11.1 વર્તુળના વૃત્તકલા અને વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ

તમે તમારી પહેલાની ધોરણોમાં વર્તુળના વૃત્તકલા અને વૃત્તખંડના શબ્દો સાથે પહેલેથી જ પરિચિત છો. યાદ કરો કે, બે ત્રિજ્યાઓ અને તેને અનુરૂપ ચાપ વડે ઘેરાયેલા વર્તુળાકાર પ્રદેશના ભાગ (અથવા ભાગ)ને વર્તુળનો વૃત્તકલા કહેવાય છે અને જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વડે ઘેરાયેલા વર્તુળાકાર પ્રદેશના ભાગ (અથવા ભાગ)ને વર્તુળનો વૃત્તખંડ કહેવાય છે. આમ, આકૃતિ 11.1 માં, છાયાંકિત પ્રદેશ OAPB કેન્દ્ર $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ ધરાવતા વર્તુળનો વૃત્તકલા છે. તેને વૃત્તકલાનો કોણ કહેવાય છે. નોંધ લો કે આ આકૃતિમાં, અછાયાંકિત પ્રદેશ OAQB પણ વર્તુળનો વૃત્તકલા છે. સ્પષ્ટ કારણોસર, OAPB ને લઘુ વૃત્તકલા કહેવાય છે અને $\mathrm{OAQB}$ ને ગુરુ વૃત્તકલા કહેવાય છે. તમે એ પણ જોઈ શકો છો કે ગુરુ વૃત્તકલાનો કોણ $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ છે.

આકૃતિ 11.1

હવે, આકૃતિ 11.2 તરફ જુઓ જેમાં AB એ કેન્દ્ર $\mathrm{O}$ ધરાવતા વર્તુળની જીવા છે. તેથી, છાયાંકિત પ્રદેશ APB એ વર્તુળનો વૃત્તખંડ છે. તમે એ પણ નોંધ શકો છો કે અછાયાંકિત પ્રદેશ $\mathrm{AQB}$ એ જીવા AB દ્વારા રચાયેલો વર્તુળનો બીજો વૃત્તખંડ છે. સ્પષ્ટ કારણોસર, APB ને લઘુ વૃત્તખંડ અને AQB ને ગુરુ વૃત્તખંડ કહેવાય છે.

આકૃતિ 11.2

ટિપ્પણી : જ્યારે આપણે ‘વૃત્તખંડ’ અને ‘વૃત્તકલા’ લખીએ છીએ, ત્યારે જો અન્યથા ન કહેવામાં આવે ત્યાં સુધી, આપણો અર્થ અનુક્રમે ‘લઘુ વૃત્તખંડ’ અને ‘લઘુ વૃત્તકલા’ થશે.

હવે આ જ્ઞાન સાથે, ચાલો તેમના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે કેટલાક સંબંધો (અથવા સૂત્રો) શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ.

OAPB એ કેન્દ્ર $\mathrm{O}$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનો વૃત્તકલા થવા દો (જુઓ આકૃતિ 11.3). $\angle \mathrm{AOB}$ નું અંશ માપ $\theta$ થવા દો.

આકૃતિ 11.3

તમે જાણો છો કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ (વાસ્તવમાં વર્તુળાકાર પ્રદેશ અથવા ડિસ્કનું) $\pi r^{2}$ છે.

એક રીતે, આપણે આ વર્તુળાકાર પ્રદેશને કેન્દ્ર O પર $360^{\circ}$ (એટલે કે, 360 અંશના માપનો) કોણ બનાવતો વૃત્તકલા ગણી શકીએ છીએ. હવે એકમ પદ્ધતિ લાગુ કરીને, આપણે વૃત્તકલા OAPB નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મેળવી શકીએ છીએ:

જ્યારે કેન્દ્ર પરના કોણનું અંશ માપ 360 હોય, ત્યારે વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $=\pi r^{2}$

તેથી, જ્યારે કેન્દ્ર પરના કોણનું અંશ માપ 1 હોય, ત્યારે વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$.

પરિણામે, જ્યારે કેન્દ્ર પરના કોણનું અંશ માપ $\theta$ હોય, ત્યારે વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$.

આમ, આપણે વર્તુળના વૃત્તકલાના ક્ષેત્રફળ માટે નીચેનો સંબંધ (અથવા સૂત્ર) મેળવીએ છીએ:

કોણ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ ના વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ

જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ અંશમાં વૃત્તકલાનો કોણ છે.

હવે, એક કુદરતી પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું આપણે આ વૃત્તકલાને અનુરૂપ ચાપ APB ની લંબાઈ શોધી શકીએ છીએ? હા. ફરીથી, એકમ પદ્ધતિ લાગુ કરીને અને વર્તુળની સંપૂર્ણ લંબાઈ (કોણ $360^{\circ}$ ની) $2 \pi r$ તરીકે લઈને, આપણે ચાપ APB ની જરૂરી લંબાઈ $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ તરીકે મેળવી શકીએ છીએ.

તેથી, કોણ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ના વૃત્તકલાની ચાપની લંબાઈ.

આકૃતિ 11.4

હવે ચાલો કેન્દ્ર $\mathrm{O}$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળના વૃત્તખંડ APB ના ક્ષેત્રફળનો કેસ લઈએ (જુઓ આકૃતિ 11.4). તમે જોઈ શકો છો કે:

વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{APB}=$ વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ નું ક્ષેત્રફળ

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

નોંધ : અનુક્રમે આકૃતિ 11.3 અને આકૃતિ 11.4 માંથી, તમે નિરીક્ષણ કરી શકો છો કે:

ગુરુ વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ લઘુ વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{OAPB}$

અને

ગુરુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - લઘુ વૃત્તખંડ APB નું ક્ષેત્રફળ

ચાલો હવે આ ખ્યાલો (અથવા પરિણામો) સમજવા માટે કેટલાક ઉદાહરણો લઈએ.

ઉદાહરણ 1 : ત્રિજ્યા $4 \mathrm{~cm}$ અને કોણ $30^{\circ}$ ધરાવતા વર્તુળના વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ શોધો. સાથે જ, અનુરૂપ ગુરુ વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ શોધો ($\pi=3.14$ નો ઉપયોગ કરો).

ઉકેલ : આપેલ વૃત્તકલા OAPB છે (જુઓ આકૃતિ 11.5).

આકૃતિ 11.5

વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

અનુરૂપ ગુરુ વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

વૈકલ્પિક રીતે, ગુરુ વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 2 : આકૃતિ 11.6 માં દર્શાવેલ વૃત્તખંડ AYB નું ક્ષેત્રફળ શોધો, જો વર્તુળની ત્રિજ્યા $21 \mathrm{~cm}$ હોય અને $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ હોય. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ નો ઉપયોગ કરો)

આકૃતિ 11.6

ઉકેલ : વૃત્તખંડ AYB નું ક્ષેત્રફળ

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ દોરો જેમ કે આકૃતિ 11.7 માં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિ 11.7

નોંધ લો કે $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$. તેથી, RHS સરવૈયાથી, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$.

તેથી, $\mathrm{M}$ એ $\mathrm{AB}$ અને $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$ નો મધ્યબિંદુ છે.

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

તેથી, $\Delta$ OMA માંથી, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

તેથી, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

પરિણામે, વૃત્તખંડ AYB નું ક્ષેત્રફળ $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(1), (2) અને (3) માંથી]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 સારાંશ

આ પ્રકરણમાં, તમે નીચેના મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કર્યો છે:

1. ત્રિજ્યા $r$ અને અંશ માપ $\theta$ ધરાવતા વર્તુળના વૃત્તકલાની ચાપની લંબાઈ $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ છે.

2. ત્રિજ્યા $r$ અને અંશ માપ $\theta$ ધરાવતા વર્તુળના વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ છે.

3. વર્તુળના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $=$ અનુરૂપ વૃત્તકલાનું ક્ષેત્રફળ - અનુરૂપ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.