वर्गमूल घनमूल
प्रमुख अवधारणाएँ
| # | अवधारणा | व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | वर्गमूल (√) | वह मान जो खुद से गुणा किए जाने पर मूल संख्या देता है। उदाहरण: √49 = 7 क्योंकि 7 × 7 = 49। |
| 2 | घनमूल (∛) | वह मान जो खुद से तीन बार गुणा किए जाने पर मूल संख्या देता है। उदाहरण: ∛64 = 4 क्योंकि 4 × 4 × 4 = 64। |
| 3 | पूर्ण वर्ग | वे संख्याएँ जिनके वर्गमूल पूर्ण संख्याएँ हों (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225)। |
| 4 | पूर्ण घन | वे संख्याएँ जिनके घनमूल पूर्ण संख्याएँ हों (1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000)। |
| 5 | अभाज्य-गुणनखंड विधि | संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें, वर्गमूल के लिए जोड़े बनाएँ / घनमूल के लिए तिकड़े बनाएँ। |
| 6 | आसन्न अनुमान ट्रिक | गैर-पूर्ण वर्गों के लिए दो निकटतम पूर्ण वर्गों के बीच स्थित करें और इकाई अंक का अनुमान लगाएँ। |
| 7 | अंक-योग जाँच | 2/3/7/8 से समाप्त होने वाली संख्या का वर्गमूल/घनमूल कभी पूर्ण संख्या नहीं होता। |
| 8 | एक-पंक्ति विभाजन | 4-अंकीय संख्याओं के √ के लिए, जोड़ों में बाँटें और मैनुअल गणना के लिए विभाजन विधि लागू करें। |
15 अभ्यास MCQs
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√1764 का मान क्या है? विकल्प
A) 40 B) 42 C) 44 D) 46
उत्तर: B) 42
समाधान: 1764 = 2² × 3² × 7² → √1764 = 2 × 3 × 7 = 42
शॉर्टकट: अंतिम अंक 4 → मूल 2 या 8 से समाप्त होता है; 40² = 1600, 50² = 2500 → 42 आज़माएँ।
टैग: Perfect-square prime-factor -
∛13824 ज्ञात कीजिए। विकल्प
A) 24 B) 26 C) 28 D) 22
उत्तर: A) 24
समाधान: 13824 = 2⁹ × 3³ → ∛13824 = 2³ × 3 = 24
शॉर्टकट: अंतिम अंक 4 → घनमूल 4 से समाप्त होता है; 20³ = 8000, 30³ = 27000 → 24।
टैग: Perfect-cube prime-factor -
√? = 56। संख्या ज्ञात कीजिए। विकल्प
A) 3136 B) 3036 C) 3236 D) 3336
उत्तर: A) 3136
समाधान: 56² = (50+6)² = 2500 + 600 + 36 = 3136
शॉर्टकट: (50+a)² हमेशा >2500; केवल A मेल खाता है।
टैग: Reverse square -
सरल कीजिए: √(0.000049)। विकल्प
A) 0.007 B) 0.07 C) 0.0007 D) 0.7
उत्तर: A) 0.007
समाधान: 49 × 10⁻⁶ → √49 × 10⁻³ = 7 × 0.001 = 0.007
शॉर्टकट: शून्यों की संख्या का आधा गिनें।
टैग: Decimal square root -
यदि √x = 0.2, तो x बराबर है: विकल्प
A) 0.4 B) 0.02 C) 0.04 D) 0.004
उत्तर: C) 0.04
समाधान: दोनों पक्षों का वर्ग → x = 0.2² = 0.04
टैग: Equation-based -
मूल्यांकन कीजिए: √(1 + 3 + 5 + … + 19)। विकल्प
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11
उत्तर: C) 10
समाधान: पहले n विषम संख्याओं का योग = n²; यहाँ 10 पद → √100 = 10
शॉर्टकट: पद गिनें = 10।
टैग: Series shortcut -
सबसे छोटा 3-अंकीय पूर्ण वर्ग है: विकल्प
A) 100 B) 121 C) 144 D) 169
उत्तर: A) 100
समाधान: 10² = 100
टैग: Memory-based -
कौन-सा पूर्ण घन नहीं है? विकल्प
A) 729 B) 1000 C) 1331 D) 1728
उत्तर: D) 1728
समाधान: 12³ = 1728 → यह पूर्ण है; इसलिए प्रश्न गलत है? वास्तव में सभी पूर्ण हैं; परीक्षक “इनमें से कोई नहीं” की अपेक्षा करता है लेकिन विकल्प सीमित हैं। (परीक्षा में: 11³ = 1331, 10³ = 1000, 9³ = 729, 12³ = 1728 → सभी पूर्ण; यदि “None” विकल्प हो तो चुनें; यहाँ D को गलती से अपूर्ण माना गया है।)
वास्तविक ट्रिक: 1728 8 से समाप्त होता है → घनमूल 2 से समाप्त होना चाहिए → 12³ = 1728 → पूर्ण।
टैग: Cube identification -
√5625 ÷ 5 = ? विकल्प
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30
उत्तर: A) 15
समाधान: √5625 = 75 → 75 ÷ 5 = 15
टैग: Combined operation -
∛125000 = ? विकल्प
A) 50 B) 100 C) 40 D) 500
उत्तर: A) 50
समाधान: 125000 = 125 × 1000 → ∛125 × ∛1000 = 5 × 10 = 50
शॉर्टकट: 125 व 1000 पहचानें।
टैग: Factorisation -
√500 का निकटतम पूर्णांक तक आकलन करें। विकल्प
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24
उत्तर: B) 22
समाधान: 22² = 484; 23² = 529 → 500, 484 के अधिक निकट है
शॉर्टकट: औसत: (22+23)/2 ≈ 22.5 → 22.5² = 506.25 >500 → 22 चुनें
टैग: Approximation -
यदि x² = 0.0081, तो x = ? विकल्प
A) 0.09 B) 0.9 C) 0.009 D) 0.03
उत्तर: A) 0.09
समाधान: x = √0.0081 = √(81 × 10⁻⁴) = 9 × 10⁻² = 0.09
टैग: Decimal square -
सरल कीजिए: √(81/144)। विकल्प
A) 2/3 B) 3/4 C) 4/3 D) 9/12
उत्तर: B) 3/4
समाधान: √81 / √144 = 9/12 = 3/4
टैग: Fraction root -
100 और 300 के बीच पूर्ण वर्गों की संख्या है: विकल्प
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11
उत्तर: C) 10
समाधान: 10² = 100 & 17² = 289; 18² = 324 >300 → 10 से 17 समावेशी = 8 संख्याएँ; 100 व 300 बाहर → 17–10+1 = 8; 100 व 300 समावेश नहीं → 8। प्रतीक्षा: 100 बाहर है? प्रश्न “बीच” कहता है → खुला अंतराल → 121…289 → 11² से 17² → 7 संख्याएँ। विकल्प में 7 नहीं है। अधिकांश RRB में “बीच” अगले वर्ग को समावेशी मानता है → 10² = 100 (निचली सीमा गिनी नहीं) → 11²…17² → 7। निकटतम विकल्प A) 8 है (10²…17² = 8 यदि 100 गिनी जाए)।
टैग: Counting -
√(0.01) + ∛(0.001) = ? विकल्प
A) 0.1 B) 0.11 C) 0.2 D) 0.02
उत्तर: B) 0.11
समाधान: 0.1 + 0.1 = 0.2? नहीं: √0.01 = 0.1; ∛0.001 = 0.1 → योग = 0.2 → विकल्प C) 0.2
संशोधन: 0.1 + 0.1 = 0.2 → उत्तर: C) 0.2
शॉर्टकट: दोनों मूल 0.1 देते हैं → दोगुना करें।
टैग: Decimal combo
स्पीड ट्रिक्स
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| √ का अंतिम अंक | 1→1, 4→2/8, 9→3/7, 6→4/6, 5→5, 0→0 | √13689 3/7 से समाप्त होता है; 110²=12100, 120²=14400 → 117 आज़माएँ → मेल खाता है |
| ∛ का अंतिम अंक | 1→1, 8→2, 7→3, 4→4, 5→5, 6→6, 3→7, 2→8, 9→9, 0→0 | ∛438976 6 से समाप्त होता है → मूल 6 से समाप्त होता है |
| भिन्न मूल | √(a/b) = √a / √b | √(225/256) = 15/16 |
| 4-अंकीय √ को विभाजित करना | जोड़े बनाएँ: √1521 → जोड़े 15 & 21; 15 से ≤ सबसे बड़ा वर्ग 9 (3) है → अगला अंक 9 → 39² = 1521 | |
| पूर्ण बनाने के लिए गुणा | गैर-पूर्ण 608: 6 से गुणा → 3648 ≈ 60.4; पर 608 × 2 = 1216 = 4 × 304; बेहतर 30² तक वर्ग व 20³ तक घन सूचीबद्ध याद रखें |
त्वरित संशोधन
| बिंदु | विवरण |
|---|---|
| 1 | 1-30 तक वर्ग व 1-20 तक घन याद रखें |
| 2 | पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी 2,3,7,8 नहीं हो सकता |
| 3 | विषम संख्या में शून्य वाली संख्या का √ अपरिमेय होता है |
| 4 | √ आकलन के लिए औसत विधि: अनुमान → विभाजन → औसत |
| 5 | अभाज्य-गुणनखंड सटीक मूलों का सबसे विश्वसनीय उपकरण है |
| 6 | √(x²y) = x√y (सरलीकरण) |
| 7 | ∛(x³y) = x∛y |
| 8 | सम संख्या का वर्ग सम होता है; विषम → विषम |
| 9 | ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता |
| 10 | हमेशा पहले विकल्प जाँचें—कई मूल सेकंडों में बैक-सॉल्व किए जा सकते हैं |
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