3.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਰਮੇਸ਼ ਕੋਲ 6 ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ। ਉਹ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕੋ ਜਿੰਨੀ ਹੋਵੇ। ਉਹ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮਿਲਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

(i) ਹਰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 1 ਗੋਲੀ

ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=6$

ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $\quad=1 \times 6=6$

(ii) ਹਰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 2 ਗੋਲੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=3$

ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $\quad=2 \times 3=6$

(iii) ਹਰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 3 ਗੋਲੀਆਂ

ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $\quad=2$

ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $\quad=3 \times 2=6$

(iv) ਉਹ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਸੋਚ ਸਕਿਆ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 4 ਜਾਂ 5 ਗੋਲੀਆਂ ਹੋਣ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕੋ ਵਿਵਸਥਾ ਬਾਕੀ ਰਹਿ ਗਈ ਸੀ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ 6 ਗੋਲੀਆਂ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਹੋਣ।

ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $\quad=1$

ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $=6 \times 1=6$

ਇਨ੍ਹਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਤੋਂ ਰਮੇਸ਼ ਨੋਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ 6 ਨੂੰ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ ਤੋਂ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ 2 ਅਤੇ 3, 6 ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, 2 ਅਤੇ 3, 6 ਦੇ ਸਹੀ ਵੰਡਣਹਾਰ ਹਨ। ਦੂਸਰੇ ਗੁਣਨਫਲ $6=1 \times 6$ ਤੋਂ, 6 ਦੇ ਸਹੀ ਵੰਡਣਹਾਰ 1 ਅਤੇ 6 ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, 1, 2, 3 ਅਤੇ 6, 6 ਦੇ ਸਹੀ ਵੰਡਣਹਾਰ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ 6 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 18 ਗੋਲੀਆਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ਅਤੇ 18 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।

3.2 ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਤੇ ਗੁਣਜ

ਮੈਰੀ ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ 4 ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਹ 4 ਨੂੰ 4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੀ ਹੈ।

ਭਾਗਫਲ 4 ਹੈ

ਸ਼ੇਸ਼ 0 ਹੈ

$4 = 1 \times 4$

ਭਾਗਫਲ 2 ਹੈ

ਸ਼ੇਸ਼ 0 ਹੈ

$4 = 2 \times 2$

ਭਾਗਫਲ 1 ਹੈ

ਸ਼ੇਸ਼ 1 ਹੈ

ਭਾਗਫਲ 1 ਹੈ

ਸ਼ੇਸ਼ 0 ਹੈ

$ 4=4 \times 1 $

ਉਹ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆ 4 ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ ਅਤੇ ਜਾਣਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 1,2 ਅਤੇ 4, 4 ਦੇ ਸਹੀ ਵੰਡਣਹਾਰ ਹਨ।

ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ 4 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਸਹੀ ਵੰਡਣਹਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 4 ਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ 4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਖੇਡ-1 : ਇਹ ਇੱਕ ਖੇਡ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀਆਂ, ਮੰਨ ਲਓ A ਅਤੇ B, ਦੁਆਰਾ ਖੇਡੀ ਜਾਣੀ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਬਾਰੇ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ 1 ਤੋਂ 50 ਤੱਕ ਨੰਬਰ ਵਾਲੀਆਂ 50 ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।

ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਨੂੰ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।

ਕਦਮ

(a) ਤੈਅ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਕੌਣ ਖੇਡੇਗਾ, A ਜਾਂ B।

(b) ਮੰਨ ਲਓ A ਪਹਿਲਾਂ ਖੇਡਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਰੱਖੀ ਇੱਕ ਤਸ਼ਤਰੀ ਚੁਣਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਕੋਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਤਸ਼ਤਰੀ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ 28 ਹੈ।

(c) ਫਿਰ ਖਿਡਾਰੀ B ਉਹ ਸਾਰੀਆਂ ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਚੁਣਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ‘ਤੇ ਉਹ ਨੰਬਰ ਹਨ ਜੋ A ਦੀ ਤਸ਼ਤਰੀ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ (ਭਾਵ 28) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਢੇਰੀ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

(d) ਫਿਰ ਖਿਡਾਰੀ B ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਰੱਖੀ ਇੱਕ ਤਸ਼ਤਰੀ ਚੁਣਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਕੋਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਬਾਕੀ ਬਚੀਆਂ ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ, A ਉਹ ਸਾਰੀਆਂ ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਚੁਣਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ B ਦੀ ਤਸ਼ਤਰੀ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। A ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਕੱਠੀ ਕੀਤੀ ਤਸ਼ਤਰੀ ‘ਤੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

(e) ਖੇਡ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਦ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੀਆਂ ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਵਰਤੀਆਂ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦੀਆਂ।

(f) A ਆਪਣੀਆਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਕੀਤੀਆਂ ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ‘ਤੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰੇਗਾ। B ਵੀ ਆਪਣੀਆਂ ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਨਾਲ ਇਹੀ ਕਰੇਗਾ। ਜਿਸ ਖਿਡਾਰੀ ਦਾ ਜੋੜ ਵੱਧ ਹੋਵੇਗਾ, ਉਹ ਜੇਤੂ ਹੋਵੇਗਾ।

ਤਸ਼ਤਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾ ਕੇ ਖੇਡ ਨੂੰ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਡ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤ ਨਾਲ ਖੇਡੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਖੇਡ ਜਿੱਤਣ ਦਾ ਕੋਈ ਤਰੀਕਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ 20 ਨੂੰ $20=4 \times 5$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 4 ਅਤੇ 5, 20 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 20, 4 ਅਤੇ 5 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ।

$24=2 \times 12$ ਦੀ ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ 2 ਅਤੇ 12, 24 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ, ਜਦਕਿ 24, 2 ਅਤੇ 12 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

45, 30 ਅਤੇ 36 ਦੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।

ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਆਪਣੇ ਹਰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ

ਆਓ ਹੁਣ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਜਾਂ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਦਿਲਚਸਪ ਤੱਥ ਵੇਖੀਏ।

(a) 3 ਇਕਾਈ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀਆਂ ਕਈ ਲੱਕੜੀ/ਕਾਗਜ਼ ਦੀਆਂ ਪੱਟੀਆਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਕਰੋ।

(b) ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਸਿਰਾ ਜੋੜੋ।

ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵਾਲੀ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $3=1 \times 3$ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।

ਇਸਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $3+3=6$ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $6=2 \times 3$। ਅਗਲੀ ਪੱਟੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $3+3+$ $3=9$ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ, ਅਤੇ $9=3 \times 3$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਲੰਬਾਈਆਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $3,6,9,12,15$, 3 ਦੇ ਗੁਣਜ ਹਨ।

3 ਦੇ ਗੁਣਜਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਨੂੰ $18,21,24, \ldots$ ਵਜੋਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਗੁਣਜ 3 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਸੰਖਿਆ 4 ਦੇ ਗੁਣਜ $4,8,12,16,20,24, \ldots$ ਹਨ।

ਸੂਚੀ ਅੰਤਹੀਣ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ 4 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਆਓ ਵੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਜਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ:

1. ਕੀ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਆਉਂਦੀ ਹੈ? ਹਾਂ। ਇਹ 1 ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ। ਇਸਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਜਾਂਚੋ।

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\mathbf{1}$ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।

2. ਕੀ 7 ਆਪਣਾ ਆਪ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਹਾਂ। ਤੁਸੀਂ 7 ਨੂੰ $7=7 \times 1$ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ। 10 ਦਾ ਕੀ? ਅਤੇ 15 ਦਾ?

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਆਪਣਾ ਆਪ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

3. 16 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀ ਹਨ? ਉਹ 1, 2, 4, 8, 16 ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਦੇ ਹੋ ਜੋ 16 ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਵੰਡਦਾ? ਇਸਨੂੰ $20 ; 36$ ਲਈ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ।

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਸਹੀ ਵੰਡਣਹਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

4. 34 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀ ਹਨ? ਉਹ 1,2,17 ਅਤੇ 34 ਖੁਦ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਹੜਾ ਹੈ? ਇਹ 34 ਖੁਦ ਹੀ ਹੈ।

ਬਾਕੀ ਗੁਣਨਖੰਡ 1, 2 ਅਤੇ 17, 34 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ 64, 81 ਅਤੇ 56 ਲਈ ਜਾਂਚਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

5. ਸੰਖਿਆ 76 ਦੇ 5 ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। 136 ਜਾਂ 96 ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ? ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਭਾਵੇਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 10576, 25642 ਵਰਗੀਆਂ ਵੱਡੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੀ ਵੱਡੀਆਂ, ਤੁਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹੋ, (ਹਾਲਾਂਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ)।

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸੀਮਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

6. 7 ਦੇ ਗੁਣਜ ਕੀ ਹਨ? ਜ਼ਾਹਰ ਹੈ, $7,14,21,28, \ldots$ ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਗੁਣਜ 7 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਕੀ ਇਹ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਸਨੂੰ 6,9 ਅਤੇ 10 ਦੇ ਗੁਣਜਾਂ ਲਈ ਜਾਂਚੋ।

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਹਰ ਗੁਣਜ ਉਸ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

7. 5 ਦੇ ਗੁਣਜ ਲਿਖੋ। ਉਹ $5,10,15,20, \ldots$ ਹਨ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸੂਚੀ ਕਿਤੇ ਖਤਮ ਹੋਵੇਗੀ? ਨਹੀਂ! ਸੂਚੀ ਅੰਤਹੀਣ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ 6,7 ਆਦਿ ਦੇ ਗੁਣਜਾਂ ਲਈ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ।

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਗੁਣਜਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਨੰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

8. ਕੀ 7 ਆਪਣਾ ਆਪ ਇੱਕ ਗੁਣਜ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ $7=7 \times 1$। ਕੀ ਇਹ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਵੀ ਸੱਚ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਸਨੂੰ 3,12 ਅਤੇ 16 ਲਈ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ।

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਆਪਣਾ ਆਪ ਇੱਕ ਗੁਣਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

6 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ $1,2,3$ ਅਤੇ 6 ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $1+2+3+6=12=2 \times 6$। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 6 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸੰਖਿਆ 6 ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। 28 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡ 1,2, $4,7,14$ ਅਤੇ 28 ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$ ਹੈ।

28 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸੰਖਿਆ 28 ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ 6 ਅਤੇ 28 ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਕੀ 10 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?

ਉਦਾਹਰਨ 1 : 68 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ : ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

ਇੱਥੇ ਰੁਕੋ, ਕਿਉਂਕਿ 4 ਅਤੇ 17 ਪਹਿਲਾਂ ਆ ਚੁੱਕੇ ਹਨ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, 68 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡ 1, 2, 4, 17, 34 ਅਤੇ 68 ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 : 36 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

ਇੱਥੇ ਰੁਕੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਖੰਡ (6) ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਗੁਣਨਖੰਡ 1,2, $3,4,6,9,12,18$ ਅਤੇ 36 ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 : 6 ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਗੁਣਜ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ : ਲੋੜੀਂਦੇ ਗੁਣਜ ਹਨ: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ ਭਾਵ $6,12,18,24$ ਅਤੇ 30।

ਕਸਰਤ 3.1

1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ:

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਗੁਣਜ ਲਿਖੋ:

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. ਕਾਲਮ 1 ਦੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਾਲਮ 2 ਦੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਾਓ।

ਕਾਲਮ1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ ਕਾਲਮ2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 ਦਾ ਗੁਣਜ
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 ਦਾ ਗੁਣਜ
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 ਦਾ ਗੁਣਜ
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ

4. 100 ਤੱਕ 9 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਜ ਲੱਭੋ।

3.3 ਅਭਾਜ ਅਤੇ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਜਾਣੂ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਾਰਨੀ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (a) ਸੰਖਿਆ 1 ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ (ਭਾਵ ਖੁਦ)।

(b) ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਅਤੇ ਖੁਦ ਸੰਖਿਆ ਹਨ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 2, 3, 5, 7, 11 ਆਦਿ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਅਤੇ ਖੁਦ ਸੰਖਿਆ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹਨਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੁਝ ਹੋਰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।

(c) ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ ਜਿਵੇਂ 4, 6, 8, 9, 10 ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ।

ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

1 ਨਾ ਤਾਂ ਅਭਾਜ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੀ 15 ਇੱਕ ਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? ਕਿਉਂ? 18 ਦਾ ਕੀ? 25 ਦਾ?

ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ 1 ਤੋਂ 100 ਤੱਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਇੱਕ

ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਇਰਾਟੋਸਥੀਨੀਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਤੀਜੀ ਸਦੀ ਈ.ਪੂ. ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਆਓ ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਵੇਖੀਏ। 1 ਤੋਂ 100 ਤੱਕ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਕਦਮ 1 : 1 ਨੂੰ ਕੱਟ ਦਿਓ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਕਦਮ 2 : 2 ਨੂੰ ਘੇਰੋ, 2 ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣਜਾਂ ਨੂੰ, 2 ਖੁਦ ਤ