11.1 വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തപാദത്തിന്റെയും വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെയും പരപ്പുകൾ

നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ നിങ്ങളുടെ മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തപാദം (sector) എന്നും വൃത്തഖണ്ഡം (segment) എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്ന പദങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഓർക്കുക: രണ്ട് ആരങ്ങളും അവയ്ക്ക് അനുയോജ്യമായ ചാപവും കൊണ്ട് പരിവൃത്തമായ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശത്തിന്റെ ഭാഗത്തെ വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തപാദം എന്നും, ഒരു ഞാണും അതിന് അനുയോജ്യമായ ചാപവും കൊണ്ട് പരിവൃത്തമായ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശത്തിന്റെ ഭാഗത്തെ വൃത്തഖണ്ഡം എന്നും വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ചിത്രം 11.1-ൽ, നിറം കൊടുത്ത OAPB എന്ന പ്രദേശം $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ കേന്ദ്രമായുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു വൃത്തപാദമാണ്. ഇതിനെ വൃത്തപാദത്തിന്റെ കോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ ചിത്രത്തിൽ, നിറം കൊടുക്കാത്ത OAQB എന്ന പ്രദേശവും വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു വൃത്തപാദമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. വ്യക്തമായ കാരണങ്ങളാൽ, OAPB എന്നതിനെ ലഘു വൃത്തപാദം എന്നും $\mathrm{OAQB}$ എന്നതിനെ ഗുരു വൃത്തപാദം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഗുരു വൃത്തപാദത്തിന്റെ കോൺ $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ ആണെന്നും നിങ്ങൾക്ക് കാണാം.

ചിത്രം 11.1

ഇപ്പോൾ, ചിത്രം 11.2 നോക്കുക, അതിൽ AB എന്നത് $\mathrm{O}$ കേന്ദ്രമായുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഞാണാണ്. അതിനാൽ, നിറം കൊടുത്ത APB എന്ന പ്രദേശം വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു വൃത്തഖണ്ഡമാണ്. AB എന്ന ഞാണുകൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന നിറം കൊടുക്കാത്ത $\mathrm{AQB}$ എന്ന പ്രദേശം മറ്റൊരു വൃത്തഖണ്ഡമാണെന്നും നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. വ്യക്തമായ കാരണങ്ങളാൽ, APB എന്നതിനെ ലഘു വൃത്തഖണ്ഡം എന്നും AQB എന്നതിനെ ഗുരു വൃത്തഖണ്ഡം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 11.2

ശ്രദ്ധിക്കുക: ‘വൃത്തഖണ്ഡം’ എന്നും ‘വൃത്തപാദം’ എന്നും എഴുതുമ്പോൾ, വ്യത്യസ്തമായി പറയാത്തിടത്തോളം കാലം, യഥാക്രമം ‘ലഘു വൃത്തഖണ്ഡം’ എന്നും ‘ലഘു വൃത്തപാദം’ എന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഈ അറിവുകൊണ്ട്, അവയുടെ പരപ്പുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ചില ബന്ധങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ) കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം.

OAPB എന്നത് $\mathrm{O}$ കേന്ദ്രവും $r$ ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു വൃത്തപാദമായിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 11.3 നോക്കുക). $\angle \mathrm{AOB}$ ന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് $\theta$ ആയിരിക്കട്ടെ.

ചിത്രം 11.3

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ (വാസ്തവത്തിൽ ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശത്തിന്റെ അല്ലെങ്കിൽ ഡിസ്കിന്റെ) പരപ്പ് $\pi r^{2}$ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം.

ഒരു രീതിയിൽ, കേന്ദ്രം O യിൽ $360^{\circ}$ (അതായത്, 360 ഡിഗ്രി അളവ്) കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരു വൃത്തപാദമായി നമുക്ക് ഈ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശം പരിഗണിക്കാം. ഇപ്പോൾ ഏകാങ്കരീതി (Unitary Method) പ്രയോഗിച്ച്, നമുക്ക് OAPB എന്ന വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താം:

കേന്ദ്രത്തിലെ കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് 360 ആകുമ്പോൾ, വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $=\pi r^{2}$

അതിനാൽ, കേന്ദ്രത്തിലെ കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് 1 ആകുമ്പോൾ, വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$.

അതുകൊണ്ട്, കേന്ദ്രത്തിലെ കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് $\theta$ ആകുമ്പോൾ, വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$.

അങ്ങനെ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പിനായി നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം (അല്ലെങ്കിൽ സൂത്രവാക്യം) ലഭിക്കുന്നു:

$\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ കോണുള്ള വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ്

ഇവിടെ $r$ എന്നത് വൃത്തത്തിന്റെ ആരവും $\theta$ എന്നത് ഡിഗ്രിയിലുള്ള വൃത്തപാദത്തിന്റെ കോണുമാണ്.

ഇപ്പോൾ, ഒരു സ്വാഭാവികമായ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഈ വൃത്തപാദത്തിന് അനുയോജ്യമായ APB എന്ന ചാപത്തിന്റെ നീളം നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകുമോ? അതെ, വീണ്ടും. ഏകാങ്കരീതി പ്രയോഗിച്ച്, മുഴുവൻ വൃത്തത്തിന്റെയും ($360^{\circ}$ കോണുള്ള) നീളം $2 \pi r$ എന്ന് എടുത്ത്, APB എന്ന ചാപത്തിന്റെ ആവശ്യമായ നീളം നമുക്ക് $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ആയി ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ കോണുള്ള ഒരു വൃത്തപാദത്തിന്റെ ചാപത്തിന്റെ നീളം.

ചിത്രം 11.4

ഇപ്പോൾ $\mathrm{O}$ കേന്ദ്രവും $r$ ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ APB എന്ന വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെ പരപ്പിന്റെ കാര്യം എടുക്കാം (ചിത്രം 11.4 നോക്കുക). നിങ്ങൾക്ക് കാണാം:

വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെ പരപ്പ് $\mathrm{APB}=$ വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ ന്റെ പരപ്പ്

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

ശ്രദ്ധിക്കുക: യഥാക്രമം ചിത്രം 11.3, ചിത്രം 11.4 എന്നിവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നിരീക്ഷിക്കാം:

ഗുരു വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ ലഘു വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $\mathrm{OAPB}$

ഒപ്പം

ഗുരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെ പരപ്പ് $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - ലഘു വൃത്തഖണ്ഡം APB യുടെ പരപ്പ്

ഇപ്പോൾ ഈ ആശയങ്ങളെ (അല്ലെങ്കിൽ ഫലങ്ങളെ) മനസ്സിലാക്കാൻ നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ എടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : $4 \mathrm{~cm}$ ആരവും $30^{\circ}$ കോണുമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് കണ്ടെത്തുക. അതുപോലെ, അതിന് അനുയോജ്യമായ ഗുരു വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പും കണ്ടെത്തുക ($\pi=3.14$ ഉപയോഗിക്കുക).

പരിഹാരം: നൽകിയിരിക്കുന്ന വൃത്തപാദം OAPB ആണ് (ചിത്രം 11.5 നോക്കുക).

ചിത്രം 11.5

വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

അതിന് അനുയോജ്യമായ ഗുരു വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ്

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

മറ്റൊരു രീതിയിൽ, ഗുരു വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 2 : ചിത്രം 11.6-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന AYB എന്ന വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെ പരപ്പ് കണ്ടെത്തുക, വൃത്തത്തിന്റെ ആരം $21 \mathrm{~cm}$ ഉം $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ ഉം ആണെങ്കിൽ. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ഉപയോഗിക്കുക)

ചിത്രം 11.6

പരിഹാരം: AYB എന്ന വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെ പരപ്പ്

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ ന്റെ പരപ്പ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ചിത്രം 11.7-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ വരയ്ക്കുക.

ചിത്രം 11.7

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, RHS സർവ്വസമത്വത്താൽ, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$.

അതിനാൽ, $\mathrm{M}$ എന്നത് $\mathrm{AB}$ ന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ്, $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$.

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

അതിനാൽ, $\Delta$ OMA-യിൽ നിന്ന്, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

അതിനാൽ, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

അതുകൊണ്ട്, AYB എന്ന വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെ പരപ്പ് $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(1), (2), (3) എന്നിവയിൽ നിന്ന്]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 സംഗ്രഹം

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ പഠിച്ചു:

1. $r$ ആരവും $\theta$ ഡിഗ്രി അളവുള്ള കോണുമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തപാദത്തിന്റെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ നീളം $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ആണ്.

2. $r$ ആരവും $\theta$ ഡിഗ്രി അളവുള്ള കോണുമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ ആണ്.

3. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്റെ പരപ്പ് $=$ അനുയോജ്യമായ വൃത്തപാദത്തിന്റെ പരപ്പ് - അനുയോജ്യമായ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പ്.