आपण वस्तूंची गती आणि गतीचे कारण म्हणून बल याबद्दल शिकलो आहोत. आपण शिकलो आहोत की एखाद्या वस्तूचा वेग किंवा गतीची दिशा बदलण्यासाठी बलाची आवश्यकता असते. आपण नेहमी पाहतो की उंचीवरून सोडलेली वस्तू पृथ्वीकडे पडते. आपल्याला माहित आहे की सर्व ग्रह सूर्याभोवती फिरतात. चंद्र पृथ्वीभोवती फिरतो. या सर्व प्रकरणांमध्ये, वस्तूंवर, ग्रहांवर आणि चंद्रावर काही बल कार्य करत असणे आवश्यक आहे. आयझॅक न्यूटन यांना हे समजले की या सर्वांसाठी समान बल जबाबदार आहे. या बलाला गुरुत्वाकर्षण बल म्हणतात.

या अध्यायात आपण गुरुत्वाकर्षण आणि गुरुत्वाकर्षणाचा सार्वत्रिक नियम याबद्दल शिकू. आपण पृथ्वीवरील गुरुत्वाकर्षण बलाच्या प्रभावाखाली वस्तूंच्या गतीची चर्चा करू. शरीराचे वजन ठिकाणापासून ठिकाणी कसे बदलते याचा आपण अभ्यास करू. आपण द्रवांमध्ये वस्तू तरंगण्याच्या अटींची देखील चर्चा करू.

९.१ गुरुत्वाकर्षण

आपल्याला माहित आहे की चंद्र पृथ्वीभोवती फिरतो. एखादी वस्तू वर फेकल्यावर, एका विशिष्ट उंचीवर पोहोचते आणि नंतर खाली पडते. असे म्हटले जाते की न्यूटन झाडाखाली बसले असताना, एक सफरचंद त्यांच्यावर पडले. सफरचंदाच्या पडण्याने न्यूटन विचार करू लागले. त्यांनी विचार केला की: जर पृथ्वी सफरचंदाला आकर्षित करू शकते, तर ती चंद्राला आकर्षित करू शकत नाही का? दोन्ही प्रकरणांमध्ये बल समान आहे का? त्यांनी अंदाज लावला की दोन्ही प्रकरणांमध्ये समान प्रकारचे बल जबाबदार आहे. त्यांनी युक्तिवाद केला की त्याच्या कक्षेच्या प्रत्येक बिंदूवर, चंद्र सरळ रेषेत जाण्याऐवजी पृथ्वीकडे पडतो. त्यामुळे तो पृथ्वीकडे आकर्षित झाला पाहिजे. पण आपल्याला खरोखर चंद्र पृथ्वीकडे पडताना दिसत नाही.

कृती ७.११ आठवून चंद्राची हालचाल समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया.

कृती ९.१

• एक दोराचा तुकडा घ्या.

• एका टोकाला एक लहान दगड बांधा. दोराचे दुसरे टोक धरून आकृती ९.१ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे त्याला गोल फिरवा.

• दगडाची हालचाल लक्षात घ्या.

• दोरा सोडा.

• पुन्हा, दगडाच्या हालचालीची दिशा लक्षात घ्या.

आकृती ९.१: स्थिर परिमाणाच्या वेगाने वर्तुळाकार मार्गाचे वर्णन करणारा एक दगड.

दोरा सोडण्यापूर्वी, दगड एका विशिष्ट गतीने वर्तुळाकार मार्गाने फिरतो आणि प्रत्येक बिंदूवर दिशा बदलतो. दिशेतील बदलामध्ये वेग किंवा त्वरणात बदल समाविष्ट असतो. हे त्वरण निर्माण करणारे आणि शरीराला वर्तुळाकार मार्गावर फिरत ठेवणारे बल केंद्राकडे कार्य करत आहे. या बलाला अभिकेंद्री बल (अर्थ ‘केंद्र-शोधणारे’) म्हणतात.

या बलाच्या अनुपस्थितीत, दगड सरळ रेषेत उडतो. ही सरळ रेषा वर्तुळाकार मार्गाची स्पर्शिका असेल.

एका आणि फक्त एका बिंदूवर वर्तुळाला भेटणाऱ्या सरळ रेषेला वर्तुळाची स्पर्शिका म्हणतात. सरळ रेषा $ABC$ ही बिंदू B वर वर्तुळाची स्पर्शिका आहे.

पृथ्वीभोवती चंद्राची हालचाल अभिकेंद्री बलामुळे होते. अभिकेंद्री बल पृथ्वीच्या आकर्षण बलाने पुरवले जाते. जर असे कोणतेही बल नसते तर चंद्र एकसमान सरळ रेषेची हालचाल करत राहिला असता.

असे दिसून येते की पडणारे सफरचंद पृथ्वीकडे आकर्षित होते. सफरचंद पृथ्वीला आकर्षित करते का? जर होय, तर आपल्याला पृथ्वी सफरचंदाकडे सरकताना दिसत नाही. का?

गतीच्या तिसऱ्या नियमानुसार, सफरचंद पृथ्वीला आकर्षित करते. परंतु गतीच्या दुसऱ्या नियमानुसार, दिलेल्या बलासाठी, त्वरण हे वस्तूच्या वस्तुमानाच्या व्यस्त प्रमाणात असते [समीकरण (८.४)]. सफरचंदाचे वस्तुमान पृथ्वीच्या तुलनेत नगण्य आहे. त्यामुळे पृथ्वी सफरचंदाकडे सरकताना आपल्याला दिसत नाही. पृथ्वी चंद्राकडे का सरकत नाही यासाठी समान युक्तिवाद वाढवा.

आपल्या सौरमंडळात, सर्व ग्रह सूर्याभोवती फिरतात. त्याच प्रकारे युक्तिवाद करून, आपण असे म्हणू शकतो की सूर्य आणि ग्रहांमध्ये एक बल अस्तित्वात आहे. वरील तथ्यांवरून न्यूटन यांनी असा निष्कर्ष काढला की केवळ पृथ्वी सफरचंद आणि चंद्रालाच आकर्षित करत नाही तर विश्वातील सर्व वस्तू एकमेकांना आकर्षित करतात. वस्तूंमधील या आकर्षण बलाला गुरुत्वाकर्षण बल म्हणतात.

९.१.१ गुरुत्वाकर्षणाचा सार्वत्रिक नियम

विश्वातील प्रत्येक वस्तू इतर प्रत्येक वस्तूला एका बलाने आकर्षित करते जे त्यांच्या वस्तुमानांच्या गुणाकाराच्या सम प्रमाणात आणि त्यांच्यामधील अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात असते. बल दोन वस्तूंच्या केंद्रांना जोडणाऱ्या रेषेच्या बाजूने असते.

आकृती ९.२: दोन एकसमान वस्तूंमधील गुरुत्वाकर्षण बल त्यांच्या केंद्रांना जोडणाऱ्या रेषेच्या बाजूने निर्देशित केले जाते.

दोन वस्तू A आणि B ज्यांचे वस्तुमान $M$ आणि $m$ आहेत त्या एकमेकांपासून $d$ अंतरावर आहेत असे आकृती ९.२ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे समजू. दोन वस्तूंमधील आकर्षण बल $F$ असू द्या. गुरुत्वाकर्षणाच्या सार्वत्रिक नियमानुसार, दोन वस्तूंमधील बल त्यांच्या वस्तुमानांच्या गुणाकाराच्या सम प्रमाणात असते. ते आहे,

$$F \propto M \times m \tag{9.1}$$

आणि दोन वस्तूंमधील बल त्यांच्यामधील अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात असते, ते आहे,

$$ F \propto \frac{1}{d^{2}} \tag{9.2} $$

समीकरणे (१०.१) आणि (१०.२) एकत्र करून, आपल्याला मिळते

$$ F \propto \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.3} $$

किंवा, $$F=G \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.4}$$

जेथे $G$ हे समानुपातिकतेचे स्थिरांक आहे आणि त्याला सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक म्हणतात. क्रॉसवाईज गुणाकार करून, समीकरण (९.४) देते

$$ \begin{align*} & F \times d^{2}=\mathrm{G} M \times m \\ & \text { or } \mathrm{G}=\frac{F d^{2}}{M \times m} \tag{9.5} \end{align*} $$

$G$ चे SI एकक समीकरण (९.५) मध्ये बल, अंतर आणि वस्तुमानाची एकके बदलून $N m^{2} kg^{-2}$ म्हणून मिळवता येते.

$G$ चे मूल्य हेन्री कॅव्हेंडिश (१७३१ - १८१०) यांनी संवेदनशील तुला वापरून शोधून काढले. $G$ चे स्वीकृत मूल्य $6.673 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ आहे.

आपल्याला माहित आहे की कोणत्याही दोन वस्तूंमध्ये आकर्षण बल अस्तित्वात असते. तुमच्या आणि जवळ बसलेल्या तुमच्या मित्रामधील या बलाचे मूल्य काढा. तुम्हाला हे बल का अनुभवत नाही याचा निष्कर्ष काढा!

हा नियम सार्वत्रिक आहे या अर्थाने की तो सर्व शरीरांना लागू आहे, मग शरीरे मोठी असोत किंवा लहान असोत, ते आकाशीय असोत किंवा स्थलीय असोत.

व्यस्त-वर्ग

$F$ हे $d$ च्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात आहे असे म्हणणे म्हणजे, उदाहरणार्थ, जर $d$ $6, F$ च्या घटकाने मोठे झाले तर $\frac{1}{36}$ पट लहान होते.

उदाहरण ९.१ पृथ्वीचे वस्तुमान $6 \times 10^{24} kg$ आहे आणि चंद्राचे वस्तुमान $7.4 \quad 10^{22} kg$ आहे. जर पृथ्वी आणि चंद्र यांच्यातील अंतर $3.8410^{5} km$ असेल, तर पृथ्वीने चंद्रावर प्रयुक्त केलेले बल काढा. ($G=6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ घ्या)

उकल:

पृथ्वीचे वस्तुमान, $M=6 \quad 10^{24} kg$

चंद्राचे वस्तुमान, $m=7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}$

पृथ्वी आणि चंद्र यांच्यातील अंतर,

$$ \begin{aligned} d & =3.84 \quad 10^{5} km \\ & =3.84 \quad 10^{5} \quad 1000 m \\ & =3.84 \quad 10^{8} m \\ G & =6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \end{aligned} $$

समीकरण (९.४) वरून, पृथ्वीने चंद्रावर प्रयुक्त केलेले बल आहे

$F=G \frac{M \times m}{d^{2}}$

$$ =\frac{6.7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2} \times 6 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \times 7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}}{\left(3.84 \times 10^{8} \mathrm{~m}\right)^{2}} $$

$=2.02 \times 10^{20} N$.

अशा प्रकारे, पृथ्वीने चंद्रावर प्रयुक्त केलेले बल $2.02 \times 10^{20} N$ आहे.

९.१.२ गुरुत्वाकर्षणाच्या सार्वत्रिक नियमाचे महत्त्व

गुरुत्वाकर्षणाच्या सार्वत्रिक नियमाने अनेक घटनांचे यशस्वीरित्या स्पष्टीकरण केले जे एकमेकांशी संबंधित नसल्याचे मानले जात होते:

(i) आपल्याला पृथ्वीशी बांधणारे बल;

(ii) पृथ्वीभोवती चंद्राची हालचाल;

(iii) सूर्याभोवती ग्रहांची हालचाल; आणि

(iv) चंद्र आणि सूर्यामुळे भरती-ओहोटी.

९.२ मुक्त पतन

ही कृती करून मुक्त पतनाचा अर्थ समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया.

कृती ९.२

• एक दगड घ्या.

• तो वर फेका.

• तो एका विशिष्ट उंचीवर पोहोचतो आणि नंतर तो खाली पडू लागतो.

आपण शिकलो आहोत की पृथ्वी वस्तूंना स्वतःकडे आकर्षित करते. हे गुरुत्वाकर्षण बलामुळे होते. जेव्हा जेव्हा वस्तू केवळ या बलाखाली पृथ्वीकडे पडतात, तेव्हा आपण म्हणतो की त्या वस्तू मुक्त पतनात आहेत. पडणाऱ्या वस्तूंच्या वेगात काही बदल होतो का? पडताना, वस्तूंच्या गतीच्या दिशेत कोणताही बदल होत नाही. परंतु पृथ्वीच्या आकर्षणामुळे वेगाच्या परिमाणात बदल होईल. वेगातील कोणताही बदल म्हणजे त्वरण. जेव्हा जेव्हा एखादी वस्तू पृथ्वीकडे पडते, तेव्हा त्वरण समाविष्ट असते. हे त्वरण पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण बलामुळे होते. म्हणून, या त्वरणाला पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण बलामुळे त्वरण (किंवा गुरुत्वाकर्षणामुळे त्वरण) म्हणतात. हे $g$ द्वारे दर्शविले जाते. $g$ चे एकक त्वरणाच्या समान आहे, म्हणजे, $m s^{-2}$.

गतीच्या दुसऱ्या नियमावरून आपल्याला माहित आहे की बल हे वस्तुमान आणि त्वरण यांचा गुणाकार आहे. कृती ९.२ मधील दगडाचे वस्तुमान $m$ असू द्या. आपल्याला आधीच माहित आहे की गुरुत्वाकर्षण बलामुळे पडणाऱ्या वस्तूंमध्ये त्वरण समाविष्ट असते आणि ते $g$ द्वारे दर्शविले जाते. म्हणून गुरुत्वाकर्षण बलाचे परिमाण $F$ हे वस्तुमान आणि गुरुत्वाकर्षण बलामुळे होणाऱ्या त्वरणाच्या गुणाकाराच्या समान असेल, म्हणजे,

$$ \begin{equation*} F=m g \tag{9.6} \end{equation*} $$

समीकरणे (९.४) आणि (९.६) वरून आपल्याकडे आहे

$$ \begin{aligned} & m g=G \frac{M \times m}{d^{2}} \\ & \text{ or } g=G \frac{M}{d^{2}} \end{aligned} $$

जेथे $M$ हे पृथ्वीचे वस्तुमान आहे, आणि $d$ हे वस्तू आणि पृथ्वी यांच्यातील अंतर आहे.

एखादी वस्तू पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर किंवा जवळ असू द्या. समीकरण (९.७) मधील अंतर $d$ हे पृथ्वीची त्रिज्या $R$ च्या समान असेल. अशा प्रकारे, पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर किंवा जवळ असलेल्या वस्तूंसाठी,

$$ \begin{aligned} m g & =G \frac{M \times m}{R^{2}} \\ g & =G \frac{M}{R^{2}} \end{aligned} $$

पृथ्वी एक परिपूर्ण गोल नाही. पृथ्वीची त्रिज्या ध्रुवांपासून विषुववृत्तापर्यंत वाढल्यामुळे, $g$ चे मूल्य ध्रुवांवर विषुववृत्तापेक्षा जास्त होते. बहुतेक गणनेसाठी, आपण $g$ ला पृथ्वीवर किंवा जवळ अधिक किंवा कमी स्थिर मानू शकतो. परंतु पृथ्वीपासून दूर असलेल्या वस्तूंसाठी, पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण बलामुळे होणारे त्वरण समीकरण (९.७) द्वारे दिले जाते.

९.२.१ $g$ चे मूल्य काढणे

$g$ चे मूल्य काढण्यासाठी, आपण G, $M$ आणि $R$ ची मूल्ये समीकरण (९.९) मध्ये ठेवली पाहिजेत, म्हणजे, सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, $G=6.7 \times 10^{-}$ ${ }^{11} N m^{2} kg^{-2}$, पृथ्वीचे वस्तुमान, $M=6 \times 10^{24} kg$, आणि पृथ्वीची त्रिज्या, $R=6.4 \times 10^{6} m$.

$$ \begin{aligned} g & =G \frac{M}{R^{2}} \\ & =\frac{6.7 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \times 6 \times 10^{24} kg}{(6.4 \times 10^{6} m)^{2}} \\ & =9.8 m s^{-2} . \end{aligned} $$

अशा प्रकारे, पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे होणाऱ्या त्वरणाचे मूल्य, $g=9.8 m s^{-2}$.

९.२.२ पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण बलाच्या प्रभावाखाली वस्तूंची हालचाल

सर्व वस्तू पोकळ किंवा घन, मोठ्या किंवा लहान, एकाच उंचीवरून एकाच वेगाने पडतील का हे समजून घेण्यासाठी एक कृती करूया.

कृती ९.३

• कागदाचा एक पत्रा आणि एक दगड घ्या. इमारतीच्या पहिल्या मजल्यावरून त्यांना एकाच वेळी सोडा. दोन्ही एकाच वेळी जमिनीवर पोहोचतात का ते पहा.

• आपण पाहतो की कागद दगडापेक्षा थोडा उशिरा जमिनीवर पोहोचतो. हे हवेच्या प्रतिकारामुळे घडते. हवा पडणाऱ्या वस्तूंच्या हालचालीला घर्षणामुळे प्रतिकार करते. कागदाला हवेने दिलेला प्रतिकार दगडाला दिलेल्या प्रतिकारापेक्षा जास्त असतो. जर आपण हा प्रयोग एका काचेच्या जारमध्ये केला ज्यातून हवा बाहेर काढली गेली असेल, तर कागद आणि दगड एकाच वेगाने पडतील.

आपल्याला माहित आहे की मुक्त पतनादरम्यान एखाद्या वस्तूला त्वरण अनुभवते. समीकरण (९.९) वरून, वस्तूने अनुभवलेले हे त्वरण त्याच्या वस्तुमानापेक्षा स्वतंत्र असते. याचा अर्थ असा की सर्व वस्तू पोकळ किंवा घन, मोठ्या किंवा लहान, एकाच वेगाने पडाव्यात. एका कथेनुसार, गॅलिलिओ यांनी तेच सिद्ध करण्यासाठी इटलीमधील लीनिंग टॉवर ऑफ पिसाच्या शिखरावरून विविध वस्तू टाकल्या.

$g$ पृथ्वीजवळ स्थिर असल्यामुळे, वस्तूंच्या एकसमान प्रवेगित गतीसाठीची सर्व समीकरणे त्वरण a ला $g$ ने बदलून वैध होतात. समीकरणे आहेत:

$$ \begin{aligned} & v=u+a t \\ & s=u t+\frac{1}{2} a t^{2} \\ & v^{2}=u^{2}+2 a s \end{aligned} $$

जेथे $u$ आणि $v$ हे प्रारंभिक आणि अंतिम वेग आहेत आणि $s$ हे $t$ वेळेत कापलेले अंतर आहे.

ही समीकरणे लागू करताना, आपण त्वरण, a ला धनात्मक मानू जेव्हा ते वेगाच्या दिशेने, म्हणजे गतीच्या दिशेने असेल. त्वरण, a ला ऋणात्मक मानले जाईल जेव्हा ते गतीला विरोध करते.

उदाहरण ९.२ एक कार एका कड्यावरून पडते आणि $0.5 s$ मध्ये जमिनीवर पडते. $g=10 m s^{-2}$ घ्या (गणना सोप्या करण्यासाठी).

(i) जमिनीवर आदळल्यावर त्याचा वेग किती असेल?

(ii) $0.5 s$ दरम्यान त्याचा सरासरी वेग किती असेल?

(iii) कडा जमिनीपासून किती उंच आहे?

उकल:

वेळ, $t=1 / 2$ सेकंद

प्रारंभिक वेग, $u=0 m s^{-1}$

गुरुत्वाकर्षणामुळे त्वरण, $g=10 m s^{-2}$

कारचे त्वरण, $a=+10 m s^{-2}$

(खालच्या दिशेने)

(i) वेग

$$ \begin{aligned} V & =a t \\ V & =10 m s^{-2} \times 0.5 s \\ & =5 m s^{-1} \end{aligned} $$

(ii) सरासरी वेग $=\frac{u+v}{2}$

$$ \begin{aligned} & =(0 m s^{-1}+5 m s^{-1}) / 2 \\ & =2.5 m s^{-1} \end{aligned} $$

(iii) प्रवास केलेले अंतर, $s=1 / 2 a t^{2}$

$$ \begin{aligned} & =1 / 2 \times 10 m s^{-2} \times(0.5 s)^{2} \\ & =1 / 2 \times 10 m s^{-2} \times 0.25 s^{2} \\ & =1.25 m \end{aligned} $$

अशा प्रकारे,

(i) जमिनीवर आदळल्यावर त्याचा वेग

$ =5 m s^{-1} $

(ii) $0.5 s$ दरम्यान त्याचा सरासरी वेग

$ =2.5 m s^{-1} $

(iii) जमिनीपासून कड्याची उंची $=1.25 m$.

उदाहरण ९.३ एक वस्तू उभ्या वर फेकली जाते आणि $10 m$ उंचीपर्यंत वाढते. (i) वस्तू ज्या वेगाने वर फेकली गेली तो वेग आणि (ii) वस्तूला सर्वोच्च बिंदू गाठण्यासाठी लागणारा वेळ काढा.

उकल:

प्रवास केलेले अंतर, $s=10 m$

अंतिम वेग, $v=0 m s^{-1}$

गुरुत्वाकर्षणामुळे त्वरण, $g=9.8 m s^{-2}$

वस्तूचे त्वरण, $a=-9.8 m s^{-2}$

(वरच्या दिशेने गती)

(i) $v^{2}=u^{2}+2 a s$

$$ \begin{aligned} & 0=u^{2}+2 \times(-9.8 m s^{-2}) \times 10 m \\ & -u^{2}=-2 \times 9.8 \times 10 m^{2} s^{-2} \\ & u=\sqrt{196} m s^{-1} \\ & u=14 m s^{-1} \\ & v=u+a t \\ & 0=14 m s^{-1}-9.8 m s^{-2} \times t \\ & t=1.43 s \end{aligned} $$

(ii) $\quad v=u+a t$

अशा प्रकारे,

(i) प्रारंभिक वेग, $u=14 m s^{-1}$, आणि

(ii) घेतलेला वेळ, $t=1.43 s$.

९.३ वस्तुमान

मागील अध्यायात आपण शिकलो आहोत की एखाद्या वस्तूचे वस्तुमान हे त्याच्या जडत्वाचे माप आहे. आपण हे देखील शिकलो आहोत की वस्तुमान जितके जास्त तितके जडत्व जास्त. वस्तू पृथ्वीवर असो, चंद्रावर असो किंवा अंतराळातही असो ते तेच राहते. अशा प्रकारे, वस्तूचे वस्तुमान स्थिर असते आणि ते ठिकाणापासून ठिकाणी बदलत नाही.

९.४ वजन

आपल्याला माहित आहे की पृथ्वी प्रत्येक वस्तूला एका विशिष्ट बलाने आकर्षित करते आणि हे बल वस्तूच्या वस्तुमान $(m)$ आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणाऱ्या त्वरण $(g)$ वर अवलंबून असते. वस्तूचे वजन हे त्या बलाचे असते ज्याने ती पृथ्वीकडे आकर्षित होते.

आपल्याला माहित आहे की

$ \begin{equation*} F=m \times a \tag{9.13} \end{equation*} $

ते आहे

$ \begin{equation*} F=m \times g \tag{9.14} \end{equation*} $

वस्तूवर पृथ्वीच्या आकर्षण बलाला त्या वस्तूचे वजन म्हणतात. हे $W$ द्वारे दर्शविले जाते. समीकरण (९.१४) मध्ये तेच बदलल्यास, आपल्याकडे आहे

$ \begin{equation*} W=m \times g \tag{9.15} \end{equation*} $

वस्तूचे वजन हे ते बल असल्यामुळे ज्याने ती पृथ्वीकडे आकर्षित होते, वजनाचे SI एकक बलाच्या समान आहे, म्हणजे, न्यूटन (N). वजन हे उभ्या खालच्या दिशेने कार्य करणारे बल आहे; त्याचे परिमाण आणि दिशा दोन्ही आहेत.

आपण शिकलो आहोत की $g$ चे मूल्य दिलेल्या ठिकाणी स्थिर असते. म्हणून दिलेल्या ठिकाणी, वस्तूचे वजन वस्तूच्या वस्तुमानाशी, म्हणा $m$, सम प्रमाणात असते, म्हणजे, $W \propto m$. याच कारणास्तव, दिलेल्या ठिकाणी, आपण वस्तूचे वजन त्याच्या वस्तुमानाचे माप म्हणून वापरू शकतो. वस्तूचे वस्तुमान सर्वत्र समान राहते, म्हणजे, पृथ्वीवर आणि कोणत्याही ग्रहावर तर त्याचे वजन त्याच्या स्थानावर अवलंबून असते कारण $g$ स्थानावर अवलंबून असते.

९.४.१ चंद्रावरील वस्तूचे वजन

आपण शिकलो आहोत की पृथ्वीवरील वस्तूचे वजन हे ते बल आहे ज्याने पृथ्वी त्या वस्तूला आकर्षित करते. त्याच प्रकारे, चंद्रावरील वस्तूचे वजन हे ते बल आहे ज्याने चंद्र त्या वस्तूला आकर्षित करतो. चंद्राचे वस्तुमान पृथ्वीपेक्षा कमी आहे. यामुळे चंद्र वस्तूंवर कमी आकर्षण बल प्रयुक्त करतो.

वस्तूचे वस्तुमान $m$ असू द्या. चंद्रावरील त्याचे वजन $W_m$ असू द्या. चंद्राचे वस्तुमान $M_m$ आणि त्याची त्रिज्या $R_m$ असू द्या.

गुरुत्वाकर्षणाचा सार्वत्रिक नियम लागू करून, चंद्रावरील वस्तूचे वजन असेल

$$ \begin{equation*} W _{m}=\mathrm{G} \frac{M _{m} \times m}{R _{m}^{2}} \tag{9.16} \end{equation*} $$

त्याच वस्तूचे पृथ्वीवरील वजन $W_e$ असू द्या. पृथ्वीचे वस्तुमान $M$ आहे आणि त्याची त्रिज्या $R$ आहे.

तक्ता ९.१

समीकरणे (९.९) आणि (९.१५) वरून आपल्याकडे आहे,

$$ \begin{equation*} W_e=G \frac{M \times m}{R^{2}} \tag{9.17} \end{equation*} $$

तक्ता ९.१ मधील मूल्ये समीकरणे (९.१६) आणि (९.१७) मध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळते

$$ \begin{gathered} W_m=G \frac{7.36 \times 10^{22} kg \times m}{(1.74 \times 10^{6} m)^{2}} \end{gathered} $$

$$ W_m=2.431 \times 10^{10} G \times m \tag{9.18a} $$

आणि $$ \begin{equation*} W _{m}=2.431 \times 10^{10} \mathrm{G} \times m \tag{9.18b} \end{equation*} $$

समीकरण (९.१८a) ला समीकरण (९.१८b) ने भागल्यास, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} \frac{W_m}{W_e} & =\frac{2.431 \times 10^{10}}{1.474 \times 10^{11}} \end{aligned} $$

किंवा $$ \frac{W_m}{W_e} =0.165 \approx \frac{1}{6} \tag{9.19} $$

$$ \frac{\text{ Weight of the object on the moon }}{\text{ Weight of the object on the earth }}=\frac{1}{6} $$

चंद्रावरील वस्तूचे वजन

$$ =(1 / 6) \times \text{ its weight on the earth. } $$

उदाहरण ९.४ वस्तूचे वस्तुमान $10 kg$ आहे. पृथ्वीवर त्याचे वजन किती असेल?

उकल:

वस्तुमान, $m=10 kg$

गुरुत्वाकर्षणामुळे त्वरण, $g=9.8 m s^{-2}$

$$ \begin{aligned} & W=m \times g \\ & W=10 kg \times 9.8 m s^{-2}=98 N \end{aligned} $$

अशा प्रकारे, वस्तूचे वजन $98 N$ आहे.

**उदाहरण ९.