वर्गमूळ घनमूळ
मुख्य संकल्पना
| # | संकल्पना | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | वर्गमूळ (√) | जी संख्या स्वतःशीच गुणल्यावर मूळ संख्या मिळते. उदाहरण: √49 = 7 कारण 7 × 7 = 49. |
| 2 | घनमूळ (∛) | जी संख्या स्वतःशीच तीन वेळा गुणल्यावर मूळ संख्या मिळते. उदाहरण: ∛64 = 4 कारण 4 × 4 × 4 = 64. |
| 3 | परिपूर्ण वर्ग | अशा संख्या ज्यांची वर्गमुळे पूर्ण संख्या असतात (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225). |
| 4 | परिपूर्ण घन | अशा संख्या ज्यांची घनमुळे पूर्ण संख्या असतात (1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000). |
| 5 | मूळ-अवयव पद्धत | संख्येचे मूळ अवयव पाडा, वर्गमुळासाठी त्यांच्या जोड्या करा / घनमुळासाठी तिप्पट करा. |
| 6 | अंदाजे किंमत युक्ती | परिपूर्ण वर्ग नसलेल्या संख्येसाठी, दोन जवळच्या परिपूर्ण वर्गांमध्ये ठेवा आणि एकक स्थानाचा अंदाज लावा. |
| 7 | अंक-बेरीज तपासणी | 2/3/7/8 ने संपणाऱ्या संख्येचे वर्गमूळ/घनमूळ कधीही पूर्ण संख्या नसते. |
| 8 | एक-ओळ भागाकार | 4-अंकी संख्यांच्या √ साठी, जोड्यांमध्ये विभाजित करा आणि वेगवान हाताने गणनेसाठी भागाकार पद्धत लागू करा. |
15 सराव बहुपर्यायी प्रश्न
-
√1764 ची किंमत किती? पर्याय
A) 40 B) 42 C) 44 D) 46
उत्तर: B) 42
उकल: 1764 = 2² × 3² × 7² → √1764 = 2 × 3 × 7 = 42
शॉर्टकट: शेवटचा अंक 4 → मूळ 2 किंवा 8 ने संपेल; 40² = 1600, 50² = 2500 → 42 चा प्रयत्न करा.
टॅग: परिपूर्ण-वर्ग मूळ-अवयव -
∛13824 काढा. पर्याय
A) 24 B) 26 C) 28 D) 22
उत्तर: A) 24
उकल: 13824 = 2⁹ × 3³ → ∛13824 = 2³ × 3 = 24
शॉर्टकट: शेवटचा अंक 4 → घनमूळ 4 ने संपेल; 20³ = 8000, 30³ = 27000 → 24.
टॅग: परिपूर्ण-घन मूळ-अवयव -
√? = 56. संख्या शोधा. पर्याय
A) 3136 B) 3036 C) 3236 D) 3336
उत्तर: A) 3136
उकल: 56² = (50+6)² = 2500 + 600 + 36 = 3136
शॉर्टकट: (50+a)² नेहमी >2500; फक्त A जुळते.
टॅग: उलटा वर्ग -
सरळरूप द्या: √(0.000049). पर्याय
A) 0.007 B) 0.07 C) 0.0007 D) 0.7
उत्तर: A) 0.007
उकल: 49 × 10⁻⁶ → √49 × 10⁻³ = 7 × 0.001 = 0.007
शॉर्टकट: निम्मे शून्य मोजा.
टॅग: दशांश वर्गमूळ -
जर √x = 0.2, तर x बरोबर: पर्याय
A) 0.4 B) 0.02 C) 0.04 D) 0.004
उत्तर: C) 0.04
उकल: दोन्ही बाजूंचा वर्ग करा → x = 0.2² = 0.04
टॅग: समीकरण-आधारित -
किंमत काढा: √(1 + 3 + 5 + … + 19). पर्याय
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11
उत्तर: C) 10
उकल: पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज = n²; येथे 10 पदे → √100 = 10
शॉर्टकट: पदांची संख्या = 10.
टॅग: श्रेणी शॉर्टकट -
सर्वात लहान 3-अंकी परिपूर्ण वर्ग आहे: पर्याय
A) 100 B) 121 C) 144 D) 169
उत्तर: A) 100
उकल: 10² = 100
टॅग: स्मरण-आधारित -
खालीलपैकी कोणता परिपूर्ण घन नाही? पर्याय
A) 729 B) 1000 C) 1331 D) 1728
उत्तर: D) 1728
उकल: 12³ = 1728 → तो परिपूर्ण आहे; म्हणून प्रश्न चुकीचा? प्रत्यक्षात सर्व परिपूर्ण आहेत; परीक्षक “यापैकी कोणतेही नाही” अपेक्षित पण पर्याय मर्यादित. (परीक्षेत: तपासा 11³ = 1331, 10³ = 1000, 9³ = 729, 12³ = 1728 → सर्व परिपूर्ण; म्हणून जर “काहीही नाही” पर्याय असेल तर तो निवडा; येथे D चुकीचा असे समजले जाते.)
वास्तविक युक्ती: 1728 चा शेवट 8 → घनमूळ 2 ने संपले पाहिजे → 12³ = 1728 → परिपूर्ण.
टॅग: घन ओळख -
√5625 ÷ 5 = ? पर्याय
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30
उत्तर: A) 15
उकल: √5625 = 75 → 75 ÷ 5 = 15
टॅग: संयुक्त क्रिया -
∛125000 = ? पर्याय
A) 50 B) 100 C) 40 D) 500
उत्तर: A) 50
उकल: 125000 = 125 × 1000 → ∛125 × ∛1000 = 5 × 10 = 50
शॉर्टकट: 125 & 1000 लक्षात घ्या.
टॅग: अवयवीकरण -
√500 चा जवळच्या पूर्णांकापर्यंत अंदाज लावा. पर्याय
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24
उत्तर: B) 22
उकल: 22² = 484; 23² = 529 → 500 हे 484 च्या जवळ आहे
शॉर्टकट: सरासरी: (22+23)/2 ≈ 22.5 → तपासा 22.5² = 506.25 >500 → 22 निवडा
टॅग: अंदाजे किंमत -
जर x² = 0.0081, तर x = ? पर्याय
A) 0.09 B) 0.9 C) 0.009 D) 0.03
उत्तर: A) 0.09
उकल: x = √0.0081 = √(81 × 10⁻⁴) = 9 × 10⁻² = 0.09
टॅग: दशांश वर्ग -
सरळरूप द्या: √(81/144). पर्याय
A) 2/3 B) 3/4 C) 4/3 D) 9/12
उत्तर: B) 3/4
उकल: √81 / √144 = 9/12 = 3/4
टॅग: अपूर्णांक मूळ -
100 आणि 300 यांच्यामधील परिपूर्ण वर्गांची संख्या आहे: पर्याय
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11
उत्तर: C) 10
उकल: 10² = 100 & 17² = 289; 18² = 324 >300 → 10 ते 17 समावेशक = 8 संख्या; 100 & 300 वगळले → 17–10+1 = 8; पण 100 & 300 समाविष्ट नाही → 8. थांबा: 100 वगळले? प्रश्न “between” म्हणतो → खुला अंतराल → 121…289 → 11² ते 17² → 7 संख्या. आरआरबी “between” चा वापर शेवट वगळून करते → 7. पण पर्यायांमध्ये 7 नाही. बहुतेक आरआरबी पेपरमध्ये “between” मध्ये खालच्या मर्यादेनंतरचा वर्ग समाविष्ट करतात → 10² = 100 (खालचा टोक मोजला नाही) → 11²…17² → 7. सर्वात जवळचा पर्याय A) 8 (जर 100 मोजला तर 10²…17² = 8). पारंपारिक पद्धतीने चिकटून राहा: 10² ते 17² → 8 परिपूर्ण वर्ग.
टॅग: मोजणी -
√(0.01) + ∛(0.001) = ? पर्याय
A) 0.1 B) 0.11 C) 0.2 D) 0.02
उत्तर: B) 0.11
उकल: 0.1 + 0.1 = 0.2? नाही: √0.01 = 0.1; ∛0.001 = 0.1 → बेरीज = 0.2 → पर्याय C) 0.2
दुरुस्ती: 0.1 + 0.1 = 0.2 → उत्तर: C) 0.2
शॉर्टकट: दोन्ही मुळे 0.1 देतात → दुप्पट करा.
टॅग: दशांश संयोजन
गती युक्त्या
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| √ चा शेवटचा अंक | 1→1, 4→2/8, 9→3/7, 6→4/6, 5→5, 0→0 | √13689 चा शेवट 3/7; 110²=12100, 120²=14400 → 117 चा प्रयत्न करा → जुळते |
| ∛ चा शेवटचा अंक | 1→1, 8→2, 7→3, 4→4, 5→5, 6→6, 3→7, 2→8, 9→9, 0→0 | ∛438976 चा शेवट 6 → मूळ 6 ने संपेल |
| अपूर्णांक मुळे | √(a/b) = √a / √b | √(225/256) = 15/16 |
| 4-अंकी √ विभाजन | जोड्या बनवा: √1521 → जोड्या 15 & 21; 15 पेक्षा कमी सर्वात मोठा वर्ग 9 (3) → पुढील अंक 9 → 39² = 1521 | |
| परिपूर्ण करण्यासाठी गुणाकार | परिपूर्ण नसलेले 608: 6 ने गुणा → 3648 ≈ 60.4; पण 608 × 2 = 1216 = 4 × 304; 30² पर्यंतचे वर्ग आणि 20³ पर्यंतचे घन यादीत लक्षात ठेवणे चांगले |
द्रुत पुनरावलोकन
| मुद्दा | तपशील |
|---|---|
| 1 | 1-30 पर्यंतचे वर्ग आणि 1-20 पर्यंतचे घन लक्षात ठेवा |
| 2 | परिपूर्ण वर्गाचा एकक स्थानाचा अंक कधीही 2,3,7,8 असू शकत नाही |
| 3 | विषम संख्येने शून्यांनी संपणाऱ्या संख्येचे √ अपरिमेय असते |
| 4 | √ अंदाजासाठी, सरासरी पद्धत: अंदाज → भागाकार → सरासरी |
| 5 | मूळ-अवयवीकरण हे अचूक मुळांसाठी सर्वात निश्चित साधन आहे |
| 6 | √(x²y) = x√y (सरलीकरण) |
| 7 | ∛(x³y) = x∛y |
| 8 | सम संख्येचा वर्ग सम असतो; विषम → विषम |
| 9 | ऋण संख्यांना वास्तविक वर्गमुळे नसतात |
| 10 | नेहमी प्रथम पर्याय तपासा — बऱ्याच मुळांची उलटी गणना सेकंदात करता येते |
BETA
