శీఘ్ర సిద్ధాంత పునరాలోచన

క్షేత్రమితి అనేది గణిత శాస్త్రంలోని ఒక శాఖ, ఇది 2-D & 3-D ఆకృతుల పొడవులు, వైశాల్యాలు మరియు ఘనపరిమాణాల కొలతను వ్యవహరిస్తుంది. ఇండియన్ రైల్వేల్లోని ప్రతి పోటీ పరీక్షకు, మీరు సాధారణ ఆకృతుల (చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, త్రిభుజం, వృత్తం, ఘనం, దీర్ఘఘనం, స్థూపం, శంఖువు, గోళం, అర్ధగోళం, ఖండిత శంఖువు, ప్రిజం, పిరమిడ్ మొదలైనవి) చుట్టుకొలత, వైశాల్యం, ఉపరితల వైశాల్యం మరియు ఘనపరిమాణం యొక్క ప్రామాణిక సూత్రాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడం మరియు పైపులు, ట్యాంకులు, ట్రాక్లు, చక్రాలు, టైల్స్, ఇటుకలు, డ్రమ్లు, శంకువు ఆకార గుడారాలు, గోళాకార బెలూన్లు, రైల్వే ప్లాట్ఫారమ్లు వంటి వాస్తవ జీవిత వస్తువులకు వాటిని వర్తింపజేయడం అంచనా వేయబడుతుంది.

వేగవంతమైన గణన రహస్యం ప్రతి సూత్రాన్ని “ఉపయోగించడానికి సిద్ధంగా” ఉంచడం మరియు ప్రారంభించే ముందు ప్రతి కొలతను ఒకే యూనిట్ (సెం.మీ, మీ లేదా లీటర్)గా మార్చడం. రైల్వే పరీక్షలు ఒకే సూత్రాన్ని మూడు విధాలుగా మార్చడానికి ఇష్టపడతాయి: (i) ఘనపరిమాణం/ఉపరితల వైశాల్యం ఇచ్చి తెలియని కొలతను అడగడం, (ii) రెండు ఘనపదార్థాలను కలపడం (ఉదా. స్థూపం + అర్ధగోళం) మరియు మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం లేదా సామర్థ్యాన్ని అడగడం, (iii) ఒక కొలతలో శాతం పెరుగుదల/తగ్గుదల ఇచ్చి, వైశాల్యం/ఘనపరిమాణంలో తదనంతర శాతం మార్పును అడగడం. శాతం మార్పు సత్వరమార్గాలను (ఉదా. వ్యాసార్థం 10% పెరిగితే, వైశాల్యం 21% పెరుగుతుంది మరియు ఘనపరిమాణం 33.1% పెరుగుతుంది) మరియు యూనిట్ మార్పిడి ట్రిక్స్ (1 m³ = 1000 L, 1 హెక్టార్ = 10000 m², 1 cm³ = 1 mL) నైపుణ్యం సాధించడం వలన వాస్తవ CBTలో కనీసం 4-5 నిమిషాలు ఆదా అవుతాయి.

ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు

సులభం (ప్ర 1-8)

1. ఒక చతురస్రాకార క్షేత్రం యొక్క భుజం 22 మీ. దాని వైశాల్యం
   A) 484 m²
   B) 242 m²
   C) 88 m²
   D) 44 m²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. వైశాల్యం = భుజం² = 22² = 484 m².

2. పొడవు 15 సెం.మీ మరియు వెడల్పు 9 సెం.మీ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత
   A) 135 సెం.మీ
   B) 48 సెం.మీ
   C) 24 సెం.మీ
   D) 60 సెం.మీ

AnswerCorrect: ఎంపిక B. చుట్టుకొలత = 2(l+b) = 2(15+9) = 48 సెం.మీ.

3. వ్యాసార్థం 7 సెం.మీ ఉన్న వృత్తం యొక్క వైశాల్యం (π = 22/7 తీసుకోండి)
   A) 154 సెం.మీ²
   B) 308 సెం.మీ²
   C) 49 సెం.మీ²
   D) 22 సెం.మీ²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. πr² = (22/7)×7×7 = 154 సెం.మీ².

4. భుజం 5 సెం.మీ ఉన్న ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం
   A) 125 సెం.మీ³
   B) 25 సెం.మీ³
   C) 150 సెం.మీ³
   D) 60 సెం.మీ³

AnswerCorrect: ఎంపిక A. ఘనపరిమాణం = 5³ = 125 సెం.మీ³.

5. వ్యాసార్థం 3 సెం.మీ మరియు ఎత్తు 10 సెం.మీ ఉన్న స్థూపం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం (π = 3.14)
   A) 94.2 సెం.మీ²
   B) 188.4 సెం.మీ²
   C) 282.6 సెం.మీ²
   D) 62.8 సెం.మీ²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. 2πrh = 2×3.14×3×10 = 188.4 సెం.మీ² → గమనిక: ఎంపిక A తప్పుగా ముద్రించబడింది; సరైన ఎంపిక 188.4 సెం.మీ² అంటే B.

6. 20 మీ × 10 మీ అంతస్తును కప్పడానికి ఎన్ని 2 మీ × 2 మీ పాలరాయి పలకలు అవసరం?
   A) 50
   B) 100
   C) 200
   D) 400

AnswerCorrect: ఎంపిక A. అంతస్తు వైశాల్యం = 200 m², ఒక పలక వైశాల్యం = 4 m² → 200/4 = 50.

7. భూమి 14 సెం.మీ మరియు ఎత్తు 6 సెం.మీ ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం
   A) 84 సెం.మీ²
   B) 42 సెం.మీ²
   C) 20 సెం.మీ²
   D) 56 సెం.మీ²

AnswerCorrect: ఎంపిక B. ½×14×6 = 42 సెం.మీ².

8. వ్యాసార్థం 70 సెం.మీ మరియు ఎత్తు 100 సెం.మీ ఉన్న స్థూపాకార ట్యాంక్ యొక్క సామర్థ్యం లీటర్లలో (π = 22/7)
   A) 1540 L
   B) 154 L
   C) 1.54 L
   D) 15400 L

AnswerCorrect: ఎంపిక A. ఘనపరిమాణం = πr²h = (22/7)×70×70×100 సెం.మీ³ = 1540000 సెం.మీ³ = 1540 L (1000 సెం.మీ³ = 1 L నుండి).

మధ్యస్థం (ప్ర 9-17)

9. ఒక చతురస్రాకార ప్లాట్ యొక్క కర్ణం 20 మీ. దాని వైశాల్యం
   A) 200 m²
   B) 400 m²
   C) 100√2 m²
   D) 800 m²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. వైశాల్యం = (కర్ణం)²/2 = 400/2 = 200 m².

10. వ్యాసం 14 సెం.మీ ఉన్న అర్ధవృత్తాకార ప్రొట్రాక్టర్ యొక్క చుట్టుకొలత (π = 22/7)
    A) 36 సెం.మీ
    B) 44 సెం.మీ
    C) 22 సెం.మీ
    D) 50 సెం.మీ

AnswerCorrect: ఎంపిక A. చుట్టుకొలత = πr + 2r = (22/7)×7 + 14 = 22 + 14 = 36 సెం.మీ.

11. ఒక లంబ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం 154 సెం.మీ³ మరియు ఎత్తు 6 సెం.మీ. దాని భూమి యొక్క వ్యాసార్థం (π = 22/7)
    A) 7 సెం.మీ
    B) 3.5 సెం.మీ
    C) 14 సెం.మీ
    D) 10.5 సెం.మీ

AnswerCorrect: ఎంపిక B. 154 = (1/3)(22/7)r²×6 ⇒ r² = 49/4 ⇒ r = 3.5 సెం.మీ.

12. వ్యాసార్థం 21 సెం.మీ ఉన్న గోళాకార బెలూన్ను కరిగించి, ఎత్తు 28 సెం.మీ ఉన్న ఘన లంబ వృత్తాకార స్థూపంగా మార్చారు. స్థూపం యొక్క వ్యాసార్థం
    A) 21 సెం.మీ
    B) 14 సెం.మీ
    C) 7 సెం.మీ
    D) 42 సెం.మీ

AnswerCorrect: ఎంపిక B. ఘనపరిమాణం సంరక్షించబడింది: (4/3)π(21)³ = πr²×28 ⇒ r = 14 సెం.మీ.

13. సమాంతర భుజాలు 20 సెం.మీ మరియు 16 సెం.మీ మరియు వాటి మధ్య లంబ దూరం 15 సెం.మీ ఉన్న సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం
    A) 270 సెం.మీ²
    B) 300 సెం.మీ²
    C) 225 సెం.మీ²
    D) 150 సెం.మీ²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. వైశాల్యం = ½(సమాంతర భుజాల మొత్తం)×ఎత్తు = ½×36×15 = 270 సెం.మీ².

14. 30 మీ × 20 మీ దీర్ఘచతురస్రాకార తోట చుట్టూ 1.5 మీ వెడల్పు మార్గం ఏర్పాటు చేయబడింది. మార్గం మాత్రమే యొక్క వైశాల్యం
    A) 159 m²
    B) 300 m²
    C) 99 m²
    D) 600 m²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. బాహ్య దీర్ఘచతురస్రం = 33×23 = 759 m², అంతర్గత = 600 m², మార్గం = 159 m².

15. 200 భ్రమణాలలో 352 మీ దూరం ప్రయాణించే చక్రం యొక్క వ్యాసార్థం (π = 22/7)
    A) 28 సెం.మీ
    B) 56 సెం.మీ
    C) 42 సెం.మీ
    D) 84 సెం.మీ

AnswerCorrect: ఎంపిక A. ఒక భ్రమణానికి దూరం = 2πr = 352/200 = 1.76 మీ ⇒ r = 0.28 మీ = 28 సెం.మీ.

16. 14 సెం.మీ × 9 సెం.మీ × 5 సెం.మీ బ్లాక్ను 3 సెం.మీ × 3 సెం.మీ × 3 సెం.మీ ఘనాలుగా ముక్కలు చేయాలి. సాధ్యమయ్యే ఘనాల సంఖ్య
    A) 42
    B) 30
    C) 21
    D) 18

AnswerCorrect: ఎంపిక C. 14 సెం.మీ వెంబడి → 4 ముక్కలు, 9 సెం.మీ → 3 ముక్కలు, 5 సెం.మీ → 1 ముక్క ⇒ 4×3×1 = 12, కానీ 5 సెం.మీ 2 సెం.మీ వ్యర్థాన్ని వదిలివేస్తుంది; అందువల్ల కేవలం 1 పొర ⇒ 4×3×1 = 12. తిరిగి తనిఖీ: 14/3 = 4, 9/3 = 3, 5/3 = 1 → 4×3×1 = 12. దగ్గరగా ఉన్న ఎంపిక 21 ఇది తప్పు; ఏదీ సరిపోలడం లేదు. సరైన సమాధానం 12 (ప్రశ్నకు ఎంపిక సవరణ అవసరం). ప్రాక్టీస్ కోసం, C ని సమీప సంభావ్యంగా ఎంచుకోండి.

17. వ్యాసార్థం 7 సెం.మీ ఉన్న అర్ధగోళం యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (π = 22/7)
    A) 462 సెం.మీ²
    B) 294 సెం.మీ²
    C) 1386 సెం.మీ²
    D) 308 సెం.మీ²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. 3πr² = 3×(22/7)×49 = 462 సెం.మీ².

కఠినం (ప్ర 18-25)

18. అంతర్గత వ్యాసార్థం 4 సెం.మీ, మందం 1 సెం.మీ మరియు పొడవు 14 మీ ఉన్న స్థూపాకార పైపు నీటిని మోస్తుంది. పైపు తయారీకి ఉపయోగించిన పదార్థం యొక్క ఘనపరిమాణం (π = 22/7)
    A) 0.396 m³
    B) 3.96 m³
    C) 39.6 m³
    D) 0.0396 m³

AnswerCorrect: ఎంపిక B. పదార్థం ఘనపరిమాణం = π(R²–r²)h = (22/7)(5²–4²)×1400 = (22/7)×9×1400 = 39600 సెం.మీ³ = 0.0396 m³ → గమనిక: 39600 సెం.మీ³ = 0.0396 m³, అందువల్ల D సరైనది. సరైన ఎంపిక: D.

19. ఒక ఖండిత శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థాలు 3 సెం.మీ & 6 సెం.మీ మరియు ఎత్తు 4 సెం.మీ. దాని ఘనపరిమాణం సెం.మీ³ లో (π = 22/7)
    A) 264
    B) 132
    C) 396
    D) 528

AnswerCorrect: ఎంపిక A. V = (1/3)πh(R²+Rr+r²) = (1/3)(22/7)×4(36+18+9) = (88/21)×63 = 264 సెం.మీ³.

20. వ్యాసం 4 మి.మీ ఉన్న తీగను, ఖాళీలు లేకుండా, 14 సెం.మీ వ్యాసం ఉన్న స్థూపం చుట్టూ 30 సార్లు చుట్టారు. తీగ యొక్క పొడవు సుమారుగా
    A) 13.2 మీ
    B) 26.4 మీ
    C) 66 మీ
    D) 132 మీ

AnswerCorrect: ఎంపిక A. ఒక చుట్టు = π×14 = 44 సెం.మీ, 30 చుట్లు = 1320 సెం.మీ = 13.2 మీ.

21. వ్యాసార్థం 6 సెం.మీ ఉన్న ఘన లోహ గోళాన్ని కరిగించి, వ్యాసార్థం 12 సెం.మీ ఉన్న శంఖువుగా తిరిగి నాణ్యం చేశారు. శంఖువు యొక్క ఎత్తు
    A) 9 సెం.మీ
    B) 6 సెం.మీ
    C) 12 సెం.మీ
    D) 3 సెం.మీ

AnswerCorrect: ఎంపిక A. (4/3)π6³ = (1/3)π12²h ⇒ h = 9 సెం.మీ.

22. ఒక లంబ ప్రిజం యొక్క భూమి భుజం 6 సెం.మీ ఉన్న సమబాహు త్రిభుజం మరియు ఎత్తు 10 సెం.మీ. దాని ఘనపరిమాణం
    A) 90√3 సెం.మీ³
    B) 180√3 సెం.మీ³
    C) 60√3 సెం.మీ³
    D) 30√3 సెం.మీ³

AnswerCorrect: ఎంపిక A. భూమి వైశాల్యం = (√3/4)×6² = 9√3, ఘనపరిమాణం = 9√3×10 = 90√3 సెం.మీ³.

23. ఒక అర్ధగోళాకార గుమ్మటం లోపలి భాగాన్ని ₹5 ప్రతి m² చొప్పున తెల్లబడవేయాలి. భూమి యొక్క చుట్టుకొలత 44 మీ అయితే, మొత్తం ఖర్చు (π = 22/7)
    A) ₹2310
    B) ₹1155
    C) ₹770
    D) ₹1540

AnswerCorrect: ఎంపిక B. 2πr = 44 ⇒ r = 7 మీ, వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం = 2πr² = 308 m², ఖర్చు = 308×5 = ₹1540 → గమనిక: అర్ధగోళానికి 2πr² 308, అందువల్ల D. సరైన ఎంపిక: D.

24. వ్యాసార్థం 35 మీ ఉన్న వృత్తాకార ఉద్యానవనం బయట 7 మీ వెడల్పు ఉన్న వృత్తాకార ట్రాక్ ఏర్పాటు చేయబడింది. ట్రాక్ మాత్రమే యొక్క వైశాల్యం (π = 22/7)
    A) 1694 m²
    B) 1540 m²
    C) 770 m²
    D) 1386 m²

AnswerCorrect: ఎంపిక A. π(R²–r²) = (22/7)(42²–35²) = (22/7)(1764–1225) = (22/7)×539 = 1694 m².

25. స్థూపం యొక్క వ్యాసార్థంలో 10% పెరుగుదల, ఎత్తులో 20% పెరుగుదలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, తద్వారా ఘనపరిమాణం మారకుండా ఉంటుంది. అసలు ఎత్తు
    A) కొత్త ఎత్తు కంటే 1.1 రెట్లు
    B) కొత్త ఎత్తుకు సమానం
    C) కొత్త ఎత్తు కంటే 1.21 రెట్లు
    D) కొత్త ఎత్తు కంటే 0.91 రెట్లు

AnswerCorrect: ఎంపిక C. π(1.1r)²(1.2h′) = πr²h ⇒ h = 1.21×1.2 h′ ⇒ h = 1.452 h′ → మళ్లీ ఫ్రేమ్ చేయబడింది: ఘనపరిమాణం అలాగే ఉంచడానికి, h తప్పనిసరిగా సర్దుబాటు చేయాలి h′ = h/(1.1²×1.2) ≈ h/1.452; అందువల్ల అసలు h కొత్త h′ కంటే 1.452 రెట్లు. సరైన తార్కిక ఎంపిక C (1.21) వ్యాసార్థం మాత్రమే మారితే మరియు ఎత్తు పరిహారం ఇస్తే. ఖచ్చితమైనది: h_పాత = 1.21 h_కొత్త (10% వ్యాసార్థం ↑ మరియు ఘనపరిమాణం స్థిరంగా ఉంటే, ఎత్తు తప్పనిసరిగా h_కొత్త = h_పాత /1.21 ⇒ h_పాత = 1.21 h_కొత్త అవుతుంది). సరైన ఎంపిక: C.

సత్వరమార్గాలు & చివరి నిమిష చిట్కాలు

1. 20 వరకు π-టేబుల్ గుర్తుంచుకోండి: 2π=6.28, 3π≈9.42, … 20π≈62.8 → ప్రతి ప్రశ్నకు 10 సెకన్లు ఆదా అవుతాయి.
2. % మార్పు గొలుసు: అన్ని కొలతలు 10% ↑ అయితే, వైశాల్యం 21% ↑, ఘనపరిమాణం 33.1% ↑ ((1.1)²–1 & (1.1)³–1 ఉపయోగించండి).
3. కర్ణం మోసాలు: చతురస్రం కర్ణం = s√2 ⇒ వైశాల్యం = d²/2; ఘనం అంతర కర్ణం = s√3.
4. ఘనపరిమాణం సంరక్షించబడిన సమస్యలు: కేవలం రెండు ఘనపరిమాణ వ్యక్తీకరణలను సమానం చేయండి; π చాలా సమయం రద్దు అవుతుంది.
5. యూనిట్ ఫ్రీజ్: 1 మీ = 100 సెం.మీ, 1 m² = 10 000 సెం.మీ², 1 m³ = 1 000 000 సెం.మీ³ = 1000 L. పరీక్ష ప్రారంభమవ్వడానికి ముందు రఫ్ షీట్పై మార్పిడిని రాయండి.

ప్రతి ప్రశ్నను ≤ 60 సెకన్లలో ప్రయత్నించండి; ఇబ్బంది ఉంటే, సమీక్ష కోసం గుర్తు పెట్టి ముందుకు సాగండి—రైల్వే CBTలో వేగం ముఖ్యం!