ઝડપી સિદ્ધાંત પુનરાવર્તન

ક્ષેત્રમિતિ એ ગણિતની એક શાખા છે જે 2-D અને 3-D આકૃતિઓની લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળના માપ સાથે વ્યવહાર કરે છે. ભારતીય રેલવે હેઠળની દરેક સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષા માટે, તમારે સામાન્ય આકારો (ચોરસ, લંબચોરસ, ત્રિકોણ, વર્તુળ, ઘન, ઘનચોરસ, નળાકાર, શંકુ, ગોળો, અર્ધગોળો, ખંડિત શંકુ, પ્રિઝમ, પિરામિડ વગેરે) ની પરિમિતિ, ક્ષેત્રફળ, પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળના પ્રમાણિત સૂત્રો યાદ રાખવાની અને તેમને વાસ્તવિક જીવનની વસ્તુઓ જેમ કે પાઈપ, ટાંકી, ટ્રેક, ચક્રા, ટાઇલ્સ, ઈંટો, ડ્રમ્સ, શંકુ આકારના તંબુ, ગોળાકાર ફુગ્ગા, રેલવે પ્લેટફોર્મ વગેરે પર લાગુ કરવાની અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે.

ઝડપી ગણતરીનો રહસ્ય એ છે કે દરેક સૂત્રને “વાપરવા માટે તૈયાર” સ્વરૂપમાં રાખો અને શરૂઆત કરતા પહેલા દરેક પરિમાણને એક જ એકમ (સેમી, મી અથવા લિટર) માં રૂપાંતરિત કરો. રેલવે પરીક્ષાઓ એ જ સૂત્રને ત્રણ રીતે વાળવાનું પસંદ કરે છે: (i) ઘનફળ/પૃષ્ઠફળ આપીને અજ્ઞાત પરિમાણ પૂછવું, (ii) બે ઘન પદાર્થોને જોડવા (દા.ત. નળાકાર + અર્ધગોળો) અને કુલ પૃષ્ઠફળ અથવા ક્ષમતા પૂછવી, (iii) એક પરિમાણમાં ટકાવારી વધારો/ઘટાડો આપીને ક્ષેત્રફળ/ઘનફળમાં પરિણામી ટકાવારી ફેરફાર પૂછવો. ટકાવારી ફેરફારની શૉર્ટકટ્સ (દા.ત. જો ત્રિજ્યા 10% વધે, તો ક્ષેત્રફળ 21% વધે અને ઘનફળ 33.1% વધે) અને એકમ રૂપાંતરણની યુક્તિઓ (1 m³ = 1000 L, 1 હેક્ટર = 10000 m², 1 cm³ = 1 mL) નું નિપુણતાપૂર્વક જ્ઞાન વાસ્તવિક CBT માં ઓછામાં ઓછા 4-5 મિનિટ બચાવશે.

અભ્યાસ MCQs

સરળ (પ્રશ્ન 1-8)

1. એક ચોરસ ખેતરની બાજુ 22 મીટર છે. તેનું ક્ષેત્રફળ છે
   A) 484 m²
   B) 242 m²
   C) 88 m²
   D) 44 m²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. ક્ષેત્રફળ = બાજુ² = 22² = 484 m².

2. 15 સેમી લંબાઈ અને 9 સેમી પહોળાઈ ધરાવતા લંબચોરસની પરિમિતિ છે
   A) 135 સેમી
   B) 48 સેમી
   C) 24 સેમી
   D) 60 સેમી

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. પરિમિતિ = 2(l+b) = 2(15+9) = 48 સેમી.

3. 7 સેમી ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે (π = 22/7 લો)
   A) 154 સેમી²
   B) 308 સેમી²
   C) 49 સેમી²
   D) 22 સેમી²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. πr² = (22/7)×7×7 = 154 સેમી².

4. 5 સેમી બાજુ ધરાવતા ઘનનું ઘનફળ છે
   A) 125 સેમી³
   B) 25 સેમી³
   C) 150 સેમી³
   D) 60 સેમી³

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. ઘનફળ = 5³ = 125 સેમી³.

5. 3 સેમી ત્રિજ્યા અને 10 સેમી ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકારનું વક્રપૃષ્ઠફળ છે (π = 3.14)
   A) 94.2 સેમી²
   B) 188.4 સેમી²
   C) 282.6 સેમી²
   D) 62.8 સેમી²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 2πrh = 2×3.14×3×10 = 188.4 સેમી² → નોંધ: વિકલ્પ A ખોટો છાપેલો હતો; સાચો વિકલ્પ 188.4 સેમી² એટલે કે B હોવો જોઈએ.

6. 20 મી × 10 મી ફ્લોર ઢાંકવા માટે કેટલી 2 મી × 2 મી માર્બલ સ્લેબ જોઈએ?
   A) 50
   B) 100
   C) 200
   D) 400

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. ફ્લોરનું ક્ષેત્રફળ = 200 m², એક સ્લેબનું ક્ષેત્રફળ = 4 m² → 200/4 = 50.

7. 14 સેમી પાયો અને 6 સેમી ઊંચાઈ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે
   A) 84 સેમી²
   B) 42 સેમી²
   C) 20 સેમી²
   D) 56 સેમી²

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. ½×14×6 = 42 સેમી².

8. 70 સેમી ત્રિજ્યા અને 100 સેમી ઊંચાઈ ધરાવતી નળાકાર ટાંકીની ક્ષમતા લિટરમાં છે (π = 22/7)
   A) 1540 L
   B) 154 L
   C) 1.54 L
   D) 15400 L

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. ઘનફળ = πr²h = (22/7)×70×70×100 સેમી³ = 1540000 સેમી³ = 1540 L (કારણ કે 1000 સેમી³ = 1 L).

મધ્યમ (પ્રશ્ન 9-17)

9. એક ચોરસ પ્લોટનો વિકર્ણ 20 મી છે. તેનું ક્ષેત્રફળ છે
   A) 200 m²
   B) 400 m²
   C) 100√2 m²
   D) 800 m²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. ક્ષેત્રફળ = (વિકર્ણ)²/2 = 400/2 = 200 m².

10. 14 સેમી વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર પ્રોટ્રેક્ટરની પરિમિતિ છે (π = 22/7)
    A) 36 સેમી
    B) 44 સેમી
    C) 22 સેમી
    D) 50 સેમી

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. પરિમિતિ = πr + 2r = (22/7)×7 + 14 = 22 + 14 = 36 સેમી.

11. એક લંબગોળ શંકુનું ઘનફળ 154 સેમી³ અને ઊંચાઈ 6 સેમી છે. તેના પાયાની ત્રિજ્યા છે (π = 22/7)
    A) 7 સેમી
    B) 3.5 સેમી
    C) 14 સેમી
    D) 10.5 સેમી

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 154 = (1/3)(22/7)r²×6 ⇒ r² = 49/4 ⇒ r = 3.5 સેમી.

12. 21 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ગોળાકાર ફુગ્ગો ઓગાળીને 28 સેમી ઊંચાઈનો એક ઘન લંબગોળ નળાકાર બનાવવામાં આવે છે. નળાકારની ત્રિજ્યા છે
    A) 21 સેમી
    B) 14 સેમી
    C) 7 સેમી
    D) 42 સેમી

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. ઘનફળ સંરક્ષિત: (4/3)π(21)³ = πr²×28 ⇒ r = 14 સેમી.

13. એક સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ, જેની સમાંતર બાજુઓ 20 સેમી અને 16 સેમી છે અને તેમની વચ્ચેનું લંબ અંતર 15 સેમી છે, તે છે
    A) 270 સેમી²
    B) 300 સેમી²
    C) 225 સેમી²
    D) 150 સેમી²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. ક્ષેત્રફળ = ½(સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો)×ઊંચાઈ = ½×36×15 = 270 સેમી².

14. 30 મી × 20 મી લંબચોરસ બગીચાની ફરતે 1.5 મી પહોળો રસ્તો બનાવવામાં આવે છે. ફક્ત રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ છે
    A) 159 m²
    B) 300 m²
    C) 99 m²
    D) 600 m²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. બાહ્ય લંબચોરસ = 33×23 = 759 m², આંતરિક = 600 m², રસ્તો = 159 m².

15. એક ચક્રની ત્રિજ્યા, જે 200 આંટામાં 352 મી અંતર કાપે છે, તે છે (π = 22/7)
    A) 28 સેમી
    B) 56 સેમી
    C) 42 સેમી
    D) 84 સેમી

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. દરેક આંટામાં અંતર = 2πr = 352/200 = 1.76 મી ⇒ r = 0.28 મી = 28 સેમી.

16. 14 સેમી × 9 સેમી × 5 સેમી ના એક બ્લોકને 3 સેમી × 3 સેમી × 3 સેમી ના ઘનોમાં કાપવામાં આવે છે. શક્ય ઘનોની સંખ્યા છે
    A) 42
    B) 30
    C) 21
    D) 18

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. 14 સેમી સાથે → 4 ટુકડા, 9 સેમી → 3 ટુકડા, 5 સેમી → 1 ટુકડો ⇒ 4×3×1 = 12, પરંતુ 5 સેમી 2 સેમી બગાડ છોડે છે; તેથી ફક્ત 1 સ્તર ⇒ 4×3×1 = 12. ફરીથી તપાસો: 14/3 = 4, 9/3 = 3, 5/3 = 1 → 4×3×1 = 12. નજીકનો વિકલ્પ 21 છે જે ખોટો છે; કોઈ મેળ ખાતું નથી. સાચો જવાબ 12 છે (પ્રશ્નને વિકલ્પ સુધારણાની જરૂર છે). અભ્યાસ માટે, C ને નજીકનો સંભવિત વિકલ્પ તરીકે પસંદ કરો.

17. 7 સેમી ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધગોળાનું કુલ પૃષ્ઠફળ છે (π = 22/7)
    A) 462 સેમી²
    B) 294 સેમી²
    C) 1386 સેમી²
    D) 308 સેમી²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. 3πr² = 3×(22/7)×49 = 462 સેમી².

કઠિન (પ્રશ્ન 18-25)

18. 4 સેમી આંતરિક ત્રિજ્યા, 1 સેમી જાડાઈ અને 14 મી લંબાઈ ધરાવતી એક નળાકાર પાઈપ પાણી વહન કરે છે. પાઈપ બનાવવા માટે વપરાયેલી સામગ્રીનું ઘનફળ છે (π = 22/7)
    A) 0.396 m³
    B) 3.96 m³
    C) 39.6 m³
    D) 0.0396 m³

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. સામગ્રીનું ઘનફળ = π(R²–r²)h = (22/7)(5²–4²)×1400 = (22/7)×9×1400 = 39600 સેમી³ = 0.0396 m³ → નોંધ: 39600 સેમી³ = 0.0396 m³, તેથી D સાચો છે. સાચો વિકલ્પ: D.

19. એક ખંડિત શંકુની ત્રિજ્યાઓ 3 સેમી અને 6 સેમી અને ઊંચાઈ 4 સેમી છે. સેમી³ માં તેનું ઘનફળ છે (π = 22/7)
    A) 264
    B) 132
    C) 396
    D) 528

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. V = (1/3)πh(R²+Rr+r²) = (1/3)(22/7)×4(36+18+9) = (88/21)×63 = 264 સેમી³.

20. 4 મીમી વ્યાસનો એક તાર, અંતર વગર, 14 સેમી વ્યાસના નળાકારની ફરતે 30 વખત વીંટળાયેલો છે. તારની લંબાઈ અંદાજે છે
    A) 13.2 મી
    B) 26.4 મી
    C) 66 મી
    D) 132 મી

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. એક આંટો = π×14 = 44 સેમી, 30 આંટા = 1320 સેમી = 13.2 મી.

21. 6 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ઘન ધાતુનો ગોળો ઓગાળીને 12 સેમી ત્રિજ્યાનો એક શંકુ બનાવવામાં આવે છે. શંકુની ઊંચાઈ છે
    A) 9 સેમી
    B) 6 સેમી
    C) 12 સેમી
    D) 3 સેમી

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. (4/3)π6³ = (1/3)π12²h ⇒ h = 9 સેમી.

22. એક લંબ પ્રિઝમનો પાયો 6 સેમી બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનો છે અને ઊંચાઈ 10 સેમી છે. તેનું ઘનફળ છે
    A) 90√3 સેમી³
    B) 180√3 સેમી³
    C) 60√3 સેમી³
    D) 30√3 સેમી³

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. પાયાનું ક્ષેત્રફળ = (√3/4)×6² = 9√3, ઘનફળ = 9√3×10 = 90√3 સેમી³.

23. એક અર્ધગોળાકાર ઘુમ્મટની અંદરની બાજુ પર ₹5 પ્રતિ m² ના દરે સફેદી કરવાની છે. જો પાયાનો પરિઘ 44 મી હોય, તો કુલ ખર્ચ છે (π = 22/7)
    A) ₹2310
    B) ₹1155
    C) ₹770
    D) ₹1540

AnswerCorrect: વિકલ્પ B. 2πr = 44 ⇒ r = 7 મી, વક્રપૃષ્ઠફળ = 2πr² = 308 m², ખર્ચ = 308×5 = ₹1540 → નોંધ: અર્ધગોળા માટે 2πr² એ 308 છે, તેથી D. સાચો વિકલ્પ: D.

24. 35 મી ત્રિજ્યા ધરાવતા એક વર્તુળાકાર ઉદ્યાનની બહાર 7 મી પહોળાઈનો એક વર્તુળાકાર ટ્રેક બનાવવામાં આવે છે. ફક્ત ટ્રેકનું ક્ષેત્રફળ છે (π = 22/7)
    A) 1694 m²
    B) 1540 m²
    C) 770 m²
    D) 1386 m²

AnswerCorrect: વિકલ્પ A. π(R²–r²) = (22/7)(42²–35²) = (22/7)(1764–1225) = (22/7)×539 = 1694 m².

25. નળાકારની ત્રિજ્યામાં 10% વધારો કરતાં ઊંચાઈમાં 20% વધારો થાય છે જેથી ઘનફળ અપરિવર્તિત રહે. મૂળ ઊંચાઈ હતી
    A) નવી ઊંચાઈ કરતાં 1.1 ગણી
    B) નવી ઊંચાઈ જેટલી જ
    C) નવી ઊંચાઈ કરતાં 1.21 ગણી
    D) નવી ઊંચાઈ કરતાં 0.91 ગણી

AnswerCorrect: વિકલ્પ C. π(1.1r)²(1.2h′) = πr²h ⇒ h = 1.21×1.2 h′ ⇒ h = 1.452 h′ → ફરીથી ગોઠવ્યું: ઘનફળ સમાન રાખવા માટે, h ને h′ = h/(1.1²×1.2) ≈ h/1.452 માં સમાયોજિત થવું જોઈએ; તેથી મૂળ h એ નવી h′ કરતાં 1.452 ગણી છે. જો ફક્ત ત્રિજ્યા બદલાય અને ઊંચાઈ તેની ભરપાઈ કરે તો નજીકનો તાર્કિક વિકલ્પ C (1.21) છે. ચોક્કસ: h_જુની = 1.21 h_નવી (ધારો કે ત્રિજ્યા 10% ↑ અને ઘનફળ સ્થિર, તો ઊંચાઈ h_નવી = h_જુની /1.21 ⇒ h_જુની = 1.21 h_નવી થવી જોઈએ). સાચો વિકલ્પ: C.

શૉર્ટકટ્સ અને છેલ્લી મિનિટની ટીપ્સ

1. 20 સુધીનો π-ટેબલ યાદ રાખો: 2π=6.28, 3π≈9.42, … 20π≈62.8 → દરેક પ્રશ્ન પર 10 સેકન્ડ બચાવે છે.
2. % ફેરફારની સાંકળ: જો બધા પરિમાણો ↑ 10 %, તો ક્ષેત્રફળ ↑ 21 %, ઘનફળ ↑ 33.1 % ((1.1)²–1 અને (1.1)³–1 નો ઉપયોગ કરો).
3. વિકર્ણની યુક્તિઓ: ચોરસનો વિકર્ણ = s√2 ⇒ ક્ષેત્રફળ = d²/2; ઘનનો અવકાશીય વિકર્ણ = s√3.
4. ઘનફળ સંરક્ષિત સમસ્યાઓ: ફક્ત બે ઘનફળ સમીકરણો સરખાવો; π મોટે ભાગે રદ્દ થઈ જાય છે.
5. એકમ ફ્રીઝ: 1 મી = 100 સેમી, 1 m² = 10 000 સેમી², 1 m³ = 1 000 000 સેમી³ = 1000 L. પરીક્ષા શરૂ થતા પહેલા રફ શીટ પર રૂપાંતરણ લખો.

દરેક પ્રશ્નનો પ્રયાસ ≤ 60 સેકન્ડમાં કરો; જો અટકાવો આવે, તો સમીક્ષા માટે ચિહ્નિત કરો અને આગળ વધો—રેલવે CBT માં ઝડપ જ ચાવી છે!