हमने वस्तुओं की गति और गति के कारण के रूप में बल के बारे में सीखा है। हमने सीखा है कि किसी वस्तु की गति की चाल या दिशा बदलने के लिए एक बल की आवश्यकता होती है। हम हमेशा देखते हैं कि ऊँचाई से गिराई गई कोई वस्तु पृथ्वी की ओर गिरती है। हम जानते हैं कि सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाते हैं। चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगाता है। इन सभी स्थितियों में, वस्तुओं, ग्रहों और चंद्रमा पर कोई न कोई बल अवश्य कार्य कर रहा होता है। आइजैक न्यूटन यह समझ पाए कि इन सभी के लिए एक ही बल उत्तरदायी है। इस बल को गुरुत्वाकर्षण बल कहते हैं।

इस अध्याय में हम गुरुत्वाकर्षण और गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के बारे में सीखेंगे। हम पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में वस्तुओं की गति पर चर्चा करेंगे। हम अध्ययन करेंगे कि किसी पिंड का भार स्थान-स्थान पर कैसे बदलता है। हम तरल पदार्थों में वस्तुओं के तैरने की शर्तों पर भी चर्चा करेंगे।

9.1 गुरुत्वाकर्षण

हम जानते हैं कि चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगाता है। जब कोई वस्तु ऊपर की ओर फेंकी जाती है, तो वह एक निश्चित ऊँचाई तक पहुँचती है और फिर नीचे की ओर गिरती है। कहा जाता है कि जब न्यूटन एक पेड़ के नीचे बैठे थे, तो एक सेब उन पर गिरा। सेब के गिरने ने न्यूटन को सोचने पर मजबूर कर दिया। उन्होंने सोचा: यदि पृथ्वी एक सेब को आकर्षित कर सकती है, तो क्या वह चंद्रमा को आकर्षित नहीं कर सकती? क्या दोनों ही स्थितियों में बल एक समान है? उन्होंने अनुमान लगाया कि दोनों ही स्थितियों में एक ही प्रकार का बल उत्तरदायी है। उन्होंने तर्क दिया कि अपनी कक्षा के प्रत्येक बिंदु पर, चंद्रमा सीधी रेखा में जाने के बजाय पृथ्वी की ओर गिरता है। अतः, यह अवश्य ही पृथ्वी द्वारा आकर्षित होता होगा। लेकिन हम वास्तव में चंद्रमा को पृथ्वी की ओर गिरते हुए नहीं देखते।

आइए गतिविधि 7.11 को याद करके चंद्रमा की गति को समझने का प्रयास करें।

गतिविधि 9.1

• एक धागे का टुकड़ा लीजिए।

• एक सिरे पर एक छोटा पत्थर बाँध दीजिए। धागे के दूसरे सिरे को पकड़कर उसे चित्र 9.1 में दर्शाए अनुसार घुमाइए।

• पत्थर की गति पर ध्यान दीजिए।

• धागे को छोड़ दीजिए।

• पुनः, पत्थर की गति की दिशा पर ध्यान दीजिए।

चित्र 9.1: एक पत्थर जो नियत परिमाण के वेग से एक वृत्तीय पथ पर गति कर रहा है।

धागे को छोड़ने से पहले, पत्थर एक निश्चित चाल से वृत्तीय पथ पर गति करता है और प्रत्येक बिंदु पर दिशा बदलता है। दिशा में परिवर्तन में वेग या त्वरण में परिवर्तन शामिल होता है। यह त्वरण उत्पन्न करने वाला और पिंड को वृत्तीय पथ पर गति कराता रहने वाला बल केंद्र की ओर कार्य कर रहा होता है। इस बल को अभिकेंद्रीय (अर्थात ‘केंद्र की ओर खिंचने वाला’) बल कहते हैं।

इस बल की अनुपस्थिति में, पत्थर एक सीधी रेखा के अनुदिश उड़ जाता है। यह सीधी रेखा वृत्तीय पथ की स्पर्श रेखा होगी।

एक सीधी रेखा जो वृत्त को एक और केवल एक बिंदु पर मिलती है, उसे वृत्त की स्पर्श रेखा कहते हैं। सीधी रेखा $ABC$ बिंदु B पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।

चंद्रमा की पृथ्वी के चारों ओर गति अभिकेंद्रीय बल के कारण होती है। अभिकेंद्रीय बल पृथ्वी के आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है। यदि ऐसा कोई बल नहीं होता, तो चंद्रमा एकसमान सरल रेखीय गति करता।

यह देखा जाता है कि एक गिरता हुआ सेब पृथ्वी की ओर आकर्षित होता है। क्या सेब पृथ्वी को आकर्षित करता है? यदि हाँ, तो हम पृथ्वी को एक सेब की ओर गति करते हुए नहीं देखते। क्यों?

गति के तीसरे नियम के अनुसार, सेब पृथ्वी को आकर्षित अवश्य करता है। लेकिन गति के दूसरे नियम के अनुसार, दिए गए बल के लिए, त्वरण किसी वस्तु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है [समीकरण (8.4)]। एक सेब का द्रव्यमान पृथ्वी की तुलना में नगण्य रूप से छोटा है। इसलिए, हम पृथ्वी को सेब की ओर गति करते हुए नहीं देखते। इसी तर्क को आगे बढ़ाते हुए समझाइए कि पृथ्वी चंद्रमा की ओर क्यों नहीं गति करती।

हमारे सौर मंडल में, सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाते हैं। इसी प्रकार तर्क करते हुए, हम कह सकते हैं कि सूर्य और ग्रहों के बीच एक बल विद्यमान है। उपरोक्त तथ्यों से न्यूटन ने निष्कर्ष निकाला कि न केवल पृथ्वी एक सेब और चंद्रमा को आकर्षित करती है, बल्कि ब्रह्मांड की सभी वस्तुएँ एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं। वस्तुओं के बीच इस आकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण बल कहते हैं।

9.1.1 गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम

ब्रह्मांड की प्रत्येक वस्तु प्रत्येक दूसरी वस्तु को एक बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती होता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। बल दोनों वस्तुओं के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश होता है।

चित्र 9.2: दो एकसमान वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल उनके केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश होता है।

मान लीजिए दो वस्तुएँ A और B जिनके द्रव्यमान $M$ और $m$ हैं, एक-दूसरे से $d$ दूरी पर स्थित हैं जैसा कि चित्र 9.2 में दर्शाया गया है। मान लीजिए दोनों वस्तुओं के बीच आकर्षण बल $F$ है। गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार, दो वस्तुओं के बीच बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती होता है। अर्थात,

$$F \propto M \times m \tag{9.1}$$

और दो वस्तुओं के बीच बल उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात,

$$ F \propto \frac{1}{d^{2}} \tag{9.2} $$

समीकरणों (10.1) और (10.2) को संयोजित करने पर, हम पाते हैं

$$ F \propto \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.3} $$

या, $$F=G \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.4}$$

जहाँ $G$ आनुपातिकता का नियतांक है और इसे सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक कहते हैं। वज्र-गुणन करने पर, समीकरण (9.4) देता है

$$ \begin{align*} & F \times d^{2}=\mathrm{G} M \times m \\ & \text { or } \mathrm{G}=\frac{F d^{2}}{M \times m} \tag{9.5} \end{align*} $$

$G$ का SI मात्रक समीकरण (9.5) में बल, दूरी और द्रव्यमान के मात्रक प्रतिस्थापित करके $N m^{2} kg^{-2}$ के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

$G$ का मान हेनरी कैवेंडिश (1731 - 1810) द्वारा एक संवेदनशील तुला का उपयोग करके ज्ञात किया गया था। $G$ का स्वीकृत मान $6.673 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ है।

हम जानते हैं कि किन्हीं दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल विद्यमान होता है। आप और आपके पास बैठे मित्र के बीच इस बल के मान की गणना कीजिए। निष्कर्ष निकालिए कि आप इस बल का अनुभव क्यों नहीं करते!

यह नियम सार्वत्रिक इस अर्थ में है कि यह सभी पिंडों पर लागू होता है, चाहे पिंड बड़े हों या छोटे, चाहे वे आकाशीय हों या स्थलीय।

व्युत्क्रम-वर्ग

यह कहना कि $F$, $d$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है, का अर्थ है, उदाहरण के लिए, कि यदि $d$ $6, F$ गुना बड़ा हो जाता है, तो $\frac{1}{36}$ गुना छोटा हो जाता है।

उदाहरण 9.1 पृथ्वी का द्रव्यमान $6 \times 10^{24} kg$ है और चंद्रमा का द्रव्यमान $7.4 \quad 10^{22} kg$ है। यदि पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी $3.8410^{5} km$ है, तो पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर आरोपित बल की गणना कीजिए। ($G=6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ लीजिए)

हल:

पृथ्वी का द्रव्यमान, $M=6 \quad 10^{24} kg$

चंद्रमा का द्रव्यमान, $m=7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}$

पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी,

$$ \begin{aligned} d & =3.84 \quad 10^{5} km \\ & =3.84 \quad 10^{5} \quad 1000 m \\ & =3.84 \quad 10^{8} m \\ G & =6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \end{aligned} $$

समीकरण (9.4) से, पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर आरोपित बल है

$F=G \frac{M \times m}{d^{2}}$

$$ =\frac{6.7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2} \times 6 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \times 7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}}{\left(3.84 \times 10^{8} \mathrm{~m}\right)^{2}} $$

$=2.02 \times 10^{20} N$.

अतः, पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर आरोपित बल $2.02 \times 10^{20} N$ है।

9.1.2 गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का महत्व

गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम ने कई घटनाओं की सफलतापूर्वक व्याख्या की जिन्हें असंबद्ध माना जाता था:

(i) वह बल जो हमें पृथ्वी से बाँधे रखता है;

(ii) चंद्रमा की पृथ्वी के चारों ओर गति;

(iii) ग्रहों की सूर्य के चारों ओर गति; और

(iv) चंद्रमा और सूर्य के कारण ज्वार-भाटा।

9.2 मुक्त पतन

आइए इस गतिविधि को करके मुक्त पतन का अर्थ समझने का प्रयास करें।

गतिविधि 9.2

• एक पत्थर लीजिए।

• इसे ऊपर की ओर फेंकिए।

• यह एक निश्चित ऊँचाई तक पहुँचता है और फिर नीचे गिरने लगता है।

हमने सीखा है कि पृथ्वी वस्तुओं को अपनी ओर आकर्षित करती है। यह गुरुत्वाकर्षण बल के कारण होता है। जब भी वस्तुएँ केवल इस बल के अधीन पृथ्वी की ओर गिरती हैं, तो हम कहते हैं कि वस्तुएँ मुक्त पतन में हैं। क्या गिरती हुई वस्तुओं के वेग में कोई परिवर्तन होता है? गिरते समय, वस्तुओं की गति की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता। लेकिन पृथ्वी के आकर्षण के कारण, वेग के परिमाण में परिवर्तन होगा। वेग में किसी भी परिवर्तन में त्वरण शामिल होता है। जब भी कोई वस्तु पृथ्वी की ओर गिरती है, तो एक त्वरण शामिल होता है। यह त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण होता है। इसलिए, इस त्वरण को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण त्वरण (या गुरुत्वीय त्वरण) कहते हैं। इसे $g$ से निरूपित किया जाता है। $g$ का मात्रक त्वरण के मात्रक के समान ही होता है, अर्थात, $m s^{-2}$।

हम गति के दूसरे नियम से जानते हैं कि बल द्रव्यमान और त्वरण का गुणनफल होता है। मान लीजिए गतिविधि 9.2 में पत्थर का द्रव्यमान $m$ है। हम पहले से ही जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण बल के कारण गिरती हुई वस्तुओं में त्वरण शामिल होता है और इसे $g$ से निरूपित किया जाता है। अतः गुरुत्वाकर्षण बल $F$ का परिमाण द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण बल के कारण त्वरण के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात,

$$ \begin{equation*} F=m g \tag{9.6} \end{equation*} $$

समीकरणों (9.4) और (9.6) से हमारे पास है

$$ \begin{aligned} & m g=G \frac{M \times m}{d^{2}} \\ & \text{ or } g=G \frac{M}{d^{2}} \end{aligned} $$

जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है, और $d$ वस्तु और पृथ्वी के बीच की दूरी है।

मान लीजिए कोई वस्तु पृथ्वी की सतह पर या उसके निकट है। समीकरण (9.7) में दूरी $d$, पृथ्वी की त्रिज्या $R$ के बराबर होगी। इस प्रकार, पृथ्वी की सतह पर या उसके निकट की वस्तुओं के लिए,

$$ \begin{aligned} m g & =G \frac{M \times m}{R^{2}} \\ g & =G \frac{M}{R^{2}} \end{aligned} $$

पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है। चूँकि पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों से भूमध्य रेखा की ओर बढ़ती है, $g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक हो जाता है। अधिकांश गणनाओं के लिए, हम पृथ्वी पर या उसके निकट $g$ को लगभग नियत मान सकते हैं। लेकिन पृथ्वी से दूर स्थित वस्तुओं के लिए, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण त्वरण समीकरण (9.7) द्वारा दिया जाता है।

9.2.1 $g$ के मान की गणना करना

$g$ के मान की गणना करने के लिए, हमें G, $M$ और $R$ के मानों को समीकरण (9.9) में रखना चाहिए, अर्थात्, सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक, $G=6.7 \times 10^{-}$ ${ }^{11} N m^{2} kg^{-2}$, पृथ्वी का द्रव्यमान, $M=6 \times 10^{24} kg$, और पृथ्वी की त्रिज्या, $R=6.4 \times 10^{6} m$।

$$ \begin{aligned} g & =G \frac{M}{R^{2}} \\ & =\frac{6.7 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \times 6 \times 10^{24} kg}{(6.4 \times 10^{6} m)^{2}} \\ & =9.8 m s^{-2} . \end{aligned} $$

इस प्रकार, पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण का मान, $g=9.8 m s^{-2}$।

9.2.2 पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में वस्तुओं की गति

आइए यह समझने के लिए एक गतिविधि करें कि क्या सभी वस्तुएँ, खोखली या ठोस, बड़ी या छोटी, एक ही ऊँचाई से एक ही दर से गिरेंगी।

गतिविधि 9.3

• कागज की एक शीट और एक पत्थर लीजिए। इन्हें एक इमारत की पहली मंजिल से एक साथ गिराइए। देखिए कि क्या दोनों एक साथ भूमि पर पहुँचते हैं।

• हम देखते हैं कि कागज पत्थर से थोड़ी देर बाद भूमि पर पहुँचता है। यह वायु प्रतिरोध के कारण होता है। वायु गिरती हुई वस्तुओं की गति पर घर्षण के कारण प्रतिरोध उत्पन्न करती है। वायु द्वारा कागज पर लगाया गया प्रतिरोध पत्थर पर लगाए गए प्रतिरोध से अधिक होता है। यदि हम एक काँच के जार में, जिसमें से वायु निकाल ली गई है, यह प्रयोग करें, तो कागज और पत्थर एक ही दर से गिरेंगे।

हम जानते हैं कि कोई वस्तु मुक्त पतन के दौरान त्वरण का अनुभव करती है। समीकरण (9.9) से, वस्तु द्वारा अनुभव किया गया यह त्वरण उसके द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है। इसका अर्थ है कि सभी वस्तुएँ, खोखली या ठोस, बड़ी या छोटी, एक ही दर से गिरनी चाहिए। एक कहानी के अनुसार, गैलीलियो ने इसे सिद्ध करने के लिए इटली में झुके हुए पीसा टॉवर के शीर्ष से विभिन्न वस्तुओं को गिराया था।

चूँकि पृथ्वी के निकट $g$ नियत है, एकसमान त्वरित गति के लिए सभी समीकरण तब मान्य हो जाते हैं जब त्वरण a को $g$ से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। समीकरण हैं:

$$ \begin{aligned} & v=u+a t \\ & s=u t+\frac{1}{2} a t^{2} \\ & v^{2}=u^{2}+2 a s \end{aligned} $$

जहाँ $u$ और $v$ प्रारंभिक और अंतिम वेग हैं और $s$ समय $t$ में तय की गई दूरी है।

इन समीकरणों को लागू करने में, हम त्वरण a को धनात्मक लेंगे जब यह वेग की दिशा में हो, अर्थात् गति की दिशा में। त्वरण a को ऋणात्मक लिया जाएगा जब यह गति का विरोध करता हो।

उदाहरण 9.2 एक कार एक चबूतरे से गिरती है और $0.5 s$ में भूमि पर गिरती है। मान लीजिए $g=10 m s^{-2}$ (गणनाओं को सरल बनाने के लिए)।

(i) भूमि से टकराते समय इसकी चाल क्या है?

(ii) $0.5 s$ के दौरान इसकी औसत चाल क्या है?

(iii) भूमि से चबूतरे की ऊँचाई कितनी है?

हल:

समय, $t=1 / 2$ सेकंड

प्रारंभिक वेग, $u=0 m s^{-1}$

गुरुत्वीय त्वरण, $g=10 m s^{-2}$

कार का त्वरण, $a=+10 m s^{-2}$

(नीचे की ओर)

(i) चाल

$$ \begin{aligned} V & =a t \\ V & =10 m s^{-2} \times 0.5 s \\ & =5 m s^{-1} \end{aligned} $$

(ii) औसत चाल $=\frac{u+v}{2}$

$$ \begin{aligned} & =(0 m s^{-1}+5 m s^{-1}) / 2 \\ & =2.5 m s^{-1} \end{aligned} $$

(iii) तय की गई दूरी, $s=1 / 2 a t^{2}$

$$ \begin{aligned} & =1 / 2 \times 10 m s^{-2} \times(0.5 s)^{2} \\ & =1 / 2 \times 10 m s^{-2} \times 0.25 s^{2} \\ & =1.25 m \end{aligned} $$

इस प्रकार,

(i) भूमि से टकराते समय इसकी चाल

$ =5 m s^{-1} $

(ii) $0.5 s$ के दौरान इसकी औसत चाल

$ =2.5 m s^{-1} $

(iii) भूमि से चबूतरे की ऊँचाई $=1.25 m$।

उदाहरण 9.3 एक वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है और यह $10 m$ की ऊँचाई तक उठती है। गणना कीजिए (i) वह वेग जिससे वस्तु को ऊपर की ओर फेंका गया था और (ii) वस्तु द्वारा उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय।

हल:

तय की गई दूरी, $s=10 m$

अंतिम वेग, $v=0 m s^{-1}$

गुरुत्वीय त्वरण, $g=9.8 m s^{-2}$

वस्तु का त्वरण, $a=-9.8 m s^{-2}$

(ऊपर की ओर गति)

(i) $v^{2}=u^{2}+2 a s$

$$ \begin{aligned} & 0=u^{2}+2 \times(-9.8 m s^{-2}) \times 10 m \\ & -u^{2}=-2 \times 9.8 \times 10 m^{2} s^{-2} \\ & u=\sqrt{196} m s^{-1} \\ & u=14 m s^{-1} \\ & v=u+a t \\ & 0=14 m s^{-1}-9.8 m s^{-2} \times t \\ & t=1.43 s \end{aligned} $$

(ii) $\quad v=u+a t$

इस प्रकार,

(i) प्रारंभिक वेग, $u=14 m s^{-1}$, और

(ii) लिया गया समय, $t=1.43 s$।

9.3 द्रव्यमान

हमने पिछले अध्याय में सीखा था कि किसी वस्तु का द्रव्यमान उसकी जड़ता का माप है। हमने यह भी सीखा था कि द्रव्यमान जितना अधिक होगा, जड़ता उतनी ही अधिक होगी। यह तब भी वही रहता है चाहे वस्तु पृथ्वी पर हो, चंद्रमा पर हो या यहाँ तक कि बाहरी अंतरिक्ष में हो। इस प्रकार, किसी वस्तु का द्रव्यमान नियत होता है और स्थान-स्थान पर नहीं बदलता।

9.4 भार

हम जानते हैं कि पृथ्वी प्रत्येक वस्तु को एक निश्चित बल से आकर्षित करती है और यह बल वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है। किसी वस्तु का भार वह बल है जिससे वह पृथ्वी की ओर आकर्षित होती है।

हम जानते हैं कि

$ \begin{equation*} F=m \times a \tag{9.13} \end{equation*} $

अर्थात

$ \begin{equation*} F=m \times g \tag{9.14} \end{equation*} $

पृथ्वी का वस्तु पर आकर्षण बल वस्तु के भार के रूप में जाना जाता है। इसे $W$ से निरूपित किया जाता है। समीकरण (9.14) में इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

$ \begin{equation*} W=m \times g \tag{9.15} \end{equation*} $

चूँकि किसी वस्तु का भार वह बल है जिससे वह पृथ्वी की ओर आकर्षित होती है, भार का SI मात्रक बल के मात्रक के समान ही होता है, अर्थात् न्यूटन (N)। भार एक बल है जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है; इसका परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

हमने सीखा है कि $g$ का मान किसी दिए गए स्थान पर नियत होता है। इसलिए किसी दिए गए स्थान पर, किसी वस्तु का भार उसके द्रव्यमान, मान लीजिए $m$, के अनुक्रमानुपाती होता है, अर्थात्, $W \propto m$। इसी कारण से, किसी दिए गए स्थान पर, हम किसी वस्तु के भार को उसके द्रव्यमान के माप के रूप में उपयोग कर सकते हैं। किसी वस्तु का द्रव्यमान हर जगह समान रहता है, अर्थात् पृथ्वी पर और किसी भी ग्रह पर, जबकि उसका भार उसके स्थान पर निर्भर करता है क्योंकि $g$ स्थान पर निर्भर करता है।

9.4.1 चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार

हमने सीखा है कि पृथ्वी पर किसी वस्तु का भार वह बल है जिससे पृथ्वी उस वस्तु को आकर्षित करती है। इसी प्रकार, चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार वह बल है जिससे चंद्रमा उस वस्तु को आकर्षित करता है। चंद्रमा का द्रव्यमान पृथ्वी की तुलना में कम है। इसके कारण चंद्रमा वस्तुओं पर कम आकर्षण बल लगाता है।

मान लीजिए किसी वस्तु का द्रव्यमान $m$ है। मान लीजिए चंद्रमा पर इसका भार $W_m$ है। मान लीजिए चंद्रमा का द्रव्यमान $M_m$ है और इसकी त्रिज्या $R_m$ है।

गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम को लागू करके, चंद्रमा पर वस्तु का भार होगा

$$ \begin{equation*} W _{m}=\mathrm{G} \frac{M _{m} \times m}{R _{m}^{2}} \tag{9.16} \end{equation*} $$

मान लीजिए उसी वस्तु का पृथ्वी पर भार $W_e$ है। पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है।

सारणी 9.1

समीकरणों (9.9) और (9.15) से हमारे पास है,

$$ \begin{equation*} W_e=G \frac{M \times m}{R^{2}} \tag{9.17} \end{equation*} $$

समीकरणों (9.16) और (9.17) में सारणी 9.1 से मान प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

$$ \begin{gathered} W_m=G \frac{7.36 \times 10^{22} kg \times m}{(1.74 \times 10^{6} m)^{2}} \end{gathered} $$

$$ W_m=2.431 \times 10^{10} G \times m \tag{9.18a} $$

और $$ \begin{equation*} W _{m}=2.431 \times 10^{10} \mathrm{G} \times m \tag{9.18b} \end{equation*} $$

समीकरण (9.18a) को समीकरण (9.18b) से भाग देने पर, हम पाते हैं

$$ \begin{aligned} \frac{W_m}{W_e} & =\frac{2.431 \times 10^{10}}{1.474 \times 10^{11}} \end{aligned} $$

या $$ \frac{W_m}{W_e} =0.165 \approx \frac{1}{6} \tag{9.19} $$

$$ \frac{\text{ Weight of the object on the moon }}{\text{ Weight of the object on the earth }}=\frac{1}{6} $$

चंद्रमा पर वस्तु का भार

$$ =(1 / 6) \times \text{ its weight on the earth. } $$

उदाहरण 9.4 एक वस्तु का द्रव्यमान $10 kg$ है। पृथ्वी पर इसका भार क्या है?

हल:

द्रव्यमान, $m=10 kg$

गुरुत्वीय त्वरण, $g=9.8 m s^{-2}$

$$ \begin{aligned} & W=m \times g \\ & W=10 kg \times 9.8 m s^{-2}=98 N \end{aligned} $$

इस प्रकार, वस्तु का भार $98 N$ है।

उदाहरण 9.5 एक वस्तु का भार पृथ्वी की सतह पर मापने पर $10 N$ आता है। चंद्रमा की सतह पर मापने पर इसका भार क्या होगा?

हल:

हम जानते हैं,

चंद्रमा पर वस्तु का भार

$$ =(1 / 6) \times \text{ its weight on the earth. } $$

अर्थात,

$$ \begin{aligned} W_m & =\frac{W_e}{6}=\frac{10}{6} N \\ & =1.67 N . \end{aligned} $$

इस प्रकार, चंद्रमा की सतह पर वस्तु का भार $1.67 N$ होगा।

9.5 प्रणोद और दाब

क्या आपने कभी सोचा है कि एक ऊँट रेगिस्त