ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಘನಮೂಲಗಳು
ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು
| # | ಪರಿಕಲ್ಪನೆ | ವಿವರಣೆ |
|---|---|---|
| 1 | ವರ್ಗಮೂಲ (√) | ತಾನೇ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೌಲ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆ: √49 = 7 ಏಕೆಂದರೆ 7 × 7 = 49. |
| 2 | ಘನಮೂಲ (∛) | ತಾನೇ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೌಲ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆ: ∛64 = 4 ಏಕೆಂದರೆ 4 × 4 × 4 = 64. |
| 3 | ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು | ಅವುಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225). |
| 4 | ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳು | ಅವುಗಳ ಘನಮೂಲಗಳು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000). |
| 5 | ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಗುಣಕ ವಿಧಾನ | ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ವರ್ಗಮೂಲಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ / ಘನಮೂಲಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಪುಟಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ. |
| 6 | ಅಂದಾಜು ಟ್ರಿಕ್ | ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಎರಡು ಹತ್ತಿರದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಾನ ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ. |
| 7 | ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ ಪರಿಶೀಲನೆ | 2/3/7/8 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲ/ಘನಮೂಲ ಎಂದಿಗೂ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. |
| 8 | ಒಂದು-ಸಾಲಿನ ಭಾಗಾಕಾರ | 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ √ ಗಾಗಿ, ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು ವೇಗವಾದ ಕೈಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಭಾಗಾಕಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. |
15 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹು-ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
-
√1764 ರ ಮೌಲ್ಯ ಎಷ್ಟು? ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 40 B) 42 C) 44 D) 46
ಉತ್ತರ: B) 42
ಪರಿಹಾರ: 1764 = 2² × 3² × 7² → √1764 = 2 × 3 × 7 = 42
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 4 → ಮೂಲವು 2 ಅಥವಾ 8 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; 40² = 1600, 50² = 2500 → 42 ಅನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ಟ್ಯಾಗ್: ಪರಿಪೂರ್ಣ-ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಗುಣಕ -
∛13824 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 24 B) 26 C) 28 D) 22
ಉತ್ತರ: A) 24
ಪರಿಹಾರ: 13824 = 2⁹ × 3³ → ∛13824 = 2³ × 3 = 24
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 4 → ಘನಮೂಲವು 4 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; 20³ = 8000, 30³ = 27000 → 24.
ಟ್ಯಾಗ್: ಪರಿಪೂರ್ಣ-ಘನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಗುಣಕ -
√? = 56. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 3136 B) 3036 C) 3236 D) 3336
ಉತ್ತರ: A) 3136
ಪರಿಹಾರ: 56² = (50+6)² = 2500 + 600 + 36 = 3136
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: (50+a)² ಯಾವಾಗಲೂ >2500; ಕೇವಲ A ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಟ್ಯಾಗ್: ರಿವರ್ಸ್ ವರ್ಗ -
ಸರಳೀಕರಿಸಿ: √(0.000049). ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 0.007 B) 0.07 C) 0.0007 D) 0.7
ಉತ್ತರ: A) 0.007
ಪರಿಹಾರ: 49 × 10⁻⁶ → √49 × 10⁻³ = 7 × 0.001 = 0.007
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಅರ್ಧ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ.
ಟ್ಯಾಗ್: ದಶಮಾಂಶ ವರ್ಗಮೂಲ -
√x = 0.2 ಆದರೆ, x ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 0.4 B) 0.02 C) 0.04 D) 0.004
ಉತ್ತರ: C) 0.04
ಪರಿಹಾರ: ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ → x = 0.2² = 0.04
ಟ್ಯಾಗ್: ಸಮೀಕರಣ-ಆಧಾರಿತ -
ಮೌಲ್ಯ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ: √(1 + 3 + 5 + … + 19). ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11
ಉತ್ತರ: C) 10
ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ = n²; ಇಲ್ಲಿ 10 ಪದಗಳು → √100 = 10
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಪದಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ = 10.
ಟ್ಯಾಗ್: ಸರಣಿ ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ -
ಚಿಕ್ಕ 3-ಅಂಕಿಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ: ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 100 B) 121 C) 144 D) 169
ಉತ್ತರ: A) 100
ಪರಿಹಾರ: 10² = 100
ಟ್ಯಾಗ್: ಮೆಮೊರಿ-ಆಧಾರಿತ -
ಯಾವುದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ? ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 729 B) 1000 C) 1331 D) 1728
ಉತ್ತರ: D) 1728
ಪರಿಹಾರ: 12³ = 1728 → ಅದು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಶ್ನೆ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಲ್ಲವೂ ಪರಿಪೂರ್ಣ; ಪರೀಕ್ಷಕ “ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ” ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ ಆದರೆ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸೀಮಿತ. (ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ: ಪರಿಶೀಲಿಸಿ 11³ = 1331, 10³ = 1000, 9³ = 729, 12³ = 1728 → ಎಲ್ಲವೂ ಪರಿಪೂರ್ಣ; ಆದ್ದರಿಂದ “ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ” ಆಯ್ಕೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಆರಿಸಿ; ಇಲ್ಲಿ D ತಪ್ಪಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣವಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ.)
ನಿಜವಾದ ಟ್ರಿಕ್: 1728 8 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ → ಘನಮೂಲವು 2 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬೇಕು → 12³ = 1728 → ಪರಿಪೂರ್ಣ.
ಟ್ಯಾಗ್: ಘನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ -
√5625 ÷ 5 = ? ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30
ಉತ್ತರ: A) 15
ಪರಿಹಾರ: √5625 = 75 → 75 ÷ 5 = 15
ಟ್ಯಾಗ್: ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ -
∛125000 = ? ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 50 B) 100 C) 40 D) 500
ಉತ್ತರ: A) 50
ಪರಿಹಾರ: 125000 = 125 × 1000 → ∛125 × ∛1000 = 5 × 10 = 50
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 125 & 1000 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.
ಟ್ಯಾಗ್: ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ -
√500 ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ. ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24
ಉತ್ತರ: B) 22
ಪರಿಹಾರ: 22² = 484; 23² = 529 → 500 484 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಸರಾಸರಿ: (22+23)/2 ≈ 22.5 → ಪರಿಶೀಲಿಸಿ 22.5² = 506.25 >500 → 22 ಅನ್ನು ಆರಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಅಂದಾಜು -
x² = 0.0081 ಆದರೆ, x = ? ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 0.09 B) 0.9 C) 0.009 D) 0.03
ಉತ್ತರ: A) 0.09
ಪರಿಹಾರ: x = √0.0081 = √(81 × 10⁻⁴) = 9 × 10⁻² = 0.09
ಟ್ಯಾಗ್: ದಶಮಾಂಶ ವರ್ಗ -
ಸರಳೀಕರಿಸಿ: √(81/144). ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 2/3 B) 3/4 C) 4/3 D) 9/12
ಉತ್ತರ: B) 3/4
ಪರಿಹಾರ: √81 / √144 = 9/12 = 3/4
ಟ್ಯಾಗ್: ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಮೂಲ -
100 ಮತ್ತು 300 ರ ನಡುವಿನ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11
ಉತ್ತರ: C) 10
ಪರಿಹಾರ: 10² = 100 & 17² = 289; 18² = 324 >300 → 10 ರಿಂದ 17 ಸೇರಿದಂತೆ = 8 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು; 100 & 300 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ → 17–10+1 = 8; ಆದರೆ 100 & 300 ಸೇರಿಲ್ಲ → 8. ನಿರೀಕ್ಷೆ: 100 ಹೊರತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ? ಪ್ರಶ್ನೆಯು “ನಡುವೆ” ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ → ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ → 121…289 → 11² ರಿಂದ 17² → 7 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆರ್.ಆರ್.ಬಿ “ನಡುವೆ” ಅನ್ನು ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ → 7. ಆದರೆ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ 7 ಇಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆರ್.ಆರ್.ಬಿ ಪೇಪರ್ಗಳಲ್ಲಿ “ನಡುವೆ” ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯ ನಂತರದ ವರ್ಗವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ → 10² = 100 (ಕೆಳಗಿನ ತುದಿ ಎಣಿಕೆಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ) → 11²…17² → 7. ಹತ್ತಿರದ ಆಯ್ಕೆ A) 8 (100 ಎಣಿಕೆಗೆ ಸೇರಿದರೆ 10²…17² = 8). ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳಿ: 10² ರಿಂದ 17² → 8 ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು.
ಟ್ಯಾಗ್: ಎಣಿಕೆ -
√(0.01) + ∛(0.001) = ? ಆಯ್ಕೆಗಳು
A) 0.1 B) 0.11 C) 0.2 D) 0.02
ಉತ್ತರ: B) 0.11
ಪರಿಹಾರ: 0.1 + 0.1 = 0.2? ಇಲ್ಲ: √0.01 = 0.1; ∛0.001 = 0.1 → ಮೊತ್ತ = 0.2 → ಆಯ್ಕೆ C) 0.2
ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: 0.1 + 0.1 = 0.2 → ಉತ್ತರ: C) 0.2
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳು 0.1 ನೀಡುತ್ತವೆ → ಅದನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ.
ಟ್ಯಾಗ್: ದಶಮಾಂಶ ಸಂಯೋಜನೆ
ವೇಗದ ಟ್ರಿಕ್ಗಳು
| ಪರಿಸ್ಥಿತಿ | ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ | ಉದಾಹರಣೆ |
|---|---|---|
| √ ನ ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ | 1→1, 4→2/8, 9→3/7, 6→4/6, 5→5, 0→0 | √13689 3/7 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; 110²=12100, 120²=14400 → 117 ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ → ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ |
| ∛ ನ ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ | 1→1, 8→2, 7→3, 4→4, 5→5, 6→6, 3→7, 2→8, 9→9, 0→0 | ∛438976 6 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ → ಮೂಲವು 6 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ |
| ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಮೂಲಗಳು | √(a/b) = √a / √b | √(225/256) = 15/16 |
| 4-ಅಂಕಿಯ √ ವಿಭಜನೆ | ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ: √1521 → ಜೋಡಿ 15 & 21; 15 ಕ್ಕಿಂತ ≤ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗ 9 (3) → ಮುಂದಿನ ಅಂಕೆ 9 → 39² = 1521 | |
| ಪರಿಪೂರ್ಣಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಿ | ಪರಿಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ 608: 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ → 3648 ≈ 60.4; ಆದರೆ 608 × 2 = 1216 = 4 × 304; 30² ವರೆಗಿನ ವರ್ಗಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು 20³ ವರೆಗಿನ ಘನಗಳನ್ನು ಮನಃಪಾಠ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ |
ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ
| ಪಾಯಿಂಟ್ | ವಿವರ |
|---|---|
| 1 | 1-30 ರ ವರ್ಗಗಳು & 1-20 ರ ಘನಗಳನ್ನು ಮನಃಪಾಠ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ |
| 2 | ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಏಕಮಾನ ಅಂಕಿಯು ಎಂದಿಗೂ 2,3,7,8 ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ |
| 3 | ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೂನ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ √ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ |
| 4 | √ ಅಂದಾಜಿಗೆ, ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನ: ಊಹೆ → ಭಾಗಿಸಿ → ಸರಾಸರಿ |
| 5 | ನಿಖರವಾದ ಮೂಲಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಗುಣಕೀಕರಣವು ಖಚಿತವಾದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ |
| 6 | √(x²y) = x√y (ಸರಳೀಕರಣ) |
| 7 | ∛(x³y) = x∛y |
| 8 | ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಸಮ; ಬೆಸ → ಬೆಸ |
| 9 | ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನೈಜ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ |
| 10 | ಯಾವಾಗಲೂ ಮೊದಲು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ—ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು |
BETA
