১১.১ বৃত্তের বৃত্তকলা ও বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল

আপনি ইতিমধ্যে আপনার আগের ক্লাসে বৃত্তের বৃত্তকলা (sector) এবং বৃত্তাংশ (segment) শব্দগুলোর সাথে পরিচিত হয়েছেন। মনে রাখবেন যে, একটি বৃত্তাকার অঞ্চলের যে অংশ দুটি ব্যাসার্ধ এবং সংশ্লিষ্ট চাপ দ্বারা আবদ্ধ থাকে, তাকে বৃত্তের একটি বৃত্তকলা বলে এবং বৃত্তাকার অঞ্চলের যে অংশ একটি জ্যা এবং সংশ্লিষ্ট চাপের মধ্যে আবদ্ধ থাকে, তাকে বৃত্তের একটি বৃত্তাংশ বলে। সুতরাং, চিত্র ১১.১-এ, ছায়াযুক্ত অঞ্চল OAPB হল কেন্দ্র $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তকলা। একে বৃত্তকলার কোণ বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে এই চিত্রে, অচ্ছায়িত অঞ্চল OAQB-ও বৃত্তের একটি বৃত্তকলা। স্পষ্ট কারণে, OAPB-কে ক্ষুদ্র বৃত্তকলা এবং $\mathrm{OAQB}$-কে বৃহৎ বৃত্তকলা বলা হয়। আপনি এও দেখতে পারেন যে বৃহৎ বৃত্তকলার কোণ হল $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$।

চিত্র ১১.১

এখন, চিত্র ১১.২ দেখুন যেখানে AB হল কেন্দ্র $\mathrm{O}$ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা। সুতরাং, ছায়াযুক্ত অঞ্চল APB হল বৃত্তের একটি বৃত্তাংশ। আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে অচ্ছায়িত অঞ্চল $\mathrm{AQB}$ হল জ্যা AB দ্বারা গঠিত বৃত্তের আরেকটি বৃত্তাংশ। স্পষ্ট কারণে, APB-কে ক্ষুদ্র বৃত্তাংশ এবং AQB-কে বৃহৎ বৃত্তাংশ বলা হয়।

চিত্র ১১.২

দ্রষ্টব্য: যখন আমরা ‘বৃত্তাংশ’ এবং ‘বৃত্তকলা’ লিখব, তখন যদি অন্য কিছু উল্লেখ না থাকে, আমরা যথাক্রমে ‘ক্ষুদ্র বৃত্তাংশ’ এবং ‘ক্ষুদ্র বৃত্তকলা’ বোঝাব।

এখন এই জ্ঞান নিয়ে, আসুন তাদের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য কিছু সম্পর্ক (বা সূত্র) বের করার চেষ্টা করি।

ধরা যাক OAPB কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং ব্যাসার্ধ $r$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের বৃত্তকলা (চিত্র ১১.৩ দেখুন)। ধরা যাক $\angle \mathrm{AOB}$-এর ডিগ্রি পরিমাপ $\theta$।

চিত্র ১১.৩

আপনি জানেন যে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল (বস্তুত একটি বৃত্তাকার অঞ্চল বা ডিস্কের) হল $\pi r^{2}$।

একভাবে, আমরা এই বৃত্তাকার অঞ্চলটিকে কেন্দ্র O-তে $360^{\circ}$ (অর্থাৎ ৩৬০ ডিগ্রি পরিমাপের) কোণ উৎপন্নকারী একটি বৃত্তকলা হিসেবে বিবেচনা করতে পারি। এখন একক পদ্ধতি প্রয়োগ করে, আমরা নিম্নরূপে OAPB বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলে পৌঁছাতে পারি:

যখন কেন্দ্রে কোণের ডিগ্রি পরিমাপ ৩৬০, তখন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}$

সুতরাং, যখন কেন্দ্রে কোণের ডিগ্রি পরিমাপ ১, তখন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$।

অতএব, যখন কেন্দ্রে কোণের ডিগ্রি পরিমাপ $\theta$, তখন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

এইভাবে, আমরা একটি বৃত্তের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্ক (বা সূত্র) পাই:

কোণ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ বিশিষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল

যেখানে $r$ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং $\theta$ হল বৃত্তকলার কোণের ডিগ্রি পরিমাপ।

এখন, একটি স্বাভাবিক প্রশ্ন ওঠে: আমরা কি এই বৃত্তকলার সংশ্লিষ্ট APB চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারি? হ্যাঁ। আবার, একক পদ্ধতি প্রয়োগ করে এবং সম্পূর্ণ বৃত্তের দৈর্ঘ্য ($360^{\circ}$ কোণের) কে $2 \pi r$ ধরে, আমরা APB চাপের প্রয়োজনীয় দৈর্ঘ্য পেতে পারি $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ হিসেবে।

সুতরাং, কোণ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তকলার চাপের দৈর্ঘ্য।

চিত্র ১১.৪

এখন আসুন কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং ব্যাসার্ধ $r$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের APB বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রে আসি (চিত্র ১১.৪ দেখুন)। আপনি দেখতে পারেন:

বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $\mathrm{APB}=$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$-এর ক্ষেত্রফল

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

দ্রষ্টব্য: চিত্র ১১.৩ এবং চিত্র ১১.৪ থেকে যথাক্রমে আপনি লক্ষ্য করতে পারেন:

বৃহৎ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ ক্ষুদ্র বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $\mathrm{OAPB}$

এবং

বৃহৎ বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - ক্ষুদ্র বৃত্তাংশ APB-এর ক্ষেত্রফল

আসুন এখন এই ধারণাগুলো (বা ফলাফল) বোঝার জন্য কিছু উদাহরণ নেওয়া যাক।

উদাহরণ ১: ব্যাসার্ধ $4 \mathrm{~cm}$ এবং কোণ $30^{\circ}$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। এছাড়াও, সংশ্লিষ্ট বৃহৎ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন ($\pi=3.14$ ব্যবহার করুন)।

সমাধান: প্রদত্ত বৃত্তকলাটি হল OAPB (চিত্র ১১.৫ দেখুন)।

চিত্র ১১.৫

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

সংশ্লিষ্ট বৃহৎ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

অন্যভাবে, বৃহৎ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

উদাহরণ ২: চিত্র ১১.৬-এ দেখানো AYB বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন, যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $21 \mathrm{~cm}$ হয় এবং $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ হয়। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ব্যবহার করুন)

চিত্র ১১.৬

সমাধান: AYB বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$-এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ আঁকুন যেমন চিত্র ১১.৭-এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র ১১.৭

লক্ষ্য করুন যে $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$। অতএব, RHS সর্বসমতা দ্বারা, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$।

সুতরাং, $\mathrm{M}$ হল $\mathrm{AB}$ এবং $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$-এর মধ্যবিন্দু।

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

সুতরাং, $\Delta$ OMA থেকে, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

সুতরাং, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

অতএব, AYB বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(১), (২) এবং (৩) থেকে]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

১১.২ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছেন:

১. ব্যাসার্ধ $r$ এবং ডিগ্রি পরিমাপ $\theta$ বিশিষ্ট কোণযুক্ত একটি বৃত্তের বৃত্তকলার চাপের দৈর্ঘ্য হল $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$।

২. ব্যাসার্ধ $r$ এবং ডিগ্রি পরিমাপ $\theta$ বিশিষ্ট কোণযুক্ত একটি বৃত্তের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল হল $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

৩. একটি বৃত্তের বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $=$ সংশ্লিষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল - সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।