3.1 भूमिका

रमेश के पास 6 कंचे हैं। वह उन्हें पंक्तियों में इस तरह व्यवस्थित करना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ति में कंचों की संख्या समान हो। वह उन्हें निम्नलिखित तरीकों से व्यवस्थित करता है और कुल कंचों की संख्या से मिलान करता है।

(i) प्रत्येक पंक्ति में 1 कंचा

पंक्तियों की संख्या $=6$

कंचों की कुल संख्या $\quad=1 \times 6=6$

(ii) प्रत्येक पंक्ति में 2 कंचे पंक्तियों की संख्या $=3$

कंचों की कुल संख्या $\quad=2 \times 3=6$

(iii) प्रत्येक पंक्ति में 3 कंचे

पंक्तियों की संख्या $\quad=2$

कंचों की कुल संख्या $\quad=3 \times 2=6$

(iv) वह कोई भी व्यवस्था नहीं सोच सका जिसमें प्रत्येक पंक्ति में 4 या 5 कंचे हों। इसलिए, एकमात्र संभव व्यवस्था 6 कंचों को एक पंक्ति में रखने की बची।

पंक्तियों की संख्या $\quad=1$

कंचों की कुल संख्या $=6 \times 1=6$

इन गणनाओं से रमेश देखता है कि 6 को दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है:

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ से कहा जा सकता है कि 2 और 3, 6 को पूरी तरह विभाजित करते हैं। अतः, 2 और 3, 6 के यथातथ्य (exact) भाजक हैं। अन्य गुणनफल $6=1 \times 6$ से, 6 के यथातथ्य भाजक 1 और 6 पाए जाते हैं।

इस प्रकार, 1, 2, 3 और 6, 6 के यथातथ्य भाजक हैं। इन्हें 6 के गुणनखंड कहा जाता है। 18 कंचों को पंक्तियों में व्यवस्थित करने का प्रयास करें और 18 के गुणनखंड ज्ञात करें।

3.2 गुणनखंड और गुणज

मैरी उन संख्याओं को ज्ञात करना चाहती है जो 4 को पूरी तरह विभाजित करती हैं। वह 4 को 4 से कम संख्याओं से इस प्रकार विभाजित करती है।

भागफल 4 है

शेषफल 0 है

$4 = 1 \times 4$

भागफल 2 है

शेषफल 0 है

$4 = 2 \times 2$

भागफल 1 है

शेषफल 1 है

भागफल 1 है

शेषफल 0 है

$ 4=4 \times 1 $

वह पाती है कि संख्या 4 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ और जानती है कि संख्याएँ 1,2 और 4, 4 के यथातथ्य भाजक हैं।

इन संख्याओं को 4 के गुणनखंड कहा जाता है।

किसी संख्या का गुणनखंड उस संख्या का एक यथातथ्य भाजक होता है।

ध्यान दें कि 4 का प्रत्येक गुणनखंड 4 से कम या बराबर है।

खेल-1 : यह दो व्यक्तियों, मान लीजिए A और B, द्वारा खेला जाने वाला एक खेल है। यह गुणनखंडों को पहचानने के बारे में है।

इसके लिए 1 से 50 तक अंकित 50 पत्तों की आवश्यकता है।

पत्तों को मेज पर इस प्रकार व्यवस्थित करें।

चरण

(a) तय करें कि पहले कौन खेलेगा, A या B।

(b) मान लीजिए A पहले खेलता है। वह मेज से एक पत्ता उठाता है, और उसे अपने पास रख लेता है। मान लीजिए पत्ते पर संख्या 28 है।

(c) फिर खिलाड़ी B उन सभी पत्तों को उठाता है जिन पर अंकित संख्याएँ A के पत्ते पर संख्या (अर्थात 28) के गुणनखंड हैं, और उन्हें अपने निकट एक ढेर में रख देता है।

(d) फिर खिलाड़ी B मेज से एक पत्ता उठाता है और उसे अपने पास रख लेता है। बचे हुए पत्तों में से, A उन सभी पत्तों को उठाता है जिनकी संख्याएँ B के पत्ते पर संख्या के गुणनखंड हैं। A उन्हें पहले एकत्र किए गए पत्ते पर रख देता है।

(e) खेल इसी तरह तब तक चलता रहता है जब तक सभी पत्ते प्रयोग नहीं हो जाते।

(f) A अपने द्वारा एकत्र किए गए पत्तों पर अंकित संख्याओं का योग करेगा। B भी अपने पत्तों के साथ ऐसा ही करेगा। अधिक योग वाला खिलाड़ी विजेता होगा।

पत्तों की संख्या बढ़ाकर खेल को और रोचक बनाया जा सकता है। इस खेल को अपने मित्र के साथ खेलें। क्या आप खेल जीतने का कोई तरीका ढूंढ सकते हैं?

जब हम एक संख्या 20 को $20=4 \times 5$ के रूप में लिखते हैं, तो हम कहते हैं कि 4 और 5, 20 के गुणनखंड हैं। हम यह भी कहते हैं कि 20, 4 और 5 का एक गुणज है।

$24=2 \times 12$ निरूपण दर्शाता है कि 2 और 12, 24 के गुणनखंड हैं, जबकि 24, 2 और 12 का एक गुणज है।

यह कीजिए

45, 30 और 36 के संभावित गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हम कह सकते हैं कि एक संख्या अपने प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होती है

आइए अब गुणनखंडों और गुणजों के बारे में कुछ रोचक तथ्य देखें।

(a) 3 इकाई लंबाई वाली कई लकड़ी/कागज की पट्टियाँ एकत्र करें।

(b) उन्हें निम्नलिखित चित्र में दर्शाए अनुसार सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ दें।

सबसे ऊपर वाली पट्टी की लंबाई $3=1 \times 3$ इकाई है।

उसके नीचे वाली पट्टी की लंबाई $3+3=6$ इकाई है। साथ ही, $6=2 \times 3$। अगली पट्टी की लंबाई $3+3+$ $3=9$ इकाई है, और $9=3 \times 3$। इस तरह जारी रखते हुए हम अन्य लंबाइयों को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

हम कहते हैं कि संख्याएँ $3,6,9,12,15$, 3 के गुणज हैं।

3 के गुणजों की सूची $18,21,24, \ldots$ के रूप में जारी रखी जा सकती है।

इनमें से प्रत्येक गुणज 3 से बड़ा या बराबर है।

संख्या 4 के गुणज $4,8,12,16,20,24, \ldots$ हैं।

सूची अनंत है। इनमें से प्रत्येक संख्या 4 से बड़ी या बराबर है।

आइए देखें कि हम गुणनखंडों और गुणजों के बारे में क्या निष्कर्ष निकालते हैं:

1. क्या कोई ऐसी संख्या है जो प्रत्येक संख्या के गुणनखंड के रूप में आती है? हाँ। वह 1 है। उदाहरण के लिए $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ और इसी तरह। इसे कुछ और संख्याओं के लिए जाँच लें।

हम कहते हैं कि $\mathbf{1}$ प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड है।

2. क्या 7 स्वयं का गुणनखंड हो सकता है? हाँ। आप 7 को $7=7 \times 1$ के रूप में लिख सकते हैं। 10 के बारे में क्या? और 15 के बारे में?

आप पाएंगे कि प्रत्येक संख्या को इस तरह व्यक्त किया जा सकता है।

हम कहते हैं कि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड है।

3. 16 के गुणनखंड क्या हैं? वे 1, 2, 4, 8, 16 हैं। इन गुणनखंडों में से क्या आपको कोई ऐसा गुणनखंड मिलता है जो 16 को विभाजित नहीं करता? $20 ; 36$ के लिए इसे आज़माएँ।

आप पाएंगे कि किसी संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या का एक यथातथ्य भाजक होता है।

4. 34 के गुणनखंड क्या हैं? वे 1,2,17 और 34 स्वयं हैं। इनमें से सबसे बड़ा गुणनखंड कौन सा है? वह 34 स्वयं है।

अन्य गुणनखंड 1, 2 और 17, 34 से कम हैं। इसे 64, 81 और 56 के लिए जाँचने का प्रयास करें।

हम कहते हैं कि प्रत्येक गुणनखंड दी गई संख्या से कम या बराबर होता है।

5. संख्या 76 के 5 गुणनखंड हैं। 136 या 96 के कितने गुणनखंड हैं? आप पाएंगे कि आप इनमें से प्रत्येक के गुणनखंडों की संख्या गिनने में सक्षम हैं।

यहां तक कि यदि संख्याएँ 10576, 25642 आदि जितनी बड़ी या उससे भी बड़ी हैं, तब भी आप ऐसी संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या गिन सकते हैं, (हालांकि आपको ऐसी संख्याओं का गुणनखंडन करना मुश्किल लग सकता है)।

हम कहते हैं कि किसी दी गई संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित होती है।

6. 7 के गुणज क्या हैं? स्पष्टतः, $7,14,21,28, \ldots$ आप पाएंगे कि इनमें से प्रत्येक गुणज 7 से बड़ा या बराबर है। क्या यह प्रत्येक संख्या के साथ होगा? इसे 6,9 और 10 के गुणजों के लिए जाँचें।

हम पाते हैं कि किसी संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या बराबर होता है।

7. 5 के गुणज लिखिए। वे $5,10,15,20, \ldots$ हैं। क्या आपको लगता है कि यह सूची कहीं समाप्त होगी? नहीं! सूची अनंत है। इसे 6,7 आदि के गुणजों के साथ आज़माएँ।

हम पाते हैं कि किसी दी गई संख्या के गुणजों की संख्या अनंत होती है।

8. क्या 7 स्वयं का गुणज हो सकता है? हाँ, क्योंकि $7=7 \times 1$। क्या यह अन्य संख्याओं के लिए भी सत्य होगा? इसे 3,12 और 16 के साथ आज़माएँ।

आप पाएंगे कि प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है।

6 के गुणनखंड $1,2,3$ और 6 हैं। साथ ही, $1+2+3+6=12=2 \times 6$। हम पाते हैं कि 6 के गुणनखंडों का योग संख्या 6 का दोगुना है। 28 के सभी गुणनखंड 1,2, $4,7,14$ और 28 हैं। इन्हें जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$।

28 के गुणनखंडों का योग संख्या 28 के दोगुने के बराबर है।

वह संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या के दोगुने के बराबर होता है, एक पूर्ण संख्या कहलाती है। संख्याएँ 6 और 28 पूर्ण संख्याएँ हैं। क्या 10 एक पूर्ण संख्या है?

उदाहरण 1 : 68 के सभी गुणनखंड लिखिए।

हल : हम ध्यान देते हैं कि

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

यहीं रुकिए, क्योंकि 4 और 17 पहले आ चुके हैं।

इस प्रकार, 68 के सभी गुणनखंड 1, 2, 4, 17, 34 और 68 हैं।

उदाहरण 2 : 36 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

यहीं रुकिए, क्योंकि दोनों गुणनखंड (6) समान हैं। इस प्रकार, गुणनखंड 1,2, $3,4,6,9,12,18$ और 36 हैं।

उदाहरण 3 : 6 के पहले पाँच गुणज लिखिए।

हल : अभीष्ट गुणज हैं: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ अर्थात $6,12,18,24$ और 30।

प्रश्नावली 3.1

1. निम्नलिखित संख्याओं के सभी गुणनखंड लिखिए :

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. निम्न के प्रथम पाँच गुणज लिखिए :

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. स्तंभ 1 के कथनों को स्तंभ 2 के उचित कथनों से सुमेलित कीजिए :

स्तंभ1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ स्तंभ2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 का गुणज
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 का गुणज
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 का गुणज
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 का गुणनखंड
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 का गुणनखंड
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 का गुणनखंड

4. 9 के 100 तक के सभी गुणज लिखिए।

3.3 अभाज्य और भाज्य संख्याएँ

अब हम किसी संख्या के गुणनखंडों से परिचित हैं। इस सारणी में व्यवस्थित कुछ संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या देखें।

हम पाते हैं कि (a) संख्या 1 का केवल एक गुणनखंड है (अर्थात स्वयं)।

(b) ऐसी संख्याएँ हैं, जिनके ठीक दो गुणनखंड 1 और स्वयं वह संख्या हैं। ऐसी संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11 आदि हैं। ये संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं।

1 के अलावा वे संख्याएँ जिनके केवल गुणनखंड 1 और स्वयं वह संख्या हैं, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

इनके अलावा कुछ और अभाज्य संख्याएँ ढूंढने का प्रयास करें।

(c) ऐसी संख्याएँ हैं जिनके दो से अधिक गुणनखंड हैं जैसे 4, 6, 8, 9, 10 और इसी तरह।

ये संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।

1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या।

दो से अधिक गुणनखंड वाली संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

क्या 15 एक भाज्य संख्या है? क्यों? 18 के बारे में क्या? 25 के बारे में?

वास्तव में किसी संख्या के गुणनखंडों की जाँच किए बिना, हम एक आसान विधि से 1 से 100 तक अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं। यह विधि एक

यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में दी थी। आइए विधि देखें। नीचे दर्शाए अनुसार 1 से 100 तक सभी संख्याओं की सूची बनाएँ।

चरण 1 : 1 को काट दें क्योंकि यह अभाज्य संख्या नहीं है।

चरण 2 : 2 को घेरें, 2 के सभी गुणजों को, 2 स्वयं को छोड़कर, अर्थात 4, 6, 8 और इसी तरह, काट दें।

चरण 3 : आप पाएंगे कि अगली बिना काटी गई संख्या 3 है। 3 को घेरें और 3 के सभी गुणजों को, 3 स्वयं को छोड़कर, काट दें।

चरण 4 : अगली बिना काटी गई संख्या 5 है। 5 को घेरें और 5 के सभी गुणजों को, 5 स्वयं को छोड़कर, काट दें।

चरण 5 : इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक कि सूची की सभी संख्याएँ या तो घिरी हुई या काटी हुई न हो जाएँ।

सभी घिरी हुई संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं। सभी काटी गई संख्याएँ, 1 को छोड़कर, भाज्य संख्याएँ हैं।

इस विधि को एराटोस्थनीज की छलनी कहा जाता है।

यह कीजिए

ध्यान दें कि $2 \times 3+1=7$ एक अभाज्य संख्या है। यहाँ, 2 के एक गुणज में 1 जोड़कर एक अभाज्य संख्या प्राप्त की गई है। क्या आप इस प्रकार की कुछ और संख्याएँ ढूंढ सकते हैं?

उदाहरण 4 : 15 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।

हल : छलनी विधि का अवलोकन करके, हम आसानी से अभीष्ट अभाज्य संख्याएँ 2,3, 5, 7, 11 और 13 के रूप में लिख सकते हैं।

सम और विषम संख्याएँ

क्या आप संख्याओं $2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ में कोई प्रतिरूप (pattern) देखते हैं? आप पाएंगे कि उनमें से प्रत्येक 2 का गुणज है।

इन्हें सम संख्याएँ कहा जाता है। शेष संख्याएँ $1,3,5,7,9,11, \ldots$ विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

आप यह सत्यापित कर सकते हैं कि एक दो अंकों की या तीन अंकों की संख्या सम है या नहीं। आप कैसे जानेंगे कि 756482 जैसी संख्या सम है? इसे 2 से विभाजित करके। क्या यह थकाऊ नहीं होगा?

हम कहते हैं कि जिस संख्या के इकाई स्थान पर $0,2,4,6,8$ होता है, वह एक सम संख्या होती है। अतः, 350, 4862, 59246 सम संख्याएँ हैं। संख्याएँ $457,2359,8231$ सभी विषम हैं। आइए कुछ रोचक तथ्य खोजने का प्रयास करें:

(a) सबसे छोटी सम संख्या कौन सी है? वह 2 है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन सी है? वह फिर से 2 है।

इस प्रकार, 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो सम है।

(b) अन्य अभाज्य संख्याएँ $3,5,7,11,13, \ldots$ हैं। क्या आप इस सूची में कोई सम संख्या पाते हैं? बिल्कुल नहीं, वे सभी विषम हैं।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि 2 को छोड़कर प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम होती है।

प्रश्नावली 3.2

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक का योग क्या है? (a) दो विषम संख्याएँ? (b) दो सम संख्याएँ?

2. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:

(a) तीन विषम संख्याओं का योग सम होता है।
(b) दो विषम संख्याओं और एक सम संख्या का योग सम होता है।
(c) तीन विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है।
(d) यदि एक सम संख्या को 2 से विभाजित किया जाता है, तो भागफल हमेशा विषम होता है।
(e) सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।
(f) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते।
(g) दो अभाज्य संख्याओं का योग हमेशा सम होता है।
(h) 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
(i) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती हैं।
(j) दो सम संख्याओं का गुणनफल हमेशा सम होता है।

3. संख्याएँ 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं के समान अंक 1 और 3 हैं। 100 तक ऐसे अभाज्य संख्याओं के और युग्म ज्ञात कीजिए।

4. 20 से छोटी अभाज्य और भाज्य संख्याओं को अलग-अलग लिखिए।

5. 1 और 10 के बीच सबसे बड़ी अभाज्य संख्या क्या है?

6. निम्नलिखित को दो विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

(a) 44
(b) 36
(c) 24
(d) 18

7. ऐसी तीन अभाज्य संख्याओं के युग्म लिखिए जिनका अंतर 2 है।

[टिप्पणी : दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 है, जुड़वाँ अभाज्य (twin primes) कहलाती हैं]।

8. निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ अभाज्य हैं?

(a) 23
(b) 51
(c) 37
(d) 26

9. 100 से छोटी सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए ताकि उनके बीच में कोई अभाज्य संख्या न हो।

10. निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या को तीन विषम अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए:

(a) 21
(b) 31
(c) 53
(d) 61

11. 20 से छोटी अभाज्य संख्याओं के ऐसे पाँच युग्म लिखिए जिनका योग 5 से विभाज्य हो। (संकेत : $3+7=10$ )

12. रिक्त स्थानों को भरिए :

(a) वह संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड हों, एक ______ कहलाती है।
(b) वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, एक ______ कहलाती है।
(c) 1 न तो ______ है और न ही ______।
(d) सबसे छोटी अभाज्य संख्या ______ है।
(e) सबसे छोटी भाज्य संख्या ______ है।
(f) सबसे छोटी सम संख्या ______ है।

3.4 संख्याओं की विभाज्यता की जाँच

क्या संख्या 38, 2 से विभाज्य है? 4 से? 5 से?

वास्तव में 38 को इन संख्याओं से विभाजित करके हम पाते हैं कि यह 2 से विभाज्य है लेकिन 4 और 5 से नहीं।

आइए देखें कि क्या हम कोई ऐसा प्रतिरूप पा सकते हैं जो हमें बता सके कि कोई संख्या $2,3,4,5,6,8,9,10$ या 11 से विभाज्य है या नहीं। क्या आपको लगता है कि ऐसे प्रतिरूप आसानी से देखे जा सकते हैं?

10 से विभाज्यता : चारू 10 के गुणज देख रही थी। गुणज $10,20,30,40,50,60, \ldots$ हैं। उसे इन संख्याओं में कुछ समानता मिली। क्या आप बता सकते हैं क्या? इनमें से प्रत्येक संख्या के इकाई स्थान पर 0 है।

उसने इकाई स्थान पर 0 वाली कुछ और संख्याएँ सोचीं जैसे $100,1000,3200,7010$। उसे यह भी पता चला कि ऐसी सभी संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं।

वह पाती है कि यदि किसी संख्या के इकाई स्थान पर 0 हो तो वह 10 से विभाज्य होती है।

क्या आप 100 से विभाज्यता का नियम ढूंढ सकते हैं?

5 से विभाज्यता : मणि ने संख्य