३.१ प्रस्तावना

रमेशकडे 6 गोट्या आहेत. तो त्यांना पंक्तींमध्ये अशा प्रकारे मांडू इच्छितो की प्रत्येक पंक्तीत समान संख्येने गोट्या असतील. तो त्यांना पुढील प्रकारे मांडतो आणि एकूण गोट्यांची संख्या जुळवतो.

(i) प्रत्येक पंक्तीत 1 गोटी

पंक्तींची संख्या $=6$

गोट्यांची एकूण संख्या $\quad=1 \times 6=6$

(ii) प्रत्येक पंक्तीत 2 गोट्या पंक्तींची संख्या $=3$

गोट्यांची एकूण संख्या $\quad=2 \times 3=6$

(iii) प्रत्येक पंक्तीत 3 गोट्या

पंक्तींची संख्या $\quad=2$

गोट्यांची एकूण संख्या $\quad=3 \times 2=6$

(iv) त्याला अशी कोणतीही मांडणी सुचली नाही ज्यामध्ये प्रत्येक पंक्तीत 4 गोट्या किंवा 5 गोट्या असतील. म्हणून, शेवटची शक्य मांडणी म्हणजे सर्व 6 गोट्या एका पंक्तीत.

पंक्तींची संख्या $\quad=1$

गोट्यांची एकूण संख्या $=6 \times 1=6$

या गणनेवरून रमेश पाहतो की 6 ला वेगवेगळ्या प्रकारे दोन संख्यांचा गुणाकार म्हणून लिहिता येते

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ वरून असे म्हणता येते की 2 आणि 3 ने 6 ने पूर्ण भाग जातो. म्हणून, 2 आणि 3 हे 6 चे अचूक विभाजक आहेत. इतर गुणाकार $6=1 \times 6$ वरून, 6 चे अचूक विभाजक 1 आणि 6 आढळतात.

अशाप्रकारे, 1, 2, 3 आणि 6 हे 6 चे अचूक विभाजक आहेत. त्यांना 6 चे अवयव म्हणतात. 18 गोट्या पंक्तींमध्ये मांडण्याचा प्रयत्न करा आणि 18 चे अवयव शोधा.

३.२ अवयव आणि विभाज्य

मेरीला अशा संख्या शोधायच्या आहेत ज्या 4 ला नक्की भागतात. ती 4 ला 4 पेक्षा कमी संख्यांनी भागते.

भागाकार 4 आहे

बाकी 0 आहे

$4 = 1 \times 4$

भागाकार 2 आहे

बाकी 0 आहे

$4 = 2 \times 2$

भागाकार 1 आहे

बाकी 1 आहे

भागाकार 1 आहे

बाकी 0 आहे

$ 4=4 \times 1 $

तिला असे आढळते की संख्या 4 अशी लिहिता येते: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ आणि तिला माहित आहे की संख्या 1,2 आणि 4 हे 4 चे अचूक विभाजक आहेत.

या संख्यांना 4 चे अवयव म्हणतात.

एखाद्या संख्येचा अवयव म्हणजे त्या संख्येचा अचूक विभाजक.

लक्षात घ्या की 4 चा प्रत्येक अवयव 4 पेक्षा कमी किंवा समान आहे.

खेळ-1 : हा एक खेळ आहे जो दोन व्यक्ती A आणि B यांनी खेळायचा आहे. हा अवयव ओळखण्याबद्दल आहे.

यासाठी 1 ते 50 क्रमांक असलेल्या 50 कार्डांची आवश्यकता आहे.

कार्डे टेबलावर अशी मांडा.

पायऱ्या

(a) ठरवा की A किंवा B मध्ये कोण प्रथम खेळेल.

(b) A ला प्रथम खेळू द्या. तो टेबलावरून एक कार्ड उचलतो आणि ते स्वतःकडे ठेवतो. समजा कार्डावर 28 हा क्रमांक आहे.

(c) नंतर खेळाडू B त्या सर्व कार्डा उचलतो ज्यांच्या क्रमांक A च्या कार्डावरील संख्येचे अवयव आहेत (म्हणजे 28), आणि ते स्वतःजवळ एका ढीगात ठेवतो.

(d) नंतर खेळाडू B टेबलावरून एक कार्ड उचलतो आणि ते स्वतःकडे ठेवतो. उरलेल्या कार्डांमधून, A ती सर्व कार्डे उचलतो ज्यांचे क्रमांक B च्या कार्डावरील संख्येचे अवयव आहेत. A ती आधी गोळा केलेल्या कार्डावर ठेवतो.

(e) हा खेळ अशाच प्रकारे चालू राहतो जोपर्यंत सर्व कार्डे वापरली जात नाहीत.

(f) A स्वतःकडे गोळा केलेल्या कार्डांवरील संख्यांची बेरीज करेल. B देखील त्याच कार्डांसोबत असेच करेल. ज्या खेळाडूची बेरीज जास्त असेल तो विजेता असेल.

कार्डांची संख्या वाढवून हा खेळ अधिक मनोरंजक बनवता येईल. हा खेळ तुमच्या मित्रासोबत खेळा. तुम्हाला खेळ जिंकण्याचा काही मार्ग सापडतो का?

जेव्हा आपण एक संख्या 20 अशी लिहितो $20=4 \times 5$, तेव्हा आपण म्हणतो की 4 आणि 5 हे 20 चे अवयव आहेत. आपण हे देखील म्हणतो की 20 हा 4 आणि 5 चा विभाज्य आहे.

$24=2 \times 12$ हे प्रतिनिधित्व दर्शवते की 2 आणि 12 हे 24 चे अवयव आहेत, तर 24 हा 2 आणि 12 चा विभाज्य आहे.

हे करून पहा

45, 30 आणि 36 चे संभाव्य अवयव शोधा.

आपण असे म्हणू शकतो की एक संख्या तिच्या प्रत्येक अवयवाची विभाज्य आहे

आता अवयव आणि विभाज्य याबद्दल काही मनोरंजक तथ्ये पाहू या.

(a) प्रत्येकी 3 एकक लांबीच्या अनेक लाकडी/कागदाच्या पट्ट्या गोळा करा.

(b) त्यांचे टोके जोडून खालील आकृतीप्रमाणे एकमेकांशी जोडा.

वरच्या पट्टीची लांबी $3=1 \times 3$ एकके आहे.

त्याखालील पट्टीची लांबी $3+3=6$ एकके आहे. तसेच, $6=2 \times 3$. पुढील पट्टीची लांबी $3+3+$ $3=9$ एकके आहे, आणि $9=3 \times 3$. हे चालू ठेवल्यास आपण इतर लांबी अशी व्यक्त करू शकतो,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

आपण म्हणतो की संख्या $3,6,9,12,15$ ह्या 3 च्या विभाज्य आहेत.

3 च्या विभाज्यांची यादी $18,21,24, \ldots$ अशी चालू राहू शकते

यापैकी प्रत्येक विभाज्य 3 पेक्षा मोठी किंवा समान आहे.

संख्या 4 च्या विभाज्य आहेत $4,8,12,16,20,24, \ldots$

ही यादी अंतहीन आहे. यापैकी प्रत्येक संख्या 4 पेक्षा मोठी किंवा समान आहे.

आता आपण अवयव आणि विभाज्य याबद्दल काय निष्कर्ष काढतो ते पाहू या:

1. अशी काही संख्या आहे का जी प्रत्येक संख्येचा अवयव म्हणून येते? होय. ती 1 आहे. उदाहरणार्थ $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ आणि असेच. ते आणखी काही संख्यांसाठी तपासा.

आपण म्हणतो $\mathbf{1}$ प्रत्येक संख्येचा अवयव आहे.

2. 7 स्वतःचा अवयव असू शकतो का? होय. तुम्ही 7 असे लिहू शकता $7=7 \times 1$. 10 बद्दल काय? आणि 15?

तुम्हाला असे आढळेल की प्रत्येक संख्या या प्रकारे व्यक्त करता येते.

आपण म्हणतो की प्रत्येक संख्या स्वतःची अवयव आहे.

3. 16 चे अवयव काय आहेत? ते 1, 2, 4, 8, 16 आहेत. या अवयवांपैकी तुम्हाला असे काही अवयव सापडतात का जे 16 ला भागत नाहीत? $20 ; 36$ साठी ते करून पहा.

तुम्हाला असे आढळेल की एखाद्या संख्येचा प्रत्येक अवयव त्या संख्येचा अचूक विभाजक आहे.

4. 34 चे अवयव काय आहेत? ते 1,2,17 आणि 34 स्वतः आहेत. यापैकी सर्वात मोठा अवयव कोणता? तो 34 स्वतः आहे.

इतर अवयव 1, 2 आणि 17 हे 34 पेक्षा कमी आहेत. हे 64, 81 आणि 56 साठी तपासण्याचा प्रयत्न करा.

आपण म्हणतो की प्रत्येक अवयव दिलेल्या संख्येपेक्षा कमी किंवा समान आहे.

5. संख्या 76 ला 5 अवयव आहेत. 136 किंवा 96 ला किती अवयव आहेत? तुम्हाला असे आढळेल की तुम्ही यापैकी प्रत्येकाच्या अवयवांची संख्या मोजू शकता.

जरी संख्या 10576, 25642 इतक्या मोठ्या किंवा त्याहून मोठ्या असल्या तरीही, तुम्ही अशा संख्यांच्या अवयवांची संख्या मोजू शकता (जरी अशा संख्यांचे अवयव पाडणे कठीण वाटेल).

आपण म्हणतो की दिलेल्या संख्येच्या अवयवांची संख्या मर्यादित आहे.

6. 7 चे विभाज्य काय आहेत? स्पष्टपणे, $7,14,21,28, \ldots$ तुम्हाला असे आढळेल की यापैकी प्रत्येक विभाज्य 7 पेक्षा मोठी किंवा समान आहे. प्रत्येक संख्येसोबत असे होईल का? 6,9 आणि 10 च्या विभाज्यांसाठी हे तपासा.

आपल्याला असे आढळते की एखाद्या संख्येचा प्रत्येक विभाज्य त्या संख्येपेक्षा मोठा किंवा समान आहे.

7. 5 चे विभाज्य लिहा. ते $5,10,15,20, \ldots$ आहेत तुम्हाला असे वाटते का की ही यादी कुठेतरी संपेल? नाही! ही यादी अंतहीन आहे. 6,7 इत्यादींच्या विभाज्यांसोबत ते करून पहा.

आपल्याला असे आढळते की दिलेल्या संख्येच्या विभाज्यांची संख्या अनंत आहे.

8. 7 स्वतःची विभाज्य असू शकतो का? होय, कारण $7=7 \times 1$. इतर संख्यांसाठी देखील हे खरे असेल का? 3,12 आणि 16 सोबत ते करून पहा.

तुम्हाला असे आढळेल की प्रत्येक संख्या स्वतःची विभाज्य आहे.

6 चे अवयव $1,2,3$ आणि 6 आहेत. तसेच, $1+2+3+6=12=2 \times 6$. आपल्याला असे आढळते की 6 च्या अवयवांची बेरीज ही संख्या 6 च्या दुप्पट आहे. 28 चे सर्व अवयव 1,2, $4,7,14$ आणि 28 आहेत. हे जोडल्यास, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$.

28 च्या अवयवांची बेरीज ही संख्या 28 च्या दुप्पट आहे.

ज्या संख्येच्या सर्व अवयवांची बेरीज त्या संख्येच्या दुप्पट असते त्या संख्येला परिपूर्ण संख्या म्हणतात. संख्या 6 आणि 28 ह्या परिपूर्ण संख्या आहेत. 10 ही परिपूर्ण संख्या आहे का?

उदाहरण 1 : 68 चे सर्व अवयव लिहा.

उकल : आपण लक्षात घेतो की

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

इथे थांबा, कारण 4 आणि 17 आधी आले आहेत.

अशाप्रकारे, 68 चे सर्व अवयव 1, 2, 4, 17, 34 आणि 68 आहेत.

उदाहरण 2 : 36 चे अवयव शोधा.

उकल :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

इथे थांबा, कारण दोन्ही अवयव (6) समान आहेत. अशाप्रकारे, अवयव 1,2, $3,4,6,9,12,18$ आणि 36 आहेत.

उदाहरण 3 : 6 चे पहिले पाच विभाज्य लिहा.

उकल : आवश्यक विभाज्य आहेत: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ म्हणजेच $6,12,18,24$ आणि 30.

कसोटी 3.1

1. खालील संख्यांचे सर्व अवयव लिहा :

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. खालील संख्यांचे पहिले पाच विभाज्य लिहा :

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. स्तंभ 1 मधील वस्तू स्तंभ 2 मधील वस्तूंशी जुळवा.

स्तंभ1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ स्तंभ2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 चा विभाज्य
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 चा विभाज्य
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 चा विभाज्य
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 चा अवयव
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 चा अवयव
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 चा अवयव

4. 100 पर्यंत 9 चे सर्व विभाज्य शोधा.

३.३ मूळ आणि संयुक्त संख्या

आता आपण संख्येच्या अवयवांशी परिचित आहोत. या सारणीत मांडलेल्या काही संख्यांच्या अवयवांची संख्या पाहा.

आपल्याला असे आढळते की (a) संख्या 1 ला फक्त एकच अवयव आहे (म्हणजे स्वतः).

(b) अशा संख्या आहेत, ज्यांचे फक्त दोन अवयव 1 आणि स्वतः संख्या आहेत. अशा संख्या 2, 3, 5, 7, 11 इत्यादी आहेत. या संख्यांना मूळ संख्या म्हणतात.

1 व्यतिरिक्त ज्या संख्यांचे फक्त अवयव 1 आणि स्वतः संख्या आहेत त्यांना मूळ संख्या म्हणतात.

याखेरीज आणखी काही मूळ संख्या शोधण्याचा प्रयत्न करा.

(c) 4, 6, 8, 9, 10 इत्यादी सारख्या दोनपेक्षा जास्त अवयव असलेल्या संख्या आहेत.

या संख्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात.

1 ही मूळ संख्या नाही किंवा संयुक्त संख्या नाही.

दोनपेक्षा जास्त अवयव असलेल्या संख्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात.

15 ही संयुक्त संख्या आहे का? का? 18 बद्दल काय? 25?

वास्तविकपणे संख्येचे अवयव तपासल्याशिवाय, आपण 1 ते 100 पर्यंत मूळ संख्या शोधू शकतो. ही पद्धत एका

ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थेनिस यांनी तिसऱ्या शतकात इ.स.पू. दिली. चला ती पद्धत पाहू या. खाली दर्शविल्याप्रमाणे 1 ते 100 पर्यंत सर्व संख्यांची यादी करा.

पायरी 1 : 1 ला ओलांडून टाका कारण ती मूळ संख्या नाही.

पायरी 2 : 2 ला वर्तुळात घ्या, 2 व्यतिरिक्त 2 च्या सर्व विभाज्यांना ओलांडून टाका, म्हणजे 4, 6, 8 इत्यादी.

पायरी 3 : तुम्हाला असे आढळेल की पुढील न ओलांडलेली संख्या 3 आहे. 3 ला वर्तुळात घ्या आणि 3 व्यतिरिक्त 3 च्या सर्व विभाज्यांना ओलांडून टाका.

पायरी 4 : पुढील न ओलांडलेली संख्या 5 आहे. 5 ला वर्तुळात घ्या आणि 5 व्यतिरिक्त 5 च्या सर्व विभाज्यांना ओलांडून टाका.

पायरी 5 : यादीतील सर्व संख्या वर्तुळात घेतलेल्या किंवा ओलांडलेल्या होईपर्यंत ही प्रक्रिया चालू ठेवा.

सर्व वर्तुळात घेतलेल्या संख्या मूळ संख्या आहेत. 1 व्यतिरिक्त सर्व ओलांडलेल्या संख्या संयुक्त संख्या आहेत.

या पद्धतीला एराटोस्थेनिसची चाळणी म्हणतात.

हे करून पहा

लक्षात घ्या की $2 \times 3+1=7$ ही मूळ संख्या आहे. इथे, 2 च्या विभाज्यात 1 मिळवून मूळ संख्या मिळाली आहे. तुम्हाला या प्रकारच्या आणखी काही संख्या सापडतात का?

उदाहरण 4 : 15 पेक्षा कमी सर्व मूळ संख्या लिहा.

उकल : चाळणी पद्धतीकडे पाहून, आपण सहजपणे आवश्यक मूळ संख्या 2,3, 5, 7, 11 आणि 13 अशा लिहू शकतो.

सम आणि विषम संख्या

तुम्ही $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ या संख्यांमध्ये काही नमुना पाहता का? तुम्हाला असे आढळेल की त्यापैकी प्रत्येक 2 ची विभाज्य आहे.

यांना सम संख्या म्हणतात. उर्वरित संख्या $1,3,5,7,9,11, \ldots$ यांना विषम संख्या म्हणतात.

तुम्ही दोन अंकी संख्या किंवा तीन अंकी संख्या सम आहे की नाही हे सत्यापित करू शकता. 756482 सारख्या संख्येची समता कशी ओळखाल? तिला 2 ने भागून. ते कंटाळवाणे होणार नाही का?

आपण म्हणतो की एकक स्थानी $0,2,4,6,8$ असलेली संख्या सम संख्या आहे. म्हणून, 350, 4862, 59246 ह्या सम संख्या आहेत. संख्या $457,2359,8231$ सर्व विषम आहेत. चला काही मनोरंजक तथ्ये शोधण्याचा प्रयत्न करूया:

(a) सर्वात लहान सम संख्या कोणती? ती 2 आहे. सर्वात लहान मूळ संख्या कोणती? ती पुन्हा 2 आहे.

अशाप्रकारे, 2 ही सर्वात लहान मूळ संख्या आहे जी सम आहे.

(b) इतर मूळ संख्या $3,5,7,11,13, \ldots$ आहेत. तुम्हाला या यादीत कोणतीही सम संख्या सापडते का? नक्कीच नाही, त्या सर्व विषम आहेत.

अशाप्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की 2 व्यतिरिक्त प्रत्येक मूळ संख्या विषम आहे.

कसोटी 3.2

1. कोणत्याही दोन (a) विषम संख्यांची बेरीज किती? (b) सम संख्यांची बेरीज किती?

2. खालील विधाने सत्य की असत्य ते सांगा:

(a) तीन विषम संख्यांची बेरीज सम असते.
(b) दोन विषम संख्या आणि एक सम संख्या यांची बेरीज सम असते.
(c) तीन विषम संख्यांचा गुणाकार विषम असतो.
(d) जर सम संख्येला 2 ने भागले तर भागाकार नेहमी विषम येतो.
(e) सर्व मूळ संख्या विषम असतात.
(f) मूळ संख्यांना कोणतेही अवयव नसतात.
(g) दोन मूळ संख्यांची बेरीज नेहमी सम असते.
(h) 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
(i) सर्व सम संख्या संयुक्त संख्या असतात.
(j) दोन सम संख्यांचा गुणाकार नेहमी सम असतो.

3. संख्या 13 आणि 31 ह्या मूळ संख्या आहेत. या दोन्ही संख्यांमध्ये समान अंक 1 आणि 3 आहेत. 100 पर्यंत अशा मूळ संख्यांच्या जोड्या शोधा.

4. 20 पेक्षा कमी मूळ आणि संयुक्त संख्या वेगळे लिहा.

5. 1 आणि 10 मधील सर्वात मोठी मूळ संख्या कोणती?

6. खालील प्रत्येक संख्या दोन विषम मूळ संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करा.

(a) 44
(b) 36
(c) 24
(d) 18

7. अशा तीन जोड्या मूळ संख्या द्या ज्यांच्यातील फरक 2 आहे.

[टिप्पणी : ज्या दोन मूळ संख्यांमधील फरक 2 आहे त्यांना जुळ्या मूळ संख्या म्हणतात].

8. खालीलपैकी कोणत्या संख्या मूळ आहेत?

(a) 23
(b) 51
(c) 37
(d) 26

9. 100 पेक्षा कमी अशा सात सलग संयुक्त संख्या लिहा जेणेकरून त्यांच्यामध्ये कोणतीही मूळ संख्या नसेल.

10. खालील प्रत्येक संख्या तीन विषम मूळ संख्यांची बेरीज म्हणून व्यक्त करा:

(a) 21
(b) 31
(c) 53
(d) 61

11. 20 पेक्षा कमी अशा पाच जोड्या मूळ संख्या लिहा ज्यांची बेरीज 5 ने भाग जाते. (सूचना : $3+7=10$ )

12. रिकाम्या जागा भरा :

(a) ज्या संख्येचे फक्त दोन अवयव असतात तिला ______ म्हणतात.
(b) ज्या संख्येचे दोनपेक्षा जास्त अवयव असतात तिला ______ म्हणतात.
(c) 1 ही ______ नाही किंवा ______ नाही.
(d) सर्वात लहान मूळ संख्या ______ आहे.
(e) सर्वात लहान संयुक्त संख्या ______ आहे.
(f) सर्वात लहान सम संख्या ______ आहे.

३.४ संख्यांच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या

संख्या 38 ला 2 ने भाग जातो का? 4 ने? 5 ने?

38 ला या संख्यांनी प्रत्यक्ष भागल्यास आपल्याला असे आढळते की ती 2 ने भागते पण 4 आणि 5 ने भागत नाही.

चला आपण एक नमुना पाहूया जो आपल्याला सांगू शकेल की संख्या $2,3,4,5,6,8,9,10$ किंवा 11 ने भागते का. तुम्हाला असे वाटते का की असे नमुने सहज दिसू शकतात?

10 ने विभाज्यता : चारू 10 च्या विभाज्याकडे पाहत होती. विभाज्य आहेत $10,20,30,40,50,60, \ldots$. तिला या संख्यांमध्ये काही समान गोष्ट सापडली. तुम्ही सांगू शकता का? यापैकी प्रत्येक संख्येच्या एकक स्थानी 0 आहे.

तिने एकक स्थानी 0 असलेल्या आणखी काही संख्यांचा विचार केला जसे $100,1000,3200,7010$. तिला असेही आढळले की अशा सर्व संख्या 10 ने भागतात.

तिला असे आढळते की जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 असेल तर ती 10 ने भागते.

तुम्हाला 100 साठी विभाज्यतेचा नियम सापडतो का?

5 ने विभाज्यता : मणीला 5, 10, $15,20,25,30,35, \ldots$ या संख्यांमध्ये काही मनोरंजक नमुना सापडला. तुम्ही नमुना सांगू शकता का? एकक स्थानाकडे पहा. या सर्व संख्यांच्या एकक स्थानी एकतर 0 किंवा 5 आहे. आपल्याला माहित आहे की या संख्या 5 ने भागतात.

मणीने 5 ने भाग जाणाऱ्या आणखी काही संख्या घेतल्या जसे 105, 215, 6205,3500. पुन्हा या संख्यांच्या एकक स