১১.১ বৃত্তৰ বৃত্তকলা আৰু বৃত্তাংশৰ কালি

আপুনি ইতিমধ্যে আগৰ শ্ৰেণীসমূহত বৃত্তৰ বৃত্তকলা আৰু বৃত্তাংশৰ ধাৰণাৰ সৈতে পৰিচিত হৈছে। মনত পেলাওক যে, দুটা ব্যাসাৰ্ধ আৰু সংশ্লিষ্ট চাপৰ দ্বাৰা আবদ্ধ বৃত্তাকাৰ অঞ্চলৰ অংশক বৃত্তৰ বৃত্তকলা বোলে আৰু এখন জ্যা আৰু সংশ্লিষ্ট চাপৰ মাজত আবদ্ধ বৃত্তাকাৰ অঞ্চলৰ অংশক বৃত্তৰ বৃত্তাংশ বোলে। গতিকে, চিত্ৰ ১১.১-ত, ছায়াবৃত্ত অঞ্চল OAPB হৈছে কেন্দ্ৰ $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ থকা বৃত্তৰ এটা বৃত্তকলা। ইয়াক বৃত্তকলাৰ কোণ বুলি কোৱা হয়। মন কৰক যে এই চিত্ৰত, অসচ্ছায়াবৃত্ত অঞ্চল OAQB-ও বৃত্তৰ এটা বৃত্তকলা। স্পষ্ট কাৰণত, OAPB-ক লঘু বৃত্তকলা আৰু $\mathrm{OAQB}$-ক গুৰু বৃত্তকলা বুলি কোৱা হয়। আপুনি ইয়াও দেখিব পাৰে যে গুৰু বৃত্তকলাৰ কোণ হৈছে $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$।

চিত্ৰ ১১.১

এতিয়া, চিত্ৰ ১১.২-লৈ চাওক য’ত AB হৈছে কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ থকা বৃত্তৰ এখন জ্যা। গতিকে, ছায়াবৃত্ত অঞ্চল APB হৈছে বৃত্তৰ এটা বৃত্তাংশ। আপুনি ইয়াও লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে অসচ্ছায়াবৃত্ত অঞ্চল $\mathrm{AQB}$ হৈছে জ্যা AB-ৰ দ্বাৰা গঠিত বৃত্তৰ আন এটা বৃত্তাংশ। স্পষ্ট কাৰণত, APB-ক লঘু বৃত্তাংশ আৰু AQB-ক গুৰু বৃত্তাংশ বুলি কোৱা হয়।

চিত্ৰ ১১.২

টোকা : যেতিয়া আমি ‘বৃত্তাংশ’ আৰু ‘বৃত্তকলা’ শব্দ ব্যৱহাৰ কৰো, তেতিয়া আমি ক্ৰমে ‘লঘু বৃত্তাংশ’ আৰু ‘লঘু বৃত্তকলা’কে বুজাম, যদি আনকৈ উল্লেখ নাথাকে।

এতিয়া, এই জ্ঞানৰে আমি সেইবোৰৰ কালি গণনা কৰিবলৈ কিছুমান সম্বন্ধ (বা সূত্ৰ) বিচাৰিবলৈ চেষ্টা কৰোঁ।

ধৰা হওক OAPB হৈছে কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ $r$ থকা বৃত্তৰ এটা বৃত্তকলা (চিত্ৰ ১১.৩ চাওক)। ধৰা হওক $\angle \mathrm{AOB}$-ৰ ডিগ্ৰী মাপ $\theta$।

চিত্ৰ ১১.৩

আপুনি জানে যে বৃত্তৰ কালি (বৃত্তাকাৰ অঞ্চল বা ডিচ্কৰ) হৈছে $\pi r^{2}$।

এটা ধৰণে, আমি এই বৃত্তাকাৰ অঞ্চলটোক কেন্দ্ৰ O-ত $360^{\circ}$ (অৰ্থাৎ ৩৬০ ডিগ্ৰী মাপৰ) কোণ উৎপন্ন কৰা এটা বৃত্তকলা হিচাপে বিবেচনা কৰিব পাৰোঁ। এতিয়া একক পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি আমি বৃত্তকলা OAPB-ৰ কালি তলত দিয়া ধৰণে পাব পাৰোঁ:

কেন্দ্ৰত কোণৰ ডিগ্ৰী মাপ ৩৬০ হ’লে, বৃত্তকলাৰ কালি $=\pi r^{2}$

গতিকে, কেন্দ্ৰত কোণৰ ডিগ্ৰী মাপ ১ হ’লে, বৃত্তকলাৰ কালি $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$।

সেয়েহে, কেন্দ্ৰত কোণৰ ডিগ্ৰী মাপ $\theta$ হ’লে, বৃত্তকলাৰ কালি $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

এইদৰে, আমি বৃত্তৰ বৃত্তকলাৰ কালিৰ বাবে তলৰ সম্বন্ধ (বা সূত্ৰ) পোৱা:

কোণ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ৰ বৃত্তকলাৰ কালি

য’ত $r$ হৈছে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু $\theta$ হৈছে বৃত্তকলাৰ কোণ ডিগ্ৰীত।

এতিয়া, এটা স্বাভাৱিক প্ৰশ্ন ওঠে: আমি এই বৃত্তকলাৰ সংশ্লিষ্ট চাপ APB-ৰ দৈৰ্ঘ্য বিচাৰিব পাৰোনে? হয়। আকৌ, একক পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি আৰু বৃত্তৰ সম্পূৰ্ণ দৈৰ্ঘ্য (কোণ $360^{\circ}$ৰ) $2 \pi r$ হিচাপে লৈ, আমি চাপ APB-ৰ প্ৰয়োজনীয় দৈৰ্ঘ্য $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ হিচাপে পাব পাৰোঁ।

গতিকে, কোণ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ৰ বৃত্তকলাৰ চাপৰ দৈৰ্ঘ্য।

চিত্ৰ ১১.৪

এতিয়া কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ $r$ থকা বৃত্তৰ বৃত্তাংশ APB-ৰ কালিৰ ক্ষেত্ৰটো লওঁ আহক (চিত্ৰ ১১.৪ চাওক)। আপুনি দেখিব পাৰে যে:

বৃত্তাংশৰ কালি $\mathrm{APB}=$ বৃত্তকলাৰ কালি $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$-ৰ কালি

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

টোকা : চিত্ৰ ১১.৩ আৰু চিত্ৰ ১১.৪ৰ পৰা ক্ৰমে আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে:

গুৰু বৃত্তকলাৰ কালি $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ লঘু বৃত্তকলাৰ কালি $\mathrm{OAPB}$

আৰু

গুৰু বৃত্তাংশৰ কালি $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - লঘু বৃত্তাংশ APB-ৰ কালি

এতিয়া এই ধাৰণাবোৰ (বা ফলাফলবোৰ) বুজিবলৈ আমি কেইটামান উদাহৰণ লওঁ আহক।

উদাহৰণ ১ : ব্যাসাৰ্ধ $4 \mathrm{~cm}$ আৰু কোণ $30^{\circ}$ থকা বৃত্তৰ বৃত্তকলাটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। লগতে সংশ্লিষ্ট গুৰু বৃত্তকলাৰ কালিও নিৰ্ণয় কৰা ($\pi=3.14$ ব্যৱহাৰ কৰা)।

সমাধান : দিয়া বৃত্তকলাটো হৈছে OAPB (চিত্ৰ ১১.৫ চাওক)।

চিত্ৰ ১১.৫

বৃত্তকলাৰ কালি $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

সংশ্লিষ্ট গুৰু বৃত্তকলাৰ কালি

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

বা, গুৰু বৃত্তকলাৰ কালি $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

উদাহৰণ ২ : চিত্ৰ ১১.৬-ত দেখুওৱা বৃত্তাংশ AYB-ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা, যদি বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $21 \mathrm{~cm}$ আৰু $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ব্যৱহাৰ কৰা)

চিত্ৰ ১১.৬

সমাধান : বৃত্তাংশ AYB-ৰ কালি

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$-ৰ কালি বিচাৰিবলৈ, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ অংকন কৰা হৈছে যেনেকৈ চিত্ৰ ১১.৭-ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ১১.৭

মন কৰক যে $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$। গতিকে, RHS সৰ্বসমতাৰ দ্বাৰা, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$।

সেয়েহে, $\mathrm{M}$ হৈছে $\mathrm{AB}$ আৰু $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$-ৰ মধ্যবিন্দু।

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

গতিকে, $\Delta$ OMA-ৰ পৰা, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

সেয়েহে, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

গতিকে, বৃত্তাংশ AYB-ৰ কালি $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(১), (২) আৰু (৩)ৰ পৰা]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

১১.২ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত আপুনি তলৰ কথাবোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. ব্যাসাৰ্ধ $r$ আৰু ডিগ্ৰী মাপ $\theta$ৰ কোণ থকা বৃত্তৰ বৃত্তকলাৰ চাপৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$।

২. ব্যাসাৰ্ধ $r$ আৰু ডিগ্ৰী মাপ $\theta$ৰ কোণ থকা বৃত্তৰ বৃত্তকলাৰ কালি হৈছে $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

৩. বৃত্তৰ বৃত্তাংশৰ কালি $=$ সংশ্লিষ্ট বৃত্তকলাৰ কালি - সংশ্লিষ্ট ত্ৰিভুজৰ কালি।