3.1 પ્રસ્તાવના

રમેશ પાસે 6 ગોટા છે. તે તેમને પંક્તિઓમાં એવી રીતે ગોઠવવા માંગે છે કે દરેક પંક્તિમાં સમાન સંખ્યામાં ગોટા હોય. તે તેમને નીચે પ્રમાણે ગોઠવે છે અને કુલ ગોટાઓની સંખ્યા મેળવે છે.

(i) દરેક પંક્તિમાં 1 ગોટો

પંક્તિઓની સંખ્યા $=6$

ગોટાઓની કુલ સંખ્યા $\quad=1 \times 6=6$

(ii) દરેક પંક્તિમાં 2 ગોટા પંક્તિઓની સંખ્યા $=3$

ગોટાઓની કુલ સંખ્યા $\quad=2 \times 3=6$

(iii) દરેક પંક્તિમાં 3 ગોટા

પંક્તિઓની સંખ્યા $\quad=2$

ગોટાઓની કુલ સંખ્યા $\quad=3 \times 2=6$

(iv) તે કોઈપણ એવી ગોઠવણી વિચારી શક્યો નહીં જેમાં દરેક પંક્તિમાં 4 ગોટા અથવા 5 ગોટા હોય. તેથી, એકમાત્ર શક્ય ગોઠવણી બાકી રહી તે હતી કે બધા જ 6 ગોટા એક પંક્તિમાં.

પંક્તિઓની સંખ્યા $\quad=1$

ગોટાઓની કુલ સંખ્યા $=6 \times 1=6$

આ ગણતરીઓ પરથી રમેશ નોંધે છે કે 6 ને બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે વિવિધ રીતે લખી શકાય છે જેમ કે

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ પરથી કહી શકાય કે 2 અને 3 એ 6 ને ચોક્કસ ભાગે છે. તેથી, 2 અને 3 એ 6 ના ચોક્કસ ભાજક છે. બીજા ગુણાકાર $6=1 \times 6$ પરથી, 6 ના ચોક્કસ ભાજક 1 અને 6 મળે છે.

આમ, 1, 2, 3 અને 6 એ 6 ના ચોક્કસ ભાજક છે. તેને 6 ના અવયવ કહેવામાં આવે છે. 18 ગોટાઓને પંક્તિઓમાં ગોઠવવાનો પ્રયાસ કરો અને 18 ના અવયવ શોધો.

3.2 અવયવ અને અવયવિત

મેરી તે સંખ્યાઓ શોધવા માંગે છે જે 4 ને ચોક્કસ ભાગે. તે 4 ને 4 કરતા ઓછી સંખ્યાઓ વડે આ રીતે ભાગે છે.

ભાગફળ 4 છે

શેષ 0 છે

$4 = 1 \times 4$

ભાગફળ 2 છે

શેષ 0 છે

$4 = 2 \times 2$

ભાગફળ 1 છે

શેષ 1 છે

ભાગફળ 1 છે

શેષ 0 છે

$ 4=4 \times 1 $

તે જુએ છે કે સંખ્યા 4 ને આ રીતે લખી શકાય: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ અને જાણે છે કે સંખ્યાઓ 1,2 અને 4 એ 4 ના ચોક્કસ ભાજક છે.

આ સંખ્યાઓને 4 ના અવયવ કહેવામાં આવે છે.

સંખ્યાનો અવયવ એ તે સંખ્યાનો ચોક્કસ ભાજક છે.

નોંધો કે 4 નો દરેક અવયવ 4 કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે.

રમત-1 : આ એક રમત છે જે બે વ્યક્તિઓ દ્વારા ખેલવાની છે, ધારો કે A અને B. તે અવયવો ઓળખવા વિશે છે.

તેને 1 થી 50 નંબરવાળા 50 કાર્ડના ટુકડાઓ જોઈએ છે.

કાર્ડને ટેબલ પર આ રીતે ગોઠવો.

પગલાં

(a) નક્કી કરો કે કોણ પહેલું ખેલે છે, A કે B.

(b) ધારો કે A પહેલું ખેલે છે. તે ટેબલ પરથી એક કાર્ડ ઉપાડે છે, અને તે પાસે રાખે છે. ધારો કે કાર્ડ પર નંબર 28 છે.

(c) પછી ખેલાડી B એ બધા કાર્ડ ઉપાડે છે જેના નંબર A ના કાર્ડ પરની સંખ્યા (એટલે કે 28) ના અવયવ છે, અને તેમને પોતાની નજીકના ઢગલામાં મૂકે છે.

(d) પછી ખેલાડી B ટેબલ પરથી એક કાર્ડ ઉપાડે છે અને પાસે રાખે છે. બાકી રહેલા કાર્ડમાંથી, A એ બધા કાર્ડ ઉપાડે છે જેના નંબર B ના કાર્ડ પરની સંખ્યાના અવયવ છે. A તેમને પહેલાં એકઠા કરેલા કાર્ડ પર મૂકે છે.

(e) રમત આ રીતે ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી બધા કાર્ડ વપરાઈ ન જાય.

(f) A પાસે એકઠા કરેલા કાર્ડ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો કરશે. B પણ પોતાના કાર્ડ સાથે આવું જ કરશે. વધુ સરવાળો ધરાવતો ખેલાડી વિજેતા થશે.

કાર્ડની સંખ્યા વધારીને રમતને વધુ રસપ્રદ બનાવી શકાય છે. આ રમત તમારા મિત્ર સાથે ખેલો. શું તમે રમત જીતવાનો કોઈ રસ્તો શોધી શકો છો?

જ્યારે આપણે સંખ્યા 20 ને $20=4 \times 5$ તરીકે લખીએ છીએ, ત્યારે આપણે કહીએ છીએ કે 4 અને 5 એ 20 ના અવયવ છે. આપણે એ પણ કહીએ છીએ કે 20 એ 4 અને 5 નું અવયવિત છે.

$24=2 \times 12$ ની રજૂઆત દર્શાવે છે કે 2 અને 12 એ 24 ના અવયવ છે, જ્યારે 24 એ 2 અને 12 નું અવયવિત છે.

આ પ્રયાસ કરો

45, 30 અને 36 ના સંભવિત અવયવ શોધો.

આપણે કહી શકીએ છીએ કે સંખ્યા તેના દરેક અવયવનું અવયવિત છે

ચાલો હવે અવયવ અને અવયવિત વિશે કેટલાક રસપ્રદ તથ્યો જોઈએ.

(a) 3 એકમ લંબાઈના લાકડા/કાગળના પટ્ટાઓની સંખ્યા એકઠા કરો.

(b) તેમને નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે છેડાથી છેડા જોડો.

ઉપરના પટ્ટાની લંબાઈ $3=1 \times 3$ એકમ છે.

તેની નીચેના પટ્ટાની લંબાઈ $3+3=6$ એકમ છે. તેમજ, $6=2 \times 3$. આગલા પટ્ટાની લંબાઈ $3+3+$ $3=9$ એકમ છે, અને $9=3 \times 3$. આ રીતે ચાલુ રાખીને આપણે બીજી લંબાઈઓને આ રીતે દર્શાવી શકીએ છીએ,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

આપણે કહીએ છીએ કે સંખ્યાઓ $3,6,9,12,15$ એ 3 ના અવયવિત છે.

3 ના અવયવિતની યાદી $18,21,24, \ldots$ તરીકે ચાલુ રાખી શકાય છે

આ દરેક અવયવિત 3 કરતા મોટા અથવા બરાબર છે.

સંખ્યા 4 ના અવયવિત $4,8,12,16,20,24, \ldots$ છે

યાદી અનંત છે. આ દરેક સંખ્યાઓ 4 કરતા મોટી અથવા બરાબર છે.

ચાલો આપણે અવયવ અને અવયવિત વિશે શું નિષ્કર્ષ કાઢીએ:

1. શું કોઈ એવી સંખ્યા છે જે દરેક સંખ્યાનો અવયવ તરીકે આવે છે? હા. તે 1 છે. ઉદાહરણ તરીકે $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ અને તેથી આગળ. તેને થોડી વધુ સંખ્યાઓ માટે તપાસો.

આપણે કહીએ છીએ કે $\mathbf{1}$ દરેક સંખ્યાનો અવયવ છે.

2. શું 7 પોતાનો અવયવ હોઈ શકે? હા. તમે 7 ને $7=7 \times 1$ તરીકે લખી શકો છો. 10 વિશે શું? અને 15?

તમે જોશો કે દરેક સંખ્યાને આ રીતે દર્શાવી શકાય છે.

આપણે કહીએ છીએ કે દરેક સંખ્યા પોતાનો અવયવ છે.

3. 16 ના અવયવ શું છે? તે 1, 2, 4, 8, 16 છે. આ અવયવોમાંથી શું તમને કોઈ એવો અવયવ મળે છે જે 16 ને ભાગતો નથી? $20 ; 36$ માટે તેનો પ્રયાસ કરો.

તમે જોશો કે સંખ્યાનો દરેક અવયવ તે સંખ્યાનો ચોક્કસ ભાજક છે.

4. 34 ના અવયવ શું છે? તે 1,2,17 અને 34 પોતે છે. આમાંથી સૌથી મોટો અવયવ કયો છે? તે 34 પોતે છે.

બીજા અવયવ 1, 2 અને 17 એ 34 કરતા ઓછા છે. 64, 81 અને 56 માટે આ તપાસવાનો પ્રયાસ કરો.

આપણે કહીએ છીએ કે દરેક અવયવ આપેલ સંખ્યા કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે.

5. સંખ્યા 76 ના 5 અવયવ છે. 136 અથવા 96 ના કેટલા અવયવ છે? તમે જોશો કે તમે આ દરેકના અવયવોની સંખ્યા ગણી શકો છો.

ભલે સંખ્યાઓ 10576, 25642 જેટલી મોટી હોય અથવા વધુ મોટી હોય, તો પણ તમે હજુ પણ આવી સંખ્યાઓના અવયવોની સંખ્યા ગણી શકો છો, (જોકે તમને આવી સંખ્યાઓના અવયવીકરણ કરવું મુશ્કેલ લાગશે).

આપણે કહીએ છીએ કે આપેલ સંખ્યાના અવયવોની સંખ્યા સીમિત છે.

6. 7 ના અવયવિત શું છે? દેખીતી રીતે, $7,14,21,28, \ldots$ તમે જોશો કે આ દરેક અવયવિત 7 કરતા મોટા અથવા બરાબર છે. શું આ દરેક સંખ્યા સાથે થશે? 6,9 અને 10 ના અવયવિત માટે આ તપાસો.

આપણે જોઈએ છીએ કે સંખ્યાનું દરેક અવયવિત તે સંખ્યા કરતા મોટું અથવા બરાબર છે.

7. 5 ના અવયવિત લખો. તે $5,10,15,20, \ldots$ છે શું તમને લાગે છે કે આ યાદી ક્યાંક સમાપ્ત થશે? ના! યાદી અનંત છે. 6,7 વગેરેના અવયવિત સાથે તેનો પ્રયાસ કરો.

આપણે જોઈએ છીએ કે આપેલ સંખ્યાના અવયવિતની સંખ્યા અનંત છે.

8. શું 7 પોતાનું અવયવિત હોઈ શકે? હા, કારણ કે $7=7 \times 1$. શું તે અન્ય સંખ્યાઓ માટે પણ સાચું હશે? 3,12 અને 16 સાથે તેનો પ્રયાસ કરો.

તમે જોશો કે દરેક સંખ્યા પોતાનું અવયવિત છે.

6 ના અવયવ $1,2,3$ અને 6 છે. તેમજ, $1+2+3+6=12=2 \times 6$. આપણે જોઈએ છીએ કે 6 ના અવયવોનો સરવાળો સંખ્યા 6 નો બમણો છે. 28 ના બધા અવયવ 1,2, $4,7,14$ અને 28 છે. આને ઉમેરતાં, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$.

28 ના અવયવોનો સરવાળો સંખ્યા 28 ના બમણા જેટલો છે.

એક સંખ્યા જેના બધા અવયવોનો સરવાળો તે સંખ્યાના બમણા જેટલો હોય તેને પૂર્ણ સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓ 6 અને 28 પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. શું 10 એ પૂર્ણ સંખ્યા છે?

ઉદાહરણ 1 : 68 ના બધા અવયવ લખો.

ઉકેલ : આપણે નોંધીએ છીએ કે

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

અહીં રોકાઓ, કારણ કે 4 અને 17 પહેલાં આવી ગયા છે.

આમ, 68 ના બધા અવયવ 1, 2, 4, 17, 34 અને 68 છે.

ઉદાહરણ 2 : 36 ના અવયવ શોધો.

ઉકેલ :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

અહીં રોકાઓ, કારણ કે બંને અવયવ (6) સમાન છે. આમ, અવયવો 1,2, $3,4,6,9,12,18$ અને 36 છે.

ઉદાહરણ 3 : 6 ના પ્રથમ પાંચ અવયવિત લખો.

ઉકેલ : જરૂરી અવયવિત છે: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ એટલે કે $6,12,18,24$ અને 30 .

કસરત 3.1

1. નીચેની સંખ્યાઓના બધા અવયવ લખો :

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. નીચેની સંખ્યાઓના પ્રથમ પાંચ અવયવિત લખો :

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. સ્તંભ 1 ની વસ્તુઓને સ્તંભ 2 ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

સ્તંભ1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ સ્તંભ2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 નું અવયવિત
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 નું અવયવિત
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 નું અવયવિત
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 નો અવયવ
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 નો અવયવ
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 નો અવયવ

4. 100 સુધી 9 ના બધા અવયવિત શોધો.

3.3 અવિભાજ્ય અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓ

હવે આપણે સંખ્યાના અવયવોથી પરિચિત છીએ. આ કોષ્ટકમાં ગોઠવેલી કેટલીક સંખ્યાઓના અવયવોની સંખ્યા નોંધો.

આપણે જોઈએ છીએ કે (a) સંખ્યા 1 નો માત્ર એક જ અવયવ છે (એટલે કે પોતે).

(b) એવી સંખ્યાઓ છે, જેના બરાબર બે અવયવ 1 અને સંખ્યા પોતે છે. આવી સંખ્યાઓ 2, 3, 5, 7, 11 વગેરે છે. આ સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.

1 સિવાયની સંખ્યાઓ જેના માત્ર અવયવ 1 અને સંખ્યા પોતે હોય તેને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.

આ સિવાય કેટલીક વધુ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

(c) બે કરતા વધુ અવયવ ધરાવતી સંખ્યાઓ છે જેમ કે 4, 6, 8, 9, 10 અને તેથી આગળ.

આ સંખ્યાઓ વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.

1 ન તો અવિભાજ્ય છે અને ન તો વિભાજ્ય છે.

બે કરતા વધુ અવયવ ધરાવતી સંખ્યાઓને વિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.

શું 15 એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે? શા માટે? 18 વિશે શું? 25?

વાસ્તવમાં સંખ્યાના અવયવો તપાસ્યા વિના, આપણે 1 થી 100 સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એક સરળ પદ્ધતિથી શોધી શકીએ છીએ. આ પદ્ધતિ એક

ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી એરાટોસ્થેનિસ દ્વારા, ત્રીજી સદી બી.સી.માં આપવામાં આવી હતી. ચાલો પદ્ધતિ જોઈએ. નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે 1 થી 100 સુધીની બધી સંખ્યાઓની યાદી બનાવો.

પગલું 1 : 1 ને કાપી નાખો કારણ કે તે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.

પગલું 2 : 2 ને ગોળ કરો, 2 સિવાયના 2 ના બધા અવયવિતને કાપી નાખો, એટલે કે 4, 6, 8 અને તેથી આગળ.

પગલું 3 : તમે જોશો કે આગળની અકાપેલી સંખ્યા 3 છે. 3 ને ગોળ કરો અને 3 સિવાયના 3 ના બધા અવયવિતને કાપી નાખો.

પગલું 4 : આગળની અકાપેલી સંખ્યા 5 છે. 5 ને ગોળ કરો અને 5 સિવાયના 5 ના બધા અવયવિતને કાપી નાખો.

પગલું 5 : આ પ્રક્રિયા ત્યાં સુધી ચાલુ રાખો જ્યાં સુધી યાદીની બધી સંખ્યાઓ ગોળ થઈ ન હોય અથવા કાપી નાખવામાં ન આવી હોય.

બધી ગોળ કરેલી સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. કાપી નાખેલી બધી સંખ્યાઓ, 1 સિવાય, વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.

આ પદ્ધતિને એરાટોસ્થેનિસની ચાળણી કહેવામાં આવે છે.

આ પ્રયાસ કરો

નોંધો કે $2 \times 3+1=7$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. અહીં, 2 ના અવયવિતમાં 1 ઉમેરીને અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવામાં આવી છે. શું તમે આ પ્રકારની કેટલીક વધુ સંખ્યાઓ શોધી શકો છો?

ઉદાહરણ 4 : 15 કરતા ઓછી બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ લખો.

ઉકેલ : ચાળણી પદ્ધતિ નોંધીને, આપણે સરળતાથી જરૂરી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2,3, 5, 7, 11 અને 13 તરીકે લખી શકીએ છીએ.

યુગ્મ અને અયુગ્મ સંખ્યાઓ

શું તમે સંખ્યાઓ $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ માં કોઈ પેટર્ન નોંધો છો? તમે જોશો કે તેમાંથી દરેક 2 નું અવયવિત છે.

આને યુગ્મ સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. બાકીની સંખ્યાઓ $1,3,5,7,9,11, \ldots$ ને અયુગ્મ સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે.

તમે ચકાસી શકો છો કે બે અંકની સંખ્યા અથવા ત્રણ અંકની સંખ્યા યુગ્મ છે કે નહીં. 756482 જેવી સંખ્યા યુગ્મ છે કે નહીં તે તમે કેવી રીતે જાણશો? તેને 2 વડે ભાગીને. શું તે કંટાળાજનક નહીં થાય?

આપણે કહીએ છીએ કે એકમના સ્થાને $0,2,4,6,8$ ધરાવતી સંખ્યા યુગ્મ સંખ્યા છે. તેથી, 350, 4862, 59246 યુગ્મ સંખ્યાઓ છે. સંખ્યાઓ $457,2359,8231$ બધી અયુગ્મ છે. ચાલો કેટલાક રસપ્રદ તથ્યો શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ:

(a) સૌથી નાની યુગ્મ સંખ્યા કઈ છે? તે 2 છે. સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા કઈ છે? તે ફરીથી 2 છે.

આમ, 2 એ સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે જે યુગ્મ છે.

(b) બીજી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3,5,7,11,13, \ldots$ છે. શું તમને આ યાદીમાં કોઈ યુગ્મ સંખ્યા મળે છે? અલબત્ત નહીં, તે બધી અયુગ્મ છે.

આમ, આપણે કહી શકીએ છીએ કે 2 સિવાયની દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા અયુગ્મ છે.

કસરત 3.2

1. કોઈ પણ બે (a) અયુગ્મ સંખ્યાઓનો સરવાળો શ