११.१ वर्तुळाच्या क्षेत्रक आणि विभागाचे क्षेत्रफळ

तुम्ही आधीच्या वर्गांमध्ये वर्तुळाच्या क्षेत्रक आणि विभाग या संज्ञांना भेटला आहात. आठवा की, दोन त्रिज्या आणि संबंधित कंस यांनी बंदिस्त केलेल्या वर्तुळाकार प्रदेशाच्या भागाला वर्तुळाचा क्षेत्रक म्हणतात आणि जीवा आणि संबंधित कंस यांच्यामध्ये बंदिस्त केलेल्या वर्तुळाकार प्रदेशाच्या भागाला वर्तुळाचा विभाग म्हणतात. अशाप्रकारे, आकृती ११.१ मध्ये, छायांकित प्रदेश OAPB हा केंद्र $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ असलेल्या वर्तुळाचा क्षेत्रक आहे. याला क्षेत्रकाचा कोन म्हणतात. लक्षात घ्या की या आकृतीमध्ये, अछायांकित प्रदेश OAQB हाही वर्तुळाचा एक क्षेत्रक आहे. स्पष्ट कारणांसाठी, OAPB ला लघु क्षेत्रक आणि $\mathrm{OAQB}$ ला महाक्षेत्रक म्हणतात. तुम्ही हे देखील पाहू शकता की महाक्षेत्रकाचा कोन $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ आहे.

आकृती ११.१

आता, आकृती ११.२ कडे पहा ज्यामध्ये AB ही केंद्र $\mathrm{O}$ असलेल्या वर्तुळाची जीवा आहे. म्हणून, छायांकित प्रदेश APB हा वर्तुळाचा एक विभाग आहे. तुम्ही हे देखील लक्षात घ्या की अछायांकित प्रदेश $\mathrm{AQB}$ हा जीवा AB ने तयार झालेला वर्तुळाचा आणखी एक विभाग आहे. स्पष्ट कारणांसाठी, APB ला लघु विभाग आणि AQB ला महाविभाग म्हणतात.

आकृती ११.२

टीप: जेव्हा आपण ‘विभाग’ आणि ‘क्षेत्रक’ लिहितो, तेव्हा अन्यथा नमूद केल्याशिवाय, आपण अनुक्रमे ‘लघु विभाग’ आणि ‘लघु क्षेत्रक’ याचाच अर्थ घेतो.

आता या ज्ञानासह, त्यांची क्षेत्रफळे काढण्यासाठी काही संबंध (किंवा सूत्रे) शोधण्याचा प्रयत्न करूया.

OAPB हा केंद्र $\mathrm{O}$ आणि त्रिज्या $r$ असलेल्या वर्तुळाचा एक क्षेत्रक आहे असे समजा (आकृती ११.३ पहा). $\angle \mathrm{AOB}$ चे अंशमाप $\theta$ आहे असे समजा.

आकृती ११.३

तुम्हाला माहित आहे की वर्तुळाचे क्षेत्रफळ (खरेतर वर्तुळाकार प्रदेश किंवा डिस्कचे) $\pi r^{2}$ आहे.

एका प्रकारे, आपण या वर्तुळाकार प्रदेशाला केंद्र O वर $360^{\circ}$ (म्हणजे ३६० अंशांचे) कोन तयार करणारा क्षेत्रक मानू शकतो. आता एकक पद्धत लागू करून, आपण खालीलप्रमाणे OAPB क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ काढू शकतो:

जेव्हा केंद्रस्थाच्या कोनाचे अंशमाप ३६० असेल, तेव्हा क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $=\pi r^{2}$

म्हणून, जेव्हा केंद्रस्थाच्या कोनाचे अंशमाप १ असेल, तेव्हा क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$.

म्हणून, जेव्हा केंद्रस्थाच्या कोनाचे अंशमाप $\theta$ असेल, तेव्हा क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$.

अशाप्रकारे, आपल्याला वर्तुळाच्या क्षेत्रकाच्या क्षेत्रफळासाठी खालील संबंध (किंवा सूत्र) मिळते:

कोन $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ असलेल्या क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ

जिथे $r$ ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे आणि $\theta$ हा क्षेत्रकाचा अंशांमधील कोन आहे.

आता, एक नैसर्गिक प्रश्न उद्भवतो: आपण या क्षेत्रकाशी संबंधित APB कंसाची लांबी काढू शकतो का? होय. पुन्हा, एकक पद्धत लागू करून आणि संपूर्ण वर्तुळाची लांबी ($360^{\circ}$ कोनाची) $2 \pi r$ म्हणून घेऊन, आपण APB कंसाची आवश्यक लांबी $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ म्हणून मिळवू शकतो.

म्हणून, कोन $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ असलेल्या क्षेत्रकाच्या कंसाची लांबी.

आकृती ११.४

आता केंद्र $\mathrm{O}$ आणि त्रिज्या $r$ असलेल्या वर्तुळाच्या APB विभागाचे क्षेत्रफळ घेऊया (आकृती ११.४ पहा). तुम्ही पाहू शकता की:

विभागाचे क्षेत्रफळ $\mathrm{APB}=$ क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ चे क्षेत्रफळ

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

सूचना: अनुक्रमे आकृती ११.३ आणि आकृती ११.४ वरून, तुम्ही पाहू शकता की:

महाक्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ लघु क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $\mathrm{OAPB}$

आणि

महाविभागाचे क्षेत्रफळ $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - लघु विभाग APB चे क्षेत्रफळ

आता या संकल्पना (किंवा निकाल) समजून घेण्यासाठी काही उदाहरणे घेऊ.

उदाहरण १: त्रिज्या $4 \mathrm{~cm}$ आणि कोन $30^{\circ}$ असलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ काढा. तसेच, संबंधित महाक्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ काढा ($\pi=3.14$ वापरा).

उकल: दिलेला क्षेत्रक OAPB आहे (आकृती ११.५ पहा).

आकृती ११.५

क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

संबंधित महाक्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

किंवा, महाक्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

उदाहरण २: आकृती ११.६ मध्ये दाखवलेल्या AYB विभागाचे क्षेत्रफळ काढा, जर वर्तुळाची त्रिज्या $21 \mathrm{~cm}$ असेल आणि $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ असेल. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ वापरा)

आकृती ११.६

उकल: AYB विभागाचे क्षेत्रफळ

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ चे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ काढा जसे आकृती ११.७ मध्ये दाखवले आहे.

आकृती ११.७

लक्षात घ्या की $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$. म्हणून, काटकोन-कर्ण-बाजू सर्वांगसमतेनुसार, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$.

म्हणून, $\mathrm{M}$ हा $\mathrm{AB}$ आणि $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$ चा मध्यबिंदू आहे.

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

म्हणून, $\Delta$ OMA मधून, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

म्हणून, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

म्हणून, AYB विभागाचे क्षेत्रफळ $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(१), (२) आणि (३) वरून]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

११.२ सारांश

या प्रकरणात, तुम्ही खालील मुद्द्यांचा अभ्यास केला आहे:

१. त्रिज्या $r$ आणि अंशमाप $\theta$ असलेल्या कोनाच्या वर्तुळाच्या क्षेत्रकाच्या कंसाची लांबी $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ आहे.

२. त्रिज्या $r$ आणि अंशमाप $\theta$ असलेल्या कोनाच्या वर्तुळाच्या क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ आहे.

३. वर्तुळाच्या विभागाचे क्षेत्रफळ $=$ संबंधित क्षेत्रकाचे क्षेत्रफळ - संबंधित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ.