৩.১ ভূমিকা

রমেশের কাছে ৬টি মার্বেল আছে। সে সেগুলোকে সারিতে এমনভাবে সাজাতে চায় যেন প্রতিটি সারিতে মার্বেলের সংখ্যা একই হয়। সে সেগুলো নিম্নলিখিতভাবে সাজায় এবং মোট মার্বেলের সংখ্যা মিলিয়ে দেখে।

(i) প্রতিটি সারিতে ১টি মার্বেল

সারির সংখ্যা $=6$

মোট মার্বেলের সংখ্যা $\quad=1 \times 6=6$

(ii) প্রতিটি সারিতে ২টি মার্বেল সারির সংখ্যা $=3$

মোট মার্বেলের সংখ্যা $\quad=2 \times 3=6$

(iii) প্রতিটি সারিতে ৩টি মার্বেল

সারির সংখ্যা $\quad=2$

মোট মার্বেলের সংখ্যা $\quad=3 \times 2=6$

(iv) সে এমন কোনো বিন্যাস ভাবতে পারল না যেখানে প্রতিটি সারিতে ৪টি বা ৫টি মার্বেল থাকে। তাই, একমাত্র সম্ভাব্য বিন্যাসটি হলো সবগুলো ৬টি মার্বেল এক সারিতে রাখা।

সারির সংখ্যা $\quad=1$

মোট মার্বেলের সংখ্যা $=6 \times 1=6$

এই গণনা থেকে রমেশ লক্ষ্য করে যে ৬ কে বিভিন্নভাবে দুটি সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায় যেমন

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ থেকে বলা যায় যে ২ এবং ৩, ৬ কে নিঃশেষে ভাগ করে। সুতরাং, ২ এবং ৩ হল ৬ এর নিঃশেষে বিভাজক। অন্য গুণফল $6=1 \times 6$ থেকে, ৬ এর নিঃশেষে বিভাজক পাওয়া যায় ১ এবং ৬।

সুতরাং, ১, ২, ৩ এবং ৬ হল ৬ এর নিঃশেষে বিভাজক। এগুলিকে ৬ এর উৎপাদক বলা হয়। ১৮টি মার্বেল সারিতে সাজানোর চেষ্টা করো এবং ১৮ এর উৎপাদকগুলি নির্ণয় করো।

৩.২ উৎপাদক ও গুণিতক

মেরি সেই সংখ্যাগুলি বের করতে চায় যা ৪ কে নিঃশেষে ভাগ করে। সে ৪ কে ৪ এর চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলি দিয়ে এভাবে ভাগ করে।

ভাগফল ৪

ভাগশেষ ০

$4 = 1 \times 4$

ভাগফল ২

ভাগশেষ ০

$4 = 2 \times 2$

ভাগফল ১

ভাগশেষ ১

ভাগফল ১

ভাগশেষ ০

$ 4=4 \times 1 $

সে দেখতে পায় যে সংখ্যা ৪ কে এভাবে লেখা যায়: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ এবং জানে যে সংখ্যাগুলি ১,২ এবং ৪ হল ৪ এর নিঃশেষে বিভাজক।

এই সংখ্যাগুলিকে ৪ এর উৎপাদক বলা হয়।

একটি সংখ্যার উৎপাদক হল সেই সংখ্যার একটি নিঃশেষে বিভাজক।

লক্ষ্য করো, ৪ এর প্রতিটি উৎপাদক ৪ এর চেয়ে কম বা সমান।

খেলা-১ : এটি দুজন ব্যক্তি, ধরা যাক A এবং B, এর দ্বারা খেলার একটি খেলা। এটি উৎপাদক চিহ্নিত করার বিষয়ে।

এটির জন্য ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাযুক্ত ৫০টি কার্ডের টুকরো প্রয়োজন।

টেবিলে কার্ডগুলো এভাবে সাজাও।

ধাপসমূহ

(a) স্থির করো কে প্রথম খেলবে, A নাকি B।

(b) ধরা যাক A প্রথম খেলে। সে টেবিল থেকে একটি কার্ড তুলে নেয় এবং তার কাছে রাখে। মনে করো কার্ডটিতে ২৮ সংখ্যাটি আছে।

(c) তারপর খেলোয়াড় B সেই সব কার্ড তুলে নেয় যেগুলির সংখ্যা A এর কার্ডের সংখ্যার (অর্থাৎ ২৮) উৎপাদক, এবং সেগুলো তার কাছে একটি স্তূপে রাখে।

(d) তারপর খেলোয়াড় B টেবিল থেকে একটি কার্ড তুলে নেয় এবং তার কাছে রাখে। যে কার্ডগুলো বাকি থাকে, সেখান থেকে A সেই সব কার্ড তুলে নেয় যেগুলির সংখ্যা B এর কার্ডের সংখ্যার উৎপাদক। A সেগুলো তার আগে সংগ্রহ করা কার্ডের উপর রাখে।

(e) খেলাটি এভাবে চলতে থাকে যতক্ষণ না সব কার্ড ব্যবহৃত হয়ে যায়।

(f) A তার সংগ্রহ করা কার্ডগুলির উপর সংখ্যাগুলো যোগ করবে। B ও তার কার্ডগুলোর সাথে একই কাজ করবে। যে খেলোয়াড়ের যোগফল বেশি হবে সে জয়ী হবে।

কার্ডের সংখ্যা বাড়িয়ে খেলাটিকে আরও আকর্ষণীয় করা যেতে পারে। তোমার বন্ধুর সাথে এই খেলাটি খেলো। খেলাটি জয়ের কোনো উপায় কি তুমি খুঁজে পেতে পারো?

যখন আমরা একটি সংখ্যা ২০ কে $20=4 \times 5$ হিসেবে লিখি, তখন আমরা বলি ৪ এবং ৫ হল ২০ এর উৎপাদক। আমরা আরও বলি যে ২০ হল ৪ এবং ৫ এর একটি গুণিতক।

$24=2 \times 12$ উপস্থাপনাটি দেখায় যে ২ এবং ১২ হল ২৪ এর উৎপাদক, অন্যদিকে ২৪ হল ২ এবং ১২ এর একটি গুণিতক।

এগুলো চেষ্টা করো

৪৫, ৩০ এবং ৩৬ এর সম্ভাব্য উৎপাদকগুলি নির্ণয় করো।

আমরা বলতে পারি যে একটি সংখ্যা তার প্রতিটি উৎপাদকের একটি গুণিতক

এখন উৎপাদক ও গুণিতক সম্পর্কে কিছু আকর্ষণীয় তথ্য দেখা যাক।

(a) ৩ একক দৈর্ঘ্যের কাঠ/কাগজের অনেকগুলি স্ট্রিপ সংগ্রহ করো।

(b) নিচের চিত্রে দেখানো হিসাবে সেগুলোকে প্রান্ত থেকে প্রান্তে যুক্ত করো।

সর্বোপরি স্ট্রিপটির দৈর্ঘ্য $3=1 \times 3$ একক।

তার নিচের স্ট্রিপটির দৈর্ঘ্য $3+3=6$ একক। আরও, $6=2 \times 3$। পরবর্তী স্ট্রিপটির দৈর্ঘ্য $3+3+$ $3=9$ একক, এবং $9=3 \times 3$। এভাবে চলতে থাকলে আমরা অন্যান্য দৈর্ঘ্যগুলোকে এভাবে প্রকাশ করতে পারি,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

আমরা বলি যে সংখ্যাগুলি $3,6,9,12,15$ হল ৩ এর গুণিতক।

৩ এর গুণিতকের তালিকা এভাবে চলতে পারে $18,21,24, \ldots$

এই প্রতিটি গুণিতক ৩ এর চেয়ে বড় বা সমান।

৪ সংখ্যাটির গুণিতকগুলি হল $4,8,12,16,20,24, \ldots$

তালিকাটি অসীম। এই প্রতিটি সংখ্যা ৪ এর চেয়ে বড় বা সমান।

দেখা যাক আমরা উৎপাদক ও গুণিতক সম্পর্কে কী সিদ্ধান্তে পৌঁছাই:

১. এমন কোনো সংখ্যা আছে কি যা প্রতিটি সংখ্যার একটি উৎপাদক হিসেবে থাকে? হ্যাঁ। এটি হল ১। উদাহরণস্বরূপ $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ ইত্যাদি। আরও কয়েকটি সংখ্যার জন্য এটি পরীক্ষা করো।

আমরা বলি $\mathbf{1}$ প্রতিটি সংখ্যার একটি উৎপাদক।

২. ৭ কি নিজের একটি উৎপাদক হতে পারে? হ্যাঁ। তুমি ৭ কে $7=7 \times 1$ হিসেবে লিখতে পারো। ১০ এর কী হবে? এবং ১৫ এর?

তুমি দেখবে যে প্রতিটি সংখ্যাকেই এইভাবে প্রকাশ করা যায়।

আমরা বলি যে প্রতিটি সংখ্যা নিজের একটি উৎপাদক।

৩. ১৬ এর উৎপাদকগুলি কী কী? সেগুলি হল ১, ২, ৪, ৮, ১৬। এই উৎপাদকগুলির মধ্যে এমন কোনো উৎপাদক খুঁজে পাও কি যা ১৬ কে ভাগ করে না? $20 ; 36$ এর জন্য এটি চেষ্টা করো।

তুমি দেখবে যে একটি সংখ্যার প্রতিটি উৎপাদক সেই সংখ্যার একটি নিঃশেষে বিভাজক।

৪. ৩৪ এর উৎপাদকগুলি কী কী? সেগুলি হল ১,২,১৭ এবং ৩৪ নিজে। এর মধ্যে সবচেয়ে বড় উৎপাদকটি কোনটি? এটি হল ৩৪ নিজে।

অন্যান্য উৎপাদক ১, ২ এবং ১৭ হল ৩৪ এর চেয়ে ছোট। ৬৪, ৮১ এবং ৫৬ এর জন্য এটি পরীক্ষা করে দেখো।

আমরা বলি যে প্রতিটি উৎপাদক প্রদত্ত সংখ্যার চেয়ে কম বা সমান।

৫. ৭৬ সংখ্যাটির ৫টি উৎপাদক আছে। ১৩৬ বা ৯৬ এর কয়টি উৎপাদক আছে? তুমি দেখবে যে তুমি এগুলির প্রতিটির উৎপাদকের সংখ্যা গণনা করতে সক্ষম।

সংখ্যাগুলি ১০৫৭৬, ২৫৬৪২ ইত্যাদি বা তার চেয়েও বড় হলেও, তুমি এখনও এমন সংখ্যাগুলির উৎপাদকের সংখ্যা গণনা করতে পারবে, (যদিও এমন সংখ্যাগুলির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা তোমার পক্ষে কঠিন হতে পারে)।

আমরা বলি যে একটি প্রদত্ত সংখ্যার উৎপাদকের সংখ্যা সসীম।

৬. ৭ এর গুণিতকগুলি কী কী? স্পষ্টতই, $7,14,21,28, \ldots$ তুমি দেখবে যে এই প্রতিটি গুণিতক ৭ এর চেয়ে বড় বা সমান। এটি কি প্রতিটি সংখ্যার সাথে ঘটবে? ৬,৯ এবং ১০ এর গুণিতকগুলির জন্য এটি পরীক্ষা করো।

আমরা দেখি যে একটি সংখ্যার প্রতিটি গুণিতক সেই সংখ্যার চেয়ে বড় বা সমান।

৭. ৫ এর গুণিতকগুলি লেখো। সেগুলি হল $5,10,15,20, \ldots$ তুমি কি মনে করো এই তালিকা কোথাও শেষ হবে? না! তালিকাটি অসীম। ৬,৭ ইত্যাদির গুণিতকগুলির সাথে এটি চেষ্টা করো।

আমরা দেখি যে একটি প্রদত্ত সংখ্যার গুণিতকের সংখ্যা অসীম।

৮. ৭ কি নিজের একটি গুণিতক হতে পারে? হ্যাঁ, কারণ $7=7 \times 1$। এটি কি অন্যান্য সংখ্যার জন্যও সত্য হবে? ৩,১২ এবং ১৬ এর সাথে এটি চেষ্টা করো।

তুমি দেখবে যে প্রতিটি সংখ্যা নিজের একটি গুণিতক।

৬ এর উৎপাদকগুলি হল $1,2,3$ এবং ৬। আরও, $1+2+3+6=12=2 \times 6$। আমরা দেখি যে ৬ এর উৎপাদকগুলির যোগফল হল ৬ সংখ্যাটির দ্বিগুণ। ২৮ এর সমস্ত উৎপাদক হল ১,২, $4,7,14$ এবং ২৮। এগুলো যোগ করলে আমরা পাই, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$।

২৮ এর উৎপাদকগুলির যোগফল ২৮ সংখ্যাটির দ্বিগুণের সমান।

একটি সংখ্যা যার সমস্ত উৎপাদকের যোগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণের সমান তাকে একটি নিখুঁত সংখ্যা বলা হয়। সংখ্যা ৬ এবং ২৮ হল নিখুঁত সংখ্যা। ১০ কি একটি নিখুঁত সংখ্যা?

উদাহরণ ১ : ৬৮ এর সমস্ত উৎপাদক লেখো।

সমাধান : আমরা লক্ষ্য করি

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

এখানে থামো, কারণ ৪ এবং ১৭ আগে এসেছে।

সুতরাং, ৬৮ এর সমস্ত উৎপাদক হল ১, ২, ৪, ১৭, ৩৪ এবং ৬৮।

উদাহরণ ২ : ৩৬ এর উৎপাদকগুলি নির্ণয় করো।

সমাধান :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

এখানে থামো, কারণ উভয় উৎপাদক (৬) একই। সুতরাং, উৎপাদকগুলি হল ১,২, $3,4,6,9,12,18$ এবং ৩৬।

উদাহরণ ৩ : ৬ এর প্রথম পাঁচটি গুণিতক লেখো।

সমাধান : প্রয়োজনীয় গুণিতকগুলি হল: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ অর্থাৎ $6,12,18,24$ এবং ৩০।

অনুশীলনী ৩.১

১. নিচের সংখ্যাগুলির সমস্ত উৎপাদক লেখো :

(ক) ২৪
(খ) ১৫
(গ) ২১
(ঘ) ২৭
(ঙ) ১২
(চ) ২০
(ছ) ১৮
(জ) ২৩
(ঝ) ৩৬

২. নিচের সংখ্যাগুলির প্রথম পাঁচটি গুণিতক লেখো :

(ক) ৫
(খ) ৮
(গ) ৯

৩. কলাম ১ এর বিষয়গুলির সাথে কলাম ২ এর বিষয়গুলির মিল করো।

কলাম১ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ কলাম২

(i) ৩৫ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ক) ৮ এর গুণিতক
(ii) ১৫ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (খ) ৭ এর গুণিতক
(iii) ১৬ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (গ) ৭০ এর গুণিতক
(iv) ২০ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ঘ) ৩০ এর উৎপাদক
(v) ২৫ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (ঙ) ৫০ এর উৎপাদক
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (চ) (চ) ২০ এর উৎপাদক

৪. ১০০ পর্যন্ত ৯ এর সমস্ত গুণিতক নির্ণয় করো।

৩.৩ মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা

আমরা এখন একটি সংখ্যার উৎপাদকগুলির সাথে পরিচিত। এই সারণিতে সাজানো কয়েকটি সংখ্যার উৎপাদকের সংখ্যা লক্ষ্য করো।

আমরা দেখি যে (ক) সংখ্যা ১ এর কেবলমাত্র একটি উৎপাদক আছে (অর্থাৎ নিজে)।

(খ) এমন সংখ্যা আছে, যাদের ঠিক দুটি উৎপাদক ১ এবং সংখ্যাটি নিজে। যেমন সংখ্যাগুলি হল ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি। এই সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যা।

১ ব্যতীত যেসব সংখ্যার কেবলমাত্র উৎপাদক হল ১ এবং সংখ্যাটি নিজে, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।

এগুলো ছাড়া আরও কিছু মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করো।

(গ) এমন সংখ্যা আছে যাদের দুটির বেশি উৎপাদক আছে যেমন ৪, ৬, ৮, ৯, ১০ ইত্যাদি।

এই সংখ্যাগুলি যৌগিক সংখ্যা।

১既不 একটি মৌলিক সংখ্যা, না একটি যৌগিক সংখ্যা।

দুইটির বেশি উৎপাদক বিশিষ্ট সংখ্যাগুলিকে যৌগিক সংখ্যা বলা হয়।

১৫ কি একটি যৌগিক সংখ্যা? কেন? ১৮ এর কী হবে? ২৫?

প্রকৃতপক্ষে একটি সংখ্যার উৎপাদক পরীক্ষা না করে, আমরা একটি সহজ পদ্ধতিতে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে পারি। এই পদ্ধতিটি একজন

গ্রিক গণিতবিদ এরাটোস্থেনিস, খ্রিস্টপূর্ব তৃতীয় শতাব্দীতে দিয়েছিলেন। পদ্ধতিটি দেখা যাক। নিচে দেখানো হিসাবে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সমস্ত সংখ্যা তালিকাভুক্ত করো।

ধাপ ১ : ১ কে অতিক্রম করো কারণ এটি একটি মৌলিক সংখ্যা নয়।

ধাপ ২ : ২ কে বৃত্তে আবদ্ধ করো, ২ ব্যতীত ২ এর সমস্ত গুণিতক, অর্থাৎ ৪, ৬, ৮ ইত্যাদি অতিক্রম করো।

ধাপ ৩ : তুমি দেখবে যে পরবর্তী অতিক্রান্ত না হওয়া সংখ্যাটি হল ৩। ৩ কে বৃত্তে আবদ্ধ করো এবং ৩ ব্যতীত ৩ এর সমস্ত গুণিতক অতিক্রম করো।

ধাপ ৪ : পরবর্তী অতিক্রান্ত না হওয়া সংখ্যাটি হল ৫। ৫ কে বৃত্তে আবদ্ধ করো এবং ৫ ব্যতীত ৫ এর সমস্ত গুণিতক অতিক্রম করো।

ধাপ ৫ : তালিকার সমস্ত সংখ্যা বৃত্তে আবদ্ধ বা অতিক্রান্ত না হওয়া পর্যন্ত এই প্রক্রিয়া চালিয়ে যাও।

বৃত্তে আবদ্ধ সমস্ত সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা। অতিক্রান্ত সমস্ত সংখ্যা, ১ ব্যতীত, যৌগিক সংখ্যা।

এই পদ্ধতিকে এরাটোস্থেনিসের চালনি বলা হয়।

এগুলো চেষ্টা করো

লক্ষ্য করো যে $2 \times 3+1=7$ একটি মৌলিক সংখ্যা। এখানে, ২ এর একটি গুণিতকের সাথে ১ যোগ করে একটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া গেছে। তুমি কি এই ধরনের আরও কিছু সংখ্যা খুঁজে পেতে পারো?

উদাহরণ ৪ : ১৫ এর চেয়ে ছোট সমস্ত মৌলিক সংখ্যা লেখো।

সমাধান : চালনি পদ্ধতি লক্ষ্য করে, আমরা সহজেই প্রয়োজনীয় মৌলিক সংখ্যাগুলি ২,৩, ৫, ৭, ১১ এবং ১৩ হিসেবে লিখতে পারি।

জোড় ও বিজোড় সংখ্যা

তুমি কি $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ সংখ্যাগুলিতে কোনো প্যাটার্ন লক্ষ্য করো? তুমি দেখবে যে তাদের প্রতিটি ২ এর একটি গুণিতক।

এগুলিকে জোড় সংখ্যা বলা হয়। বাকি সংখ্যাগুলি $1,3,5,7,9,11, \ldots$ কে বিজোড় সংখ্যা বলা হয়।

তুমি যাচাই করতে পারো যে একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা বা তিন অঙ্কের সংখ্যা জোড় নাকি বিজোড়। ৭৫৬৪৮২ এর মতো একটি সংখ্যা জোড় কিনা তুমি কীভাবে জানবে? এটিকে ২ দিয়ে ভাগ করে। এটি কি ক্লান্তিকর হবে না?

আমরা বলি যে এককের স্থানে $0,2,4,6,8$ আছে এমন একটি সংখ্যা হল একটি জোড় সংখ্যা। সুতরাং, ৩৫০, ৪৮৬২, ৫৯২৪৬ হল জোড় সংখ্যা। সংখ্যাগুলি $457,2359,8231$ সব বিজোড়। কিছু আকর্ষণীয় তথ্য খুঁজে বের করার চেষ্টা করা যাক:

(ক) সবচেয়ে ছোট জোড় সংখ্যা কোনটি? এটি হল ২। সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা কোনটি? এটি আবার ২।

সুতরাং, ২ হল সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা যা জোড়।

(খ) অন্যান্য মৌলিক সংখ্যাগুলি হল $3,5,7,11,13, \ldots$। তুমি কি এই তালিকায় কোনো জোড় সংখ্যা খুঁজে পাও? অবশ্যই না, তারা সব বিজোড়।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে ২ ব্যতীত প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।

অনুশীলনী ৩.২

১. যেকোনো দুটির যোগফল কত (ক) বিজোড় সংখ্যা? (খ) জোড় সংখ্যা?

২. নিচের বিবৃতিগুলি সত্য নাকি মিথ্যা তা উল্লেখ করো:

(ক) তিনটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল জোড়।
(খ) দুটি বিজোড় সংখ্যা এবং একটি জোড় সংখ্যার যোগফল জোড়।
(গ) তিনটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল বিজোড়।
(ঘ) যদি একটি জোড় সংখ্যাকে ২ দিয়ে ভাগ করা হয়, ভাগফল সর্বদা বিজোড়।
(ঙ) সমস্ত মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।
(চ) মৌলিক সংখ্যার কোনো উৎপাদক নেই।
(ছ) দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল সর্বদা জোড়।
(জ) ২ হল একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
(ঝ) সমস্ত জোড় সংখ্যা যৌগিক সংখ্যা।
(ঞ) দুটি জোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা জোড়।

৩. ১৩ এবং ৩১ সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যা। এই দুটি সংখ্যার একই অঙ্ক ১ এবং ৩ আছে। ১০০ পর্যন্ত এমন মৌলিক সংখ্যার জোড়া খুঁজে বের করো।

৪. ২০ এর চেয়ে ছোট মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যাগুলি আলাদাভাবে লেখো।

৫. ১ এবং ১০ এর মধ্যে সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

৬. নিচের সংখ্যাগুলিকে দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করো।

(ক) ৪৪
(খ) ৩৬
(গ) ২৪
(ঘ) ১৮

৭. তিন জোড়া মৌলিক সংখ্যা দাও যাদের পার্থক্য ২।

[মন্তব্য : দুটি মৌলিক সংখ্যা যাদের পার্থক্য ২, তাদের যমজ মৌলিক বলা হয়]।

৮. নিচের কোন সংখ্যাগুলি মৌলিক?

(ক) ২৩
(খ) ৫১
(গ) ৩৭
(ঘ) ২৬

৯. ১০০ এর চেয়ে ছোট সাতটি ধারাবাহিক যৌগিক সংখ্যা লেখো যাতে তাদের মধ্যে কোনো মৌলিক সংখ্যা না থাকে।

১০. নিচের প্রতিটি সংখ্যাকে তিনটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করো:

(ক) ২১
(খ) ৩১
(গ) ৫৩
(ঘ) ৬১

১১. ২০ এর চেয়ে ছোট পাঁচ জোড়া মৌলিক সংখ্যা লেখো যাদের যোগফল ৫ দ্বারা বিভাজ্য। (ইঙ্গিত : $3+7=10$ )

১২. শূন্যস্থান পূরণ করো :

(ক) একটি সংখ্যা যার কেবলমাত্র দুটি উৎপাদক আছে তাকে একটি ______ বলা হয়।
(খ) একটি সংখ্যা যার দুটির বেশি উৎপাদক আছে তাকে একটি ______ বলা হয়।
(গ) ১既不 ______ না ______।
(ঘ) সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা হল ______।
(ঙ) সবচেয়ে ছোট যৌগিক সংখ্যা হল ______।
(চ) সবচেয়ে ছোট জোড় সংখ্যা হল ______।

৩.৪ সংখ্যার বিভাজ্যতার পরীক্ষা

৩৮ সংখ্যাটি কি ২ দ্বারা বিভাজ্য? ৪ দ্বারা? ৫ দ্বারা?

প্রকৃতপক্ষে ৩৮ কে এই সংখ্যাগুলি দিয়ে ভাগ করে আমরা দেখি যে এটি ২ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৪ এবং ৫ দ্বারা নয়।

দেখা যাক আমরা কি এমন একটি প্যাটার্ন খুঁজে পেতে পারি যা আমাদের বলতে পারে যে একটি সংখ্যা $2,3,4,5,6,8,9,10$ বা ১১ দ্বারা বিভাজ্য কিনা। তুমি কি মনে করো এমন প্যাটার্ন সহজে দেখা যায়?

১০ দ্বারা বিভাজ্যতা : চারু ১০ এর গুণিতকগুলি দেখছিল। গুণিতকগুলি হল $10,20,30,40,50,60, \ldots$। সে এই সংখ্যাগুলিতে কিছু সাধারণ বিষয় খুঁজে পেয়েছে। তুমি কি বলতে পারো কী? এই প্রতিটি সংখ্যার এককের স্থানে ০ আছে।

সে এককের স্থানে ০ সহ আরও কিছু সংখ্যা ভাবল যেমন $100,1000,3200,7010$। সে আরও দেখল যে এমন সমস্ত সংখ্যা ১০ দ্বারা বিভাজ্য।

সে দেখে যে যদি একটি সংখ্যার এককের স্থানে ০ থাকে তবে এটি ১০ দ্বারা বিভাজ্য।

তুমি কি ১০০ এর জন্য বিভাজ্যতার নিয়ম খুঁজে পেতে পারো?

৫ দ্বারা বিভাজ্যতা : মণি ৫, ১০, $15,20,25,30,35, \ldots$ সংখ্যাগুলিতে কিছু আকর্ষণীয় প্যাটার্ন খুঁজে পেয়েছে। তুমি কি প্যাটার্নটি বলতে পারো? এককের স্থানটি দেখো। এই সমস্ত সংখ্যার এককের স্থানে হয় ০ নয়তো ৫ আছে। আমরা জানি যে এই সংখ্যাগুলি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।

মণি ৫ দ্বারা বিভাজ্য আরও কিছু সংখ্যা নিল, যেমন ১০৫, ২১৫, ৬২০৫,৩৫০০। আবার এই সংখ্যাগুলির এককের স্থানে হয় ০ নয়তো ৫ আছে।

সে $23,56,97$ সংখ্যাগুলিকে ৫ দিয়ে ভাগ করার চেষ্টা করল। সে কি তা করতে সক্ষম হবে? এটি পরীক্ষা করো। সে লক্ষ্য করে যে একটি সংখ্যা যার এককের স্থানে হয় ০ নয়তো ৫ আছে তা ৫ দ্বারা বিভাজ্য, অন্য সংখ্যাগুলি একটি ভাগশেষ রাখে।

১৭৫০১২৫ কি ৫ দ্বারা বিভাজ্য?

২ দ্বারা বিভাজ্যতা : চারু ২ এর কয়েকটি গুণিতক ১০, ১২, ১৪, ১৬….. এবং ২৪১০, ৪৩৫৬, ১৩৫৮, ২৯৭২, ৫৯৭৪ এর মতো সংখ্যাগুলি লক্ষ্য করে। সে এই সংখ্যাগুলির এককের স্থানে কিছু প্যাটার্ন খুঁজে পায়। তুমি কি বলতে পারো? এই সংখ্যাগুলির এককের স্থানে কেবল $0,2,4,6,8$ অঙ্কগুলি আছে।

সে এই সংখ্যাগুলিকে ২ দিয়ে ভাগ করে এবং ভাগশেষ ০ পায়।

সে আরও দেখে যে ২৪৬৭,৪৮২৯ সংখ্যাগুলি ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়। এই সংখ্যাগুলির এককের স্থানে $0,2,4,6$ বা ৮ নেই।

এই পর্যবেক্ষণগুলি দেখে সে সিদ্ধান্তে পৌঁছায় যে একটি সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য যদি এর এককের স্থানে $\mathbf{0,2,4,6}$ বা ৮ অঙ্কগুলির যেকোনোটি থাকে।

৩ দ্বারা বিভাজ্যতা : $21,27,36,54,219$ সংখ্যাগুলি কি ৩ দ্বারা বিভাজ্য? হ্যাঁ, তারা বিভাজ্য।

২৫, ৩৭, ২৬০ সংখ্যাগুলি কি ৩ দ্বারা বিভাজ্য? না।

তুমি কি এককের স্থানে কোনো প্যাটার্ন দেখতে পাও? আমরা পারি না, কারণ এককের স্থানে একই অঙ্ক থাকা সংখ্যাগুলি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে, যেমন ২৭, অথবা নাও হতে পারে যেমন ১৭, ৩৭। এখন $21,36,54$ এবং ২১৯ এর অঙ্কগুলি যোগ করার চেষ্টা করা যাক। তুমি কি কিছু বিশেষ লক্ষ্য করো? $2+1=3,3+6=9,5+4=9,2+1+9=12$। এই সমস্ত যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

$25,37,260$ এর অঙ্কগুলি যোগ করো। আমরা পাই $2+5=7,3+7=10,2+6+0=8$।

এগুলি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

আমরা বলি যে যদি অঙ্কগুলির যোগফল ৩ এর একটি গুণিতক হয়, তবে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

৭২২১ কি ৩ দ্বারা বিভাজ্য?

৬ দ্বারা বিভাজ্যতা : তুমি কি এমন একটি সংখ্যা চিহ্নিত করতে পারো যা ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য? এমন একটি সংখ্যা হল ১৮। ১৮ কি $2 \times 3=6$ দ্বারা বিভাজ্য হবে? হ্যাঁ, এটি বিভাজ্য।

১৮ এর মতো আরও কিছু সংখ্যা খুঁজে বের করো এবং পরীক্ষা করো যে সেগুলিও ৬ দ্বারা বিভাজ্য কিনা।

তুমি কি দ্রুত এমন একটি সংখ্যা ভাবতে পারো যা ২ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৩ দ্বারা নয়?

এখন ৩ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ২ দ্বারা নয় এমন একটি সংখ্যার জন্য, একটি উদাহরণ হল ২৭। ২৭ কি ৬ দ্বারা বিভাজ্য? না। ২৭ এর মতো সংখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করো।

এই পর্যবেক্ষণগুলি থেকে আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে যদি একটি সংখ্যা ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে এটি ৬ দ্বারাও বিভাজ্য।

৪ দ্বারা বিভাজ্যতা : তুমি কি দ্রুত ৪ দ্বারা বিভাজ্য পাঁচটি ৩-অঙ্কের সংখ্যা দিতে পারো? এমন একটি সংখ্যা হল ২১২। এমন ৪-অঙ্কের সংখ্যা ভাবো। একটি উদাহরণ হল ১৯৩৬।

২১২ এর একক ও দশকের স্থান দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি লক্ষ্য করো। এটি হল ১২; যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য। ১৯৩৬ এর জন্য এটি হল ৩৬, আবার ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

অন্যান্য এমন সংখ্যার সাথে অনুশীলনটি চেষ্টা করো, উদাহরণস্বরূপ ৪৬১২; $3516 ; 9532$।

২৮৬ সংখ্যাটি কি ৪ দ্বারা বিভাজ্য? না। ৮৬ কি ৪ দ্বারা বিভাজ্য? না।

সুতরাং, আমরা দেখি যে ৩ বা ততোধিক অঙ্কের একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য যদি এর শেষ দুটি অঙ্ক (অর্থাৎ একক ও দশক) দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

আরও দশটি উদাহরণ নিয়ে এই নিয়মটি পরীক্ষা করো।

১ বা ২ অঙ্কের সংখ্যার জন্য ৪ দ্বারা বিভাজ্যতা প্রকৃত ভাগ দ্বারা পরীক্ষা করতে হবে।

৮ দ্বারা বিভাজ্যতা : $1000,2104,1416$ সংখ্যাগুলি কি ৮ দ্বারা বিভাজ্য?

তুমি পরীক্ষা করতে পারো যে তারা ৮ দ্বারা বিভাজ্য। প্যাটার্নটি দেখার চেষ্টা করা যাক।

এই সংখ্যাগুলির একক, দশক ও শতকের স্থানের অঙ্কগুলি দেখো। এগুলি হল যথাক্রমে ০০০, ১০৪ এবং ৪১৬। এগুলিও ৮ দ্বারা বিভাজ্য। এমন আরও কিছু সংখ্যা খুঁজে বের করো যেখানে একক, দশক ও শতকের স্থানের অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত সংখ্যা (অর্থাৎ শেষ ৩টি অঙ্ক) ৮ দ্বারা বিভাজ্য। উদাহরণস্বরূপ, ৯২১৬, ৮২১৬, ৭২১৬, ১০২১৬, ৯৯৯৫২১৬ ইত্যাদি। তুমি দেখবে যে সংখ্যাগুলি