11.1 ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಖಂಡ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕಂಸದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು

ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಖಂಡ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕಂಸ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ಸ್ಮರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಚಾಪದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದ ಭಾಗವನ್ನು (ಅಥವಾ ಭಾಗ) ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಖಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಚಾಪದ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದ ಭಾಗವನ್ನು (ಅಥವಾ ಭಾಗ) ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಕಂಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 11.1 ರಲ್ಲಿ, ನೆರಳು ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರದೇಶ OAPB ವು ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O} . \angle \mathrm{AOB}$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ವೃತ್ತಖಂಡವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವೃತ್ತಖಂಡದ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೆರಳು ಮಾಡದ ಪ್ರದೇಶ OAQB ಸಹ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ವೃತ್ತಖಂಡವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, OAPB ಅನ್ನು ಲಘು ವೃತ್ತಖಂಡ ಎಂದು ಮತ್ತು $\mathrm{OAQB}$ ಅನ್ನು ಗುರು ವೃತ್ತಖಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುರು ವೃತ್ತಖಂಡದ ಕೋನವು $360^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}$ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 11.1

ಈಗ, ಚಿತ್ರ 11.2 ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದರಲ್ಲಿ AB ವು ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಜ್ಯಾ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೆರಳು ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರದೇಶ APB ವು ವೃತ್ತದ ಒಂದು ವೃತ್ತಕಂಸವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾ AB ರಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ನೆರಳು ಮಾಡದ ಪ್ರದೇಶ $\mathrm{AQB}$ ಸಹ ವೃತ್ತದ ಇನ್ನೊಂದು ವೃತ್ತಕಂಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, APB ಅನ್ನು ಲಘು ವೃತ್ತಕಂಸ ಎಂದು ಮತ್ತು AQB ಅನ್ನು ಗುರು ವೃತ್ತಕಂಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 11.2

ಟಿಪ್ಪಣಿ: ‘ವೃತ್ತಕಂಸ’ ಮತ್ತು ‘ವೃತ್ತಖಂಡ’ ಎಂದು ಬರೆಯುವಾಗ, ನಾವು ‘ಲಘು ವೃತ್ತಕಂಸ’ ಮತ್ತು ‘ಲಘು ವೃತ್ತಖಂಡ’ ಎಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಿದಂತೆ.

ಈಗ ಈ ಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ, ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

OAPB ವು ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ವೃತ್ತಖಂಡವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 11.3 ನೋಡಿ). $\angle \mathrm{AOB}$ ನ ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಪನವು $\theta$ ಆಗಿರಲಿ.

ಚಿತ್ರ 11.3

ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಡಿಸ್ಕ್) $\pi r^{2}$ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕೇಂದ್ರ O ಯಲ್ಲಿ $360^{\circ}$ (ಅಂದರೆ, 360 ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಪನ) ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವೃತ್ತಖಂಡವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಏಕಮಾನ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವೃತ್ತಖಂಡ OAPB ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಪನ 360 ಆದಾಗ, ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\pi r^{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಪನ 1 ಆದಾಗ, ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಪನ $\theta$ ಆದಾಗ, ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\dfrac{\pi r^{2}}{360} \times \theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$.

ಹೀಗಾಗಿ, ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು (ಅಥವಾ ಸೂತ್ರ) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕೋನ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2} \text {, }$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಇಲ್ಲಿ $r$ ವು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\theta$ ವು ವೃತ್ತಖಂಡದ ಕೋನವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಒಂದು ಸಹಜ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಈ ವೃತ್ತಖಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಚಾಪ APB ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? ಹೌದು. ಮತ್ತೆ, ಏಕಮಾನ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉದ್ದವನ್ನು (ಕೋನ $360^{\circ}$) $2 \pi r$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಚಾಪ APB ಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉದ್ದವನ್ನು $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನ $\theta=\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಖಂಡದ ಚಾಪದ ಉದ್ದ.

ಚಿತ್ರ 11.4

ಈಗ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಕಂಸ APB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (ಚಿತ್ರ 11.4 ನೋಡಿ). ನೀವು ನೋಡಬಹುದು:

ವೃತ್ತಕಂಸದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\mathrm{APB}=$ ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\mathrm{OAPB}-$ $\triangle \mathrm{OAB}$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ =\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}-\text { area of } \Delta \mathrm{OAB} $$

ಗಮನಿಸಿ: ಚಿತ್ರ 11.3 ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 11.4 ರಿಂದ ಕ್ರಮವಾಗಿ, ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು:

ಗುರು ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\mathrm{OAQB}=\pi r^{2}-$ ಲಘು ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\mathrm{OAPB}$

ಮತ್ತು

ಗುರು ವೃತ್ತಕಂಸದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\mathrm{AQB}=\pi r^{2}$ - ಲಘು ವೃತ್ತಕಂಸ APB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಈಗ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು) ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ತ್ರಿಜ್ಯ $4 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ಕೋನ $30^{\circ}$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಹಾಗೆಯೇ, ಅನುಗುಣವಾದ ಗುರು ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ($\pi=3.14$ ಬಳಸಿ).

ಪರಿಹಾರ: ನೀಡಲಾದ ವೃತ್ತಖಂಡವು OAPB ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 11.5 ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ 11.5

ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{30}{360} \times 3.14 \times 4 \times 4 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{12.56}{3} \mathrm{~cm}^{2}=4.19 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ಅನುಗುಣವಾದ ಗುರು ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ \begin{aligned} & =\pi r^{2}-\text { area of sector OAPB } \\ & =(3.14 \times 16-4.19) \mathrm{cm}^{2} \\ & =46.05 \mathrm{~cm}^{2}=46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ಅಥವಾ, ಗುರು ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\dfrac{(360-\theta)}{360} \times \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\dfrac{360-30}{360}\right) \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =\dfrac{330}{360} \times 3.14 \times 16 \mathrm{~cm}^{2}=46.05 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =46.1 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಚಿತ್ರ 11.6 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ AYB ವೃತ್ತಕಂಸದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು $21 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ ಆಗಿದ್ದರೆ. ($\pi=\dfrac{22}{7}$ ಬಳಸಿ)

ಚಿತ್ರ 11.6

ಪರಿಹಾರ: ವೃತ್ತಕಂಸ AYB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ =\text { Area of sector OAYB }- \text { Area of } \Delta \mathrm{OAB} \tag{1} $$

$$ \text{ Now, area of the sector OAYB } =\dfrac{120}{360} \times \dfrac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=462 \mathrm{~cm}^{2} \tag{2}$$

$\Delta \mathrm{OAB}$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 11.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 11.7

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, RHS ಸರ್ವಸಮತೆಯಿಂದ, $\Delta \mathrm{AMO} \cong \Delta \mathrm{BMO}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{M}$ ವು $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{AOM}=\angle \mathrm{BOM}=\dfrac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$ ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

$\text {Let} \qquad \mathrm{OM}=x \mathrm{~cm}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\Delta$ OMA ರಿಂದ, $$ \dfrac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ} $$

$\text {or,}\qquad \dfrac{x}{21}=\dfrac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\right)$

$\text {or,}\qquad x=\dfrac{21}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{OM}=\dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Also,}\qquad \dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text {So,}\qquad \mathrm{AM}=\dfrac{21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}$

$\text {Therefore,}\qquad \mathrm{AB}=2 \mathrm{AM}=\dfrac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}=21 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \text { area of } \begin{aligned} \Delta \mathrm{OAB} & =\dfrac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\dfrac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \dfrac{21}{2} \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

$$ =\dfrac{441}{4} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\tag{3}$$

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತಕಂಸ AYB ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\left(462-\dfrac{441}{4} \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}$

[(1), (2) ಮತ್ತು (3) ರಿಂದ]

$$ =\dfrac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2} $$

11.2 ಸಾರಾಂಶ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ:

1. ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಪನ $\theta$ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಖಂಡದ ಒಂದು ಚಾಪದ ಉದ್ದವು $\dfrac{\theta}{360} \times 2 \pi r$ ಆಗಿದೆ.

2. ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಪನ $\theta$ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು $\dfrac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ ಆಗಿದೆ.

3. ವೃತ್ತದ ವೃತ್ತಕಂಸದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=$ ಅನುಗುಣವಾದ ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - ಅನುಗುಣವಾದ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.