11.1 వృత్తపు సెక్టార్ మరియు సెగ్మెంట్ యొక్క వైశాల్యాలు

మీరు ఇప్పటికే మీ మునుపటి తరగతులలో వృత్తపు సెక్టార్ మరియు సెగ్మెంట్ అనే పదాలను చూశారు. రెండు వ్యాసార్ధాలు మరియు సంబంధిత చాపం ద్వారా చుట్టబడిన వృత్తాకార ప్రాంతం యొక్క భాగాన్ని (లేదా భాగం) వృత్తం యొక్క సెక్టార్ అని మరియు జ్యా మరియు సంబంధిత చాపం మధ్య చుట్టబడిన వృత్తాకార ప్రాంతం యొక్క భాగాన్ని (లేదా భాగం) వృత్తం యొక్క సెగ్మెంట్ అని గుర్తుచేసుకోండి. అందువల్ల, Fig. 11.1లో, నీడ పడిన ప్రాంతం OAPB కేంద్రం $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ గల వృత్తం యొక్క ఒక సెక్టార్. దీనిని సెక్టార్ యొక్క కోణం అంటారు. ఈ పటంలో, నీడ పడని ప్రాంతం OAQB కూడా వృత్తం యొక్క ఒక సెక్టార్ అని గమనించండి. స్పష్టమైన కారణాల వల్ల, OAPB ను మైనర్ సెక్టార్ అని మరియు $\mathrm{OAQB}$ ను మేజర్ సెక్టార్ అని అంటారు. మేజర్ సెక్టార్ యొక్క కోణం $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ అని కూడా మీరు చూడవచ్చు.

Fig. 11.1

ఇప్పుడు, Fig. 11.2ని చూడండి, దీనిలో AB కేంద్రం $\mathrm{O}$ గల వృత్తం యొక్క ఒక జ్యా. కాబట్టి, నీడ పడిన ప్రాంతం APB వృత్తం యొక్క ఒక సెగ్మెంట్. జ్యా AB ద్వారా ఏర్పడిన నీడ పడని ప్రాంతం $\mathrm{AQB}$ కూడా వృత్తం యొక్క మరొక సెగ్మెంట్ అని కూడా మీరు గమనించవచ్చు. స్పష్టమైన కారణాల వల్ల, APB ను మైనర్ సెగ్మెంట్ అని మరియు AQB ను మేజర్ సెగ్మెంట్ అని అంటారు.

Fig. 11.2

గమనిక : మనం ‘సెగ్మెంట్’ మరియు ‘సెక్టార్’ అని వ్రాసినప్పుడు, అన్యథా పేర్కొనకపోతే, ‘మైనర్ సెగ్మెంట్’ మరియు ‘మైనర్ సెక్టార్’ అనే అర్థాల్లోనే తీసుకుంటాం.

ఇప్పుడు ఈ జ్ఞానంతో, వాటి వైశాల్యాలను లెక్కించడానికి కొన్ని సంబంధాలు (లేదా సూత్రాలు) కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

OAPB కేంద్రం $\mathrm{O}$ మరియు వ్యాసార్ధం $r$ గల వృత్తం యొక్క ఒక సెక్టార్ అగును (Fig. 11.3 చూడండి). $\angle \mathrm{AOB}$ యొక్క డిగ్రీ కొలత $\theta$ అగును.

Fig. 11.3

వృత్తం యొక్క వైశాల్యం (వాస్తవానికి వృత్తాకార ప్రాంతం లేదా డిస్క్) $\pi r^{2}$ అని మీకు తెలుసు.

ఒక విధంగా, ఈ వృత్తాకార ప్రాంతాన్ని కేంద్రం O వద్ద $360^{\circ}$ (అంటే, 360 డిగ్రీ కొలత) కోణాన్ని ఏర్పరిచే సెక్టార్గా పరిగణించవచ్చు. ఇప్పుడు ఏకరీతి పద్ధతిని (Unitary Method) వర్తింపజేయడం ద్వారా, మనం సెక్టార్ OAPB యొక్క వైశాల్యాన్ని క్రింది విధంగా పొందవచ్చు:

కేంద్రం వద్ద కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత 360 అయినప్పుడు, సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం $=\pi r^{2}$

కాబట్టి, కేంద్రం వద్ద కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత 1 అయినప్పుడు, సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$.

అందువల్ల, కేంద్రం వద్ద కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత $\theta$ అయినప్పుడు, సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$.

ఈ విధంగా, వృత్తం యొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం కోసం మనం క్రింది సంబంధాన్ని (లేదా సూత్రాన్ని) పొందుతాము:

కోణం $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ గల సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం

ఇక్కడ $r$ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్ధం మరియు $\theta$ సెక్టార్ యొక్క కోణం డిగ్రీలలో.

ఇప్పుడు, ఒక సహజ ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఈ సెక్టార్కు సంబంధించిన చాపం APB యొక్క పొడవును మనం కనుగొనగలమా? అవును. మళ్ళీ, ఏకరీతి పద్ధతిని వర్తింపజేసి, వృత్తం యొక్క మొత్తం పొడవును (కోణం $360^{\circ}$) $2 \pi r$గా తీసుకోవడం ద్వారా, చాపం APB యొక్క అవసరమైన పొడవును $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$గా పొందవచ్చు.

కాబట్టి, కోణం $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ గల సెక్టార్ యొక్క ఒక చాపం యొక్క పొడవు.

Fig. 11.4

ఇప్పుడు కేంద్రం $\mathrm{O}$ మరియు వ్యాసార్ధం $r$ గల వృత్తం యొక్క సెగ్మెంట్ APB యొక్క వైశాల్యం విషయాన్ని తీసుకుందాం (Fig. 11.4 చూడండి). మీరు చూడగలరు:

సెగ్మెంట్ యొక్క వైశాల్యం $\mathrm{APB}=$ సెక్టార్ $\mathrm{OAPB}-$ యొక్క వైశాల్యం $\triangle \mathrm{OAB}$ యొక్క వైశాల్యం

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

గమనిక : Fig. 11.3 మరియు Fig. 11.4 నుండి వరుసగా, మీరు గమనించవచ్చు:

మేజర్ సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ మైనర్ సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం $\mathrm{OAPB}$

మరియు

మేజర్ సెగ్మెంట్ యొక్క వైశాల్యం $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - మైనర్ సెగ్మెంట్ APB యొక్క వైశాల్యం

ఇప్పుడు ఈ భావనలను (లేదా ఫలితాలను) అర్థం చేసుకోవడానికి కొన్ని ఉదాహరణలను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 1 : వ్యాసార్ధం $4 \mathrm{~cm}$ మరియు కోణం $30^{\circ}$ గల వృత్తం యొక్క సెక్టార్ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. అలాగే, సంబంధిత మేజర్ సెక్టార్ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి ($\pi=3.14$ ఉపయోగించండి).

సాధన : ఇచ్చిన సెక్టార్ OAPB (Fig. 11.5 చూడండి).

Fig. 11.5

సెక్టార్ యొక్క వైశాల్యం $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

సంబంధిత మేజర్ సెక్టార్ వైశాల్యం

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

లేదా, మేజర్ సెక్టార్ వైశాల్యం $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 2 : వృత్త వ్యాసార్ధం $21 \mathrm{~cm}$ మరియు $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ అయితే, Fig. 11.6లో చూపబడిన సెగ్మెంట్ AYB యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ఉపయోగించండి)

Fig. 11.6

సాధన : సెగ్మెంట్ AYB యొక్క వైశాల్యం

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, Fig. 11.7లో చూపినట్లుగా $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ గీయండి.

Fig. 11.7

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ అని గమనించండి. కాబట్టి, RHS సర్వసమానత ద్వారా, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$.

కాబట్టి, $\mathrm{M}$ $\mathrm{AB}$ మరియు $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$ యొక్క మధ్య బిందువు.

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

కాబట్టి, $\Delta$ OMA నుండి, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

కాబట్టి, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

అందువల్ల, సెగ్మెంట్ AYB యొక్క వైశాల్యం $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(1), (2) మరియు (3) నుండి]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 సారాంశం

ఈ అధ్యాయంలో, మీరు క్రింది అంశాలను అధ్యయనం చేశారు:

1. వ్యాసార్ధం $r$ మరియు డిగ్రీ కొలత $\theta$ గల కోణం ఉన్న వృత్తం యొక్క సెక్టార్ యొక్క ఒక చాపం పొడవు $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$.

2. వ్యాసార్ధం $r$ మరియు డిగ్రీ కొలత $\theta$ గల కోణం ఉన్న వృత్తం యొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$.

3. వృత్తం యొక్క సెగ్మెంట్ వైశాల్యం $=$ సంబంధిత సెక్టార్ వైశాల్యం - సంబంధిత త్రిభుజం వైశాల్యం.