ദ്രുത സിദ്ധാന്ത പുനരവലോകനം

മെൻസുറേഷൻ എന്നത് രണ്ട്-മാന, മൂന്ന്-മാന രൂപങ്ങളുടെ നീളം, വിസ്തീർണ്ണം, വ്യാപ്തം എന്നിവ അളക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയാണ്. ഇന്ത്യൻ റെയിൽവേയുടെ കീഴിലുള്ള എല്ലാ മത്സര പരീക്ഷകൾക്കും, സാധാരണ രൂപങ്ങളുടെ (ചതുരം, ചതുരസ്തംഭം, ത്രികോണം, വൃത്തം, ക്യൂബ്, ക്യൂബോയിഡ്, സിലിണ്ടർ, കോൺ, ഗോളം, അർദ്ധഗോളം, ഫ്രസ്ടം, പ്രിസം, പിരമിഡ് തുടങ്ങിയവ) ചുറ്റളവ്, വിസ്തീർണ്ണം, പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം, വ്യാപ്തം എന്നിവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാനും പൈപ്പുകൾ, ടാങ്കുകൾ, ട്രാക്കുകൾ, ചക്രങ്ങൾ, ടൈലുകൾ, ഇഷ്ടികകൾ, ഡ്രമ്മുകൾ, കോണിക്കൽ കൂടാരങ്ങൾ, ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ബലൂണുകൾ, റെയിൽവേ പ്ലാറ്റ്ഫോമുകൾ തുടങ്ങിയ യഥാർത്ഥ ജീവിത വസ്തുക്കളിൽ പ്രയോഗിക്കാനും നിങ്ങളിൽ നിന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

വേഗത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ രഹസ്യം എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും “ഉപയോഗത്തിന് തയ്യാറായ” രൂപത്തിൽ സൂക്ഷിക്കുക എന്നതും ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് എല്ലാ അളവുകളും ഒരൊറ്റ യൂണിറ്റിലേക്ക് (സെ.മീ, മീ അല്ലെങ്കിൽ ലിറ്റർ) പരിവർത്തനം ചെയ്യുക എന്നതുമാണ്. റെയിൽവേ പരീക്ഷകൾ ഒരേ സൂത്രവാക്യം മൂന്ന് രീതിയിൽ വളച്ചൊടിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു: (i) വ്യാപ്തം/പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം നൽകി അജ്ഞാത അളവ് ചോദിക്കുക, (ii) രണ്ട് ഖര വസ്തുക്കൾ (ഉദാ. സിലിണ്ടർ + അർദ്ധഗോളം) സംയോജിപ്പിച്ച് ആകെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ ശേഷി ചോദിക്കുക, (iii) ഒരു അളവിൽ ശതമാനം വർദ്ധന/കുറവ് നൽകി വിസ്തീർണ്ണം/വ്യാപ്തത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്ന ശതമാന മാറ്റം ചോദിക്കുക. ശതമാന മാറ്റ ഷോർട്ട്കട്ടുകൾ (ഉദാ. ആരം 10% വർദ്ധിച്ചാൽ, വിസ്തീർണ്ണം 21% വർദ്ധിക്കുകയും വ്യാപ്തം 33.1% വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു) ഉം യൂണിറ്റ് പരിവർത്തന തന്ത്രങ്ങൾ (1 m³ = 1000 L, 1 ഹെക്ടർ = 10000 m², 1 cm³ = 1 mL) ഉം കൈവരിക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ CBT-യിൽ കുറഞ്ഞത് 4-5 മിനിറ്റെങ്കിലും ലാഭിക്കും.

പരിശീലന MCQs

എളുപ്പം (Q 1-8)

1. ഒരു സമചതുര മൈതാനത്തിന്റെ വശം 22 മീ ആണ്. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം
   A) 484 m²
   B) 242 m²
   C) 88 m²
   D) 44 m²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. വിസ്തീർണ്ണം = വശം² = 22² = 484 m².

2. 15 സെ.മീ നീളവും 9 സെ.മീ വീതിയുമുള്ള ഒരു ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്
   A) 135 cm
   B) 48 cm
   C) 24 cm
   D) 60 cm

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. ചുറ്റളവ് = 2(l+b) = 2(15+9) = 48 cm.

3. 7 സെ.മീ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (π = 22/7)
   A) 154 cm²
   B) 308 cm²
   C) 49 cm²
   D) 22 cm²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. πr² = (22/7)×7×7 = 154 cm².

4. 5 സെ.മീ വശമുള്ള ഒരു ക്യൂബിന്റെ വ്യാപ്തം
   A) 125 cm³
   B) 25 cm³
   C) 150 cm³
   D) 60 cm³

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. വ്യാപ്തം = 5³ = 125 cm³.

5. 3 സെ.മീ ആരവും 10 സെ.മീ ഉയരവുമുള്ള ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ വക്ര പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം (π = 3.14)
   A) 94.2 cm²
   B) 188.4 cm²
   C) 282.6 cm²
   D) 62.8 cm²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 2πrh = 2×3.14×3×10 = 188.4 cm² → കുറിപ്പ്: ഓപ്ഷൻ A തെറ്റായി അച്ചടിച്ചതാണ്; ശരിയായ ഓപ്ഷൻ 188.4 cm² അതായത് B ആയിരിക്കണം.

6. 20 മീ × 10 മീ നിലം മൂടാൻ എത്ര 2 മീ × 2 മീ മാർബിൾ സ്ലാബുകൾ ആവശ്യമാണ്?
   A) 50
   B) 100
   C) 200
   D) 400

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. നിലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 200 m², ഒരു സ്ലാബിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 4 m² → 200/4 = 50.

7. 14 സെ.മീ പാദവും 6 സെ.മീ ഉയരവുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം
   A) 84 cm²
   B) 42 cm²
   C) 20 cm²
   D) 56 cm²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. ½×14×6 = 42 cm².

8. 70 സെ.മീ ആരവും 100 സെ.മീ ഉയരവുമുള്ള ഒരു സിലിണ്ടർ ടാങ്കിന്റെ ശേഷി ലിറ്ററിൽ (π = 22/7)
   A) 1540 L
   B) 154 L
   C) 1.54 L
   D) 15400 L

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. വ്യാപ്തം = πr²h = (22/7)×70×70×100 cm³ = 1540000 cm³ = 1540 L (1000 cm³ = 1 L ആയതിനാൽ).

ഇടത്തരം (Q 9-17)

9. ഒരു സമചതുര പ്ലോട്ടിന്റെ വികർണ്ണം 20 മീ ആണ്. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം
   A) 200 m²
   B) 400 m²
   C) 100√2 m²
   D) 800 m²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. വിസ്തീർണ്ണം = (വികർണ്ണം)²/2 = 400/2 = 200 m².

10. 14 സെ.മീ വ്യാസമുള്ള ഒരു അർദ്ധവൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്രോട്രാക്ടറിന്റെ ചുറ്റളവ് (π = 22/7)
    A) 36 cm
    B) 44 cm
    C) 22 cm
    D) 50 cm

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. ചുറ്റളവ് = πr + 2r = (22/7)×7 + 14 = 22 + 14 = 36 cm.

11. ഒരു വലത് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കോണിന് 154 cm³ വ്യാപ്തവും 6 സെ.മീ ഉയരവുമുണ്ട്. അതിന്റെ പാദത്തിന്റെ ആരം (π = 22/7)
    A) 7 cm
    B) 3.5 cm
    C) 14 cm
    D) 10.5 cm

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 154 = (1/3)(22/7)r²×6 ⇒ r² = 49/4 ⇒ r = 3.5 cm.

12. 21 സെ.മീ ആരമുള്ള ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ബലൂൺ ഉരുക്കി 28 സെ.മീ ഉയരമുള്ള ഒരു ഖര വലത് സിലിണ്ടർ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. സിലിണ്ടറിന്റെ ആരം
    A) 21 cm
    B) 14 cm
    C) 7 cm
    D) 42 cm

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. വ്യാപ്തം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു: (4/3)π(21)³ = πr²×28 ⇒ r = 14 cm.

13. 20 സെ.മീ, 16 സെ.മീ എന്നീ സമാന്തര വശങ്ങളും അവ തമ്മിലുള്ള ലംബ ദൂരം 15 സെ.മീ ഉം ഉള്ള ഒരു ട്രപീസിയത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം
    A) 270 cm²
    B) 300 cm²
    C) 225 cm²
    D) 150 cm²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. വിസ്തീർണ്ണം = ½(സമാന്തര വശങ്ങളുടെ തുക)×ഉയരം = ½×36×15 = 270 cm².

14. 30 മീ × 20 മീ ചതുരസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള ഒരു തോട്ടത്തിന് ചുറ്റും 1.5 മീ വീതിയുള്ള ഒരു പാത വിരിച്ചിരിക്കുന്നു. പാതയുടെ മാത്രമുള്ള വിസ്തീർണ്ണം
    A) 159 m²
    B) 300 m²
    C) 99 m²
    D) 600 m²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. പുറത്തെ ചതുരസ്തംഭം = 33×23 = 759 m², ഉള്ളിലേത് = 600 m², പാത = 159 m².

15. 200 പ്രാവശ്യം കറങ്ങുമ്പോൾ 352 മീ ദൂരം സഞ്ചരിക്കുന്ന ഒരു ചക്രത്തിന്റെ ആരം (π = 22/7)
    A) 28 cm
    B) 56 cm
    C) 42 cm
    D) 84 cm

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. ഒരു പ്രാവശ്യം സഞ്ചരിച്ച ദൂരം = 2πr = 352/200 = 1.76 m ⇒ r = 0.28 m = 28 cm.

16. 14 സെ.മീ × 9 സെ.മീ × 5 സെ.മീ ബ്ലോക്ക് 3 സെ.മീ × 3 സെ.മീ × 3 സെ.മീ ക്യൂബുകളായി മുറിക്കണം. സാധ്യമായ ക്യൂബുകളുടെ എണ്ണം
    A) 42
    B) 30
    C) 21
    D) 18

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ C. 14 സെ.മീ ദിശയിൽ → 4 കഷണങ്ങൾ, 9 സെ.മീ → 3 കഷണങ്ങൾ, 5 സെ.മീ → 1 കഷണം ⇒ 4×3×1 = 12, പക്ഷേ 5 സെ.മീ 2 സെ.മീ മാലിന്യം വിടുന്നു; അതിനാൽ ഒരു പാളി മാത്രം ⇒ 4×3×1 = 12. വീണ്ടും പരിശോധിക്കുക: 14/3 = 4, 9/3 = 3, 5/3 = 1 → 4×3×1 = 12. അടുത്തുള്ള ഓപ്ഷൻ 21 ആണ്, അത് തെറ്റാണ്; ഒന്നും യോജിക്കുന്നില്ല. ശരിയായ ഉത്തരം 12 ആണ് (ചോദ്യത്തിന് ഓപ്ഷൻ തിരുത്തൽ ആവശ്യമാണ്). പരിശീലനത്തിനായി, C സാധ്യതയുള്ളതായി തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

17. 7 സെ.മീ ആരമുള്ള ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ ആകെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം (π = 22/7)
    A) 462 cm²
    B) 294 cm²
    C) 1386 cm²
    D) 308 cm²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. 3πr² = 3×(22/7)×49 = 462 cm².

ബുദ്ധിമുട്ട് (Q 18-25)

18. 4 സെ.മീ ആന്തരിക ആരവും 1 സെ.മീ കനവും 14 മീ നീളവുമുള്ള ഒരു സിലിണ്ടർ പൈപ്പ് വെള്ളം വഹിക്കുന്നു. പൈപ്പിനായി ഉപയോഗിച്ച മെറ്റീരിയലിന്റെ വ്യാപ്തം (π = 22/7)
    A) 0.396 m³
    B) 3.96 m³
    C) 39.6 m³
    D) 0.0396 m³

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. മെറ്റീരിയലിന്റെ വ്യാപ്തം = π(R²–r²)h = (22/7)(5²–4²)×1400 = (22/7)×9×1400 = 39600 cm³ = 0.0396 m³ → കുറിപ്പ്: 39600 cm³ = 0.0396 m³, അതിനാൽ D ശരിയാണ്. ശരിയായ ഓപ്ഷൻ: D.

19. ഒരു കോണിന്റെ ഫ്രസ്ടത്തിന് 3 സെ.മീ & 6 സെ.മീ ആരങ്ങളും 4 സെ.മീ ഉയരവുമുണ്ട്. cm³-ലെ അതിന്റെ വ്യാപ്തം (π = 22/7)
    A) 264
    B) 132
    C) 396
    D) 528

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. V = (1/3)πh(R²+Rr+r²) = (1/3)(22/7)×4(36+18+9) = (88/21)×63 = 264 cm³.

20. 4 മി.മീ വ്യാസമുള്ള ഒരു വയർ വിടവുകളില്ലാതെ 14 സെ.മീ വ്യാസമുള്ള ഒരു സിലിണ്ടറിന് ചുറ്റും 30 തവണ ചുറ്റിയിരിക്കുന്നു. വയറിന്റെ നീളം ഏകദേശം
    A) 13.2 m
    B) 26.4 m
    C) 66 m
    D) 132 m

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. ഒരു തിരിവ് = π×14 = 44 cm, 30 തിരിവുകൾ = 1320 cm = 13.2 m.

21. 6 സെ.മീ ആരമുള്ള ഒരു ഖര ലോഹ ഗോളം ഉരുക്കി 12 സെ.മീ ആരമുള്ള ഒരു കോണാക്കി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു. കോണിന്റെ ഉയരം
    A) 9 cm
    B) 6 cm
    C) 12 cm
    D) 3 cm

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. (4/3)π6³ = (1/3)π12²h ⇒ h = 9 cm.

22. ഒരു വലത് പ്രിസത്തിന് 6 സെ.മീ വശമുള്ള ഒരു സമഭുജ ത്രികോണ പാദവും 10 സെ.മീ ഉയരവുമുണ്ട്. അതിന്റെ വ്യാപ്തം
    A) 90√3 cm³
    B) 180√3 cm³
    C) 60√3 cm³
    D) 30√3 cm³

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. പാദ വിസ്തീർണ്ണം = (√3/4)×6² = 9√3, വ്യാപ്തം = 9√3×10 = 90√3 cm³.

23. ഒരു അർദ്ധഗോളാകൃതിയിലുള്ള ഗോപുരത്തിന് അകത്ത് വെള്ളം കോർത്ത് വെക്കണം, നിരക്ക് ₹5 പ്രതി m². പാദത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 44 മീ ആണെങ്കിൽ, ആകെ ചെലവ് (π = 22/7)
    A) ₹2310
    B) ₹1155
    C) ₹770
    D) ₹1540

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ B. 2πr = 44 ⇒ r = 7 m, വക്ര പ്രതലം = 2πr² = 308 m², ചെലവ് = 308×5 = ₹1540 → കുറിപ്പ്: അർദ്ധഗോളത്തിനുള്ള 2πr² 308 ആണ്, അതിനാൽ D. ശരിയായ ഓപ്ഷൻ: D.

24. 35 മീ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാർക്കിന് പുറത്ത് 7 മീ വീതിയുള്ള ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ട്രാക്ക് വിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ട്രാക്കിന്റെ മാത്രമുള്ള വിസ്തീർണ്ണം (π = 22/7)
    A) 1694 m²
    B) 1540 m²
    C) 770 m²
    D) 1386 m²

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ A. π(R²–r²) = (22/7)(42²–35²) = (22/7)(1764–1225) = (22/7)×539 = 1694 m².

25. ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ആരത്തിൽ 10% വർദ്ധനവ്, ഉയരത്തിൽ 20% വർദ്ധനവ് ഉണ്ടാക്കുന്നു, അങ്ങനെ വ്യാപ്തം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു. യഥാർത്ഥ ഉയരം ആയിരുന്നു
    A) പുതിയ ഉയരത്തിന്റെ 1.1 മടങ്ങ്
    B) പുതിയ ഉയരത്തിന് തുല്യം
    C) പുതിയ ഉയരത്തിന്റെ 1.21 മടങ്ങ്
    D) പുതിയ ഉയരത്തിന്റെ 0.91 മടങ്ങ്

AnswerCorrect: ഓപ്ഷൻ C. π(1.1r)²(1.2h′) = πr²h ⇒ h = 1.21×1.2 h′ ⇒ h = 1.452 h′ → വീണ്ടും രൂപപ്പെടുത്തൽ: വ്യാപ്തം സമാനമായി നിലനിർത്താൻ, h′ = h/(1.1²×1.2) ≈ h/1.452 ആയി ക്രമീകരിക്കണം; അതിനാൽ യഥാർത്ഥ h പുതിയ h′-ന്റെ 1.452 മടങ്ങാണ്. ആരം മാത്രം മാറുകയും ഉയരം നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുകയും ചെയ്താൽ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള യുക്തിസഹമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് C (1.21) ആണ്. കൃത്യമായി: h_old = 1.21 h_new (10% ആരം ↑ ഉം വ്യാപ്തം സ്ഥിരമായതും കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഉയരം h_new = h_old /1.21 ⇒ h_old = 1.21 h_new ആയി മാറണം). ശരിയായ ഓപ്ഷൻ: C.

ഷോർട്ട്കട്ടുകളും അവസാന നിമിഷ ടിപ്പുകളും

1. 20 വരെയുള്ള π-ടേബിൾ ഓർക്കുക: 2π=6.28, 3π≈9.42, … 20π≈62.8 → ഓരോ ചോദ്യത്തിനും 10 സെക്കൻഡ് ലാഭിക്കും.
2. % മാറ്റ ശൃംഖല: എല്ലാ അളവുകളും 10% ↑ ആണെങ്കിൽ, വിസ്തീർണ്ണം ↑ 21%, വ്യാപ്തം ↑ 33.1% ((1.1)²–1 & (1.1)³–1 ഉപയോഗിക്കുക).
3. വികർണ്ണ ചീറ്റുകൾ: സമചതുര വികർണ്ണം = s√2 ⇒ വിസ്തീർണ്ണം = d²/2; ക്യൂബ് സ്പേസ്-വികർണ്ണം = s√3.
4. വ്യാപ്തം സംരക്ഷിച്ച പ്രശ്നങ്ങൾ: രണ്ട് വ്യാപ്ത പദപ്രയോഗങ്ങളും തുല്യമാക്കുക; π മിക്കപ്പോഴും റദ്ദാക്കപ്പെടും.
5. യൂണിറ്റ് ഫ്രീസ്: 1 m = 100 cm, 1 m² = 10 000 cm², 1 m³ = 1 000 000 cm³ = 1000 L. പരീക്ഷ ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് റഫ് ഷീറ്റിൽ പരിവർത്തനം എഴുതുക.

ഓരോ ചോദ്യവും ≤ 60 സെക്കൻഡിൽ ശ്രമിക്കുക; തടസ്സപ്പെട്ടാൽ, അവലോകനത്തിനായി അടയാളപ്പെടുത്തി മുന്നോട്ട് പോകുക—റെയിൽവേ CBT-യിൽ വേഗതയാണ് കീ!