കൈകളാൽ പിടിച്ച അറ്റങ്ങൾ രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ അറ്റബിന്ദുക്കളാണ്.

ഒരു രേഖാഖണ്ഡത്തിനുള്ള ചില മാതൃകകൾ ഇവയാണ്:

നിങ്ങളുടെ ചുറ്റുപാടുകളിൽ നിന്ന് രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾക്കായി കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക.

ഒരു കടലാസിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ A, B അടയാളപ്പെടുത്തുക. സാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലൂടെയും A-യെ B-യുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. (ചിത്രം 4.1)

$A$ മുതൽ $B$ വരെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ വഴി ഏതാണ്?

$A$ മുതൽ $B$ വരെയുള്ള ($A$, $B$ എന്നിവ ഉൾപ്പെടെ) ഈ ഏറ്റവും ചെറിയ ബന്ധം ഇവിടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് ഒരു രേഖാഖണ്ഡമാണ്. ഇത് $\overline{AB}$ അല്ലെങ്കിൽ $\overline{BA}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $A$, $B$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ ഖണ്ഡത്തിന്റെ അറ്റബിന്ദുക്കൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. ചിത്രം 4.2-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾക്ക് പേരിടുക. $A$, ഓരോ രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെയും അറ്റബിന്ദു ആണോ?

4.4 ഒരു രേഖ

$A$ മുതൽ $B$ വരെയുള്ള രേഖാഖണ്ഡം (അതായത് $\overline{AB}$) $A$ നെ അതിന്റെ ഒരു ദിശയിലും $B$ നെ മറുദിശയിലും ഒരു അവസാനവും ഇല്ലാതെ നീട്ടിയെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക (ചിത്രം കാണുക). ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു രേഖയുടെ മാതൃക ലഭിച്ചു.

ഒരു രേഖയുടെ പൂർണ്ണമായ ചിത്രം നിങ്ങൾക്ക് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല. (എന്തുകൊണ്ട്?)

$A$, $B$ എന്നീ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള ഒരു രേഖ $\overline{{}A B}$ എന്ന് എഴുതുന്നു. ഇത് ഇരുദിശയിലും അനിശ്ചിതമായി നീണ്ടുകിടക്കുന്നു. അതിനാൽ ഇതിൽ എണ്ണമറ്റ ബിന്ദുക്കൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. (ഇതിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക).

ഒരു രേഖ നിർണ്ണയിക്കാൻ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ മതിയാകും. ‘രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ ഒരു രേഖ നിർണ്ണയിക്കുന്നു’ എന്ന് നാം പറയുന്നു.

അടുത്തുള്ള ചിത്രം (ചിത്രം 4.3) $\overline{PQ}$ എന്ന് എഴുതിയ ഒരു രേഖ PQ യുടെ ചിത്രമാണ്. ചിലപ്പോൾ ഒരു രേഖയെ $l, m$ പോലുള്ള ഒരു അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്.

4.5 ഛേദിക്കുന്ന രേഖകൾ

ചിത്രം (ചിത്രം 4.4) നോക്കുക. $l_1$, $l_2$ എന്നീ രണ്ട് രേഖകൾ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. രണ്ട് രേഖകളും $P$ എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. $l_1$, $l_2$ എന്നിവ $P$-ൽ ഛേദിക്കുന്നു എന്ന് നാം പറയുന്നു. രണ്ട് രേഖകൾക്ക് ഒരു പൊതു ബിന്ദു ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയെ ഛേദിക്കുന്ന രേഖകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ജോടി ഛേദിക്കുന്ന രേഖകളുടെ ചില മാതൃകകൾ ഇവയാണ് (ചിത്രം 4.5):

ഒരു ജോടി ഛേദിക്കുന്ന രേഖകൾക്കായി കുറച്ച് കൂടി മാതൃകകൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക.

ഇത് ചെയ്യുക

ഒരു കടലാസ് എടുക്കുക. ഒരു ജോടി ഛേദിക്കുന്ന രേഖകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ രണ്ട് മടക്കുകൾ (അവ മടക്കി ചുളിവുകൾ ഉണ്ടാക്കുക) ഉണ്ടാക്കി ചർച്ച ചെയ്യുക:

(a) രണ്ട് രേഖകൾക്ക് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ബിന്ദുക്കളിൽ ഛേദിക്കാൻ കഴിയുമോ?
(b) ഒരു ബിന്ദുവിൽ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ രേഖകൾക്ക് ഛേദിക്കാൻ കഴിയുമോ?

4.6 സമാന്തര രേഖകൾ

ഈ മേശ (ചിത്രം 4.6) നോക്കാം. മുകളിലെ ഭാഗം ABCD സമതലമാണ്. ചില ബിന്ദുക്കളും രേഖാഖണ്ഡങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയുമോ?

ഛേദിക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ ഉണ്ടോ?

ഉണ്ട്, AB, BC എന്നിവ B ബിന്ദുവിൽ ഛേദിക്കുന്നു.

ഏത് രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ A-യിൽ ഛേദിക്കുന്നു? C-യിൽ? D-യിൽ?

AD, CD എന്നീ രേഖകൾ ഛേദിക്കുന്നുണ്ടോ?

$\overline{AD}$, $\overline{BC}$ എന്നീ രേഖകൾ ഛേദിക്കുന്നുണ്ടോ?

മേശയുടെ ഉപരിതലത്തിൽ എത്ര ദൂരം നീട്ടിയാലും കണ്ടുമുട്ടാത്ത രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. $\overline{{}AD}$, $\overline{BC}$ എന്നിവ അത്തരം ഒരു ജോടിയാണ്. മേശയുടെ മുകളിൽ ഇതുപോലുള്ള രേഖകളുടെ (കണ്ടുമുട്ടാത്ത) ഒരു ജോടി കൂടി തിരിച്ചറിയാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുമോ?

ഇതുപോലെ കണ്ടുമുട്ടാത്ത രേഖകളെ സമാന്തര രേഖകൾ എന്ന് പറയുന്നു.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

സമാന്തര രേഖകൾ മറ്റെവിടെയാണ് നിങ്ങൾ കാണുന്നത്? പത്ത് ഉദാഹരണങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക.

രണ്ട് രേഖകൾ $\overline{{}AB}$, $\overline{{}CD}$ എന്നിവ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, നാം $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ എന്ന് എഴുതുന്നു.

രണ്ട് രേഖകൾ $l_1$, $l_2$ എന്നിവ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, നാം $l_1 \| l_2$ എന്ന് എഴുതുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രങ്ങളിൽ സമാന്തര രേഖകൾ തിരിച്ചറിയാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുമോ?

4.7 രശ്മി

ഒരു രശ്മിക്കുള്ള ചില മാതൃകകൾ ഇവയാണ്:

ഒരു രശ്മി ഒരു രേഖയുടെ ഒരു ഭാഗമാണ്. ഇത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ (ആരംഭ ബിന്ദു അല്ലെങ്കിൽ പ്രാരംഭ ബിന്ദു എന്ന് വിളിക്കുന്നു) തുടങ്ങി ഒരു ദിശയിൽ അനിശ്ചിതമായി നീണ്ടുകിടക്കുന്നു.

ഇവിടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രശ്മിയുടെ ചിത്രം (ചിത്രം 4.7) നോക്കുക. രശ്മിയിൽ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അവ (a) A, ആരംഭ ബിന്ദു (b) $P$, രശ്മിയുടെ പാതയിലുള്ള ഒരു ബിന്ദു.

ഞങ്ങൾ ഇത് $\overline{{}AP}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇവ ശ്രമിക്കുക

1. ഈ ചിത്രത്തിൽ (ചിത്രം 4.8) നൽകിയിരിക്കുന്ന രശ്മികൾക്ക് പേരിടുക.

2. $T$ ഈ ഓരോ രശ്മിയുടെയും ആരംഭ ബിന്ദു ആണോ?

ചിത്രം 4.8

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

$\overline{{}PQ}$ ഒരു രശ്മിയാണെങ്കിൽ,

(a) അതിന്റെ ആരംഭ ബിന്ദു ഏതാണ്?

(b) $Q$ എന്ന ബിന്ദു രശ്മിയിൽ എവിടെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്?

(c) $Q$ ഈ രശ്മിയുടെ ആരംഭ ബിന്ദു ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാമോ?

ഇവിടെ ഒരു രശ്മി $\overline{{}OA}$ (ചിത്രം 4.9) ആണ്. ഇത് $O$-ൽ തുടങ്ങി $A$ എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. ഇത് $B$ എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെ $\overline{{}OB}$ എന്നും വിളിക്കാമോ? എന്തുകൊണ്ട്?

$\overline{{}OA}$, $\overline{{}OB}$ എന്നിവ ഇവിടെ ഒന്നുതന്നെയാണ്.

$\overline{{}OA}$-നെ $\overline{{}AO}$ എന്ന് നമുക്ക് എഴുതാമോ? എന്തുകൊണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ എന്തുകൊണ്ട് അല്ല?

അഞ്ച് രശ്മികൾ വരച്ച് അവയ്ക്ക് ഉചിതമായ പേരുകൾ നൽകുക.

ഈ ഓരോ രശ്മികളിലും ഉള്ള അമ്പുകൾ എന്താണ് കാണിക്കുന്നത്?

അഭ്യാസം 4.1

1. ചിത്രം ഉപയോഗിച്ച് പേരിടുക:

(a) അഞ്ച് ബിന്ദുക്കൾ
(b) ഒരു രേഖ
(c) നാല് രശ്മികൾ
(d) അഞ്ച് രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ

2. നൽകിയിരിക്കുന്ന നാല് അക്ഷരങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു സമയം രണ്ട് അക്ഷരങ്ങൾ മാത്രം തിരഞ്ഞെടുത്ത്, സാധ്യമായ എല്ലാ (പന്ത്രണ്ട്) രീതികളിലും രേഖയ്ക്ക് പേരിടുക.

3. ചിത്രം ഉപയോഗിച്ച് പേരിടുക:

(a) $E$ എന്ന ബിന്ദു അടങ്ങിയ രേഖ.
(b) A-യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖ.
(c) O സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന രേഖ
(d) ഛേദിക്കുന്ന രേഖകളുടെ രണ്ട് ജോടികൾ.

4. (a) ഒരു നൽകിയ ബിന്ദുവിലൂടെ എത്ര രേഖകൾ കടന്നുപോകാം? (b) രണ്ട് നൽകിയ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ എത്ര രേഖകൾ കടന്നുപോകാം?

5. ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ കേസുകളിലും ഒരു രൂക്ഷമായ ചിത്രം വരച്ച് ഉചിതമായി ലേബൽ ചെയ്യുക:

(a) ബിന്ദു $P$ $\overline{AB}$-ൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
(b) $\overline{XY}$, $\overline{PQ}$ എന്നിവ $M$-ൽ ഛേദിക്കുന്നു.
(c) രേഖ $l$ $E$, $F$ എന്നിവ അടങ്ങുന്നു, പക്ഷേ $D$ അടങ്ങുന്നില്ല.
(d) $\overline{OP}$, $\overline{OQ}$ എന്നിവ $O$-ൽ കണ്ടുമുട്ടുന്നു.

6. $\overline{{}MN}$ എന്ന രേഖയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം പരിഗണിക്കുക. നൽകിയ ചിത്രത്തിന്റെ സന്ദർഭത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണോ തെറ്റാണോ എന്ന് പറയുക.

(a) Q, M, O, N, P എന്നിവ $\overline{{}MN}$ എന്ന രേഖയിലെ ബിന്ദുക്കളാണ്.
(b) $M, O, N$ എന്നിവ രേഖാഖണ്ഡം $\overline{MN}$-ലെ ബിന്ദുക്കളാണ്.
(c) $M$, $N$ എന്നിവ രേഖാഖണ്ഡം $\overline{MN}$-ന്റെ അറ്റബിന്ദുക്കളാണ്.
(d) $O$, $N$ എന്നിവ രേഖാഖണ്ഡം $\overline{OP}$-ന്റെ അറ്റബിന്ദുക്കളാണ്.
(e) $M$ രേഖാഖണ്ഡം $\overline{QO}$-ന്റെ അറ്റബിന്ദുക്കളിൽ ഒന്നാണ്.
(f) $M$ രശ്മി $\overline{{}OP}$-ലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്.
(g) രശ്മി $\overline{{}OP}$ രശ്മി $\overline{{}QP}$-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.
(h) രശ്മി $\overline{{}OP}$ രശ്മി $\overline{{}OM}$-ന് തുല്യമാണ്.
(i) രശ്മി $\overline{{}OM}$ രശ്മി $\overline{{}OP}$-ന് എതിർ ദിശയിലല്ല.
(j) $O$ $\overline{{}OP}$-ന്റെ ആരംഭ ബിന്ദു അല്ല.
(k) $N$ $\overline{{}NP}$, $\overline{{}NM}$ എന്നിവയുടെ ആരംഭ ബിന്ദുവാണ്.

4.8 വക്രങ്ങൾ

നിങ്ങൾ എപ്പോഴെങ്കിലും ഒരു കടലാസ് എടുത്ത് വെറുതെ ഡൂഡിൽ ചെയ്തിട്ടുണ്ടോ? നിങ്ങളുടെ ഡൂഡ്ലിംഗിന്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിത്രങ്ങളെ വക്രങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ ചിത്രങ്ങളിൽ ചിലത് നിങ്ങൾക്ക് പെൻസിൽ കടലാസിൽ നിന്ന് ഉയർത്താതെയും ഒരു റൂളർ ഉപയോഗിക്കാതെയും വരയ്ക്കാൻ കഴിയും. ഇവയെല്ലാം വക്രങ്ങളാണ് (ചിത്രം 4.10).

ദൈനംദിന ഉപയോഗത്തിൽ ‘വക്രം’ എന്നാൽ “നേർരേഖയല്ല” എന്നാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ചിത്രം 4.10 (iv)-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു വക്രം നേർരേഖയായിരിക്കാം.

ചിത്രം 4.10-ലെ വക്രങ്ങൾ (iii), (vii) എന്നിവ സ്വയം കടക്കുന്നുവെന്നും ചിത്രം 4.10-ലെ വക്രങ്ങൾ (i), (ii), (v), (vi) എന്നിവ അങ്ങനെ ചെയ്യുന്നില്ലെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരു വക്രം സ്വയം കടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അതിനെ ലഘു വക്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അഞ്ച് ലഘു വക്രങ്ങളും അഞ്ച് ലഘു വക്രങ്ങളല്ലാത്തവയും വരയ്ക്കുക.

ഇവ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 4.11).

ഇവ രണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? ആദ്യത്തേത് അതായത് ചിത്രം 4.11 (i) ഒരു തുറന്ന വക്രം ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് അതായത് ചിത്രം 4.11(ii) ഒരു അടഞ്ഞ വക്രം ആണ്. ചിത്രം 4.10 (i), (ii), (v), (vi) എന്നിവയിൽ നിന്ന് ചില അടഞ്ഞ, തുറന്ന വക്രങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുമോ? തുറന്നതും അടഞ്ഞതുമായ അഞ്ച് വക്രങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.

ഒരു ചിത്രത്തിലെ സ്ഥാനം

ഒരു ടെന്നിസ് കോർട്ടിലെ ഒരു കോർട്ട് രേഖ അതിനെ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: രേഖയുടെ ഉള്ളിൽ, രേഖയുടെ മ