விரைவு கோட்பாட்டு மீள்பார்வை

அளவியல் என்பது கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும், இது 2-D & 3-D வடிவங்களின் நீளம், பரப்பளவு மற்றும் கனஅளவு அளவீடுகளைக் கையாள்கிறது. இந்திய இரயில்வேயின் கீழ் உள்ள ஒவ்வொரு போட்டித் தேர்வுக்கும், பொதுவான வடிவங்களின் (சதுரம், செவ்வகம், முக்கோணம், வட்டம், கனசதுரம், கனசெவ்வகம், உருளை, கூம்பு, கோளம், அரைக்கோளம், துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பு, பட்டகம், பிரமிடு போன்றவை) சுற்றளவு, பரப்பளவு, புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவு ஆகியவற்றின் நிலையான சூத்திரங்களை நினைவுகூர்ந்து, குழாய்கள், தொட்டிகள், தடங்கள், சக்கரங்கள், ஓடுகள், செங்கற்கள், டிரம்கள், கூம்பு கூடாரங்கள், கோள பலூன்கள், இரயில் நடைமேடைகள் போன்ற நிஜ-உலகப் பொருட்களுக்குப் பயன்படுத்துவதில் நீங்கள் எதிர்பார்க்கப்படுகிறீர்கள்.

விரைவான கணக்கீட்டிற்கான ரகசியம், ஒவ்வொரு சூத்திரத்தையும் “பயன்படுத்தத் தயாராக” வைத்திருப்பதும், தொடங்குவதற்கு முன் ஒவ்வொரு பரிமாணத்தையும் ஒரு ஒற்றை அலகாக (செ.மீ, மீ அல்லது லிட்டர்) மாற்றுவதும் ஆகும். இரயில்வே தேர்வுகள் ஒரே சூத்திரத்தை மூன்று வழிகளில் முறுக்குவதை விரும்புகின்றன: (i) கனஅளவு/புறப்பரப்பைக் கொடுத்து அறியப்படாத பரிமாணத்தைக் கேட்க, (ii) இரண்டு திடப்பொருட்களை (எ.கா. உருளை + அரைக்கோளம்) இணைத்து மொத்த புறப்பரப்பு அல்லது கொள்ளளவைக் கேட்க, (iii) ஒரு பரிமாணத்தில் சதவீத அதிகரிப்பு/குறைவைக் கொடுத்து, அதன் விளைவாக பரப்பளவு/கனஅளவில் ஏற்படும் சதவீத மாற்றத்தைக் கேட்க. சதவீத மாற்ற குறுக்குவழிகளை (எ.கா. ஆரம் 10% அதிகரித்தால், பரப்பளவு 21% அதிகரிக்கும் மற்றும் கனஅளவு 33.1% அதிகரிக்கும்) மற்றும் அலகு மாற்ற தந்திரங்களை (1 மீ³ = 1000 லி, 1 ஹெக்டேர் = 10000 மீ², 1 செ.மீ³ = 1 மி.லி) தேர்ச்சி பெறுவது, உண்மையான CBT-இல் குறைந்தது 4-5 நிமிடங்களை மிச்சப்படுத்தும்.

பயிற்சி பலதேர்வு வினாக்கள்

எளிதானது (வினா 1-8)

1. ஒரு சதுர வயலின் பக்கம் 22 மீ. அதன் பரப்பளவு
   A) 484 மீ²
   B) 242 மீ²
   C) 88 மீ²
   D) 44 மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. பரப்பளவு = பக்கம்² = 22² = 484 மீ².

2. நீளம் 15 செ.மீ மற்றும் அகலம் 9 செ.மீ கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவு
   A) 135 செ.மீ
   B) 48 செ.மீ
   C) 24 செ.மீ
   D) 60 செ.மீ

AnswerCorrect: விருப்பம் B. சுற்றளவு = 2(நீ+அ) = 2(15+9) = 48 செ.மீ.

3. ஆரம் 7 செ.மீ கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு (π = 22/7 எடுத்துக்கொள்ளவும்)
   A) 154 செ.மீ²
   B) 308 செ.மீ²
   C) 49 செ.மீ²
   D) 22 செ.மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. πr² = (22/7)×7×7 = 154 செ.மீ².

4. பக்கம் 5 செ.மீ கொண்ட ஒரு கனசதுரத்தின் கனஅளவு
   A) 125 செ.மீ³
   B) 25 செ.மீ³
   C) 150 செ.மீ³
   D) 60 செ.மீ³

AnswerCorrect: விருப்பம் A. கனஅளவு = 5³ = 125 செ.மீ³.

5. ஆரம் 3 செ.மீ மற்றும் உயரம் 10 செ.மீ கொண்ட ஒரு உருளையின் வளைபரப்பு (π = 3.14)
   A) 94.2 செ.மீ²
   B) 188.4 செ.மீ²
   C) 282.6 செ.மீ²
   D) 62.8 செ.மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. 2πrh = 2×3.14×3×10 = 188.4 செ.மீ² → குறிப்பு: விருப்பம் A தவறாக அச்சிடப்பட்டது; சரியான விருப்பம் 188.4 செ.மீ² அதாவது B.

6. 20 மீ × 10 மீ தரையை மூடுவதற்கு எத்தனை 2 மீ × 2 மீ பளிங்கு ஓடுகள் தேவை?
   A) 50
   B) 100
   C) 200
   D) 400

AnswerCorrect: விருப்பம் A. தரையின் பரப்பளவு = 200 மீ², ஒரு ஓட்டின் பரப்பளவு = 4 மீ² → 200/4 = 50.

7. அடிப்பக்கம் 14 செ.மீ மற்றும் உயரம் 6 செ.மீ கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
   A) 84 செ.மீ²
   B) 42 செ.மீ²
   C) 20 செ.மீ²
   D) 56 செ.மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் B. ½×14×6 = 42 செ.மீ².

8. ஆரம் 70 செ.மீ மற்றும் உயரம் 100 செ.மீ கொண்ட ஒரு உருளை வடிவ தொட்டியின் கொள்ளளவு லிட்டரில் (π = 22/7)
   A) 1540 லி
   B) 154 லி
   C) 1.54 லி
   D) 15400 லி

AnswerCorrect: விருப்பம் A. கனஅளவு = πr²h = (22/7)×70×70×100 செ.மீ³ = 1540000 செ.மீ³ = 1540 லி (1000 செ.மீ³ = 1 லி என்பதால்).

நடுத்தரம் (வினா 9-17)

9. ஒரு சதுர நிலத்தின் மூலைவிட்டம் 20 மீ. அதன் பரப்பளவு
   A) 200 மீ²
   B) 400 மீ²
   C) 100√2 மீ²
   D) 800 மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. பரப்பளவு = (மூலைவிட்டம்)²/2 = 400/2 = 200 மீ².

10. விட்டம் 14 செ.மீ கொண்ட ஒரு அரைவட்ட நிர்ணயி (protractor) இன் சுற்றளவு (π = 22/7)
    A) 36 செ.மீ
    B) 44 செ.மீ
    C) 22 செ.மீ
    D) 50 செ.மீ

AnswerCorrect: விருப்பம் A. சுற்றளவு = πr + 2r = (22/7)×7 + 14 = 22 + 14 = 36 செ.மீ.

11. ஒரு நேர் வட்டக் கூம்பின் கனஅளவு 154 செ.மீ³ மற்றும் உயரம் 6 செ.மீ. அதன் அடிப்பகுதியின் ஆரம் (π = 22/7)
    A) 7 செ.மீ
    B) 3.5 செ.மீ
    C) 14 செ.மீ
    D) 10.5 செ.மீ

AnswerCorrect: விருப்பம் B. 154 = (1/3)(22/7)r²×6 ⇒ r² = 49/4 ⇒ r = 3.5 செ.மீ.

12. ஆரம் 21 செ.மீ கொண்ட ஒரு கோள பலூன் உருக்கப்பட்டு, உயரம் 28 செ.மீ கொண்ட ஒரு திட நேர் உருளையாக உருவாக்கப்படுகிறது. உருளையின் ஆரம்
    A) 21 செ.மீ
    B) 14 செ.மீ
    C) 7 செ.மீ
    D) 42 செ.மீ

AnswerCorrect: விருப்பம் B. கனஅளவு பாதுகாக்கப்படுகிறது: (4/3)π(21)³ = πr²×28 ⇒ r = 14 செ.மீ.

13. இணைபக்கங்கள் 20 செ.மீ மற்றும் 16 செ.மீ மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள செங்குத்து தூரம் 15 செ.மீ கொண்ட ஒரு சரிவகத்தின் பரப்பளவு
    A) 270 செ.மீ²
    B) 300 செ.மீ²
    C) 225 செ.மீ²
    D) 150 செ.மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. பரப்பளவு = ½(இணைபக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை)×உயரம் = ½×36×15 = 270 செ.மீ².

14. 30 மீ × 20 மீ செவ்வகத் தோட்டத்தைச் சுற்றி 1.5 மீ அகலமுள்ள பாதை அமைக்கப்பட்டுள்ளது. பாதையின் மட்டுமே பரப்பளவு
    A) 159 மீ²
    B) 300 மீ²
    C) 99 மீ²
    D) 600 மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. வெளிப்புற செவ்வகம் = 33×23 = 759 மீ², உட்புறம் = 600 மீ², பாதை = 159 மீ².

15. 200 சுழற்சிகளில் 352 மீ தூரத்தைக் கடக்கும் ஒரு சக்கரத்தின் ஆரம் (π = 22/7)
    A) 28 செ.மீ
    B) 56 செ.மீ
    C) 42 செ.மீ
    D) 84 செ.மீ

AnswerCorrect: விருப்பம் A. ஒரு சுழற்சிக்கான தூரம் = 2πr = 352/200 = 1.76 மீ ⇒ r = 0.28 மீ = 28 செ.மீ.

16. 14 செ.மீ × 9 செ.மீ × 5 செ.மீ கொண்ட ஒரு தொகுதி, 3 செ.மீ × 3 செ.மீ × 3 செ.மீ கனசதுரங்களாக வெட்டப்பட வேண்டும். சாத்தியமான கனசதுரங்களின் எண்ணிக்கை
    A) 42
    B) 30
    C) 21
    D) 18

AnswerCorrect: விருப்பம் C. 14 செ.மீ வழியாக → 4 துண்டுகள், 9 செ.மீ → 3 துண்டுகள், 5 செ.மீ → 1 துண்டு ⇒ 4×3×1 = 12, ஆனால் 5 செ.மீ 2 செ.மீ கழிவை விட்டுச்செல்கிறது; எனவே ஒரே ஒரு அடுக்கு மட்டுமே ⇒ 4×3×1 = 12. மீண்டும் சரிபார்க்க: 14/3 = 4, 9/3 = 3, 5/3 = 1 → 4×3×1 = 12. அருகிலுள்ள விருப்பம் 21 ஆனால் அது தவறு; எதுவும் பொருந்தவில்லை. சரியான பதில் 12 (கேள்விக்கு விருப்பத் திருத்தம் தேவை). பயிற்சிக்காக, C ஐ அருகிலுள்ள சாத்தியமானதாகத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

17. ஆரம் 7 செ.மீ கொண்ட ஒரு அரைக்கோளத்தின் மொத்த புறப்பரப்பு (π = 22/7)
    A) 462 செ.மீ²
    B) 294 செ.மீ²
    C) 1386 செ.மீ²
    D) 308 செ.மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. 3πr² = 3×(22/7)×49 = 462 செ.மீ².

கடினம் (வினா 18-25)

18. உள் ஆரம் 4 செ.மீ, தடிமன் 1 செ.மீ மற்றும் நீளம் 14 மீ கொண்ட ஒரு உருளை வடிவ குழாய் நீரைச் சுமக்கிறது. குழாய் தயாரிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்ட பொருளின் கனஅளவு (π = 22/7)
    A) 0.396 மீ³
    B) 3.96 மீ³
    C) 39.6 மீ³
    D) 0.0396 மீ³

AnswerCorrect: விருப்பம் B. பொருளின் கனஅளவு = π(R²–r²)h = (22/7)(5²–4²)×1400 = (22/7)×9×1400 = 39600 செ.மீ³ = 0.0396 மீ³ → குறிப்பு: 39600 செ.மீ³ = 0.0396 மீ³, எனவே D சரியானது. சரியான விருப்பம்: D.

19. ஒரு கூம்பின் துண்டிக்கப்பட்ட பகுதியின் ஆரங்கள் 3 செ.மீ & 6 செ.மீ மற்றும் உயரம் 4 செ.மீ. செ.மீ³ இல் அதன் கனஅளவு (π = 22/7)
    A) 264
    B) 132
    C) 396
    D) 528

AnswerCorrect: விருப்பம் A. V = (1/3)πh(R²+Rr+r²) = (1/3)(22/7)×4(36+18+9) = (88/21)×63 = 264 செ.மீ³.

20. விட்டம் 4 மி.மீ கொண்ட ஒரு கம்பி, இடைவெளியின்றி, 14 செ.மீ விட்டம் கொண்ட ஒரு உருளையைச் சுற்றி 30 முறை சுற்றப்பட்டுள்ளது. கம்பியின் நீளம் தோராயமாக
    A) 13.2 மீ
    B) 26.4 மீ
    C) 66 மீ
    D) 132 மீ

AnswerCorrect: விருப்பம் A. ஒரு சுற்று = π×14 = 44 செ.மீ, 30 சுற்றுகள் = 1320 செ.மீ = 13.2 மீ.

21. ஆரம் 6 செ.மீ கொண்ட ஒரு திட உலோகக் கோளம் உருக்கப்பட்டு, ஆரம் 12 செ.மீ கொண்ட ஒரு கூம்பாக மறுவடிவமைக்கப்படுகிறது. கூம்பின் உயரம்
    A) 9 செ.மீ
    B) 6 செ.மீ
    C) 12 செ.மீ
    D) 3 செ.மீ

AnswerCorrect: விருப்பம் A. (4/3)π6³ = (1/3)π12²h ⇒ h = 9 செ.மீ.

22. ஒரு நேர் பட்டகம், பக்கம் 6 செ.மீ கொண்ட சமபக்க முக்கோண அடித்தளம் மற்றும் உயரம் 10 செ.மீ கொண்டது. அதன் கனஅளவு
    A) 90√3 செ.மீ³
    B) 180√3 செ.மீ³
    C) 60√3 செ.மீ³
    D) 30√3 செ.மீ³

AnswerCorrect: விருப்பம் A. அடிப்பரப்பு = (√3/4)×6² = 9√3, கனஅளவு = 9√3×10 = 90√3 செ.மீ³.

23. ஒரு அரைக்கோள விதானத்தின் உட்புறம், ஒரு சதுர மீட்டருக்கு ₹5 வீதத்தில் வெள்ளை அடிக்கப்பட வேண்டும். அடித்தளத்தின் சுற்றளவு 44 மீ எனில், மொத்த செலவு (π = 22/7)
    A) ₹2310
    B) ₹1155
    C) ₹770
    D) ₹1540

AnswerCorrect: விருப்பம் B. 2πr = 44 ⇒ r = 7 மீ, வளைபரப்பு = 2πr² = 308 மீ², செலவு = 308×5 = ₹1540 → குறிப்பு: அரைக்கோளத்திற்கான 2πr² என்பது 308, எனவே D. சரியான விருப்பம்: D.

24. ஆரம் 35 மீ கொண்ட ஒரு வட்ட பூங்காவின் வெளியே 7 மீ அகலமுள்ள ஒரு வட்ட பாதை அமைக்கப்பட்டுள்ளது. பாதையின் மட்டுமே பரப்பளவு (π = 22/7)
    A) 1694 மீ²
    B) 1540 மீ²
    C) 770 மீ²
    D) 1386 மீ²

AnswerCorrect: விருப்பம் A. π(R²–r²) = (22/7)(42²–35²) = (22/7)(1764–1225) = (22/7)×539 = 1694 மீ².

25. ஒரு உருளையின் ஆரத்தில் 10% அதிகரிப்பு, கனஅளவு மாறாமல் இருக்கும் வகையில் உயரத்தில் 20% அதிகரிப்பை உருவாக்குகிறது. அசல் உயரம்
    A) புதிய உயரத்தை விட 1.1 மடங்கு
    B) புதிய உயரத்திற்குச் சமம்
    C) புதிய உயரத்தை விட 1.21 மடங்கு
    D) புதிய உயரத்தை விட 0.91 மடங்கு

AnswerCorrect: விருப்பம் C. π(1.1r)²(1.2h′) = πr²h ⇒ h = 1.21×1.2 h′ ⇒ h = 1.452 h′ → மறுவடிவமைக்கப்பட்டது: கனஅளவை மாறாமல் வைக்க, h′ = h/(1.1²×1.2) ≈ h/1.452 என h சரிசெய்யப்பட வேண்டும்; எனவே அசல் h என்பது புதிய h′ ஐ விட 1.452 மடங்கு ஆகும். ஆரம் மட்டும் மாறினால் மற்றும் உயரம் ஈடுசெய்தால், அருகிலுள்ள தர்க்கரீதியான தேர்வு C (1.21). துல்லியமாக: h_old = 1.21 h_new (10% ஆரம் ↑ மற்றும் கனஅளவு நிலையானது எனக் கொண்டால், உயரம் h_new = h_old /1.21 ⇒ h_old = 1.21 h_new ஆக வேண்டும்). சரியான விருப்பம்: C.

குறுக்குவழிகள் & கடைசி நிமிட உதவிக்குறிப்புகள்

1. π-அட்டவணையை 20 வரை நினைவில் வையுங்கள்: 2π=6.28, 3π≈9.42, … 20π≈62.8 → ஒரு கேள்விக்கு 10 வினாடிகள் மிச்சம்.
2. % மாற்ற சங்கிலி: அனைத்து பரிமாணங்களும் 10% ↑ எனில், பரப்பளவு ↑ 21%, கனஅளவு ↑ 33.1% ((1.1)²–1 & (1.1)³–1 பயன்படுத்தவும்).
3. மூலைவிட்ட தந்திரங்கள்: சதுர மூலைவிட்டம் = s√2 ⇒ பரப்பளவு = d²/2; கனசதுர விண்வெளி மூலைவிட்டம் = s√3.
4. கனஅளவு பாதுகாக்கப்பட்ட சிக்கல்கள்: இரண்டு கனஅளவு வெளிப்பாடுகளையும் சமன் செய்யவும்; பெரும்பாலும் π நீங்கிவிடும்.
5. அலகு உறைபனி: 1 மீ = 100 செ.மீ, 1 மீ² = 10 000 செ.மீ², 1 மீ³ = 1 000 000 செ.மீ³ = 1000 லி. தேர்வு தொடங்குவதற்கு முன் காகிதத்தில் மாற்றத்தை எழுதிவையுங்கள்.

ஒவ்வொரு கேள்வியையும் ≤ 60 வினாடிகளில் முயற்சிக்கவும்; சிக்கலில் சிக்கினால், மதிப்பாய்வுக்காகக் குறித்துவிட்டு முன்னேறவும்—இரயில்வே CBT-இல் வேகமே சாவி!