11.1 ਵਰਤੇ ਅਤੇ ਖੰਡ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ

ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਅਤੇ ਖੰਡ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਾਕਿਫ ਹੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਦੋ ਰੇਡੀਆਈ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਚੱਕਰੀ ਖੇਤਰ ਦੇ ਹਿੱਸੇ (ਜਾਂ ਭਾਗ) ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਰਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਜੀਵਾ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਚਾਪ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੇਰੇ ਗਏ ਚੱਕਰੀ ਖੇਤਰ ਦੇ ਹਿੱਸੇ (ਜਾਂ ਭਾਗ) ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 11.1 ਵਿੱਚ, ਰੰਗੀਨ ਖੇਤਰ OAPB ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਤਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਰਤੇ ਦਾ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਬਿਨਾਂ ਰੰਗੀਨ ਖੇਤਰ OAQB ਵੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਤਾ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ, OAPB ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਵਰਤਾ ਅਤੇ $\mathrm{OAQB}$ ਨੂੰ ਵੱਡਾ ਵਰਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਵੱਡੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਕੋਣ $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 11.1

ਹੁਣ, ਚਿੱਤਰ 11.2 ਵੱਲ ਦੇਖੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ AB ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਜੀਵਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਰੰਗੀਨ ਖੇਤਰ APB ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਖੰਡ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਬਿਨਾਂ ਰੰਗੀਨ ਖੇਤਰ $\mathrm{AQB}$ ਜੀਵਾ AB ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਖੰਡ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ, APB ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਖੰਡ ਅਤੇ AQB ਨੂੰ ਵੱਡਾ ਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 11.2

ਟਿੱਪਣੀ: ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ‘ਖੰਡ’ ਅਤੇ ‘ਵਰਤਾ’ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ‘ਛੋਟਾ ਖੰਡ’ ਅਤੇ ‘ਛੋਟਾ ਵਰਤਾ’ ਦਾ ਮਤਲਬ ਲਵਾਂਗੇ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ।

ਹੁਣ ਇਸ ਗਿਆਨ ਨਾਲ, ਆਓ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਸੰਬੰਧ (ਜਾਂ ਸੂਤਰ) ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ।

ਮੰਨ ਲਓ OAPB ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਸ $r$ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਤਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 11.3 ਦੇਖੋ)। ਮੰਨ ਲਓ $\angle \mathrm{AOB}$ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ $\theta$ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 11.3

ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ (ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਖੇਤਰ ਜਾਂ ਡਿਸਕ ਦਾ) $\pi r^{2}$ ਹੈ।

ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਚੱਕਰੀ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ O ‘ਤੇ $360^{\circ}$ (ਭਾਵ, 360 ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ) ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਇੱਕ ਵਰਤਾ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਯੂਨਿਟਰੀ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਵਰਤੇ OAPB ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ‘ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

ਜਦੋਂ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਕੋਣ ਦਾ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ 360 ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\pi r^{2}$

ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਕੋਣ ਦਾ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ 1 ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$।

ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਕੋਣ ਦਾ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ $\theta$ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਵਰਤੇ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਸੰਬੰਧ (ਜਾਂ ਸੂਤਰ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

ਕੋਣ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ ਵਾਲੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਜਿੱਥੇ $r$ ਚੱਕਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ਹੈ ਅਤੇ $\theta$ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸਵਾਲ ਉੱਠਦਾ ਹੈ: ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਰਤੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਚਾਪ APB ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਹਾਂ। ਦੁਬਾਰਾ, ਯੂਨਿਟਰੀ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਪੂਰੀ ਲੰਬਾਈ (ਕੋਣ $360^{\circ}$ ਦੀ) ਨੂੰ $2 \pi r$ ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਚਾਪ APB ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ, ਕੋਣ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਵਰਤੇ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ।

ਚਿੱਤਰ 11.4

ਹੁਣ ਆਓ ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਸ $r$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੰਡ APB ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਲਈਏ (ਚਿੱਤਰ 11.4 ਦੇਖੋ)। ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ:

ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\mathrm{APB}=$ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

ਨੋਟ: ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਚਿੱਤਰ 11.3 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 11.4 ਤੋਂ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ:

ਵੱਡੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ ਛੋਟੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\mathrm{OAPB}$

ਅਤੇ

ਵੱਡੇ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - ਛੋਟੇ ਖੰਡ APB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਹੁਣ ਆਓ ਇਹਨਾਂ ਸੰਕਲਪਾਂ (ਜਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ) ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਲਈਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1: ਰੇਡੀਅਸ $4 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ ਕੋਣ $30^{\circ}$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੱਡੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵੀ ਲੱਭੋ ($\pi=3.14$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ)।

ਹੱਲ: ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਵਰਤਾ OAPB ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 11.5 ਦੇਖੋ)।

ਚਿੱਤਰ 11.5

ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੱਡੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਵੱਡੇ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 2: ਚਿੱਤਰ 11.6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਖੰਡ AYB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ, ਜੇਕਰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ $21 \mathrm{~cm}$ ਹੈ ਅਤੇ $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ ਹੈ। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ)

ਚਿੱਤਰ 11.6

ਹੱਲ: ਖੰਡ AYB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ ਖਿੱਚੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11.7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 11.7

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$। ਇਸ ਲਈ, RHS ਕਾਂਗਰੂਏਂਸ ਦੁਆਰਾ, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$।

ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{M}$, $\mathrm{AB}$ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$।

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

ਇਸ ਲਈ, $\Delta$ OMA ਤੋਂ, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

ਇਸ ਲਈ, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

ਇਸ ਲਈ, ਖੰਡ AYB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(1), (2) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 ਸਾਰਾਂਸ਼

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਹੇਠਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ:

1. ਰੇਡੀਅਸ $r$ ਅਤੇ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ $\theta$ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਵਰਤੇ ਦੀ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ਹੈ।

2. ਰੇਡੀਅਸ $r$ ਅਤੇ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ $\theta$ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ ਹੈ।

3. ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵਰਤੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ - ਸੰਬੰਧਿਤ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ।