11.1 वृत्त के त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल

आप अपने पिछली कक्षाओं में वृत्त के त्रिज्यखंड और वृत्तखंड शब्दों से पहले ही परिचित हो चुके हैं। याद कीजिए कि दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरे वृत्तीय क्षेत्र के भाग (या हिस्से) को वृत्त का त्रिज्यखंड कहते हैं और एक जीवा और संगत चाप के बीच घिरे वृत्तीय क्षेत्र के भाग (या हिस्से) को वृत्त का वृत्तखंड कहते हैं। इस प्रकार, चित्र 11.1 में, छायांकित क्षेत्र OAPB केंद्र $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है, को त्रिज्यखंड का कोण कहा जाता है। ध्यान दीजिए कि इस चित्र में, अछायांकित क्षेत्र OAQB भी वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। स्पष्ट कारणों से, OAPB को लघु त्रिज्यखंड और $\mathrm{OAQB}$ को दीर्घ त्रिज्यखंड कहा जाता है। आप यह भी देख सकते हैं कि दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ है।

चित्र 11.1

अब, चित्र 11.2 को देखिए जिसमें AB केंद्र $\mathrm{O}$ वाले वृत्त की एक जीवा है। इसलिए, छायांकित क्षेत्र APB वृत्त का एक वृत्तखंड है। आप यह भी नोट कर सकते हैं कि अछायांकित क्षेत्र $\mathrm{AQB}$ जीवा AB द्वारा निर्मित वृत्त का एक अन्य वृत्तखंड है। स्पष्ट कारणों से, APB को लघु वृत्तखंड और AQB को दीर्घ वृत्तखंड कहा जाता है।

चित्र 11.2

टिप्पणी: जब हम ‘वृत्तखंड’ और ‘त्रिज्यखंड’ लिखते हैं, तब तक अन्यथा न कहा जाए, हमारा तात्पर्य क्रमशः ‘लघु वृत्तखंड’ और ‘लघु त्रिज्यखंड’ से होगा।

अब इस ज्ञान के साथ, आइए उनके क्षेत्रफलों की गणना के लिए कुछ संबंध (या सूत्र) निकालने का प्रयास करते हैं।

मान लीजिए OAPB केंद्र $\mathrm{O}$ और त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त का त्रिज्यखंड है (चित्र 11.3 देखिए)। मान लीजिए $\angle \mathrm{AOB}$ की डिग्री माप $\theta$ है।

चित्र 11.3

आप जानते हैं कि एक वृत्त (वास्तव में एक वृत्तीय क्षेत्र या डिस्क) का क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ है।

एक तरह से, हम इस वृत्तीय क्षेत्र को केंद्र O पर $360^{\circ}$ (अर्थात 360 की डिग्री माप) का कोण बनाने वाला एक त्रिज्यखंड मान सकते हैं। अब एकांक विधि लागू करके, हम त्रिज्यखंड OAPB के क्षेत्रफल पर निम्नानुसार पहुँच सकते हैं:

जब केंद्र पर कोण की डिग्री माप 360 है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

इसलिए, जब केंद्र पर कोण की डिग्री माप 1 है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$।

अतः, जब केंद्र पर कोण की डिग्री माप $\theta$ है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

इस प्रकार, हमें वृत्त के एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के लिए निम्नलिखित संबंध (या सूत्र) प्राप्त होता है:

कोण $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $\theta$ डिग्रियों में त्रिज्यखंड का कोण है।

अब, एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या हम इस त्रिज्यखंड के संगत चाप APB की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं? हाँ। पुनः, एकांक विधि लागू करके और वृत्त की पूरी परिधि (कोण $360^{\circ}$ की) को $2 \pi r$ लेकर, हम चाप APB की अभीष्ट लंबाई $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।

अतः, कोण $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ वाले त्रिज्यखंड के एक चाप की लंबाई।

चित्र 11.4

अब आइए केंद्र $\mathrm{O}$ और त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त के वृत्तखंड APB के क्षेत्रफल का मामला लेते हैं (चित्र 11.4 देखिए)। आप देख सकते हैं कि:

वृत्तखंड का क्षेत्रफल $\mathrm{APB}=$ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

नोट: चित्र 11.3 और चित्र 11.4 से क्रमशः, आप देख सकते हैं कि:

दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\mathrm{OAPB}$

और

दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल

आइए अब इन अवधारणाओं (या परिणामों) को समझने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1: त्रिज्या $4 \mathrm{~cm}$ और कोण $30^{\circ}$ वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ($\pi=3.14$ का प्रयोग कीजिए)।

हल: दिया गया त्रिज्यखंड OAPB है (चित्र 11.5 देखिए)।

चित्र 11.5

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

वैकल्पिक रूप से, दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

उदाहरण 2: चित्र 11.6 में दिखाए गए वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की त्रिज्या $21 \mathrm{~cm}$ है और $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ है। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ का प्रयोग कीजिए)

चित्र 11.6

हल: वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ खींचिए जैसा चित्र 11.7 में दिखाया गया है।

चित्र 11.7

ध्यान दीजिए कि $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$। इसलिए, RHS सर्वांगसमता द्वारा, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$।

अतः, $\mathrm{M}$, $\mathrm{AB}$ का मध्य-बिंदु है और $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$।

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

इसलिए, $\Delta$ OMA से, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

अतः, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

इसलिए, वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(1), (2) और (3) से]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. त्रिज्या $r$ और डिग्री माप $\theta$ वाले कोण के एक वृत्त के त्रिज्यखंड के एक चाप की लंबाई $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ है।

2. त्रिज्या $r$ और डिग्री माप $\theta$ वाले कोण के एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ है।

3. एक वृत्त के वृत्तखंड का क्षेत्रफल $=$ संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल।