3.1 تعارف

رامیش کے پاس 6 ماربل ہیں۔ وہ انہیں قطاروں میں اس طرح ترتیب دینا چاہتا ہے کہ ہر قطار میں ماربلوں کی تعداد برابر ہو۔ وہ انہیں درج ذیل طریقوں سے ترتیب دیتا ہے اور ماربلوں کی کل تعداد سے مماثلت کرتا ہے۔

(i) ہر قطار میں 1 ماربل

قطاروں کی تعداد $=6$

ماربلوں کی کل تعداد $\quad=1 \times 6=6$

(ii) ہر قطار میں 2 ماربل قطاروں کی تعداد $=3$

ماربلوں کی کل تعداد $\quad=2 \times 3=6$

(iii) ہر قطار میں 3 ماربل

قطاروں کی تعداد $\quad=2$

ماربلوں کی کل تعداد $\quad=3 \times 2=6$

(iv) وہ کوئی ایسی ترتیب نہیں سوچ سکا جس میں ہر قطار میں 4 یا 5 ماربل ہوں۔ لہذا، واحد ممکن ترتیب 6 ماربلوں کو ایک ہی قطار میں رکھنے کی تھی۔

قطاروں کی تعداد $\quad=1$

ماربلوں کی کل تعداد $=6 \times 1=6$

ان حسابوں سے رامیش مشاہدہ کرتا ہے کہ 6 کو دو اعداد کے حاصل ضرب کے طور پر مختلف طریقوں سے لکھا جا سکتا ہے:

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ سے کہا جا سکتا ہے کہ 2 اور 3 عدد 6 کو پورا پورا تقسیم کرتے ہیں۔ لہذا، 2 اور 3 عدد 6 کے عین تقسیم کنندہ (exact divisors) ہیں۔ دوسرے حاصل ضرب $6=1 \times 6$ سے، عدد 6 کے عین تقسیم کنندہ 1 اور 6 پائے جاتے ہیں۔

اس طرح، 1، 2، 3 اور 6 عدد 6 کے عین تقسیم کنندہ ہیں۔ انہیں عدد 6 کے عوامل (factors) کہتے ہیں۔ 18 ماربلوں کو قطاروں میں ترتیب دے کر عدد 18 کے عوامل تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

3.2 عوامل اور ضربیں (Factors and Multiples)

میری وہ اعداد تلاش کرنا چاہتی ہے جو 4 کو پورا پورا تقسیم کرتے ہیں۔ وہ 4 کو 4 سے چھوٹے اعداد سے اس طرح تقسیم کرتی ہے۔

حاصل تقسیم (Quotient) ہے 4

باقی (Remainder) ہے 0

$4 = 1 \times 4$

حاصل تقسیم ہے 2

باقی ہے 0

$4 = 2 \times 2$

حاصل تقسیم ہے 1

باقی ہے 1

حاصل تقسیم ہے 1

باقی ہے 0

$ 4=4 \times 1 $

وہ پاتی ہے کہ عدد 4 کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ اور جانتی ہے کہ اعداد 1،2 اور 4 عدد 4 کے عین تقسیم کنندہ ہیں۔

ان اعداد کو عدد 4 کے عوامل کہتے ہیں۔

کسی عدد کا عامل (factor) اس عدد کا ایک عین تقسیم کنندہ (exact divisor) ہوتا ہے۔

مشاہدہ کریں کہ 4 کے ہر عامل کی قدر 4 سے کم یا اس کے برابر ہے۔

کھیل-1 : یہ ایک کھیل ہے جو دو افراد، مثلاً A اور B، کھیلیں گے۔ یہ عوامل کی شناخت کے بارے میں ہے۔

اس کے لیے 1 سے 50 تک نمبر شدہ 50 کارڈوں کی ضرورت ہے۔

کارڈوں کو میز پر اس طرح ترتیب دیں۔

مراحل

(a) طے کریں کہ پہلے کون کھیلے گا، A یا B۔

(b) فرض کریں A پہلے کھیلتا ہے۔ وہ میز سے ایک کارڈ اٹھاتا ہے، اور اسے اپنے پاس رکھ لیتا ہے۔ فرض کریں کارڈ پر عدد 28 ہے۔

(c) پھر کھلاڑی B وہ تمام کارڈ اٹھاتا ہے جن پر وہ اعداد ہیں جو A کے کارڈ پر موجود عدد کے عوامل ہیں (یعنی 28 کے)، اور انہیں اپنے قریب ایک ڈھیر میں رکھ دیتا ہے۔

(d) پھر کھلاڑی B میز سے ایک کارڈ اٹھاتا ہے اور اپنے پاس رکھ لیتا ہے۔ بچے ہوئے کارڈوں میں سے، A وہ تمام کارڈ اٹھاتا ہے جن کے اعداد B کے کارڈ پر موجود عدد کے عوامل ہیں۔ A انہیں اس پچھلے کارڈ پر رکھ دیتا ہے جو اس نے جمع کیا تھا۔

(e) کھیل اسی طرح جاری رہتا ہے یہاں تک کہ تمام کارڈ استعمال ہو جائیں۔

(f) A اپنے جمع کردہ کارڈوں پر موجود اعداد کو جمع کرے گا۔ B بھی اپنے کارڈوں کے ساتھ ایسا ہی کرے گا۔ زیادہ مجموعہ رکھنے والا کھلاڑی فاتح ہوگا۔

کارڈوں کی تعداد بڑھا کر کھیل کو مزید دلچسپ بنایا جا سکتا ہے۔ اس کھیل کو اپنے دوست کے ساتھ کھیلیں۔ کیا آپ کھیل جیتنے کا کوئی طریقہ تلاش کر سکتے ہیں؟

جب ہم عدد 20 کو $20=4 \times 5$ کے طور پر لکھتے ہیں، تو ہم کہتے ہیں کہ 4 اور 5 عدد 20 کے عوامل ہیں۔ ہم یہ بھی کہتے ہیں کہ 20 عدد 4 اور 5 کی ضرب (multiple) ہے۔

$24=2 \times 12$ کی نمائندگی سے پتہ چلتا ہے کہ 2 اور 12 عدد 24 کے عوامل ہیں، جبکہ 24 عدد 2 اور 12 کی ضرب ہے۔

انہیں آزما کر دیکھیں

45، 30 اور 36 کے ممکنہ عوامل تلاش کریں۔

ہم کہہ سکتے ہیں کہ کوئی عدد اپنے ہر عامل کی ضرب ہوتا ہے

آئیے اب عوامل اور ضربیوں کے بارے میں کچھ دلچسپ حقائق دیکھتے ہیں۔

(a) 3 یونٹ لمبائی کی لکڑی/کاغذ کی پٹیوں کی ایک تعداد جمع کریں۔

(b) انہیں سرے سے سرے ملا کر درج ذیل شکل کی طرح جوڑیں۔

سب سے اوپر والی پٹی کی لمبائی $3=1 \times 3$ یونٹ ہے۔

اس کے نیچے والی پٹی کی لمبائی $3+3=6$ یونٹ ہے۔ نیز، $6=2 \times 3$۔ اگلی پٹی کی لمبائی $3+3+$ $3=9$ یونٹ ہے، اور $9=3 \times 3$۔ اسی طرح جاری رکھتے ہوئے ہم دیگر لمبائیوں کو اس طرح ظاہر کر سکتے ہیں،

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

ہم کہتے ہیں کہ اعداد $3,6,9,12,15$ عدد 3 کی ضربیں (multiples) ہیں۔

عدد 3 کی ضربیوں کی فہرست $18,21,24, \ldots$ کے طور پر جاری رکھی جا سکتی ہے۔

ان میں سے ہر ضرب 3 سے بڑی یا اس کے برابر ہے۔

عدد 4 کی ضربیں $4,8,12,16,20,24, \ldots$ ہیں۔

فہرست لامحدود ہے۔ ان میں سے ہر عدد 4 سے بڑا یا اس کے برابر ہے۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ ہم عوامل اور ضربیوں کے بارے میں کیا نتیجہ اخذ کرتے ہیں:

1. کیا کوئی ایسا عدد ہے جو ہر عدد کا عامل ہو؟ ہاں۔ وہ 1 ہے۔ مثال کے طور پر $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ وغیرہ۔ اسے مزید کچھ اعداد کے لیے چیک کریں۔

ہم کہتے ہیں $\mathbf{1}$ ہر عدد کا عامل ہے۔

2. کیا 7 اپنا خود ایک عامل ہو سکتا ہے؟ ہاں۔ آپ 7 کو $7=7 \times 1$ کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔ 10 کے بارے میں کیا خیال ہے؟ اور 15؟

آپ پائیں گے کہ ہر عدد کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

ہم کہتے ہیں کہ ہر عدد اپنا خود ایک عامل ہے۔

3. 16 کے عوامل کیا ہیں؟ وہ 1، 2، 4، 8، 16 ہیں۔ ان عوامل میں سے، کیا آپ کو کوئی ایسا عامل ملتا ہے جو 16 کو تقسیم نہیں کرتا؟ اسے $20 ; 36$ کے لیے آزما کر دیکھیں۔

آپ پائیں گے کہ کسی عدد کا ہر عامل اس عدد کا ایک عین تقسیم کنندہ ہوتا ہے۔

4. 34 کے عوامل کیا ہیں؟ وہ 1،2،17 اور 34 خود ہیں۔ ان میں سے سب سے بڑا عامل کون سا ہے؟ وہ 34 خود ہے۔

دیگر عوامل 1، 2 اور 17، 34 سے چھوٹے ہیں۔ اسے 64، 81 اور 56 کے لیے چیک کرنے کی کوشش کریں۔

ہم کہتے ہیں کہ ہر عامل دیے گئے عدد سے چھوٹا یا اس کے برابر ہوتا ہے۔

5. عدد 76 کے 5 عوامل ہیں۔ 136 یا 96 کے کتنے عوامل ہیں؟ آپ پائیں گے کہ آپ ان میں سے ہر ایک کے عوامل کی تعداد گن سکتے ہیں۔

یہاں تک کہ اگر اعداد 10576، 25642 جتنے بڑے یا اس سے بھی بڑے ہوں، تب بھی آپ ایسے اعداد کے عوامل کی تعداد گن سکتے ہیں، (حالانکہ آپ کو ایسے اعداد کے اجزائے ضربی (factorise) کرنا مشکل لگ سکتا ہے)۔

ہم کہتے ہیں کہ کسی دیے گئے عدد کے عوامل کی تعداد محدود (finite) ہوتی ہے۔

6. 7 کی ضربیں کیا ہیں؟ ظاہر ہے، $7,14,21,28, \ldots$ آپ پائیں گے کہ ان میں سے ہر ضرب 7 سے بڑی یا اس کے برابر ہے۔ کیا یہ ہر عدد کے ساتھ ہوگا؟ اسے 6،9 اور 10 کی ضربیوں کے لیے چیک کریں۔

ہم پاتے ہیں کہ کسی عدد کی ہر ضرب اس عدد سے بڑی یا اس کے برابر ہوتی ہے۔

7. 5 کی ضربیں لکھیں۔ وہ $5,10,15,20, \ldots$ ہیں۔ کیا آپ کے خیال میں یہ فہرست کہیں ختم ہوگی؟ نہیں! فہرست لامحدود ہے۔ اسے 6،7 وغیرہ کی ضربیوں کے ساتھ آزما کر دیکھیں۔

ہم پاتے ہیں کہ کسی دیے گئے عدد کی ضربیوں کی تعداد لامحدود (infinite) ہوتی ہے۔

8. کیا 7 اپنی خود ایک ضرب ہو سکتا ہے؟ ہاں، کیونکہ $7=7 \times 1$۔ کیا یہ دوسرے اعداد کے لیے بھی سچ ہوگا؟ اسے 3،12 اور 16 کے ساتھ آزما کر دیکھیں۔

آپ پائیں گے کہ ہر عدد اپنی خود ایک ضرب ہے۔

6 کے عوامل $1,2,3$ اور 6 ہیں۔ نیز، $1+2+3+6=12=2 \times 6$۔ ہم پاتے ہیں کہ 6 کے عوامل کا مجموعہ عدد 6 کا دوگنا ہے۔ 28 کے تمام عوامل 1،2، $4,7,14$ اور 28 ہیں۔ انہیں جمع کرنے پر ہمارے پاس، $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$ ہے۔

28 کے عوامل کا مجموعہ عدد 28 کے دوگنے کے برابر ہے۔

ایسا عدد جس کے تمام عوامل کا مجموعہ اس عدد کے دوگنے کے برابر ہو، کامل عدد (perfect number) کہلاتا ہے۔ اعداد 6 اور 28 کامل اعداد ہیں۔ کیا 10 ایک کامل عدد ہے؟

مثال 1 : 68 کے تمام عوامل لکھیں۔

حل : ہم نوٹ کرتے ہیں کہ

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

یہاں رک جائیں، کیونکہ 4 اور 17 پہلے آ چکے ہیں۔

اس طرح، 68 کے تمام عوامل 1، 2، 4، 17، 34 اور 68 ہیں۔

مثال 2 : 36 کے عوامل تلاش کریں۔

حل :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

یہاں رک جائیں، کیونکہ دونوں عوامل (6) ایک جیسے ہیں۔ اس طرح، عوامل ہیں 1،2، $3,4,6,9,12,18$ اور 36۔

مثال 3 : 6 کی پہلی پانچ ضربیں لکھیں۔

حل : مطلوبہ ضربیں ہیں: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$، $6 \times 5=30$ یعنی $6,12,18,24$ اور 30۔

مشق 3.1

1. درج ذیل اعداد کے تمام عوامل لکھیں:

(الف) 24
(ب) 15
(ج) 21
(د) 27
(ہ) 12
(و) 20
(ز) 18
(ح) 23
(ط) 36

2. درج ذیل کی پہلی پانچ ضربیں لکھیں:

(الف) 5
(ب) 8
(ج) 9

3. کالم 1 کی اشیاء کو کالم 2 کی اشیاء سے ملائیں۔

کالم1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ کالم2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (الف) 8 کی ضرب
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ب) 7 کی ضرب
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ج) 70 کی ضرب
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (د) 30 کا عامل
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ہ) 50 کا عامل
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (و) (و) 20 کا عامل

4. 9 کی 100 تک تمام ضربیں تلاش کریں۔

3.3 مفرد اور مرکب اعداد (Prime and Composite Numbers)

اب ہم کسی عدد کے عوامل سے واقف ہیں۔ درج ذیل جدول میں ترتیب دیے گئے کچھ اعداد کے عوامل کی تعداد کا مشاہدہ کریں۔

ہم پاتے ہیں کہ (الف) عدد 1 کا صرف ایک عامل ہوتا ہے (یعنی خود)۔

(ب) ایسے اعداد ہیں، جن کے بالکل دو عوامل ہوتے ہیں: 1 اور خود عدد۔ ایسے اعداد ہیں 2، 3، 5، 7، 11 وغیرہ۔ یہ اعداد مفرد اعداد (prime numbers) ہیں۔

1 کے علاوہ وہ اعداد جن کے صرف عوامل 1 اور خود عدد ہوں، مفرد اعداد کہلاتے ہیں۔

ان کے علاوہ مزید کچھ مفرد اعداد تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

(ج) ایسے اعداد ہیں جن کے دو سے زیادہ عوامل ہوتے ہیں جیسے 4، 6، 8، 9، 10 وغیرہ۔

یہ اعداد مرکب اعداد (composite numbers) ہیں۔

1 نہ تو مفرد عدد ہے اور نہ ہی مرکب عدد۔

دو سے زیادہ عوامل رکھنے والے اعداد مرکب اعداد کہلاتے ہیں۔

کیا 15 ایک مرکب عدد ہے؟ کیوں؟ 18 کے بارے میں کیا خیال ہے؟ 25؟

کسی عدد کے عوامل کو عملی طور پر چیک کیے بغیر، ہم 1 سے 100 تک مفرد اعداد ایک آسان طریقے سے تلاش کر سکتے ہیں۔ یہ طریقہ ایک

یونانی ریاضی دان ایراٹوستھینز (Eratosthenes) نے تیسری صدی قبل مسیح میں دیا تھا۔ آئیے طریقہ دیکھتے ہیں۔ 1 سے 100 تک تمام اعداد کی فہرست بنائیں، جیسا کہ نیچے دکھایا گیا ہے۔

مرحلہ 1 : 1 کو کاٹ دیں کیونکہ یہ مفرد عدد نہیں ہے۔

مرحلہ 2 : 2 کو گول کریں، 2 کے علاوہ 2 کی تمام ضربیں، یعنی 4، 6، 8 وغیرہ کو کاٹ دیں۔

مرحلہ 3 : آپ پائیں گے کہ اگلا غیر کٹا ہوا عدد 3 ہے۔ 3 کو گول کریں اور 3 کے علاوہ 3 کی تمام ضربیں کاٹ دیں۔

مرحلہ 4 : اگلا غیر کٹا ہوا عدد 5 ہے۔ 5 کو گول کریں اور 5 کے علاوہ 5 کی تمام ضربیں کاٹ دیں۔

مرحلہ 5 : اس عمل کو اس وقت تک جاری رکھیں جب تک کہ فہرست کے تمام اعداد یا تو گول نہ ہو جائیں یا کٹ نہ جائیں۔

تمام گول کیے گئے اعداد مفرد اعداد ہیں۔ تمام کٹے ہوئے اعداد، سوائے 1 کے، مرکب اعداد ہیں۔

اس طریقے کو ایراٹوستھینز کی چھلنی (Sieve of Eratosthenes) کہتے ہیں۔

انہیں آزما کر دیکھیں

مشاہدہ کریں کہ $2 \times 3+1=7$ ایک مفرد عدد ہے۔ یہاں، 2 کی ایک ضرب میں 1 جوڑ کر ایک مفرد عدد حاصل کیا گیا ہے۔ کیا آپ اس قسم کے مزید کچھ اعداد تلاش کر سکتے ہیں؟

مثال 4 : 15 سے چھوٹے تمام مفرد اعداد لکھیں۔

حل : چھلنی کے طریقے کا مشاہدہ کر کے، ہم مطلوبہ مفرد اعداد آسانی سے 2،3، 5، 7، 11 اور 13 کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔

جفت اور طاق اعداد (even and odd numbers)

کیا آپ اعداد $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ میں کوئی طرز (pattern) مشاہدہ کرتے ہیں؟ آپ پائیں گے کہ ان میں سے ہر ایک 2 کی ضرب ہے۔

انہیں جفت اعداد (even numbers) کہتے ہیں۔ باقی اعداد $1,3,5,7,9,11, \ldots$ طاق اعداد (odd numbers) کہلاتے ہیں۔

آپ تصدیق کر سکتے ہیں کہ کوئی دو رقمی عدد یا تین رقمی عدد جفت ہے یا نہیں۔ آپ کیسے جان سکیں گے کہ آیا 756482 جیسا عدد جفت ہے؟ اسے 2 سے تقسیم کر کے۔ کیا یہ تکلیف دہ نہیں ہوگا؟

ہم کہتے ہیں کہ اکائی کے مقام پر $0,2,4,6,8$ والا عدد ایک جفت عدد ہوتا ہے۔ لہذا، 350، 4862، 59246 جفت اعداد ہیں۔ اعداد $457,2359,8231$ سب طاق ہیں۔ آئیے کچھ دلچسپ حقائق تلاش کرنے کی کوشش کرتے ہیں:

(الف) سب سے چھوٹا جفت عدد کون سا ہے؟ یہ 2 ہے۔ سب سے چھوٹا مفرد عدد کون سا ہے؟ یہ پھر 2 ہے۔

اس طرح، 2 سب سے چھوٹا مفرد عدد ہے جو جفت بھی ہے۔

(ب) دیگر مفرد اعداد $3,5,7,11,13, \ldots$ ہیں۔ کیا آپ کو اس فہرست میں کوئی جفت عدد ملتا ہے؟ بالکل نہیں، وہ سب طاق ہیں۔

اس طرح، ہم کہہ سکتے ہیں کہ 2 کے علاوہ ہر مفرد عدد طاق ہوتا ہے۔

مشق 3.2

1. کسی دو (الف) طاق اعداد کا مجموعہ کیا ہوتا ہے؟ (ب) جفت اعداد کا مجموعہ کیا ہوتا ہے؟

2. بتائیں کہ درج ذیل بیان سچ ہیں یا جھوٹ:

(الف) تین طاق اعداد کا مجموعہ جفت ہوتا ہے۔
(ب) دو طاق اعداد اور ایک جفت عدد کا مجموعہ جفت ہوتا ہے۔
(ج) تین طاق اعداد کا حاصل ضرب طاق ہوتا ہے۔
(د) اگر کسی جفت عدد کو 2 سے تقسیم کیا جائے، تو حاصل تقسیم ہمیشہ طاق ہوتا ہے۔
(ہ) تمام مفرد اعداد طاق ہوتے ہیں۔
(و) مفرد اعداد کے کوئی عوامل نہیں ہوتے۔
(ز) دو مفرد اعداد کا مجموعہ ہمیشہ جفت ہوتا ہے۔
(ح) 2 واحد جفت مفرد عدد ہے۔
(ط) تمام جفت اعداد مرکب اعداد ہوتے ہیں۔
(ی) دو جفت اعداد کا حاصل ضرب ہمیشہ جفت ہوتا ہے۔

3. اعداد 13 اور 31 مفرد اعداد ہیں۔ ان دونوں اعداد کے ہندسے 1 اور 3 ایک جیسے ہیں۔ 100 تک ایسے مفرد اعداد کے جوڑے تلاش کریں۔

4. 20 سے چھوٹے مفرد اور مرکب اعداد الگ الگ لکھیں۔

5. 1 اور 10 کے درمیان سب سے بڑا مفرد عدد کون سا ہے؟

6. درج ذیل کو دو طاق مفرد اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر کریں۔

(الف) 44
(ب) 36
(ج) 24
(د) 18

7. مفرد اعداد کے تین ایسے جوڑے دیں جن کا فرق 2 ہو۔

[نوٹ : دو مفرد اعداد جن کا فرق 2 ہو، جڑواں مفرد اعداد (twin primes) کہلاتے ہیں]۔

8. درج ذیل میں سے کون سے اعداد مفرد ہیں؟

(الف) 23
(ب) 51
(ج) 37
(د) 26

9. 100 سے چھوٹے سات مسلسل مرکب اعداد لکھیں تاکہ ان کے درمیان کوئی مفرد عدد نہ ہو۔

10. درج ذیل میں سے ہر عدد کو تین طاق مفرد اعداد کے مجموعے کے طور پر ظاہر کریں:

(الف) 21
(ب) 31
(ج) 53
(د) 61

11. مفرد اعداد کے پانچ ایسے جوڑے لکھیں جو 20 سے چھوٹے ہوں اور جن کا مجموعہ 5 سے تقسیم ہو۔ (اشارہ : $3+7=10$ )

12. خالی جگہیں پُر کریں :

(الف) ایسا عدد جس کے صرف دو عوامل ہوں، ______ کہلاتا ہے۔
(ب) ایسا عدد جس کے دو سے زیادہ عوامل ہوں، ______ کہلاتا ہے۔
(ج) 1 نہ ______ ہے اور نہ ______۔
(د) سب سے چھوٹا مفرد عدد ______ ہے۔
(ہ) سب سے چھوٹا مرکب عدد ______ ہے۔
(و) سب سے چھوٹا جفت عدد ______ ہے۔

3.4 اعداد کی تقسیم پذیری کے ٹیسٹ

کیا عدد 38، 2 سے تقسیم ہوتا ہے؟ 4 سے؟ 5 سے؟

38 کو ان اعداد سے عملی طور پر تقسیم کر کے ہم پاتے ہیں کہ یہ 2 سے تقسیم ہوتا ہے لیکن 4 اور 5 سے نہیں۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ کیا ہم کوئی طرز (pattern) تلاش کر سکتے ہیں جو ہمیں بتا سکے کہ کوئی عدد $2,3,4,5,6,8,9,10$ یا 11 سے تقسیم ہوتا ہے یا نہیں۔ کیا آپ کے خیال میں ایسے طرز آسانی سے دیکھے جا سکتے ہیں؟

10 سے تقسیم پذیری : چارو 10 کی ضربیں دیکھ رہی تھی۔ ضربیں $10,20,30,40,50,60, \ldots$ ہیں۔ اسے ان اعداد میں کچھ مشترک پایا۔ کیا آپ بتا سکتے ہیں کیا؟ ان میں سے ہر عدد کے اکائی کے مقام پر 0 ہے۔

اس نے اکائی کے مقام پر 0 والے کچھ مزید اعداد کے بارے میں سوچا جیسے $100,1000,3200,7010$۔ اسے یہ بھی پایا کہ ایسے تمام اعداد 10 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

اسے پتا چلتا ہے کہ اگر کسی عدد کے اکائی کے مقام پر 0 ہو تو وہ 10 سے تقسیم ہوتا ہے۔

کیا آپ 100 سے تقسیم پذیری کا قاعدہ تلاش کر سکتے ہیں؟

5 سے تقسیم پذیری : مانی نے اعداد 5، 10، $15,20,25,30,35, \ldots$ میں کچھ دلچسپ طرز پایا۔ کیا آپ طرز بتا سکتے ہیں؟ اکائی کے مقام کو دیکھیں۔ ان تمام اعداد کے اکائی کے مقام پر یا تو 0 ہے یا 5۔ ہم جانتے ہیں کہ یہ اعداد 5 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

مانی نے 5 سے تقسیم ہونے والے کچھ مزید اعداد لیے، جیسے 105، 215، 6205،3500۔ پھر ان اعداد کے اکائی کے مقام پر یا تو 0 ہے یا 5۔

اس نے اعداد $23,56,97$ کو 5 سے تقسیم کرنے کی کوشش کی۔ کیا وہ ایسا کر پائے گا؟ چیک کریں۔ وہ مشاہدہ کرتا ہے کہ ایسا عدد جس کے اکائی کے مقام پر یا تو 0 ہو یا 5، 5 سے تقسیم ہوتا ہے، دیگر اعداد باقی (remainder) چھوڑتے ہیں۔

کیا 1750125، 5 سے تقسیم ہوتا ہے؟

2 سے تقسیم پذیری : چارو 2 کی چند ضربیں 10، 12، 14، 16….. اور نیز 2410، 4356، 1358، 2972، 5974 جیسے اعداد مشاہدہ کرتی ہے۔ اسے ان اعداد کے اکائی کے مقام میں کوئی طرز ملتی ہے۔ کیا آپ بتا سکتے ہیں؟ ان اعداد کے اکائی کے مقام پر صرف ہندسے $0,2,4,6,8$ ہیں۔

وہ ان اعداد کو 2 سے تقسیم کرتی ہے اور باقی 0 پاتی ہے۔

اسے یہ بھی پتا چلتا ہے کہ اعداد 2467،4829، 2 سے تقسیم نہیں ہوتے۔ ان اعداد کے اکائی کے مقام پر $0,2,4,6$ یا 8 نہیں ہے۔

ان مشاہدات کو دیکھتے ہوئے وہ نتیجہ اخذ کرتی ہے کہ ایک عدد 2 سے تقسیم ہوتا ہے اگر اس کے اکائی کے مقام پر ہندسوں $\mathbf{0,2,4,6}$ یا 8 میں سے کوئی ہو۔

3 سے تقسیم پذیری : کیا اعداد $21,27,36,54,219$، 3 سے تقسیم ہوتے ہیں؟ ہاں، وہ ہیں۔

کیا اعداد 25، 37، 260، 3 سے تقسیم ہوتے ہیں؟ نہیں۔

کیا آپ اکائی کے مقام میں کوئی طرز دیکھ سکتے ہیں؟ ہم نہیں دیکھ سکتے، کیونکہ اکائی کے مقام پر ایک جیسے ہندسے والے اعداد 3 سے تقسیم ہو سکتے ہیں، جیسے 27، یا نہیں ہو سکتے، جیسے 17، 37۔ آئیے اب $21,36,54$ اور 219 کے ہندسوں کو جمع کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔ کیا آپ کچھ خاص مشاہدہ کرتے ہیں؟ $2+1=3,3+6=9,5+4=9,2+1+9=12$۔ یہ تمام جمع 3 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

$25,37,260$ کے ہندسے جمع کریں۔ ہمیں $2+5=7,3+7=10,2+6+0=8$ ملتا ہے۔

یہ 3 سے تقسیم نہیں ہوتے۔

ہم کہتے ہیں کہ اگر ہندسوں کا مجموعہ 3 کی ضرب ہو، تو عدد 3 سے تقسیم ہوتا ہے۔

کیا 7221، 3 سے تقسیم ہوتا ہے؟

**6 سے تقس