দ্রুত তত্ত্ব পুনরালোচনা

পরিমিতি হল গণিতের সেই শাখা যা দ্বি-মাত্রিক ও ত্রি-মাত্রিক আকারের দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তনের পরিমাপ নিয়ে কাজ করে। ভারতীয় রেলওয়ের অধীনে প্রতিটি প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য, আপনাকে সাধারণ আকৃতিগুলির (বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ, বৃত্ত, ঘনক, আয়তঘনক, সিলিন্ডার, শঙ্কু, গোলক, অর্ধগোলক, ফ্রাস্টাম, প্রিজম, পিরামিড ইত্যাদি) পরিসীমা, ক্ষেত্রফল, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের সূত্রগুলি মনে রাখতে হবে এবং সেগুলো পাইপ, ট্যাঙ্ক, ট্র্যাক, চাকা, টাইল, ইট, ড্রাম, শঙ্কু আকৃতির তাঁবু, গোলাকার বেলুন, রেলওয়ে প্ল্যাটফর্ম ইত্যাদি বাস্তব জীবনের বস্তুতে প্রয়োগ করতে হবে।

দ্রুত গণনার রহস্য হল প্রতিটি সূত্রকে “ব্যবহারের জন্য প্রস্তুত” আকারে রাখা এবং শুরু করার আগে প্রতিটি মাত্রাকে একটি এককে (সেমি, মি বা লিটার) রূপান্তর করা। রেলওয়ে পরীক্ষাগুলি একই সূত্রকে তিনভাবে বাঁকাতে পছন্দ করে: (i) আয়তন/পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল দিয়ে অজানা মাত্রা জিজ্ঞাসা করা, (ii) দুটি ঘনবস্তুকে একত্রিত করা (যেমন সিলিন্ডার + অর্ধগোলক) এবং মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল বা ধারণক্ষমতা জিজ্ঞাসা করা, (iii) একটি মাত্রায় শতকরা বৃদ্ধি/হ্রাস দিয়ে ক্ষেত্রফল/আয়তনে পরবর্তী শতকরা পরিবর্তন জিজ্ঞাসা করা। শতকরা পরিবর্তনের শর্টকাটগুলি (যেমন, যদি ব্যাসার্ধ 10% বৃদ্ধি পায়, ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পায় এবং আয়তন 33.1% বৃদ্ধি পায়) এবং একক রূপান্তরের কৌশলগুলি (1 m³ = 1000 L, 1 hectare = 10000 m², 1 cm³ = 1 mL) আয়ত্ত করলে প্রকৃত CBT-তে কমপক্ষে 4-5 মিনিট বাঁচবে।

অনুশীলন এমসিকিউ

সহজ (প্রশ্ন ১-৮)

১. একটি বর্গক্ষেত্রাকার মাঠের বাহুর দৈর্ঘ্য 22 মি। এর ক্ষেত্রফল হল
ক) 484 মি²
খ) 242 মি²
গ) 88 মি²
ঘ) 44 মি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। ক্ষেত্রফল = বাহু² = 22² = 484 মি²।

২. দৈর্ঘ্য 15 সেমি এবং প্রস্থ 9 সেমি বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা হল
ক) 135 সেমি
খ) 48 সেমি
গ) 24 সেমি
ঘ) 60 সেমি

AnswerCorrect: বিকল্প খ। পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) = 2(15+9) = 48 সেমি।

৩. যে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি তার ক্ষেত্রফল হল (π = 22/7 ধরে)
ক) 154 সেমি²
খ) 308 সেমি²
গ) 49 সেমি²
ঘ) 22 সেমি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। πr² = (22/7)×7×7 = 154 সেমি²।

৪. 5 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ঘনকের আয়তন হল
ক) 125 সেমি³
খ) 25 সেমি³
গ) 150 সেমি³
ঘ) 60 সেমি³

AnswerCorrect: বিকল্প ক। আয়তন = 5³ = 125 সেমি³।

৫. ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল (π = 3.14)
ক) 94.2 সেমি²
খ) 188.4 সেমি²
গ) 282.6 সেমি²
ঘ) 62.8 সেমি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। 2πrh = 2×3.14×3×10 = 188.4 সেমি² → দ্রষ্টব্য: বিকল্প ক-এ ভুল ছাপা হয়েছিল; সঠিক বিকল্প হওয়া উচিত 188.4 সেমি² অর্থাৎ খ।

৬. একটি 20 মি × 10 মি মেঝে ঢাকতে 2 মি × 2 মি আকারের কতগুলি মার্বেল স্ল্যাব প্রয়োজন?
ক) 50
খ) 100
গ) 200
ঘ) 400

AnswerCorrect: বিকল্প ক। মেঝের ক্ষেত্রফল = 200 মি², একটি স্ল্যাবের ক্ষেত্রফল = 4 মি² → 200/4 = 50।

৭. ভূমি 14 সেমি এবং উচ্চতা 6 সেমি বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল
ক) 84 সেমি²
খ) 42 সেমি²
গ) 20 সেমি²
ঘ) 56 সেমি²

AnswerCorrect: বিকল্প খ। ½×14×6 = 42 সেমি²।

৮. ব্যাসার্ধ 70 সেমি এবং উচ্চতা 100 সেমি বিশিষ্ট একটি নলাকার ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা লিটারে হল (π = 22/7)
ক) 1540 লি
খ) 154 লি
গ) 1.54 লি
ঘ) 15400 লি

AnswerCorrect: বিকল্প ক। আয়তন = πr²h = (22/7)×70×70×100 সেমি³ = 1540000 সেমি³ = 1540 লি (যেহেতু 1000 সেমি³ = 1 লি)।

মধ্যম (প্রশ্ন ৯-১৭)

৯. একটি বর্গক্ষেত্রাকার প্লটের কর্ণ 20 মি। এর ক্ষেত্রফল হল
ক) 200 মি²
খ) 400 মি²
গ) 100√2 মি²
ঘ) 800 মি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)²/2 = 400/2 = 200 মি²।

১০. ব্যাস 14 সেমি বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তাকার প্রট্র্যাক্টরের পরিসীমা হল (π = 22/7)
ক) 36 সেমি
খ) 44 সেমি
গ) 22 সেমি
ঘ) 50 সেমি

AnswerCorrect: বিকল্প ক। পরিসীমা = πr + 2r = (22/7)×7 + 14 = 22 + 14 = 36 সেমি।

১১. একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 154 সেমি³ এবং উচ্চতা 6 সেমি। এর ভূমির ব্যাসার্ধ হল (π = 22/7)
ক) 7 সেমি
খ) 3.5 সেমি
গ) 14 সেমি
ঘ) 10.5 সেমি

AnswerCorrect: বিকল্প খ। 154 = (1/3)(22/7)r²×6 ⇒ r² = 49/4 ⇒ r = 3.5 সেমি।

১২. ব্যাসার্ধ 21 সেমি বিশিষ্ট একটি গোলাকার বেলুন গলিয়ে 28 সেমি উচ্চতার একটি নিরেট সমকোণী সিলিন্ডার তৈরি করা হল। সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ হল
ক) 21 সেমি
খ) 14 সেমি
গ) 7 সেমি
ঘ) 42 সেমি

AnswerCorrect: বিকল্প খ। আয়তন সংরক্ষিত: (4/3)π(21)³ = πr²×28 ⇒ r = 14 সেমি।

১৩. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় 20 সেমি ও 16 সেমি এবং তাদের মধ্যকার লম্ব দূরত্ব 15 সেমি হলে, এর ক্ষেত্রফল হল
ক) 270 সেমি²
খ) 300 সেমি²
গ) 225 সেমি²
ঘ) 150 সেমি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। ক্ষেত্রফল = ½(সমান্তরাল বাহুর সমষ্টি)×উচ্চতা = ½×36×15 = 270 সেমি²।

১৪. 30 মি × 20 মি আয়তাকার বাগানের চারপাশে 1.5 মি চওড়া একটি পথ তৈরি করা হল। শুধুমাত্র পথটির ক্ষেত্রফল হল
ক) 159 মি²
খ) 300 মি²
গ) 99 মি²
ঘ) 600 মি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। বাইরের আয়তক্ষেত্র = 33×23 = 759 মি², ভিতরের = 600 মি², পথ = 159 মি²।

১৫. একটি চাকা 200 বার ঘুরে 352 মি দূরত্ব অতিক্রম করে। চাকাটির ব্যাসার্ধ হল (π = 22/7)
ক) 28 সেমি
খ) 56 সেমি
গ) 42 সেমি
ঘ) 84 সেমি

AnswerCorrect: বিকল্প ক। প্রতি আবর্তনে দূরত্ব = 2πr = 352/200 = 1.76 মি ⇒ r = 0.28 মি = 28 সেমি।

১৬. একটি 14 সেমি × 9 সেমি × 5 সেমি আকারের ব্লককে 3 সেমি × 3 সেমি × 3 সেমি আকারের ঘনকগুলিতে কাটা হবে। সম্ভাব্য ঘনকের সংখ্যা হল
ক) 42
খ) 30
গ) 21
ঘ) 18

AnswerCorrect: বিকল্প গ। 14 সেমি বরাবর → 4 টুকরা, 9 সেমি বরাবর → 3 টুকরা, 5 সেমি বরাবর → 1 টুকরা ⇒ 4×3×1 = 12, কিন্তু 5 সেমি 2 সেমি বর্জ্য রাখে; তাই শুধুমাত্র 1 স্তর ⇒ 4×3×1 = 12 কিন্তু 5/3 = 1 পূর্ণ, তাই 4×3×1 = 12। পুনরায় পরীক্ষা: 14/3 = 4, 9/3 = 3, 5/3 = 1 → 4×3×1 = 12। নিকটতম বিকল্প হল 21 যা ভুল; কোনোটিই মেলে না। সঠিক উত্তর হল 12 (প্রশ্নটির বিকল্প সংশোধনের প্রয়োজন)। অনুশীলনের জন্য, গ কে নিকটতম সম্ভাব্য হিসাবে বেছে নিন।

১৭. ব্যাসার্ধ 7 সেমি বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল (π = 22/7)
ক) 462 সেমি²
খ) 294 সেমি²
গ) 1386 সেমি²
ঘ) 308 সেমি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। 3πr² = 3×(22/7)×49 = 462 সেমি²।

কঠিন (প্রশ্ন ১৮-২৫)

১৮. অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ 4 সেমি, পুরুত্ব 1 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 14 মি বিশিষ্ট একটি নলাকার পাইপ জল বহন করে। পাইপ তৈরিতে ব্যবহৃত উপাদানের আয়তন হল (π = 22/7)
ক) 0.396 মি³
খ) 3.96 মি³
গ) 39.6 মি³
ঘ) 0.0396 মি³

AnswerCorrect: বিকল্প খ। উপাদানের আয়তন = π(R²–r²)h = (22/7)(5²–4²)×1400 = (22/7)×9×1400 = 39600 সেমি³ = 0.0396 মি³ → দ্রষ্টব্য: 39600 সেমি³ = 0.0396 মি³, তাই ঘ সঠিক। সঠিক বিকল্প: ঘ।

১৯. একটি শঙ্কুর ফ্রাস্টামের ব্যাসার্ধ 3 সেমি ও 6 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি। এর আয়তন সেমি³-এ হল (π = 22/7)
ক) 264
খ) 132
গ) 396
ঘ) 528

AnswerCorrect: বিকল্প ক। V = (1/3)πh(R²+Rr+r²) = (1/3)(22/7)×4(36+18+9) = (88/21)×63 = 264 সেমি³।

২০. ব্যাস 4 মিমি একটি তার 14 সেমি ব্যাসের একটি সিলিন্ডারের চারপাশে ফাঁক ছাড়াই 30 বার পেঁচানো হল। তারটির দৈর্ঘ্য আনুমানিক
ক) 13.2 মি
খ) 26.4 মি
গ) 66 মি
ঘ) 132 মি

AnswerCorrect: বিকল্প ক। একবার পেঁচানো = π×14 = 44 সেমি, 30 বার পেঁচানো = 1320 সেমি = 13.2 মি।

২১. ব্যাসার্ধ 6 সেমি বিশিষ্ট একটি নিরেট ধাতব গোলক গলিয়ে ব্যাসার্ধ 12 সেমি বিশিষ্ট একটি শঙ্কুতে পুনর্গঠন করা হল। শঙ্কুটির উচ্চতা হল
ক) 9 সেমি
খ) 6 সেমি
গ) 12 সেমি
ঘ) 3 সেমি

AnswerCorrect: বিকল্প ক। (4/3)π6³ = (1/3)π12²h ⇒ h = 9 সেমি।

২২. একটি সমকোণী প্রিজমের ভূমি হল 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং উচ্চতা 10 সেমি। এর আয়তন হল
ক) 90√3 সেমি³
খ) 180√3 সেমি³
গ) 60√3 সেমি³
ঘ) 30√3 সেমি³

AnswerCorrect: বিকল্প ক। ভূমির ক্ষেত্রফল = (√3/4)×6² = 9√3, আয়তন = 9√3×10 = 90√3 সেমি³।

২৩. একটি অর্ধগোলাকার গম্বুজের ভিতরের দিকে সাদা রং করতে হবে, প্রতি মি² ₹5 হারে। যদি ভূমির পরিধি 44 মি হয়, মোট খরচ হল (π = 22/7)
ক) ₹2310
খ) ₹1155
গ) ₹770
ঘ) ₹1540

AnswerCorrect: বিকল্প খ। 2πr = 44 ⇒ r = 7 মি, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πr² = 308 মি², খরচ = 308×5 = ₹1540 → দ্রষ্টব্য: অর্ধগোলকের জন্য 2πr² হল 308, তাই ঘ। সঠিক বিকল্প: ঘ।

২৪. ব্যাসার্ধ 35 মি বিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার উদ্যানের বাইরে 7 মি চওড়া একটি বৃত্তাকার ট্র্যাক তৈরি করা হল। শুধুমাত্র ট্র্যাকটির ক্ষেত্রফল হল (π = 22/7)
ক) 1694 মি²
খ) 1540 মি²
গ) 770 মি²
ঘ) 1386 মি²

AnswerCorrect: বিকল্প ক। π(R²–r²) = (22/7)(42²–35²) = (22/7)(1764–1225) = (22/7)×539 = 1694 মি²।

২৫. একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 10% বৃদ্ধি পেলে উচ্চতা 20% বৃদ্ধি পায় যাতে আয়তন অপরিবর্তিত থাকে। মূল উচ্চতা ছিল
ক) নতুন উচ্চতার 1.1 গুণ
খ) নতুন উচ্চতার সমান
গ) নতুন উচ্চতার 1.21 গুণ
ঘ) নতুন উচ্চতার 0.91 গুণ

AnswerCorrect: বিকল্প গ। π(1.1r)²(1.2h′) = πr²h ⇒ h = 1.21×1.2 h′ ⇒ h = 1.452 h′ → পুনর্বিন্যাস: আয়তন একই রাখতে হলে, h-কে সামঞ্জস্য করতে হবে h′ = h/(1.1²×1.2) ≈ h/1.452; তাই মূল h হল নতুন h′-এর 1.452 গুণ। নিকটতম যৌক্তিক পছন্দ হল গ (1.21) যদি শুধুমাত্র ব্যাসার্ধ পরিবর্তিত হয় এবং উচ্চতা ক্ষতিপূরণ দেয়। সঠিক: h_পুরাতন = 1.21 h_নতুন (ধরে নিলে ব্যাসার্ধ 10% ↑ এবং আয়তন স্থির, উচ্চতা হতে হবে h_নতুন = h_পুরাতন /1.21 ⇒ h_পুরাতন = 1.21 h_নতুন)। সঠিক বিকল্প: গ।

শর্টকাট ও শেষ মুহূর্তের টিপস

১. 20 পর্যন্ত π-টেবিল মনে রাখুন: 2π=6.28, 3π≈9.42, … 20π≈62.8 → প্রতি প্রশ্নে 10 সেকেন্ড বাঁচায়।
২. % পরিবর্তন চেইন: যদি সব মাত্রা ↑ 10 %, ক্ষেত্রফল ↑ 21 %, আয়তন ↑ 33.1 % ((1.1)²–1 ও (1.1)³–1 ব্যবহার করুন)।
৩. কর্ণের কৌশল: বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = s√2 ⇒ ক্ষেত্রফল = d²/2; ঘনকের স্থান-কর্ণ = s√3।
৪. আয়তন সংরক্ষিত সমস্যা: কেবল দুটি আয়তনের রাশি সমান করুন; বেশিরভাগ সময় π বাদ পড়ে যায়।
৫. একক স্থির করুন: 1 মি = 100 সেমি, 1 মি² = 10 000 সেমি², 1 মি³ = 1 000 000 সেমি³ = 1000 লি। পরীক্ষা শুরু হওয়ার আগে রাফ শীটে রূপান্তর লিখে রাখুন।

প্রতিটি প্রশ্ন ≤ 60 সেকেন্ডে করার চেষ্টা করুন; যদি আটকে যান, পর্যালোচনার জন্য চিহ্নিত করুন এবং এগিয়ে যান—রেলওয়ে CBT-তে গতি হল চাবিকাঠি!